WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW  WYKA
AD 16
16.1 Twierdzenie Menabrei
W układach statycznie niewyznaczalnych energia sprężysta zależy od uogólnionych obciążeń zewnętrznych Fi oraz
wielkości nadliczbowych (hiperstatycznych) X , których nie można wyznaczyć z warunków równowagi:
j
V (Fi , X ) (16.1)
j
gdzie
i = 1, 2, ..., m,
j = 1, 2, ..., n (n  stopień statycznej niewyznaczalności ustroju)
Twierdzenie Menabrei wywodzi się z zasady minimum energii (najmniejszej pracy) i jest bezpośrednią konsekwencją
twierdzenia Castigliana. Układ sprężysty odkształca się w taki sposób, że jego energia sprężysta osiąga minimum.
Twierdzenie Menabrei
W ustroju statycznie niewyznaczalnym siły nadliczbowe przybierają takie wartości, że energia sprężysta
osiÄ…ga minimum.
"V
=0 (16.2)
"X
j
Liczba równań typu (16.2) jest równa liczbie niewiadomych nadliczbowych. Za ich pomocą można określić wielkości
tych niewiadomych.
Rozpatruje się ustrój jednokrotnie statycznie niewyznaczalny jak na rysunku 16.1a. Twierdzenie Menabrei sprowadza
się w tym przypadku do jednego równania typu (16.2). W dowolnym układzie prętowym liniowo-sprężystym można
odrzucić nadliczbowe więzy zastępując je odpowiednimi siłami. Powstały w ten sposób układ (16.1b) jest już
statycznie wyznaczalny, obciążony oddziaływaniami zewnętrznymi i dodatkowymi niewiadomymi w miejscach
usuniętych więzów (X1). Możliwe jest teraz wyznaczenie na podstawie twierdzenia Castigliano przemieszczeń
"V
punktów zaczepienia sił nadliczbowych tj. . W rzeczywistym układzie (rys.16.1a) więzy uniemożliwiają te
"X
j
"V
przemieszczenia, wobec czego powinno zachodzić =0 , co jest zgodne z twierdzeniem Menabrei.
"X1
Rys.16.1 Przyrost przemieszczeń w belce wywołanych przyrostem siły
16.2 Twierdzenie Bettiego
Rozpatrywany jest ustrój sprężysty, spełniający warunki układu Clapeyrona (rys.16.2). Ustrój obciążony jest dwoma
układami sił: Pi (stan i) oraz Pj (stan j). W obu stanach powstają przemieszczenia, których obraz przedstawiono na
rys. 16.2 liniami przerywanymi. Rzut przemieszczenia punktu przyłożenia siły Pi na jej kierunek, wywołany działaniem
siły Pj oznaczono wij. Analogicznie rzut przemieszczenia punktu przyłożenia siły Pj na jej kierunek, wywołany
działaniem siły Pi oznaczono wji.
Rys.16.2 Odkształcenia ustroju wywołane układami sił  i oraz  j
Zasada prac wirtualnych dla ustrojów sprężystych pozwala zapisać równania
l
MiM dx
j
Piwij= (16.3)
+"
EI
0
l
M Midx
j
Pjwji= (16.4)
+"
EI
0
Z porównania wyrażeń (16.3) i (16.4) wynika, że
Piwij=Pjwji (16.5)
W przypadku występowania większej liczby sił zachodzi
(16.6)
"P wij="P wji
i j
Twierdzenie Bettiego o wzajemności prac
Suma prac wirtualnych układu sił Pi na przemieszczeniach spowodowanych przez układ sił Pj równa się
sumie prac wirtualnych układu sił Pj na przemieszczeniach spowodowanych przez układ Pi .
W ogólnym przypadku, rozpatrywane siły i przemieszczenia należy rozumieć w sensie uogólnionym tj.
(16.7)
"F fij="F f
i j ji
Jeżeli siła F i przemieszczenie f mają zgodne zwroty iloczyn Ff posiada znak dodatni, jeżeli siła F i przemieszczenie f
majÄ… zwroty przeciwne iloczyn ten posiada znak ujemny.
16.3 Twierdzenie Maxwella
Rozpatrywany jest ustrój sprężysty, na który działają dwie niezależne od siebie, dowolnie zorientowane, uogólnione
siły (rys. 16.3). W miejscu przyłożenia siły Fi=1, pod wpływem działania siły Fj=1 powstaje przemieszczenie fij , a
w punkcie przyłożenia siły Fj=1, pod wpływem działania siły Fi=1 pojawia się przemieszczenie f . Twierdzenie o
ji
wzajemności prac przybiera w tym wypadku postać
1Å"fij=1Å"f (16.8)
ji
czyli
fij=f (16.9)
ji
Równanie powyższe jest treścią twierdzenia Maxwella
Rzut przemieszczenia fij na kierunek uogólnionej siły Fi=1 jest równy rzutowi przemieszczenia f na
ji
kierunku uogólnionej siły Fj=1.
Rys.16.3 Ilustracja twierdzenia Maxwella