Wytrzymałość Materiałów Budownictwo, Rok II, Semestr III
Charakterystyki geometryczne
figur płaskich
WYKA
AD 4
Literatura
Rozdz. V, str. 76, BIELEWICZ E.: Wytrzymałość materiałów. PG, Gdańsk 1992 (lub inne wydania).
str. 6, CHRÓŚCIELEWSKI J.: Materiały pomocnicze do wykładu z Wytrzymałości Materiałów.
Wersja elektroniczna, http://www.okno.pg.gda.pl.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W04A/1
Wytrzymałość Materiałów charakterystyki przekroju
Teoria prętów  w wyniku redukcji ciała trójwymiarowego do jednowymiarowego 
operuje pojęciami geometrycznym, do których należą:
oś pręta  opisana krzywą przestrzenna,
przekrój poprzeczny pręta  opisany poprzez jego charakterystyki.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W04A/2
Wytrzymałość Materiałów charakterystyki przekroju
Teoria prętów  w wyniku redukcji ciała trójwymiarowego do jednowymiarowego 
operuje pojęciami geometrycznym, do których należą:
oś pręta  opisana krzywą przestrzenna,
przekrój poprzeczny pręta  opisany poprzez jego charakterystyki.
Przekrój pręta, wymaga określenie:
 praw materiałowych,
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W04A/3
Wytrzymałość Materiałów charakterystyki przekroju
Teoria prętów  w wyniku redukcji ciała trójwymiarowego do jednowymiarowego 
operuje pojęciami geometrycznym, do których należą:
oś pręta  opisana krzywą przestrzenna,
przekrój poprzeczny pręta  opisany poprzez jego charakterystyki.
Przekrój pręta, wymaga określenie:
 praw materiałowych,
 geometrycznych charakterystyk przekrojowych,
wynikających z hipotez o jego deformacji,
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W04A/4
Wytrzymałość Materiałów charakterystyki przekroju
Teoria prętów  w wyniku redukcji ciała trójwymiarowego do jednowymiarowego 
operuje pojęciami geometrycznym, do których należą:
oś pręta  opisana krzywą przestrzenna,
przekrój poprzeczny pręta  opisany poprzez jego charakterystyki.
Przekrój pręta, wymaga określenie:
 praw materiałowych,
 geometrycznych charakterystyk przekrojowych,
wynikających z hipotez o jego deformacji,
 opisu połączeń jego części.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W04A/5
Wytrzymałość Materiałów charakterystyki przekroju
naprężenia �(x, y)=� ex+� ey+� ez , w przekroju z
zx zy z
sił przekrojowych:
W = �(x, y)dA = Txex+Tyey+ Nez ,
+"
A
M = (r(x, y)� �(x, y))dA = M ex+ M ey+ Msez ,
x y
+"
A
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W04A/6
Wytrzymałość Materiałów charakterystyki przekroju
naprężenia �(x, y)=� ex+� ey+� ez , w przekroju z
zx zy z
sił przekrojowych:
W = �(x, y)dA = Txex+Tyey+ Nez ,
+"
A
M = (r(x, y)� �(x, y))dA = M ex+ M ey+ Msez ,
x y
+"
A
prawo fizyczne: �(x, y)= E �(x, y), E `" E(x, y)=const ;
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W04A/7
Wytrzymałość Materiałów charakterystyki przekroju
naprężenia �(x, y)=� ex+� ey+� ez , w przekroju z
zx zy z
sił przekrojowych:
W = �(x, y)dA = Txex+Tyey+ Nez ,
+"
A
M = (r(x, y)� �(x, y))dA = M ex+ M ey+ Msez ,
x y
+"
A
prawo fizyczne: �(x, y)= E �(x, y), E `" E(x, y)=const ;
płaski przekrój: �(x, y) �(x, y) = ax + by + c,
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W04A/8
Wytrzymałość Materiałów charakterystyki przekroju
naprężenia �(x, y)=� ex+� ey+� ez , w przekroju z przekrój poprzeczny pręta A(z)
zx zy z
r(x, y) = xex+ yey
sił przekrojowych:
W = �(x, y)dA = Txex+Tyey+ Nez ,
+" pole przekroju A = dA [m2];
A
+"
A
M = (r(x, y)� �(x, y))dA = M ex+ M ey+ Msez ,
x y
+"
A
prawo fizyczne: �(x, y)= E �(x, y), E `" E(x, y)=const ;
płaski przekrój: �(x, y) �(x, y) = ax + by + c,
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W04A/9
Wytrzymałość Materiałów charakterystyki przekroju
momenty statyczne względem osi [m3]
Sx = y dA a" A yc , Sy = xdA a" A xc
+" +"
A A
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W04A/10
Wytrzymałość Materiałów charakterystyki przekroju
momenty statyczne względem osi [m3]
Sx = y dA a" A yc , Sy = xdA a" A xc
+" +"
A A
Sy
Sx
środek ciężkości: yc = , xc = ,
A A
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W04A/11
Wytrzymałość Materiałów charakterystyki przekroju
momenty statyczne względem osi [m3]
Sx = y dA a" A yc , Sy = xdA a" A xc
+" +"
A A
Sy
Sx
środek ciężkości: yc = , xc = ,
A A
osie centralne x0, y0
 to osie przez środek ciężkości, tzn. Sx = Sy = 0,
0 0
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W04A/12
Wytrzymałość Materiałów charakterystyki przekroju
momenty statyczne względem osi [m3]
Sx = y dA a" A yc , Sy = xdA a" A xc
+" +"
A A
Sy
Sx
środek ciężkości: yc = , xc = ,
A A
osie centralne x0, y0
 to osie przez środek ciężkości, tzn. Sx = Sy = 0,
0 0
jeśli figura ma 1. oś symetrii to środek ciężkości
leży na tej osi,
jeśli ma 2. osie symetrii to środek ciężkości
leży na ich przecięciu;
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W04A/13
Wytrzymałość Materiałów charakterystyki przekroju
momenty statyczne względem osi [m3] momenty statyczne figury złożonej
z i =1,...,n części o polach Ai i środkach ( yci, xci)
Sx = y dA a" A yc , Sy = xdA a" A xc
+" +"
A A
n n
Sx ="i=1 Ai yci , Sy ="i=1 Aixci
Sy
Sx
środek ciężkości: yc = , xc = ,
A A
osie centralne x0, y0
 to osie przez środek ciężkości, tzn. Sx = Sy = 0,
0 0
jeśli figura ma 1. oś symetrii to środek ciężkości
leży na tej osi,
jeśli ma 2. osie symetrii to środek ciężkości
leży na ich przecięciu;
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W04A/14
Wytrzymałość Materiałów charakterystyki przekroju
momenty statyczne względem osi [m3] momenty statyczne figury złożonej
z i =1,...,n części o polach Ai i środkach ( yci, xci)
Sx = y dA a" A yc , Sy = xdA a" A xc
+" +"
A A
n n
Sx ="i=1 Ai yci , Sy ="i=1 Aixci
Sy
Sx
środek ciężkości: yc = , xc = ,
A A
środek ciężkości figury złożonej z dwóch części
osie centralne x0, y0
 to osie przez środek ciężkości, tzn. Sx = Sy = 0,
0 0
jeśli figura ma 1. oś symetrii to środek ciężkości
leży na tej osi,
jeśli ma 2. osie symetrii to środek ciężkości
leży na ich przecięciu;
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W04A/15
Wytrzymałość Materiałów charakterystyki przekroju
(wielkości względne) [m4]:
momenty bezwładności
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W04A/16
Wytrzymałość Materiałów charakterystyki przekroju
(wielkości względne) [m4]:
momenty bezwładności
względem osi x , Jx = y2dA,
+"
A
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W04A/17
Wytrzymałość Materiałów charakterystyki przekroju
(wielkości względne) [m4]:
momenty bezwładności
względem osi x , Jx = y2dA,
+"
A
względem osi y J = x2dA,
y
+"
A
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W04A/18
Wytrzymałość Materiałów charakterystyki przekroju
(wielkości względne) [m4]:
momenty bezwładności
względem osi x , Jx = y2dA,
+"
A
względem osi y J = x2dA,
y
+"
A
wz punktu 0, biegunowy Jo= r2dA = (x2+y2)dA= Jx+J ,
y
+" +"
A A
uwaga z definicji.: Jx, J , Jo > 0,
y
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W04A/19
Wytrzymałość Materiałów charakterystyki przekroju
(wielkości względne) [m4]:
momenty bezwładności
względem osi x , Jx = y2dA,
+"
A
względem osi y J = x2dA,
y
+"
A
wz punktu 0, biegunowy Jo= r2dA = (x2+y2)dA= Jx+J ,
y
+" +"
A A
z definicji.: Jx, J , Jo > 0,
y
dewiacyjny Jxy= xy dA;
+"
A
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W04A/20
Wytrzymałość Materiałów charakterystyki przekroju
(wielkości względne) [m4]:
momenty bezwładności
względem osi x , Jx = y2dA,
+"
A
względem osi y J = x2dA,
y
+"
A
wz punktu 0, biegunowy Jo= r2dA = (x2+y2)dA= Jx+J ,
y
+" +"
A A
z definicji.: Jx, J , Jo > 0,
y
dewiacyjny Jxy= xy dA;
+"
A
Jk
promienie bezwładności dla każdego momentu bezwładności Jk mamy: ik = , k = x, y, xy,o;
A
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W04A/21
Wytrzymałość Materiałów charakterystyki przekroju
(wielkości względne) [m4]:
momenty bezwładności
względem osi x , Jx = y2dA,
+"
A
względem osi y J = x2dA,
y
+"
A
wz punktu 0, biegunowy Jo= r2dA = (x2+y2)dA= Jx+J ,
y
+" +"
A A
z definicji.: Jx, J , Jo > 0,
y
dewiacyjny Jxy= xy dA;
+"
A
Jk
promienie bezwładności dla każdego momentu bezwładności Jk mamy: ik = , k = x, y, xy,o;
A
centralne (środkowe) momenty bezwładności:
Jx , J , Jx y0 to momenty względem osi centralnych x0, y0;
y0 0
0
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W04A/22
Wytrzymałość Materiałów charakterystyki przekroju
bezwładności w osiach równolegle przesuniętych x0 || x, y0 || y
wzór Steinera, określa momenty
względem osi centralnych (Sx = Sy = 0)
0 0
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W04A/23
Wytrzymałość Materiałów charakterystyki przekroju
bezwładności w osiach równolegle przesuniętych x0 || x, y0 || y
wzór Steinera, określa momenty
względem osi centralnych (Sx = Sy = 0)
0 0
podstawiając, np: y = y0 + yC do wzoru mamy:
Jx = y2dA = (x0+yC )2dA
+" +"
AA
2 2 2
= y0dA + 2yC A y0dA + yC AdA = Jx +Ayc ,
+"+" +"
0
A




A
Jx0
Sx0 =0
zatem:
2 2
Jx = Jx +Ayc , J = J +Axc , Jxy = Jx y0+Axc yc ;
y y0
0 0
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W04A/24
Wytrzymałość Materiałów charakterystyki przekroju
bezwładności w osiach równolegle przesuniętych x0 || x, y0 || y
wzór Steinera, określa momenty
względem osi centralnych (Sx = Sy = 0)
0 0
podstawiając, np: y = y0 + yC do wzoru mamy:
Jx = y2dA = (x0+yC )2dA
+" +"
AA
2 2 2
= y0dA + 2yC A y0dA + yC AdA = Jx +Ayc ,
+"+" +"
0
A




A
Jx0
Sx0 =0
zatem:
2 2
Jx = Jx +Ayc , J = J +Axc , Jxy = Jx y0+Axc yc ;
y y0
0 0
figura złożona z i =1,...,n części o polach Ai
wzór Steinera dla figury złożonej,
i środkach ciężkości ( yci, xci)
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W04A/25
Wytrzymałość Materiałów charakterystyki przekroju
bezwładności w osiach równolegle przesuniętych x0 || x, y0 || y
