Wytrzymałość Materiałów Budownictwo, Rok II, Semestr III
Belki wielokrotne i złożone
WYKA
AD 10
Literatura
Rozdz. V, str. 99, BIELEWICZ E.: Wytrzymałość materiałów. PG, Gdańsk 1992 (lub inne wydania).
str. 12, CHRÓŚCIELEWSKI J.: Materiały pomocnicze do wykładu z Wytrzymałości Materiałów.
Wersja elektroniczna, http://www.okno.pg.gda.pl.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10A/1
Wytrzymałość Materiałów belki wielokrotne i złożone
Belka wielokrotna
składa się z kilku części (prętów) niepołączonych ze sobą, części te pracują niezależnie.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10A/2
Wytrzymałość Materiałów belki wielokrotne i złożone
Belka wielokrotna
składa się z kilku części (prętów) niepołączonych ze sobą, części te pracują niezależnie.
Warunek wytrzymałości na zginanie dla belki wielokrotnej
Np. n identycznych części (belek, prętów) o długości l :
0
(M )max (Ã )max
xx
(Ã )max== .
z
nWx n
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10A/3
Wytrzymałość Materiałów belki wielokrotne i złożone
Belka wielokrotna
składa się z kilku części (prętów) niepołączonych ze sobą, części te pracują niezależnie.
Warunek wytrzymałości na zginanie dla belki wielokrotnej
Np. n identycznych części (belek, prętów) o długości l :
0
(M )max (Ã )max
xx
(Ã )max== .
z
nWx n
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10A/4
Wytrzymałość Materiałów belki wielokrotne i złożone
Belka złożona
składa się z kilku części (prętów) połączonych ze sobą w monolit, układ traktuje się jako całość.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10A/5
Wytrzymałość Materiałów belki wielokrotne i złożone
Belka złożona
składa się z kilku części (prętów) połączonych ze sobą w monolit, układ traktuje się jako całość.
Warunek wytrzymałości na zginanie dla belki złożonej
Np. n części o przekroju (b× h) i wysokoÅ›ci (nh):
0
(M )max (M )max (Ã )max
xx x
(Ã )max== = .
z
b(nh)2 / 6 n2Wx n2
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10A/6
Wytrzymałość Materiałów belki wielokrotne i złożone
Belka złożona
składa się z kilku części (prętów) połączonych ze sobą w monolit, układ traktuje się jako całość.
Warunek wytrzymałości na zginanie dla belki złożonej
Np. n części o przekroju (b× h) i wysokoÅ›ci (nh):
0
(M )max (M )max (Ã )max
xx x
(Ã )max== = .
z
b(nh)2 / 6 n2Wx n2
Założenie:
Połączenie (klej, nity, śruby, spawki, zgrzewki punktowe, klocki, gwoz
dzie, pierścienie itp.) jest niepodatne
i przenosi naprężenia styczne ÄÅ‚ w miejscu Å‚Ä…czenia y = yÅ‚ ;
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10A/7
Wytrzymałość Materiałów belki wielokrotne i złożone
Siła rozwarstwiająca w belkach złożonych
Definicja siły rozwarstwiającej
" Wypadkowa z naprężeń stycznych
(mierzona na jednostkę długości z )
zebrana z całej szerokości belki
w miejscu Å‚Ä…czenia
Å‚
TySx
Å‚
Rz =ÄÅ‚bÅ‚ =
Jx
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10A/8
Wytrzymałość Materiałów belki wielokrotne i złożone
Siła rozwarstwiająca w belkach złożonych
Definicja siły rozwarstwiającej
" Wypadkowa z naprężeń stycznych
(mierzona na jednostkę długości z )
zebrana z całej szerokości belki
w miejscu Å‚Ä…czenia
Å‚
TySx
Å‚
Rz =ÄÅ‚bÅ‚ =
Jx
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10A/9
Wytrzymałość Materiałów belki wielokrotne i złożone
Siła rozwarstwiająca w belkach złożonych
Definicja siły rozwarstwiającej
" Wypadkowa z naprężeń stycznych
(mierzona na jednostkę długości z )
zebrana z całej szerokości belki
w miejscu Å‚Ä…czenia
Å‚
TySx
Å‚
Rz =ÄÅ‚bÅ‚ =
Jx
" Na siłę rozwarstwiającą projektuje się łączniki o charakterze ciągłym
(np. kleje, spawki ciągłe).
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10A/10
Wytrzymałość Materiałów belki wielokrotne i złożone
" A
ączniki punktowe (nity, śruby, klocki itp.) rozmieszczone w rozstawie e,
a także spoiny odcinkowe formalnie muszą przenieść wypadkową z odcinka e:
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10A/11
Wytrzymałość Materiałów belki wielokrotne i złożone
" A
ączniki punktowe (nity, śruby, klocki itp.) rozmieszczone w rozstawie e,
a także spoiny odcinkowe formalnie muszą przenieść wypadkową z odcinka e:
Å‚
z+e
Sx z+e
Å‚Å‚
Rz (e)= Rz dz = Tydz
+"+"
z
Jx z
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10A/12
Wytrzymałość Materiałów belki wielokrotne i złożone
" A
ączniki punktowe (nity, śruby, klocki itp.) rozmieszczone w rozstawie e,
a także spoiny odcinkowe formalnie muszą przenieść wypadkową z odcinka e:
Å‚
z+e
Sx z+e
Å‚Å‚
Rz (e)= Rz dz = Tydz
+"+"
z
Jx z
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10A/13
Wytrzymałość Materiałów belki wielokrotne i złożone
" A
ączniki punktowe (nity, śruby, klocki itp.) rozmieszczone w rozstawie e,
a także spoiny odcinkowe formalnie muszą przenieść wypadkową z odcinka e:
Å‚
z+e
Sx z+e
Å‚Å‚
Rz (e)= Rz dz = Tydz
+"+"
z
Jx z
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10A/14
Wytrzymałość Materiałów belki wielokrotne i złożone
" A
ączniki punktowe (nity, śruby, klocki itp.) rozmieszczone w rozstawie e,
a także spoiny odcinkowe formalnie muszą przenieść wypadkową z odcinka e:
Å‚
z+e
Sx z+e
Å‚Å‚
Rz (e)= Rz dz = Tydz
+"+"
z
Jx z
" W praktyce, mimo osłabień otworami i zmienności siły tnącej, ze względu na mały wpływ otworów
Å‚
Sx bruttoTy max
Å‚
i gęsty rozstaw łączników, stosuje się wzór uproszczony na siłę rozwarstwiającą: Rz (e) = e.
Jx brutto
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10A/15
Wytrzymałość Materiałów belki wielokrotne i złożone
Sprawdzanie naprężeń normalnych w belkach złożonych
przeprowadza się dla przekroju osłabionego łącznikami (netto)
(M )max
x
(Ã )max =d" Ãdop .
z
Wx netto
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10A/16
Wytrzymałość Materiałów belki wielokrotne i złożone
Sprawdzanie naprężeń normalnych w belkach złożonych
przeprowadza się dla przekroju osłabionego łącznikami (netto)
(M )max
x
(Ã )max =d" Ãdop .
z
Wx netto
" W belkach drewnianych wykonanie całkowicie niepodatnych łączników jest niemożliwe.
Do obliczenia Wx netto stosuje się odpowiednie (zgodne z normami) współczynniki korygujące.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10A/17
Wytrzymałość Materiałów belki złożone, przykłady
Dane
Dwie części belki swobodnie podpartej (rys. a) o przekroju teowym (rys. c) zespolono kołkami o średnicy
d =15mm rozmieszczonych w szeregach po n = 2 sztuki i odstępach co e=25cm (rys. b).
Narysować wykresy momentów M (z) i sił tnących T (z).
Narysować wykresy ekstremalnych naprężeÅ„ stycznych Ä(y).
Ile musi wynosić wartość dopuszczalnych naprężeń stycznych dla kołków Kt
zakładając, że nośność na docisk jest spełniona.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10B/1
Wytrzymałość Materiałów belki złożone, przykłady
rozwiÄ…zanie
a) ekstremalne siły przekrojowe:
Tekstremalne =Ä…6 kN ,
Mekstremalne =10 kNm,
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10B/2
Wytrzymałość Materiałów belki złożone, przykłady
rozwiÄ…zanie
b) charakterystyki przekrojowe:
A = 2× 24i12 = 576cm2 = 576×10-4 m2 ,
identyczne powierzchnie obu figur tworzących przekrój poprzeczny,
1
zatem środek ciężkości leży w odległości od między środkami obu figur = 9cm,
2
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10B/3
Wytrzymałość Materiałów belki złożone, przykłady
rozwiÄ…zanie
b) charakterystyki przekrojowe:
A = 2× 24i12 = 576cm2 = 576×10-4 m2 ,
identyczne powierzchnie obu figur tworzących przekrój poprzeczny,
1
zatem środek ciężkości leży w odległości od między środkami obu figur = 9cm,
2
12i243 24i123
Jx =++ 2×12i24i92 = 63936cm4 = 63936×10-8m4 ,
12 12
Sxpasa= 24i12i9 = 2592cm3 = 2592×10-6m3,
max
Sx =12i(24 - 3)i1 (24 - 3) = 2646cm3= 2646×10-6m3;
2
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10B/4
Wytrzymałość Materiałów belki złożone, przykłady
rozwiÄ…zanie
c) wykresy ekstremalnych naprężeÅ„ stycznych Ä :
6×10-3i2592×10-6 kN
pas dół
Ä == 0.101 MPa = 0.0101 ,
y
63936×10-8i24×10-2 cm2
6×10-3i2592×10-6 kN
środnik góra
Ä == 0.202 MPa = 0.0202
y
63936×10-8i12×10-2 cm2
[MPa]
6×10-3i2646×10-6 kN
max
Ä == 0.207 MPa = 0.0207 ;
y
63936×10-8i12×10-2 cm2
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10B/5
Wytrzymałość Materiałów belki złożone, przykłady
rozwiÄ…zanie
d) wymagane dopuszczalne naprężenia styczne Kt dla dwóch kołków w rzędzie:
Tmax Sxpasa 6×10-3i2592×10-6
pasa
Rmax ==
Jx 63936×10-8
,
MN kN
= 2.4324 = 0.24324
bm bcm
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10B/6
Wytrzymałość Materiałów belki złożone, przykłady
rozwiÄ…zanie
d) wymagane dopuszczalne naprężenia styczne Kt dla dwóch kołków w rzędzie:
Tmax Sxpasa 6×10-3i2592×10-6
pasa
Rmax ==
Jx 63936×10-8
,
MN kN
= 2.4324 = 0.24324
bm bcm
Tmax Sxpasa
pasa
Rna rząd kołków = e = Rmax e = 0.24325i25 = 6.081kN ,
Jx
2
Ä„d Ä„(1.5)2
N = 2 Kt = 2 Kt = 3.534Kt cm2 ,
44
Rna rzÄ…d koÅ‚ków d" N Ò! 6.081kN d" 3.534Kt ,
kN
Kt e"1.721 =17.21MPa .
cm2
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10B/7
Wytrzymałość Materiałów belki złożone, przykłady
Dane
Stalową belkę przewieszona (rys. a) o rozpiętości L = 6m wykonano
z cienkoÅ›ciennego teownika o b = h = 24cm i staÅ‚ej gruboÅ›ci ´ =1cm (rys. b).
a) b)
Przyjmując wartość siły P =10kN działającej na końcu przewieszenia wyznaczyć:
wykresy ekstremalnych naprężeÅ„ normalnych à i stycznych Ä ,
niezbędną grubość spoin pachwinowych w wersji ciągłej aciągła łączących pas ze środnikiem
jeśli naprężenie dopuszczalne na ścinanie dla spoin wynosi kts =100 MPa ,
jw. lecz w wersji przerywanej aprzerywana o długości lprzerywanej = 25cm i rozstawie eprzerywanej = 50cm .
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10B/8
Wytrzymałość Materiałów belki złożone, przykłady
rozwiÄ…zanie
a) ekstremalne siły przekrojowe:
Tekstremalne =Ä…P =Ä…10 kN ,
1
Mekstremalne = - PL = -30 kNm,
2
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10B/9
Wytrzymałość Materiałów belki złożone, przykłady
rozwiÄ…zanie
b) charakterystyki przekrojowe:
A = 2× 24i1 = 48cm2 = 48×10-4m2,
identyczne powierzchnie obu figur tworzących przekrój poprzeczny,
1
zatem środek ciężkości leży w odległości od między środkami obu figur = 6cm,
2
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10B/10
Wytrzymałość Materiałów belki złożone, przykłady
rozwiÄ…zanie
b) charakterystyki przekrojowe:
A = 2× 24i1 = 48cm2 = 48×10-4m2,
identyczne powierzchnie obu figur tworzących przekrój poprzeczny,
1
zatem środek ciężkości leży w odległości od między środkami obu figur = 6cm,
2
1i243
Jx =+ 2×1i24i62 =1152 +1728 = 2880cm4 = 2880×10-8m4 ,
12
Jx 2880
Wxg = = =160cm3=160×10-6m3,
yg 18
Jx 2880
Wxd = = = 443.1cm3 = 443.1×10-6m3 ,
yd 6.5
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10B/11
Wytrzymałość Materiałów belki złożone, przykłady
rozwiÄ…zanie
b) charakterystyki przekrojowe:
A = 2× 24i1 = 48cm2 = 48×10-4m2,
identyczne powierzchnie obu figur tworzących przekrój poprzeczny,
1
zatem środek ciężkości leży w odległości od między środkami obu figur = 6cm,
2
1i243
Jx =+ 2×1i24i62 =1152 +1728 = 2880cm4 = 2880×10-8m4 ,
12
Jx 2880
Wxg = = =160cm3=160×10-6m3,
yg 18
Jx 2880
Wxd = = = 443.1cm3 = 443.1×10-6m3 ,
yd 6.5
1
2
Sx pasa=1i12i6 = 72cm3= 72×10-6m3 ,
Sxpasa=1i24i6 =144cm3=144×10-6m3,
max
Sx =1i18i9 =162cm3=162×10-6m3 ;
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10B/12
Wytrzymałość Materiałów belki złożone, przykłady
rozwiÄ…zanie
c) wykresy ekstremalnych naprężeÅ„ normalnych à i stycznych Ä :
30×10-3
à =+ =187.5 MPa ,
g
160×10-6
30×10-3
Ãd =- =-67.7 MPa ,
443.1×10-6
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10B/13
Wytrzymałość Materiałów belki złożone, przykłady
rozwiÄ…zanie
c) wykresy ekstremalnych naprężeÅ„ normalnych à i stycznych Ä :
30×10-3
à =+ =187.5 MPa ,
g
160×10-6
30×10-3
Ãd =- =-67.7 MPa ,
443.1×10-6
1
10×10-3i72×10-6
polki
2
Ä =+ = 2.5 MPa,
x
2880×10-8i0.01
10×10-3i144×10-6
polki
Ä =+ = 5 MPa ,
y
2880×10-8i0.01
10×10-3i162×10-6
max
Ä =+ = 5.625 MPa;
y
2880×10-8i0.01
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10B/14
Wytrzymałość Materiałów belki złożone, przykłady
rozwiÄ…zanie
d) grubość aciągła spoin ciągłych łączących pas ze środnikiem, kts =100 MPa :
Tmax Sxpasa 10×10-3i144×10-6
pasa
Rmax == = 0.05MN/bm ,
Jx 2880×10-8
pasa
Tmax Sxpasa Rmax
Äspoiny == d" kts
Jxi2aciągła 2aciągła
10×10-3i144×10-6
Ò! aciÄ…gÅ‚a e"= 0.25×10-3m = 0.25mm ;
2880×10-8i2i100
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10B/15
Wytrzymałość Materiałów belki złożone, przykłady
rozwiÄ…zanie
e) grubość aprzerywana spoin przerywanych o długości lprzerywanej= 25cm i rozstawie eprzerywanej = 50cm , kts =100MPa:
Tmax Sxpasa eprzerywanej
Äspoiny =
Jxi2aprzerywanej lprzerywanej
,
pasa
Rmax eprzerywanej eprzerywanej
== ÄciÄ…gÅ‚a d" kts
2aprzerywanej lprzerywanej lprzerywanej
eprzerywanej
aprzerywana =Å" aciÄ…gÅ‚a
lprzerywanej
Ò! .
e" 2Å" 0.25×10-3 = 0.5×10-3m = 0.5mm
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W10B/16
Wytrzymałość Materiałów Budownictwo, Rok II, Semestr III
Dziękuję za uwagę
cdn.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów