WYTRZYMAA
OŚĆ MATERIAA
ÓW  WYKA
AD 26
26.1 Nośność graniczna
Warunek wytrzymałości konstrukcji wymaga by w każdym jej punkcie był spełniony warunek
R
Ãd"K= (26.1)
n
Gdzie podane wielkości mogą oznaczać:
1) à - napreżenie pod dziaÅ‚aniem obciążeÅ„ charakterystycznych, K  napreżenia dopuszczalne,
2) à - napreżenie pod dziaÅ‚aniem obciążeÅ„ obliczeniowych, K  wytrzymaÅ‚ość obliczeniowa
Dla obu metod (naprężeń nieprzekraczalnych) wprowadzono oznaczenia
R  granica plastyczności w przypadku materiałów plastycznych lub wytrzymałość dla materiałów kruchych
n  współczynnik bezpieczeństwa różny dla metody 1 i 2.
Osiągnięcie przez naprężenie wartości R choćby w jednym punkcie było uważane za zniszczenie konstrukcji.
Dla materiałów sprężysto-plastycznych nie musi to jednak oznaczać zniszczenia  pomimo częściowego
uplastycznienia konstrukcja może jeszcze przenosić zwiększające się obciążenia.
Metoda wymiarowania polegająca na sprawdzeniu, czy przy założonym obciążeniu konstrukcja będzie wykazywała
potrzebny zapas bezpieczeństwa w stosunku do jej rzeczywistej nośności jest nazywana metodą nośności
granicznej.
Motoda nośności granicznej polega na sprawdzeniu warunku
Pn
Pd" (26.2)
n
Gdzie
P  obciążenie obliczeniowe,
Pn - nośność konstrukcji czyli taka wartość obciążenia, która powoduje jej zniszczenie,
n  współczynnik bezpieczeństwa
Modele materiału rozważane w metodzie nośności granicznej przedstawiono na rysunkach 26.1 i 26.2.
Rys.26.1 Model materiału sprężysto-plastycznego
Rys.26.2 Model materiału sztywno-plastycznego
Porównanie metod wymiarowania dla różnych przypadków obciążenia
26.2 Osiowe rozciąganie (lub ściskanie bez wyboczenia)
N
Naprężenia w przekroju wynoszÄ… Ã= .
A
Według metody naprężeń dopuszczalnych największa dopuszczalna siła osiowa wynosi
ARpl
Ndop=AK= (26.3)
n
Rpl
Gdzie współczynnik bezpieczeństwa n=
K
Według metody nośności granicznej siła niszcząca wynosi
Nn=ARpl (26.4)
Czyli siła dopuszczalna
Nn ARpl
Ndop= = =AK (26.5)
n n
Rpl
Gdzie współczynnik bezpieczeństwa n= .
K
Rozwiązania według obu metod są identyczne.
26.3 Zginanie
Według metody naprężeń nieprzekraczalnych dopuszczalny moment zginający wynosi
WRpl
M =WK= (Wa"Wy ) (26.6)
dop
n
Sprężysto-plastyczne zginanie przekroju bisymetrycznego
Moment zginający na granicy sprężystości
M =WRpl (26.7)
s
Moment zginający w przekroju przy pełnym
uplastycznieniu
h / 2 h / 2
M =2 (26.8)
n +"ÃzdA=R Å"2+"zdA
pl
z=0 z=0
h / 2
d
Oznaczając wielkość Wpl=2S =2
y +"zdA
z=0
(plastyczny wskaz
nik wytrzymałości) będzie
M =Wpl Rpl (26.9)
n
Rys. 26.3 Zginanie w zakresie sprężysto-plastycznym
Sprężysto-plastyczne zginanie przekroju monosymetrycznego
Położenie osi obojętnej z warunku równowagi rzutów sił
(26.10)
d g
+"ÃdA ++"ÃdA =Rpl Ad-Rpl Ag=0
Ad Ag
Skąd Ad=Ag czyli oś obojętna dzieli przekrój na dwie
równe części. Warunek równowagi momentów (26.11)
h h
h h
g ëÅ‚ g öÅ‚
d d
M =
n +"Ãz dAd + +"Ãz dAg = Rpl ìÅ‚ +"z dAd + +"z dAg ÷Å‚
d g d g
ìÅ‚ ÷Å‚
z =0 z =0 z =0 z =0
d g d g
íÅ‚ Å‚Å‚
d g
Po wprowadzeniu oznaczenia Wpl = S + S będzie
y y
d g
M =Rpl(S +S)=RplWpl (26.12)
n y y
Rys.26.4 Uplastycznienie przekroju monosymetrycznego
Dopuszczalny moment zginający w metodzie nośności granicznej będzie wynosić
Wpl Rpl
M
n
M = = =ÉWK (26.13)
dop
n n
Gdzie wprowadzono współczynnik
Wpl M n
É= = (26.14)
W M
s
Porównanie obu metod daje zależność
M =ÉM (26.15)
dop dop
Dla przekroju prostokątnego o szerokości b i wysokości h będzie
bh h bh2
Wpl=2 Å" = (26.16)
2 4 4
bh2
Sprężysty wskaz
nik wytrzymaÅ‚oÅ›ci dla prostokÄ…ta wynosi W= wiÄ™c dla przekroju prostokÄ…tnego É=1,5 .
6
Dla innych ksztaÅ‚tów przekrojów wartoÅ›ci współczynnika É podano w tablicy 26.1
Tablica 26.1 Wartości współczynników dla wybranych przekrojów
OdksztaÅ‚cenia jednostkowe odpowiadajÄ…ce poczÄ…tkowi wzmocnienia µw
OdksztaÅ‚cenia jednostkowe odpowiadajÄ…ce poczÄ…tkowi uplastycznienia µo
µo
'
Wysokość rdzenia sprężystego będzie wynosić aw=h
µw
Dla zwykłej stali budowlanej St3S (S235JRG2) jest
'
µoH"0,0013, µwH"0,015, a wiÄ™c awH"0,1h
Nośność przekroju
0,05h 0,5h
'
M = 2 (26.17)
n +"ÃzdA + 2 +"R zdA
pl
z=0 z=0,05h
z
gdzieÃ=Rpl ' naprężenie w strefie sprężystej (nieuplastycznionej)
0,5aw
Rys.26.5 Graniczny sprężysto-plastyczny rozkład naprężeń w przekroju
Po podstawieniu do wzoru (26.17) dla przekroju prostokątnego o szerokości b i wysokości h otrzymuje się
0,05h 0,5h
1
'
M =2Rpl z2dA+2Rpl
n +" +"z dA=0,2477bh2Rpl
0,05h
z=0 z=0,05h
Plastyczny (sprężysto-plastyczny) wskaz
nik wytrzymałości wynosi
'
Wpl=0,2477bh2 (26.18)
Różnica pomiędzy wskaz
nikiem określonym wg (26.18) a tym określonym wg (26.16) wynosi mniej niż 1%.
Powstanie pełnego momentu plastycznego jest możliwe dopiero przy nieskończenie dużych odkształceniach.
Rys.26.6 Określenie krzywizny zginanego pręta sprężysto-plastycznego
Kąt wzajemnego nachylenia przekrojów końcowych
(µd + µ)dx 2Rpldx
g
dÕ = = (26.19)
ad + ag E(ad + ag)
Krzywizna
2Rpl
1 dÕ
= = (26.20)
Á dx E(ad + ag)
1
Przy ad0 oraz ag0 będzie "
Á
Rys.26.7 Strefy uplastycznienia w belkach o zmiennej wartości momentu zginającego
26.4 Skręcanie
Rys. 26.8 Sprężysto-plastyczne spręcanie pręta o przekroju kolistym
Rpl
Włókna w skręcanym pręcie uplastyczniają się gdy naprężenie osiągnie wartość Rt = (wg. Hipotezy Hubera)
pl
3
Moment skręcający przy całkowitym uplastycznieniu przekroju
Rpl Rpl 0
0
M = (26.21)
n +"ÁÄdA= +"ÁdA= Wpl
3 3
A A
Rpl
0
gdzie Ä= =const oraz Wpl=
+"ÁdA (plastyczny wskaz
nik wytrzymałości na skręcanie).
3
A
Dla przekroju kołowego
2Ä„ r
r3
0
Wpl=S0= dÁ=2Ä„ gdzie dA=ÁdÁdÕ (26.22)
+"dÕ+"Á 2
3
Õ=0 Á=0
Ä„r3
Sprężysty wskaz
nik wytrzymałości na skręcanie W0= stąd proporcja
2
0
0
Wpl M n
2Ä„r3 Ä„r3 4
É0= = = ÷ = (26.23)
0
W0 s 3 2 3
M
Dopuszczalny moment skręćający wg metody nośności granicznej
0
M
0 0
n
M = =Wpl Kt=É0W0Kt (26.24)
dop
n
Dopuszczalny moment skręcający wg metody naprężeń dopuszczalnych
0
M =W0Kt (26.25)
dop
4
0 0
ZwiÄ™kszenie dopuszczalnego momentu M =É0M wynosi wiÄ™c É0=
dop dop
3
Rys.26.9 Plastyczne skręcanie pręta pierścieniowego Rys.26.10 Współczynnik wzmocnienia
4
2Ä„ J0 Ä„(r2-r14)
0
Wskaz
niki wytrzymałości na skręcanie Wpl=S0= (r2-r13), W0= =
+"ÁdA= 3
3 r2 2r2
A
0
3 2
Wpl 4r2(r2 - r13) 4r2(r12 + r1r2 + r22) r1
4r2(Ä… + Ä… +1)
StopieÅ„ wzmocnienia É0 = =
2 2
W0 r2
3(r24 - r14)=(r1 + r2)(r12 + r2) lub oznaczajÄ…cÄ…= bÄ™dzieÉ0 = 3(Ä… +1)(Ä… +1)
Wartości szczególne
4
Ä…=0 , É0=
3
Ä…1, É01
26.5 Mimośrodowe ściskanie lub rozciąganie
Naprężenia w okresie sprężystym
N M N Ne
Ãd = + = + (26.26)
A W A W
M
gdzie mimośród siły e=
N
Położenie osi obojętnej w stanie pełnego
uplastycznienia i nośność wyznacza się z
układu równań
(26.27)
pl
+"ÃdA=R A2=Nn
A
pl
+"ÃzdA=R Å"2+"zd A=Nne (26.28)
A A
1
Rys.26.11 Sprężysto-plastyczne mimośrodowe ściskanie (lub rozciąganie)
26.6 Nośność graniczna ustrojów prętowych
Rozwiązanie problemu nośności będzie ścisłe, jeśli spełnione będą następujące trzy warunki:
1) powstanie stanu granicznego w dostatecznej liczbie prętów (lub ogólniej w dostatecznej liczbie przekrojów ustroju
prętowego),
2) równania równowagi (warunki statyczne),
3) równania wiążące przemieszczenia w ustroju zamienionym w geometrycznie zmienny (warunki klimatyczne).
Otrzymanie rozwiązania spełniającego te trzy warunki zwanego rozwiązaniem kompletnym, jest często bardzo trudne
i dlatego stosuje się metody, zwane statyczną i klimatyczną, z których pierwsza spełnia tylko warunki 1) i 2), druga
zaś tylko warunki 1) i 3). Metody te dają więc na ogół rozwiązania przybliżone, stanowiace granicę przedziału, w
którym zawiera się rozwiązanie kompletne. Metody te oparte są na dwóch twierdzeniach.
Twierdzenie 1
Ustrój nie ulega zniszczeniu lub co najwyżej znajduje się w stanie równowagi granicznej pod obciążeniem Pst , jeżeli
dla tego obciążenia można znalez
ć statycznie dopuszczalny stan sił wewnętrznych. Odpowiadający temu stan
przemieszczeń nie musi być kinematycznie możliwy, tzn. nie musi oznaczać zmiany ustroju w geometrycznie
zmienny.
Twierdzenia 2
Ustrój ulega zniszczeniu pod obciążeniem Pkin, czyli zmienia się w geometrycznie zmienny, jeżeli może być
znaleziony dla tego obciążenia taki kinematycznie możliwy stan przemieszczeń, dla którego suma prac wirtualnych sił
zewnętrznych i wewnętrznych jest co najmniej równa zeru. Odpowiadacjący temu stan sił wewnętrznych nie musi być
statycznie dopuszczalny.
Z tych dwóch twierdzeń wynika, że rozwiązanie kompletne Pn jest zawarte w granicach
Pstd"Pnd"Pkin (26.29)
przy czym przedział ten będzie najwęższy, jeżeli wez
miemy największą ze znalezionych sił Pst i najmniejszą ze
znalezionych sił Pkin. Jeżeli się okaże, że wśród stanów statycznie dopuszczalnych znajdzie się taki, który jest
jednocześnie kinematycznie możliwy, to wówczas max Pst=min Pkin przedstawia rozwiązanie kompletne, czyli Pn .
Przykład
Określić nośność graniczną belki równomiernie obciążonej wg schematu jak na rys. 26.12
Rys. 26.12 Schemat statyczny belki
Metoda statyczna
Równanie momentów zginających
px(l-x) x
MÄ…= -M
A
2 l
Miejsce położenia maksymalnego momentu
dMÄ… pl M
A
= -px- =0
dx 2 l
ëÅ‚ öÅ‚
1 M
A
÷Å‚
x a" xm = lìÅ‚ -
ìÅ‚
2
pl2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Po podstawieniu do równania momentów zginających
öÅ‚ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
pl2 ëÅ‚ 1 M 1 M 1 M
n n n
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
M = + - - M -
n n
ìÅ‚
2 2 2 2
pl2 ÷Å‚ìÅ‚ pl2 ÷Å‚ ìÅ‚ pl2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Po uporządkowaniu otrzymuje się równanie
2
12M 4M
n n
p2- p+ =0
l2 l4
skąd oblicza się obciążenie niszczące
M
n n
pa"pn=2(3+2 2)M =11,66
l2 l2
oraz położenie przekroju krytycznego w przęśle
xm=(2-1)l=0,414l
Metoda kinematyczna
1
Praca siÅ‚ zewnÄ™trznych Lz= pl´
2
´ ´ ´
ëÅ‚ öÅ‚
Praca sił wewnętrznych Lw = -M - M +
ìÅ‚ ÷Å‚
n n
l - x l - x x
íÅ‚ Å‚Å‚
Równanie prac Lz+Lw=0 po podstawieniu i uporządkowaniu przyjmie postać
1 2 1
ëÅ‚ öÅ‚
pl - M + = 0
ìÅ‚ ÷Å‚
n
2 l - x x
íÅ‚ Å‚Å‚
Po rozwiązaniu będzie
2(l+x) 2M l+x
n
pa"pn=M
n
lx(l-x)= l
xl-x2
dp
Ekstremalna wartość obciążenia z warunku =0
dx
1(xl-x2)-(l+x)(l-2x)=0 czyli x2 + 2lx - l2 = 0
2
(xl-x2)
Po rozwiÄ…zaniu otrzymuje siÄ™
M
n n
xm=(2-1)l=0,414l oraz pa"pn=2(3+2 2)M =11,66
l2 l2
pl2 8M
s
Graniczne obciążenie wg metody  sprężystej M = p=
s
8
l2