wzór Steinera, określa momenty
względem osi centralnych (Sx = Sy = 0)
0 0
podstawiając, np: y = y0 + yC do wzoru mamy:
Jx = y2dA = (x0+yC )2dA
+" +"
AA
2 2 2
= y0dA + 2yC A y0dA + yC AdA = Jx +Ayc ,
+"+" +"
0
A




A
Jx0
Sx0 =0
zatem:
2 2
Jx = Jx +Ayc , J = J +Axc , Jxy = Jx y0+Axc yc ;
y y0
0 0
figura złożona z i =1,...,n części o polach Ai
wzór Steinera dla figury złożonej,
i środkach ciężkości ( yci, xci)
n
2
Jx=
"(J +Ai yci),
x0i
i=1
n
2
J =
"(J +Aixci),
yy0i
i=1
n
Jxy=
"(J +Aixci yci);
x0i y0i
i=1
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W04A/26
Wytrzymałość Materiałów charakterystyki przekroju
momenty bezwładności w układzie obróconym
obrót � = (x,� ) zgodny z ruchem zegar (odwrotnie niż PSN)
obowiązuje transformacja współrzędnych
� = xcos� - ysin� , � = xsin� + y cos�
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W04A/27
Wytrzymałość Materiałów charakterystyki przekroju
momenty bezwładności w układzie obróconym
obrót � = (x,� ) zgodny z ruchem zegar (odwrotnie niż PSN)
obowiązuje transformacja współrzędnych
� = xcos� - ysin� , � = xsin� + y cos�
stąd:
J� a" �2dA = Jx cos2� + J sin2� + Jxy 2sin� cos� ,
y
+"
A
2
J� a" � dA = Jx sin2� + J cos2� - Jxy 2sin� cos� ,
y
+"
A
J�� a" ��dA = -(Jx - J )sin� cos� + Jxy (cos2� - sin2�);
y
+"
A
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W04A/28
Wytrzymałość Materiałów charakterystyki przekroju
momenty bezwładności w układzie obróconym
obrót � = (x,� ) zgodny z ruchem zegar (odwrotnie niż PSN)
obowiązuje transformacja współrzędnych
� = xcos� - ysin� , � = xsin� + y cos�
stąd:
J� a" �2dA = Jx cos2� + J sin2� + Jxy 2sin� cos� ,
y
+"
A
2
J� a" � dA = Jx sin2� + J cos2� - Jxy 2sin� cos� ,
y
+"
A
J�� a" ��dA = -(Jx - J )sin� cos� + Jxy (cos2� - sin2�);
y
+"
A
główne momenty i główne osie bezwładności, analogia wzorów do PSN
�� "! J� , � "! Jx , � "! J , � "! Jxy , stąd:
x y y xy
PSN: zależności �Ć,�Ć, dane � = (x,n) (Uwaga: kąt odwrotnie jak dla momentów bezwładności)
normalny �Ć = � cos2� +� sin2� + 2� sin� cos�
xy xy
i styczny �Ć =-(� -� )sin� cos� +� (cos2� - sin2�) ;
x y xy
stąd zapisujemy:
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W04A/29
Wytrzymałość Materiałów charakterystyki przekroju
momenty bezwładności w układzie obróconym
obrót � = (x,� ) zgodny z ruchem zegar (odwrotnie niż PSN)
obowiązuje transformacja współrzędnych
� = xcos� - ysin� , � = xsin� + y cos�
stąd:
J� a" �2dA = Jx cos2� + J sin2� + Jxy 2sin� cos� ,
y
+"
A
2
J� a" � dA = Jx sin2� + J cos2� - Jxy 2sin� cos� ,
y
+"
A
J�� a" ��dA = -(Jx - J )sin� cos� + Jxy (cos2� - sin2�);
y
+"
A
główne momenty i główne osie bezwładności, analogia wzorów do PSN
�� "! J� , � "! Jx , � "! J , � "! Jxy , stąd:
x y y xy
2
Jx+J Jx-J 2Jxy
�#ś#
y y
2
J1,2=ą + Jxy , tg2�0 = , J12= 0
ś#ź#
22 Jx- J
�# # y
- warunek maksimum (Jx- J )cos2�01 > 0;
y
- osie główne (1,2) są ortogonalne �01 = �02 +Ą / 2;
- niezmienniczość wz obrotu J1+ J2= Jx+ J = J� + J� = const ;
y
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W04A/30
Wytrzymałość Materiałów charakterystyki przekroju
koło Mohra
dane Jx, J , Jxy ,
y
szukane graficzne J1, J2,�01,
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W04A/31
Wytrzymałość Materiałów charakterystyki przekroju
koło Mohra
dane Jx, J , Jxy ,
y
szukane graficzne J1, J2,�01,
orientacja układu:
oś Jx , J  zgodna z osią x ,
y
oś Jxy (dewiacyjnych)  przeciwna do osi y
kąt +� = (x,1)  zgodnie z ruchem
wskazówek zegara;
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W04A/32
Wytrzymałość Materiałów charakterystyki przekroju
koło Mohra
dane Jx, J , Jxy ,
y
szukane graficzne J1, J2,�01,
orientacja układu:
oś Jx , J  zgodna z osią x ,
y
oś Jxy (dewiacyjnych)  przeciwna do osi y
kąt +� = (x,1)  zgodnie z ruchem
wskazówek zegara;
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W04A/33
Wytrzymałość Materiałów charakterystyki przekroju
koło Mohra
dane Jx, J , Jxy ,
y
szukane graficzne J1, J2,�01,
orientacja układu:
oś Jx , J  zgodna z osią x ,
y
oś Jxy (dewiacyjnych)  przeciwna do osi y
kąt +� = (x,1)  zgodnie z ruchem
wskazówek zegara;
główne centralne momenty bezwładności J1, J2 i osie bezwładności 1,2,
obliczone dla układu centralnego x = x0 =1, y = y0 =2 o początku w środku ciężkości
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W04A/34
Wytrzymałość Materiałów charakterystyki przekroju
koło Mohra
dane Jx, J , Jxy ,
y
szukane graficzne J1, J2,�01,
orientacja układu:
oś Jx , J  zgodna z osią x ,
y
oś Jxy (dewiacyjnych)  przeciwna do osi y
kąt +� = (x,1)  zgodnie z ruchem
wskazówek zegara;
główne centralne momenty bezwładności J1, J2 i osie bezwładności 1,2,
obliczone dla układu centralnego x = x0 =1, y = y0 =2 o początku w środku ciężkości
 jeśli figura ma oś symetrii to jest to oś główna,
 jeśli ma dwie osie symetrii to są to główne centralne osie bezwładności,
 jeśli ma trzy i więcej osi symetrii, to każda prosta przez środek ciężkości
jest główną centralną osią bezwładności;
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W04A/35
Wytrzymałość Materiałów charakterystyki przekroju
podsumowanie  charakterystyki przekrojowe:
(1) pole przekroju A = dA [m2],
+"
A
(2) momenty statyczne Sx = y dA, Sy = xdA [m3],
+" +"
A A
(3) momenty bezwładności Jx = y2dA, Jxy= xy dA, J = x2dA [m4],
y
+" +" +"
A A A
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W04A/36
Wytrzymałość Materiałów charakterystyki przekroju
podsumowanie  charakterystyki przekrojowe:
(1) pole przekroju A = dA [m2],
+"
A
(2) momenty statyczne Sx = y dA, Sy = xdA [m3],
+" +"
A A
(3) momenty bezwładności Jx = y2dA, Jxy= xy dA, J = x2dA [m4],
y
+" +" +"
A A A
przekroje cienkościenne (grubość ścianki � << a,b,h,...)
uproszczenie przy obliczaniu charakterystyk geometrycznych polega na
2
pomijaniu składników z � i w wyższej potędze jako małych.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W04A/37
Wytrzymałość Materiałów charakterystyki przekroju
momentów bezwładności figur podstawowych:
bh3 bh3

prostokąt Jx = , Jx | dolna = ,
0 1
12 3
bh3 bh3
" "
trójkąt Jx | dolna = , Jx = ,
1 0
12 36
O
Ą r4 Jo Ą r4
O O O
koło Jo = , Jx = J = = ;
y0
0
2 2 4
Ą (R4-r4) Jo Ą (R4-r4)
pierścień grubościenny Jo = , Jx = J = = ;
y0
0
2 24
Jo
rura cienkościenna Jo = 2Ą�r3 , Jx = J = = Ą�r3;
y0
0
2
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W04A/38
Wytrzymałość Materiałów Budownictwo, Rok II, Semestr III
Dziękuję za uwagę
cdn.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów