PODSTAWY WYTRZYMAA
OÅšCI
MATERIAA
ÓW
(POWYM 3)
ROZCI
GANIE STATYCZNIE
WYZNACZALNE I
NIEWYZNACZALNE
Automatyka i Robotyka, sem. 3.
Dr in\
.. Anna DÄ…browska-Tkaczyk
(4, 11, 18, 25) X; (8, 13, 22, 29) XI; (6, 13, 20), XII; (3, 10, 17, 24) I
13 XI (wtorek) zamiast 15 XI (czwartek)  Dzień Politechniki
LITERATURA
1. Lewiński J., Wilczyński A., Wittenberg  Perzyk D, Podstawy
Wytrzymałości Materiałów, Oficyna Wydawnicza Politechniki
Warszawskiej, Warszawa 2000,
2. Lewiński J., Wawrzyniak A., Pomoce dydaktyczne do ćwiczeń z
wytrzymałości materiałów, Warszawa 2005,
3. Bąk Roman, Burczyński Tadeusz, Wytrzymałość materiałów z
elementami ujęcia komputerowego, WNT, Warszawa 2001,
4. Niezgodziński M., E, Niezgodziński T, Wzory, wykresy i tablice
wytrzymałościowe, WNT, 1996,
5. Brzoska Zbigniew, Wytrzymałość materiałów, PWN, Warszawa
1972
6. Jastrzębski Przemysław, Mutermilch Jerzy, Orłowski Wiktor,
Wytrzymałość materiałów, Arkady, Warszawa, 1985
ROZCI
GANIE LUB ÅšCISKANIE PR
TA
Rozciąganiu lub ściskaniu podlegają pręty, w których siłami wewnętrznymi są siły
normalne do przekroju. Ma to miejsce, gdy obciÄ…\
enie zewnętrzne stanowią sity
skupione lub rozło\
one w sposób ciągły, działające wzdłu\
osi prętów.
W przypadku tym, w celu określenia naprę\
eń i odkształceń, wytrzymałość
materiałów przyjmuje następujące zało\
enia:
w dowolnym przekroju poprzecznym pręta występują naprę\
enia normalne Ãn
Ã
Ã
Ã
(naprÄ™\
enia normalne wywoÅ‚ane rozciÄ…ganiem (Å›ciskaniem) oznaczane bÄ™dÄ… przez Ã
Ã
Ã
Ã
(Ãn = Ã
à Ã);
à Ã
à Ã
-naprÄ™\
enia te rozło\
one są w sposób równomierny na całym przekroju;
-przekroje płaskie i prostopadłe do osi wzdłu\
nej pręta przed obcią\
eniem
pozo-stajÄ… po obciÄ…\
eniu nadal płaskie i prostopadłe do tej osi.
Dla wszystkich elementarnych przypadków wytrzymałości
pręta przyjmuje się następujące wspólne zało\
enia.
1. Przekrój pręta pozostaje po odkształceniu płaski (w przypadku ścinania
pręta jest to bardzo radykalne uproszczenie).
2. Pręt jest wykonany z materiału liniowosprę\
ystego.
ROZCI
GANIE LUB ÅšCISKANIE PR
TA
Element pręta o długości dx jest obcią\
ony:
" siłą normalną N w przekroju górnym,
" siłami elementarnymi à w przekroju dolnym.
ÃdA
Ã
Ã
Warunek równowagi elementu :
+"ÃdA - N = 0
A
Warunki geometryczne
Przemieszczenia: u  górny przekrój,
u+du  dolny przekrój,
Długość elementu po odkształceniu: dx + du
Odkształcenie względne
Przemieszczenie dolnego końca pręta
ux=i, równe wydłu\
eniu pręta "
"l,
"
"
mo\
na obliczyć następująco :
ROZCI
GANIE LUB ÅšCISKANIE PR
TA
Wydli\
enie
ZwiÄ…zki fizyczne NaprÄ™\
enie normalne
(skrócenie) pręta
Prawo
Hooke 'a
Jeśli N, E oraz A nie zale\
ą od x, formuła
upraszcza siÄ™:
Współczynnik
Poissona
Gdzie:
" E - stała sprę\
ysta materiału, zwana współczynnikiem sprę\
ystości podłu\
nej lub modułem Younga, w N/m2,
" d, d1 - wymiar poprzeczny pręta przed odkształceniem i po odkształceniu,
" odksztaÅ‚cenie µ µ,
µ' ma zawsze znak przeciwny do µ,
µ µ,
µ µ,
" wielkość EA nosi nazwę sztywności pręta na rozciąganie lub ściskanie.
ROZCI
GANIE LUB ÅšCISKANIE PR
TA
Rozciąganiu lub ściskaniu podlegają pręty, w których siłami wewnętrznymi są siły
normalne do przekroju.
Ma to miejsce, gdy obciÄ…\
enie zewnętrzne stanowią sity skupione lub rozło\
one w
sposób ciągły, działające wzdłu\
osi prętów
Przykład 1. Układ prętowy statycznie wyznaczalny
Wyznaczyć naprę\
enia w prętach l i 2 oraz przemieszczenie węzła C
układu prętowego, pokazanego na rysunku. Pręty zamocowane są
przegubowo w punktach A i B i połączone przegubem w punkcie C.
Warunki równowagi
NaprÄ™\
enia
Przemieszczenie punktu C
Przykład 2. Układ prętowy statycznie niewyznaczalny
Model mechaniczny
Równanie równowagi
Warunki geometryczne
ZwiÄ…zki fizyczne NaprÄ™\
enia w prętach
Przykład 3. Układy prętowe statycznie niewyznaczalne -
naprÄ™\
ęnia monta\
owe
Model mechaniczny
Równanie równowagi
Warunek geometryczny
2
ZwiÄ…zki fizyczne
Przykład 4. Układy prętowe statycznie niewyznaczalne -
naprÄ™\
enia termiczne
ż
Model mechaniczny
"Å„
"Å„
"Å„
"Å„
1
a 0
ż
2
Równanie równowagi
Ä… =60st.
Ä… =
Ä… =
Ä… =
Warunek geometryczny
ZwiÄ…zki fizyczne
Przykład. Wyznaczyć, o ile stopni został podgrzany pręt
środkowy (2) w schemacie statycznym jak na rysunku,
je\
eli wiadomo, \
e pora przesuwna obni\
yła, się o  =
0,1mm. Dane: l =1m, Ä… = 0,115·10-4 ²=30st., EF= 2,1
·108N, EbFb="
A-A
t - 2
 - 
 - 
 - 
a =
=
=
=
sin²
²
²
²
Rozwiązując wypisany układ czterech, równań liniowych otrzymujemy:
Dla wyznaczenia temperatury podgrzania wykorzystamy warunki współ zale\
ności przemieszczeń i
zwiÄ…zki fizyczne
3 +   - a t - 2
 +   -  - 
 +   -  - 
 +   -  - 
= a =
= =
= =
= =
sin²
²
²
3l l ²
S2l S3l
t = Ä…tl"T 2 = 3 =
 = Ä… "  =  =
 = Ä… "  =  =
 = Ä… "  =  =
EF EF
"T = 29,8
"
"
"
a) Pręt 2 ogrzany o "
"t,
"
"
b) Pręt 1 ogrzany o "
"t,
"
"
c) Pręty 1 i 2 ogrzane o "
"t
"
"
Przykład