Wytrzymałość Materiałów Budownictwo, Rok II, Semestr III
 Graficzne obliczanie całek
z iloczynu dwóch funkcji
WYKA
AD 13 B
Literatura (dot. mechaniki budowli, np.:)
NOWACKI W.: Mechanika budowli. PWN, Warszawa 1975 (rozdz. 8.2, str. 176).
BORKOWSKI A., BRANICKI CZ., I INNI: Mechanika budowli z elementami ujęcia komputerowego.
Arkady, Warszawa 1984 (rozdz. 2.1.2, str. 97).
str. 16, CHRÓŚCIELEWSKI J.: Materiały pomocnicze do wykładu z Wytrzymałości Materiałów.
Wersja elektroniczna, http://www.okno.pg.gda.pl.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W13D/1
Wytrzymałość Materiałów całka z iloczynu 2 funkcji
We wzorach do wyznaczania przemieszczeń (energetycznych, wirtualnych przemieszczeń) występuje zadanie
z2
MM
obliczania całek z iloczynu dwóch funkcji typu f1 f2dz (np. dz ).
+" +"
z1 s
EJ
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W13D/2
Wytrzymałość Materiałów całka z iloczynu 2 funkcji
We wzorach do wyznaczania przemieszczeń (energetycznych, wirtualnych przemieszczeń) występuje zadanie
z2
MM
obliczania całek z iloczynu dwóch funkcji typu f1 f2dz (np. dz ).
+" +"
z1 s
EJ
Prosty sposób postępowania. Założenia:
" funkcje (wykresy) f1 i f2 są znane,
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W13D/3
Wytrzymałość Materiałów całka z iloczynu 2 funkcji
We wzorach do wyznaczania przemieszczeń (energetycznych, wirtualnych przemieszczeń) występuje zadanie
z2
MM
obliczania całek z iloczynu dwóch funkcji typu f1 f2dz (np. dz ).
+" +"
z1 s
EJ
Prosty sposób postępowania. Założenia:
" funkcje (wykresy) f1 i f2 są znane,
" niech jedna z funkcji będzie liniowa np. f2(z) = az + b,
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W13D/4
Wytrzymałość Materiałów całka z iloczynu 2 funkcji
We wzorach do wyznaczania przemieszczeń (energetycznych, wirtualnych przemieszczeń) występuje zadanie
z2
MM
obliczania całek z iloczynu dwóch funkcji typu f1 f2dz (np. dz ).
+" +"
z1 s
EJ
Prosty sposób postępowania. Założenia:
" funkcje (wykresy) f1 i f2 są znane,
" niech jedna z funkcji będzie liniowa np. f2(z) = az + b, wówczas
z2 z2 z2 z2
f1(z)i f2(z)dz = f1(z)i(az + b)dz = a f1(z) z dz + b f1(z)dz
+"+" +" +"
z1 z1 z1 z1
= a z dA + b dA = aS1+ bA1 = aA1zC + bA1
+"+"
1
A1 A1
= A1i(azC + b) = A1i f2(zC ) ,
11
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W13D/5
Wytrzymałość Materiałów całka z iloczynu 2 funkcji
We wzorach do wyznaczania przemieszczeń (energetycznych, wirtualnych przemieszczeń) występuje zadanie
z2
MM
obliczania całek z iloczynu dwóch funkcji typu f1 f2dz (np. dz ).
+" +"
z1 s
EJ
Prosty sposób postępowania. Założenia:
" funkcje (wykresy) f1 i f2 są znane,
" niech jedna z funkcji będzie liniowa np. f2(z) = az + b, wówczas
z2 z2 z2 z2
f1(z)i f2(z)dz = f1(z)i(az + b)dz = a f1(z) z dz + b f1(z)dz
+"+" +" +"
z1 z1 z1 z1
= a z dA + b dA = aS1+ bA1 = aA1zC + bA1
+"+"
1
A1 A1
= A1i(azC + b) = A1i f2(zC ) ,
11
stąd obowiązuje
z2
f1 f2dz = A1i f2(zC ),
+"
1
z1
z2
gdzie A1 = f1(z)dz jest polem ograniczonym funkcją f1, zaś
+"
z1
f2(zC ) wartością funkcji liniowej f2 pod środkiem ciężkości zC pola A1.
1 1
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W13D/6
Wytrzymałość Materiałów całka z iloczynu 2 funkcji
We wzorach do wyznaczania przemieszczeń (energetycznych, wirtualnych przemieszczeń) występuje zadanie
z2
MM
obliczania całek z iloczynu dwóch funkcji typu f1 f2dz (np. dz ).
+" +"
z1 s
EJ
Prosty sposób postępowania. Założenia:
" funkcje (wykresy) f1 i f2 są znane,
" niech jedna z funkcji będzie liniowa np. f2(z) = az + b, wówczas
z2 z2 z2 z2
f1(z)i f2(z)dz = f1(z)i(az + b)dz = a f1(z) z dz + b f1(z)dz
+"+" +" +"
z1 z1 z1 z1
= a z dA + b dA = aS1+ bA1 = aA1zC + bA1
+"+"
1
A1 A1
= A1i(azC + b) = A1i f2(zC ) ,
11
stąd obowiązuje
z2
f1 f2dz = A1i f2(zC ),
+"
1
z1
z2
gdzie A1 = f1(z)dz jest polem ograniczonym funkcją f1, zaś
+"
z1
f2(zC ) wartością funkcji liniowej f2 pod środkiem ciężkości zC pola A1.
1 1
Uwaga. Jeśli funkcja f2 jest linowa obliczona wartość całki jest ścisła, określenie  graficzne
jest zaszłością historyczną i nie wiąże się z metodą  wykreślną z natury przybliżoną.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W13D/7
Wytrzymałość Materiałów całka z iloczynu 2 funkcji
We wzorach do wyznaczania przemieszczeń (energetycznych, wirtualnych przemieszczeń) występuje zadanie
z2
MM
obliczania całek z iloczynu dwóch funkcji typu f1 f2dz (np. dz ).
+" +"
z1 s
EJ
Prosty sposób postępowania. Założenia:
" funkcje (wykresy) f1 i f2 są znane,
" niech jedna z funkcji będzie liniowa np. f2(z) = az + b, wówczas
z2 z2 z2 z2
f1(z)i f2(z)dz = f1(z)i(az + b)dz = a f1(z) z dz + b f1(z)dz
+"+" +" +"
z1 z1 z1 z1
= a z dA + b dA = aS1+ bA1 = aA1zC + bA1
+"+"
1
A1 A1
= A1i(azC + b) = A1i f2(zC ) ,
11
stąd obowiązuje
z2
f1 f2dz = A1i f2(zC ),
+"
1
z1
z2
gdzie A1 = f1(z)dz jest polem ograniczonym funkcją f1, zaś
+"
z1
f2(zC ) wartością funkcji liniowej f2 pod środkiem ciężkości zC pola A1.
1 1
Uwaga. Jeśli funkcja f2 jest linowa obliczona wartość całki jest ścisła, określenie  graficzne
jest zaszłością historyczną i nie wiąże się z metodą  wykreślną z natury przybliżoną.
Jeśli f2 nie jest linowa zastosowanie powyższego postępowania daje wynik błędny.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W13D/8
Wytrzymałość Materiałów całka z iloczynu 2 funkcji
" pola i położenia środków ciężkości  funkcje najczęściej występujące w wykresach sił przekrojowych
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W13D/9
Wytrzymałość Materiałów całka z iloczynu 2 funkcji
" pola i położenia środków ciężkości  funkcje najczęściej występujące w wykresach sił przekrojowych
" wykresy złożone, w przypadku kiedy wykres daje się przedstawić w postaci sumy funkcji prostych np.
f1 = f1 + f1 ,
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W13D/10
Wytrzymałość Materiałów całka z iloczynu 2 funkcji
" pola i położenia środków ciężkości  funkcje najczęściej występujące w wykresach sił przekrojowych
" wykresy złożone, w przypadku kiedy wykres daje się przedstawić w postaci sumy funkcji prostych np.
f1 = f1 + f1 ,
z2 z2

otrzymujemy f1 f2dz = ( f1 + f1 ) f2dz = A1 i f2(zC ) + A1 i f2(zC ) = A2i f1 (zC ) + f1 (zC ) .
( )
+"+"
1 1 22
z1 z1




f2 - funkcja liniowa
f1 - funkcja liniowa
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W13D/11
Wytrzymałość Materiałów całka z iloczynu 2 funkcji
Obliczanie (tzw.  graficzne ) całek z iloczynu dwóch funkcji
Przykład
Obliczyć ugięcie � w punkcie 1.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W13D/12
Wytrzymałość Materiałów całka z iloczynu 2 funkcji
Obliczanie (tzw.  graficzne ) całek z iloczynu dwóch funkcji
Przykład
Obliczyć ugięcie � w punkcie 1.
1
L
2
MM
� = dz = A2i f1 (zC ) + f1 (zC ) ,
()
+"
2 2
EJ
0
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W13D/13
Wytrzymałość Materiałów całka z iloczynu 2 funkcji
Obliczanie (tzw.  graficzne ) całek z iloczynu dwóch funkcji
Przykład
Obliczyć ugięcie � w punkcie 1.
1
L
2
MM
� = dz = A2i f1 (zC ) + f1 (zC ) ,
()
+"
2 2
EJ
0
1 21
1 1 1 1�#(- PL) + (- PL)ś#
� = (- L) Liś#ź#
2
3 2

ś# ź#
EJ 2 2 2

f1 ( zC2 ) f1 ( zC2 )
�# #
A2
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W13D/14
Wytrzymałość Materiałów całka z iloczynu 2 funkcji
Obliczanie (tzw.  graficzne ) całek z iloczynu dwóch funkcji
Przykład
Obliczyć ugięcie � w punkcie 1.
1
L
2
MM
� = dz = A2i f1 (zC ) + f1 (zC ) ,
()
+"
2 2
EJ
0
1 21
1 1 1 1�#(- PL) + (- PL)ś#
� = (- L) Liś#ź#
2
3 2

ś# ź#
EJ 2 2 2

f1 ( zC2 ) f1 ( zC2 )
�# #
A2
1 1
�#
- PL + (- PL)ś#
1 1
= (- )L2iś#ź#
3

2
ś#ź#
EJ 8

f1 ( zC2 ) f1 ( zC2 )
�# #
A2
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W13D/15
Wytrzymałość Materiałów całka z iloczynu 2 funkcji
Obliczanie (tzw.  graficzne ) całek z iloczynu dwóch funkcji
Przykład
Obliczyć ugięcie � w punkcie 1.
1
L
2
MM
� = dz = A2i f1 (zC ) + f1 (zC ) ,
()
+"
2 2
EJ
0
1 21
1 1 1 1�#(- PL) + (- PL)ś#
� = (- L) Liś#ź#
2
3 2

ś# ź#
EJ 2 2 2

f1 ( zC2 ) f1 ( zC2 )
�# #
A2
1 1
�#
- PL + (- PL)ś#
1 1 5 PL3
= (- )L2iś#ź# = .
3

2
ś#ź#
EJ 8 48 EJ

f1 ( zC2 ) f1 ( zC2 )
�# #
A2
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W13D/16
Wytrzymałość Materiałów całka z iloczynu 2 funkcji
Obliczanie (tzw.  graficzne ) całek z iloczynu dwóch funkcji
Przykład
rozkład wykresu sił tnących na odcinku a,
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W13D/17
Wytrzymałość Materiałów całka z iloczynu 2 funkcji
Obliczanie (tzw.  graficzne ) całek z iloczynu dwóch funkcji
Przykład
rozkład wykresu sił tnących na odcinku a,
rozkład wykresu momentów na odcinku a
M = M1 + M2 + M3,
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W13D/18
Wytrzymałość Materiałów całka z iloczynu 2 funkcji
Obliczanie (tzw.  graficzne ) całek z iloczynu dwóch funkcji
Przykład
rozkład wykresu sił tnących na odcinku a,
rozkład wykresu momentów na odcinku a
M = M1 + M2 + M3,
Uwaga. Znajomość położenia miejsca zerowego
i wartości ekstremalnej na ogół nie jest konieczna
do dokonania rozkładu i obliczenia całek.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W13D/19
Wytrzymałość Materiałów Budownictwo, Rok II, Semestr III
Dziękuję za uwagę
cdn.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów