Wytrzymałość Materiałów Budownictwo, Rok II, Semestr III
Skręcanie swobodne
(de Saint Venanta)
WYKA
AD 7
Literatura
Rozdz. IV, str. 61, BIELEWICZ E.: Wytrzymałość materiałów. PG, Gdańsk 1992 (lub inne wydania).
str. 9, CHRÓŚCIELEWSKI J.: Materiały pomocnicze do wykładu z Wytrzymałości Materiałów.
Wersja elektroniczna, http://www.okno.pg.gda.pl.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/1
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
Skręcanie swobodne de Saint Venanta (de Saint-Venant A.J.C.B., 1797 1886)
Skręcanie czyste , tylko Ms a" M `" 0 i tylko � `" 0
z
(stan prosty)
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/2
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
Skręcanie swobodne de Saint Venanta (de Saint-Venant A.J.C.B., 1797 1886)
Skręcanie czyste , tylko Ms a" M `" 0 i tylko � `" 0
z
(stan prosty)
+ swoboda deplanacji
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/3
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
Skręcanie swobodne de Saint Venanta (de Saint-Venant A.J.C.B., 1797 1886)
Skręcanie czyste , tylko Ms a" M `" 0 i tylko � `" 0
z
(stan prosty)
+ swoboda deplanacji
(de Saint-Venant)
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/4
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
Skręcanie nieswobodne, skrępowane = brak swobody deplanacji,
przez np.: podparcie, zmienne obciążenie, zmienny przekrój,
powstają także samorównoważące się naprężenie normalne � `" 0 (mimo, że: N,M ,M = 0).
x y
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/5
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
Skręcanie nieswobodne, skrępowane = brak swobody deplanacji,
przez np.: podparcie, zmienne obciążenie, zmienny przekrój,
powstają także samorównoważące się naprężenie normalne � `" 0 (mimo, że: N,M ,M = 0).
x y
swobodne skrępowane
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/6
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
Skręcanie nieswobodne, skrępowane = brak swobody deplanacji,
przez np.: podparcie, zmienne obciążenie, zmienny przekrój,
powstają także samorównoważące się naprężenie normalne � `" 0 (mimo, że: N,M ,M = 0).
x y
swobodne skrępowane istota bimomentu
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/7
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
Pręt o przekroju kołowym  skręcanie swobodne i skrępowane ( brak deplanacji)
(pełny, rura grubościenna, rura cienkościenna - rozwiązania ścisłe)
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/8
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
Pręt o przekroju kołowym  skręcanie swobodne i skrępowane ( brak deplanacji)
założenia
" sztywne obroty �(z) przekrojów (brak deplanacji !!!),
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/9
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
Pręt o przekroju kołowym  skręcanie swobodne i skrępowane ( brak deplanacji)
założenia
" sztywne obroty �(z) przekrojów (brak deplanacji !!!),
" tworzące mają postać krzywej śrubowej, przybliżaną
dla małych kątów prostą �!
d�
�# ś#,
�d� = ł dz �! ł =�
ś# ź#
dz
�# #

skręcenie
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/10
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
Pręt o przekroju kołowym  skręcanie swobodne i skrępowane ( brak deplanacji)
założenia
" sztywne obroty �(z) przekrojów (brak deplanacji !!!),
" tworzące mają postać krzywej śrubowej, przybliżaną
dla małych kątów prostą �!
d�
�# ś#,
�d� = ł dz �! ł =�
ś# ź#
dz
�# #

skręcenie
d�
" czyste ścinanie (p. Hooke a) �! � = Gł �! � =G� ,
dz
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/11
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
Pręt o przekroju kołowym  skręcanie swobodne i skrępowane ( brak deplanacji)
założenia
" sztywne obroty �(z) przekrojów (brak deplanacji !!!),
" tworzące mają postać krzywej śrubowej, przybliżaną
dla małych kątów prostą �!
d�
�# ś#,
�d� = ł dz �! ł =�
ś# ź#
dz
�# #

skręcenie
d�
" czyste ścinanie (p. Hooke a) �! � = Gł �! � =G� ,
dz
" naprężenia styczne (�) prostopadłe �
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/12
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
Pręt o przekroju kołowym  skręcanie swobodne i skrępowane ( brak deplanacji)
założenia
" sztywne obroty �(z) przekrojów (brak deplanacji !!!),
" tworzące mają postać krzywej śrubowej, przybliżaną
dla małych kątów prostą �!
d�
�# ś#,
�d� = ł dz �! ł =�
ś# ź#
dz
�# #

skręcenie
d�
" czyste ścinanie (p. Hooke a) �! � = Gł �! � =G� ,
dz
" naprężenia styczne (�) prostopadłe � stąd
moment skręcający i skręcenie otrzymuje się z definicji:
d� d� Ms
Ms = ��dA=G �2dA �! = ,
+"+"
AA
dz dz GJ0


a" J0
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/13
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
naprężenia
Ms
� (�) = � �!
J0
Ms Ms
�max = �max �! �max = ,
J0 Ws
J0 J0
Ws= = - wskaz
nik wytrzymałości na skręcanie.
�max R
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/14
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
naprężenia
Ms
� (�) = � �!
J0
Ms Ms
�max= �max �! �max= ,
J0 Ws
J0 J0
Ws= = - wskaz
nik wytrzymałości na skręcanie.
�max R
d� Ms
skręcenie = ,
dz GJ0
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/15
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
naprężenia
Ms
� (�) = � �!
J0
Ms Ms
�max= �max �! �max= ,
J0 Ws
J0 J0
Ws= = - wskaz
nik wytrzymałości na skręcanie.
�max R
d� Ms
skręcenie = ,
dz GJ0
bb
Ms (z) Ms Ms la-b
obrót odcinka � |a-b= d� = dz dla = const � |a-b= ,
+"+"
aa
GJ0(z) GJ0 GJ0
GJ0 - sztywność na skręcanie ( J0 = �2dA),
+"
A
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/16
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
naprężenia
Ms
� (�) = � �!
J0
Ms Ms
�max= �max �! �max= ,
J0 Ws
J0 J0
Ws= = - wskaz
nik wytrzymałości na skręcanie.
�max R
d� Ms
skręcenie = ,
dz GJ0
bb
Ms (z) Ms Ms la-b
obrót odcinka � |a-b= d� = dz dla = const � |a-b= ,
+"+"
aa
GJ0(z) GJ0 GJ0
GJ0 - sztywność na skręcanie ( J0 = �2dA),
+"
A
Ą r4 Ą (R4-r4)
" o
Jo = ; Jo = , Jo = 2Ą�r3
2 2
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/17
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
Pręty pryzmatyczne o przekroju niekołowym
" brak rozwiązań elementarnych charakterystycznych dla WM
(takich jak dla prętów kołowych),
" stan prosty, tylko Ms a" M `" 0 i tylko � `" 0 + swoboda deplanacji,
z
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/18
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
Pręty pryzmatyczne o przekroju niekołowym
" brak rozwiązań elementarnych charakterystycznych dla WM
(takich jak dla prętów kołowych),
" stan prosty, tylko Ms a" M `" 0 i tylko � `" 0 + swoboda deplanacji,
z
" rozwiązania dla różnych kształtów przekroju poprzecznego
otrzymuje się w ramach Teorii Sprężystości (TS),
" uwzględnienie rozwiązań TS w ramach Wytrzymałości Materiałów odbywa
się przez odpowiednie współczynników we wzorach elementarnych.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/19
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
Pręt o przekroju prostokątnym
h
Fakty wynikające ze rozwiązań teorii sprężystości dla pręta przy założeniach:
" długość l ,
" przekrój prostokątny b� h, stały na długości,
" stały moment skręcający Ms=const , to:
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/20
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
Pręt o przekroju prostokątnym
h
Fakty wynikające ze rozwiązań teorii sprężystości dla pręta przy założeniach:
" długość l ,
" przekrój prostokątny b� h, stały na długości,
" stały moment skręcający Ms=const , to:
 w wyniku swobodnego skręcenia występuje deplanacja przekroju,
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/21
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
Pręt o przekroju prostokątnym
h
Fakty wynikające ze rozwiązań teorii sprężystości dla pręta przy założeniach:
" długość l ,
" przekrój prostokątny b� h, stały na długości,
" stały moment skręcający Ms=const , to:
 w wyniku swobodnego skręcenia występuje deplanacja przekroju,
 wektory naprężeń stycznych na brzegu przekroju
są równoległe do konturu,
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/22
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
Pręt o przekroju prostokątnym
h
Fakty wynikające ze rozwiązań teorii sprężystości dla pręta przy założeniach:
" długość l ,
" przekrój prostokątny b� h, stały na długości,
" stały moment skręcający Ms=const , to:
 w wyniku swobodnego skręcenia występuje deplanacja przekroju,
 wektory naprężeń stycznych na brzegu przekroju
są równoległe do konturu,
 wektory naprężeń stycznych w narożach są równe zero,
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/23
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
Pręt o przekroju prostokątnym
 naprężenie maksymalne �max występuje w środku dłuższego boku,
 wzory przybliżone (analogia do wzorów dla prętów kołowych):
Ms
maksymalne naprężenia styczne �max = ,
Ws
Msl
całkowity kąt skręcenia pręta � = ,
GJs
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/24
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
Pręt o przekroju prostokątnym
 naprężenie maksymalne �max występuje w środku dłuższego boku,
 wzory przybliżone (analogia do wzorów dla prętów kołowych):
Ms
maksymalne naprężenia styczne �max = ,
Ws
Msl
całkowity kąt skręcenia pręta � = ,
GJs
gdzie: Ws = �hb2  wskaz
nik wytrzymałości
Js=ąhb3  moment bezwładności na skręcanie,
GJs  sztywność przekroju na skręcanie.
Współczynniki ą i � z tablic w zależności od proporcji h / b
h / b 1 1.5 2 3 4 6 8 10 "
ą 0.140 0.196 0.229 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 1/3
� 0.208 0.231 0.246 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 1/3
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/25
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
Pręt cienkościenny o przekroju otwartym (wieogałęziowy)
fakt występuje silna deplanacja przekroju
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/26
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
Pręt cienkościenny o przekroju otwartym (wieogałęziowy)
fakt występuje silna deplanacja przekroju
Założenia:
" zbudowany z n wąskich prostokątów �i � hi (hi /�i e"10), i =1,2,...,n,
" przekroje w płaszczyz
nie doznają jedynie sztywnego obrotu (jako całość �ia"� =const ),
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/27
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
Pręt cienkościenny o przekroju otwartym (wieogałęziowy)
h 1
" przyjmuje się wzór dla prostokąta (b a" � ), zatem H" " �! ą = � = ,
� 3
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/28
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
Pręt cienkościenny o przekroju otwartym (wieogałęziowy)
h 1
" przyjmuje się wzór dla prostokąta (b a" � ), zatem H" " �! ą = � = ,
� 3
� n
- momentem bezwładności na skręcanie Js= hi�i3
"
i=1
3
1 n Js
- wskaz
nik wytrzymałości na skręcanie Ws= hi�i3= ,
"
3�max i=1 ��max
- współczynnik kształtu � dla profili walcowanych (wyoblenia)
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/29
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
Pręt cienkościenny o przekroju otwartym (wieogałęziowy)
h 1
" przyjmuje się wzór dla prostokąta (b a" � ), zatem H" " �! ą = � = ,
� 3
� n
- momentem bezwładności na skręcanie Js= hi�i3
"
i=1
3
1 n Js
- wskaz
nik wytrzymałości na skręcanie Ws= hi�i3= ,
"
3�max i=1 ��max
- współczynnik kształtu � dla profili walcowanych (wyoblenia)
kątownik ceownik, teownik dwuteownik profili idealnych
� =1 � =1.12 � =1.30 � =1
Ms Ms Ms
naprężenia styczne: �max = = �max , (�max )i = �i , max w i - tej ściance w środku dłuższego boku,
Ws Js Js
Msl
kąt skręcenia pręta: � = .
GJs
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/30
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
Pręt cienkościenny o przekroju otwartym (wieogałęziowy)
h 1
" przyjmuje się wzór dla prostokąta (b a" � ), zatem H" " �! ą = � = ,
� 3
� n
- momentem bezwładności na skręcanie Js= hi�i3
"
i=1
3
1 n Js
- wskaz
nik wytrzymałości na skręcanie Ws= hi�i3= ,
"
3�max i=1 ��max
- współczynnik kształtu � dla profili walcowanych (wyoblenia)
kątownik ceownik, teownik dwuteownik profili idealnych
� =1 � =1.12 � =1.30 � =1
Ms Ms Ms
naprężenia styczne: �max = = �max , (�max )i = �i , max w i - tej ściance w środku dłuższego boku,
Ws Js Js
Msl
kąt skręcenia pręta: � = .
GJs
Równoważność profili:
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/31
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
Uzasadnienie wzorów: (z warunku sztywnego obrotu)
Ms l Ms lMs l Js
Msl
1 in i
stały kąt obrotu we wszystkich paskach: � a"�i= =...= =...= a" �! Ms = Ms ,
i
GJs GJs GJs GJs Js
1 in
1
gdzie Js = hi�i3 ,
i
3
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/32
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
Uzasadnienie wzorów: (z warunku sztywnego obrotu)
Ms l Ms lMs l Js
Msl
1 in i
stały kąt obrotu we wszystkich paskach: � a"�i= =...= =...= a" �! Ms = Ms ,
i
GJs GJs GJs GJs Js
1 in
1
gdzie Js = hi�i3 ,
i
3
Ms MsMs
ii
stąd Ms +Ms + ... +Ms = Ms �! (�max )i = = �i = �i.
1 2 n
Ws Js Js
ii
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/33
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
Jednokomorowe pręt cienkościenne o przekroju zamkniętym
Rozwiązanie ścisłe: stały moment, stały przekrój + swoboda deplanacji.
Założenia:
" przekroje doznają jedynie sztywnego obrotu �(z)
w płaszczyz
nie (z) ale nie pozostają płaskie (deplanacja),
" naprężenia � (z,s) są styczne linii środkowej ścianki (s)
i rozłożone równomiernie po grubości � (s),
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/34
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
Jednokomorowe pręt cienkościenne o przekroju zamkniętym
Rozwiązanie ścisłe: stały moment, stały przekrój + swoboda deplanacji.
Założenia:
" przekroje doznają jedynie sztywnego obrotu �(z)
w płaszczyz
nie (z) ale nie pozostają płaskie (deplanacja),
" naprężenia � (z,s) są styczne linii środkowej ścianki (s)
i rozłożone równomiernie po grubości � (s),
Warunek:
t(s) =� (s)� (s) =�max�min=const
wynika z równowagi " Z = 0 dowolnego
fragmentu obwodu dz ,
" Z = 0 �! �1�1 -�2�2 = 0
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/35
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
Jednokomorowe pręt cienkościenne o przekroju zamkniętym
Ms
I. wzór Bredta dla naprężeń � (s) = ,
2Fs � (s)
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/36
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
Jednokomorowe pręt cienkościenne o przekroju zamkniętym
Ms
I. wzór Bredta dla naprężeń � (s) = ,
2Fs � (s)
wynika z definicji
Ms= ��dA =
+" trds = t rds =�� rds = 2�� Fs ,
+"+" +"
A
gdzie t(s) =� (s)� (s) =�max�min=const
1
Fs =
2
rds  pole ograniczone linią środkową (s),
+"
 całka po obwodzie zamkniętym (s),

+"
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/37
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
Jednokomorowe pręt cienkościenne o przekroju zamkniętym
Ms
I. wzór Bredta dla naprężeń � (s) = ,
2Fs � (s)
wynika z definicji
Ms= ��dA =
+" trds = t rds =�� rds = 2�� Fs ,
+"+" +"
A
gdzie t(s) =� (s)� (s) =�max�min=const
1
Fs =
2
rds  pole ograniczone linią środkową (s),
+"
 całka po obwodzie zamkniętym (s),

+"
Ms Ms
naprężenia styczne max. �max== ,
2Fs�min Ws
wynikają z warunku �� =�max�min=const ,
Ws= 2Fs�min  wskaz
nik wytrzymałości na skręcanie.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/38
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
Jednokomorowe pręt cienkościenne o przekroju zamkniętym
d� Ms
II. wzór Bredta dla skręcenia = ,
dz GJs
bb
Ms
obrót odcinka � |a-b = d� = dz ,
+"+"
aa
GJs
(2Fs )2
Js = moment bezwładności na skręcanie,
ds

+"
�
GJs sztywność na skręcanie.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/39
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
II. wzór Bredta wyprowadza się na podstawie twierdzenia Clapeyrona (będzie podane póz
niej).
praca Lz zewnętrznego energia potencjalna Ep
a" odkształcenia sprężystego
momentu skręcającego
Ms na kącie obrotu �
dla pręta o długości l
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/40
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
II. wzór Bredta wyprowadza się na podstawie twierdzenia Clapeyrona (będzie podane póz
niej).
praca Lz zewnętrznego energia potencjalna Ep
a" odkształcenia sprężystego
momentu skręcającego
Ms na kącie obrotu �
dla pręta o długości l
11
Lz = Ms� a" Ep = �ł dV , gdzie dV = � dzds ,
22
+"
V
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/41
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
II. wzór Bredta wyprowadza się na podstawie twierdzenia Clapeyrona (będzie podane póz
niej).
praca Lz zewnętrznego energia potencjalna Ep
a" odkształcenia sprężystego
momentu skręcającego
Ms na kącie obrotu �
dla pręta o długości l
11
Lz = Ms� a" Ep = �ł dV , gdzie dV = � dzds ,
22
+"
V
Uwzględniając:
� Ms
p. Hooke a ł = , I. wzór Bredta � (s) = oraz dV = � lds,
G 2Fs � (s)
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/42
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
II. wzór Bredta wyprowadza się na podstawie twierdzenia Clapeyrona (będzie podane póz
niej).
praca Lz zewnętrznego energia potencjalna Ep
a" odkształcenia sprężystego
momentu skręcającego
Ms na kącie obrotu �
dla pręta o długości l
11
Lz = Ms� a" Ep = �ł dV , gdzie dV = � dzds
22
+"
V
Uwzględniając:
� Ms
p. Hooke a ł = , I. wzór Bredta � (s) = oraz dV = � lds,
G 2Fs � (s)
2 2
Ms l ds
� Ms 2
otrzymuje się Ms� = �ł dV = dV = � lds = ,
+" +" 2
+" +"
VV
G4GFs2� 4GFs2 �
d� � Ms ds
stąd ostatecznie a" = .

+"
dz l 4GFs2 �
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/43
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
przykład jako przekrój kołowy:
rura cienkościenna
J0

J0 = �2dA �! Jo = 2Ą�r3, Ws= �! Ws = 2Ą�r2;
+"
A
�max
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/44
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
przykład jako przekrój kołowy:
rura cienkościenna
J0

J0 = �2dA �! Jo = 2Ą�r3, Ws= �! Ws = 2Ą�r2;
+"
A
�max
jako przekrój komorowy zamknięty (wzór Bredta):
(2Fs )2 (2Ąr2)2
Js = �! Js == 2Ą�r3,
ds 2Ąr

+"
� �
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/45
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
przykład jako przekrój kołowy:
rura cienkościenna
J0

J0 = �2dA �! Jo = 2Ą�r3, Ws= �! Ws = 2Ą�r2;
+"
A
�max
jako przekrój komorowy zamknięty (wzór Bredta):
(2Fs )2 (2Ąr2)2
Js = �! Js == 2Ą�r3,
ds 2Ąr

+"
� �
po rozcięciu równoważnie  płaskownik (pasek) o wymiarach b� h = � � 2Ąr :
� n 2

Js=ąhb3 �! Js= hi�i3 �! Js = Ą r�3
"
i=1
3 3
1 n Js 2
Ws = �hb2 �! Ws= hi�i3= �! Ws = Ą r�2
"
3�max i=1 ��max 3
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/46
Wytrzymałość Materiałów skręcanie swobodne
przykład jako przekrój kołowy:
rura cienkościenna
J0

J0 = �2dA �! Jo = 2Ą�r3, Ws= �! Ws = 2Ą�r2;
+"
A
�max
jako przekrój komorowy zamknięty (wzór Bredta):
(2Fs )2 (2Ąr2)2
Js = �! Js == 2Ą�r3,
ds 2Ąr

+"
� �
po rozcięciu równoważnie  płaskownik (pasek) o wymiarach b� h = � � 2Ąr :
� n 2

Js=ąhb3 �! Js= hi�i3 �! Js = Ą r�3
"
i=1
3 3
1 n Js 2
Ws = �hb2 �! Ws= hi�i3= �! Ws = Ą r�2
"
3�max i=1 ��max 3
Porównanie:
2

zamknięty (rura) Jo 2Ą�r3 Ws 2Ą�r2 r
�! sztywność == 3�# r ś# , naprężenia maksymalne == 3 .

otwarty ( pasek) Js 2 Ą r�3 ś# ź# Ws 2 Ą r�2 �
�
�# #
3 3
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W07A/47
Wytrzymałość Materiałów Budownictwo, Rok II, Semestr III
Dziękuję za uwagę
cdn.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów