Wytrzymałość Materiałów Budownictwo, Rok II, Semestr III
Pręty zakrzywione
WYKA
AD 19
Literatura
Rozdz. XI, str. 175, BIELEWICZ E.: Wytrzymałość materiałów. PG, Gdańsk 1992 (lub inne wydania).
str. 14, CHRÓŚCIELEWSKI J.: Materiały pomocnicze do wykładu z Wytrzymałości Materiałów.
Wersja elektroniczna, http://www.okno.pg.gda.pl.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W19A/1
Wytrzymałość Materiałów pręty zakrzywione, silnie
Pręty zakrzywione
założenia, zadanie:
" pręty o przekroju symetrycznym względem płaszczyzny pokrywającej się z płaszczyzną obciążenia y - y,
" rozważa się stan złożony:
siła normalna N i moment zginający M (rozciąganie/ściskanie mimośrodowe),
x
" zadaniem jest wyznaczenie podłużnych naprężeń normalnych � a" � ;
z
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W19A/2
Wytrzymałość Materiałów pręty zakrzywione, silnie
Pręty słabo zakrzywione
� R
(np. łuki), a" >10, gdzie � a" R jest promieniem krzywizny początkowej osi pręta;
h h
w zagadnieniach obliczania naprężeń przy:
zginaniu,
rozciąganiu i
ścinaniu,
pręty słabo zakrzywione traktuje się tak jak pręty proste stosując te same wzory obliczeniowe.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W19A/3
Wytrzymałość Materiałów pręty zakrzywione, silnie
Pręty silnie zakrzywione
(np. haki, ogniwa łańcuchów, wyoblone naroża ram, itp.)
� R
a" E" 1�3, gdzie � a" R jest promieniem krzywizny początkowej osi pręta;
h h
założenia:
" o płaskich przekrojach (przed i po odkształceniu),
" siły tnące Ty i naprężenia normalne prostopadłe do osi pręta (� a" � )
y Ą"
nie wpływają na rozkład naprężeń normalnych równoległych do osi pręta (� a" � ),
z
" naprężenia styczne oblicza się tak samo jak w prętach prostych;
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W19A/4
Wytrzymałość Materiałów pręty zakrzywione, silnie
Winkler Emil (1835 1888) zachowując hipotezę o płaskich przekrojach zauważył, że naprężenia �(y) we
włóknach podłużnych, które ze względu na wstępną krzywiznę nie mają jednakowej długości
ds0( y), nie będą proporcjonalne do odległości y od osi obojętnej (� = 0) i to, że oś ta nie będzie
przechodzić przez środek ciężkości.
geometria elementu różniczkowego (�,d�) pręta silnie zakrzywionego opisuje
początkową długość włókien:
ds( y) a" (� + y)d� = �d� + yd� = ds0+ yd� ,
oś pręta y = 0 �! ds0= �d� ;
deformacja wywołana obciążeniem powoduje
(�,d�) (�,d� ),
gdzie d� = d� + "d� oraz
przekrój obraca się względem punktu nie leżącego na osi ( x );
długość włókien w wyniku deformacji
ds (y) = 1+� (y) ds(y) a" (� + y)d�
()
= (� + y)(d� +"d�)
dzieląc przez ds (y) otrzymuje się wzór na odkształcenia
d� +"d� d� +"d�
1+� (y) = (� + y) = (� + y) ;
ds(y) (� + y)d�
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W19A/5
Wytrzymałość Materiałów pręty zakrzywione, silnie
rozważając jeszcze raz długość włókien w wyniku deformacji
ds (y) = 1+� (y) ds(y) a" (� + y)d� = (� + y)(d� +"d�)
( )
ds0 = ds |y=0= (1+ �0)ds0 a" �d�
dla oś pręta y = 0 �! ,
= � (d� + "d�)
stąd promień krzywizny zdeformowanej
(1+ �0)ds0
� =
d� + "d�
wzór na odkształcenia przyjmuje postać
Ą#ń# y
(1+ �0)�d� d� + "d�
1+ � ( y) = + yĄ# =1+ �0 + (ł� - �0),
ó#
d� + "d� (� + y)d� � + y
Ł#Ś#
y "d�
� (y) = �0 + (ł� - �0), gdzie ł� =
� + y d�
zatem mimo założenia o płaskim przekroju odkształcenia � (y) nie są proporcjonalne do y ;
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W19A/6
Wytrzymałość Materiałów pręty zakrzywione, silnie
y "d�
z prawa Hooke a mamy � (y) = E� (y) = E�0 + E(ł� - �0) , ł� =
� + y d�
niewiadome odkształcenia �0 i ł� wyznacza się bezpośrednio z definicji przekrojowych sił wewnętrznych
y y2
N = � dA= E�0 AdA + E(ł�-�0) dA, M = � ydA = E�0 A ydA + E(ł�-�0) dA,
x
+"+" +" +"+" +"
A A A A
�+y (�+y)
y2
2
ponieważ Sx = ydA = 0, oznaczając Jx = � dA i przekształcając
+" +"
A A
� + y
� �#ś#
yy �#ś# y y 11 � y2 1
2
dA = dA = - Jx stąd
ź#dA =
ś#ź#dA = ś#1- ydA -
+"+" +" +" +"
AA A
� + y
� + y � � � + y�2
� �2 A � + y
�# #
�# #A
2 ń# ż#�# N / E
Ą# - Jx / �2 �0 ż# �#
A
M � N M
=
�#ł -�0 Ź# �#M /EŹ# �! ł�-�0 = x , �0 = + x ,
ó#0 - Jx / � Ą#
2
2 EJx EA EA�
�
�# x �#
Ł# Ś# �#�#
N M M y �
x
co po podstawieniu do wzoru na naprężenia daje � (y) = + +x ;
2
A A� Jx � +y
wzór ten wskazuje, że:
(a) przebieg naprężeń jest krzywą hiperboliczną,
(b) dla N = 0 (czyste zginanie) oś zerowa nie przechodzi przez środek ciężkości, �y=0 `" 0,
(c) dla � " wzór przyjmuje klasyczną postać jak dla belki prostej;
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W19A/7
Wytrzymałość Materiałów pręty zakrzywione, silnie
Przykład, czyste zginanie
Dane:
przekrój prostokątny b� h,
promień krzywizny � = h ,
obciążenie N = 0, M a" M = const .
x
Obliczyć � (y);
dla prostokąta: A = bh,
+h / 2
�#ś#
y2 y2 � + h / 2
2
Jx = � dA = �b dy = �2bś# � ln - hź#,
+"+"
A -h / 2
� + y � + y � - h / 2
�# #
2
zatem przy � = h mamy Jx E" bh3 /10
(dla pręta prostego Jx = bh3 /12), stad
M 10y M h +11y
� (y) = (1+ ) =
bh2 h +y bh2 h +y
równanie osi zerowych naprężeń, naprężenia:
13 M M
h +11y = 0 �! y =-h /11, �max = �d = � |y=h / 2= , �min = � = � |y=-h / 2= -9 .
g
3 bh2 bh2
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W19A/8
Wytrzymałość Materiałów Budownictwo, Rok II, Semestr III
Dziękuję za uwagę
cdn.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów