ëÅ‚Ãx Äyx ÄzxöÅ‚ ëÅ‚Ãx-à Äyx Äzx öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
Äxy Ãy-Ã Äzy
Ã=
ìÅ‚Ä Ãy Äzy÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚=0
xy
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
Äxz Äyz Ãz-Ã
íÅ‚Äxz Äyz Ãz Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
(Ã )( )( )+Ä ( ) ( )-(Ã )
x-ÃÅ"Ãy-ÃÅ"Ãz-Ã xyÅ"ÄyzÅ"Äzx+ÄxzÅ"ÄyxÅ"Äzy-ÄxzÅ"Ãy-ÃÅ"Äzx-ÄyzÅ"ÄzyÅ"Ãx-Ã z-ÃÅ"ÄxyÅ"Äyx=0
2
ëÅ‚Ã öÅ‚
=0
( )...
xÅ"Ãy-ÃxÅ"Ã-ÃÅ"Ãy+Ã
íÅ‚ Å‚Å‚Å"Ãz-Ã
2 2 2 2 2 2
+ÄxyÅ"ÄyzÅ"Äzx+ÄxzÅ"ÄyxÅ"Äzy-ÄxzÅ"Ãy+ÄxzÅ"Ã-ÄyzÅ"Ãx+ÄyzÅ"Ã+ÄxyÅ"Ãz+ÄxyÅ"Ã
2. 2. 2 3
ÃxÅ"ÃyÅ"Ãz-ÃxÅ"ÃzÅ"Ã-ÃyÅ"ÃzÅ"Ã+ÃzÅ"Ã -ÃxÅ"ÃyÅ"Ã+ÃxÅ"Ã +Ã Å"Ãy-Ã =0
3 2 2 2 2
ëÅ‚Ã öÅ‚
-Ã + -Äyz -Äxy
(Ã )
xÅ"ÃyÅ"ÃzÅ"Ã -ÃÅ" xÅ"Ãz+ÃyÅ"Ãz+ÃxÅ"Ãy-Äxz
íÅ‚ Å‚Å‚...=0
2 2 2
+ÃxÅ"ÃyÅ"Ãz+ÄxyÅ"ÄyzÅ"Äzx+ÄxzÅ"ÄyxÅ"Äzy-ÄxzÅ"Ãy-ÄyzÅ"Ãx.-ÄxyÅ"Ãz
3 2
à -I1Å"à +I2Å"Ã-I3=0
(Ã-1)(Ã-4)(Ã-6)
I1=Ãx+Ãy+Ãz
2 2 2 3 2
I2=ÃxÅ"Ãz+ÃyÅ"Ãz+ÃxÅ"Ãy-Äxz -Äyz -Äxy à -11Å"à +34Å"Ã-24=0
ëÅ‚Ãx Äyx ÄzxöÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
I3=
ìÅ‚Ä Ãy Äzy÷Å‚
xy
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚Äxz Äyz Ãz Å‚Å‚
Przyklad liczbowy
4 -2 1
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
Ã= -2 4 1
ìÅ‚ ÷Å‚
1 1 3
íÅ‚ Å‚Å‚
I1=4+4+3=11
2 2 2
I2=4Å"3+4Å"3+4Å"4-1 -1 -(-2) =34
4 -2 1
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚=24
I3= -2 4 1
ìÅ‚ ÷Å‚
1 1 3
íÅ‚ Å‚Å‚
2
à -5Å"Ã+4 "=25-4Å"4=9
3 2
( )
(Ã-6)
5-3 5+3
à -11Å"à +34Å"Ã-24
x1= =1 x2= =4
3 2
2 2
-Ã +6Å"Ã
ëÅ‚6 0 0 öÅ‚
2
-5Å"Ã +34Å"Ã-24
ìÅ‚0 ÷Å‚
ÃG= 4 0
2
ìÅ‚ ÷Å‚
5Å"Ã -30Ã
íÅ‚0 0 1 Å‚Å‚
4Ã-24
-4Ã+24
(Ã )
x-ÃiÅ"nix+ÄyxÅ"niy+ÄzxÅ"niz=0
ÄxyÅ"nix+
(Ã )
y-ÃiÅ"niy+ÄzyÅ"niz=0
ÄxzÅ"nix+ÄyzÅ"niy+
(Ã )
z-ÃiÅ"niz=0
2 2 2
nix +niy +niz =1
(4-Ã)Å"n
i ix-2Å"niy+niz=0
-2Å"nix+
(4-Ã)Å"n
i iy+niz=0
nix+niy+
(3-Ã)Å"n
i iz=0
2 3
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
2
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚- ÷Å‚
6 3
ìÅ‚ ÷Å‚
2 ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2 3
Ãi=6 Ãi=4 Ãi=1
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
-
ìÅ‚ 2 ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
6 3
ìÅ‚- ÷Å‚
2
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2 3
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
0
íÅ‚ Å‚Å‚
3 3
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
3Å"n3x-2Å"n3y+n3z=0
-2Å"n1x-2Å"n1y+n1z=0 -2Å"n2y+n2z=0
-2Å"n1x-2Å"n1y+n1z=0 -2Å"n3x+3Å"n3y+n3z=0
-2Å"n2x+n2z=0
n1x-n1y-3n1z=0
n3x+n3y+2n3z=0
n2x+n2y-n2z=0
-2Å"n1y-n1z=2n1 x=2t
3Å"n3x-2Å"n3y=-t
t
n1y-3n1z=-n1 x=-t n2y=
2
-2Å"n3x+3Å"n3y=-t
t
n2x=
n1y=-t n1x=t
2
n3x=-t
n2z=t
n1z=0
n3y=-t
n3z=t
4 2
t t
2 2 2
tx +(-t) +0=1 + +t =1
4 4
3
2 2 2
t +t +t =1 t=
2
3
3 2 2
2t =1 2 2
Å"t =1 t = t=
2 3 3
1 2
2
t = t=
2 2
Zadanie 2
ëÅ‚100 30 -20öÅ‚
Ã1=140 Ã2=70 Ã3=50
ìÅ‚ ÷Å‚
Ã= 30 100 -20
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚-20 -20 60 Å‚Å‚
3 2
2
à -260à +20300Å"Ã-490000=0
à -120Å"Ã+3500
3 2
( )
: (Ã-140)
à -260à +20300Å"Ã-490000
( )
(Ã-140)Å"Ã2
-120Å"Ã+3500 =0
3 2
-Ã +140Ã
2
(Ã-140)Å"(Ã-70)Å"(Ã-50)=0
-120Ã +20300Å"Ã
2
120Ã -6800Ã
2
120+ 120 -4Å"3500
=70 3500Å"Ã-490000
2
-3500Å"Ã+490000
2
120- 120 -4Å"3500
=50
2
ëÅ‚140 0 0 öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
Ã= 0 70 0
ìÅ‚ ÷Å‚
0 0 50
íÅ‚ Å‚Å‚
(Ã )
x-ÃiÅ"aix+ÄxyÅ"aiy+ÄxzÅ"aiz=0
ÄxyÅ"aix+
(Ã )
y-ÃiÅ"aiy+ÄyzÅ"aiz=0
ÄzxÅ"aiz+ÄzyÅ"aiy+
(Ã )
y-ÃiÅ"aiz=0
2 2 2
aix +aiy +aiz =1
2
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚-2 öÅ‚
ëÅ‚- 2
öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
3 6
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ 2 ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2
ìÅ‚-2 ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
Ã1=140 Ã2=70 Ã3=50
ìÅ‚ 2 ÷Å‚
ìÅ‚ 3 ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
6
ìÅ‚ ÷Å‚
2
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
1
ìÅ‚ ÷Å‚ 2
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
Å" 2
0
íÅ‚ Å‚Å‚
3
íÅ‚ Å‚Å‚ 3
íÅ‚ Å‚Å‚
30a2x+30Å"a2y-20Å"a2z=0 50a3x+30Å"a3y-20Å"a3z=0
-40a1x+30Å"a1y-20Å"a1z=0
30a2x+30Å"a2y-20Å"a2z=0 30a3x+50Å"a3y-20Å"a3z=0
30a1x-40Å"a1y-20Å"a1z=0
-20a2x-20Å"a2y-10Å"a2z=0 -20a3x-20Å"a3y+10Å"a3z=0
-20a1x-20Å"a1y-80Å"a1z=0
(3a ) (5a )
2x-2a2z=-3Å"a2y=-3tÅ"2 3x+3a3y=2Å"a3z=2tÅ"3
(-4a )
1x+3Å"a1y=2Å"a1z=2tÅ"3
(-2a ) (3a )
2x-a2z=2Å"a2y=2tÅ"3 3x+5a3y=2Å"a3z=2tÅ"(-5
(3a )
1x-4a1y=2Å"a1z=2tÅ"4
15a3x+9a2z=6Å"t
6a2x-4a2z=-6Å"t
-12a1x+9Å"a1y=6t
-15a3x-25a3y=-10Å"t
-6a2x-3a2z=6Å"t
12a1x-16a1y=8t
t
a1y=-2Å"t a2z=0 a3y=
4
t
a1x=-2Å"t aix=-t a3x=
4
2 2
1 2 t t 2
2 2 2 2 2 2
4Å"t +4Å"t +t =0 t= t +t +0=0 t= + +t =1 t= Å" 2
3 2 16 16 3