Wytrzymałość Materiałów Budownictwo, Rok II, Semestr III
Pręty zespolone
WYKA
AD 11
Literatura
Rozdz. VIII, str. 140, BIELEWICZ E.: Wytrzymałość materiałów. PG, Gdańsk 1992 (lub inne wydania).
str. 13, CHRÓŚCIELEWSKI J.: Materiały pomocnicze do wykładu z Wytrzymałości Materiałów.
Wersja elektroniczna, http://www.okno.pg.gda.pl.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W11A/1
Wytrzymałość Materiałów pręty zespolone
Pręty zespolone
określenie:
 pręt z materiałów o różnych podatnościach,
różne moduły sprężystości ( Eb, Es ),
np.: beton stal, beton cegła, drewno stal, itp.;
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W11A/2
Wytrzymałość Materiałów pręty zespolone
Pręty zespolone
określenie:
 pręt z materiałów o różnych podatnościach,
różne moduły sprężystości ( Eb, Es ),
np.: beton stal, beton cegła, drewno stal, itp.;
 materiały są połączone monolitycznie,
siła rozwarstwiająca przenoszona przez łączniki
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W11A/3
Wytrzymałość Materiałów pręty zespolone
Pręty zespolone
określenie:
 pręt z materiałów o różnych podatnościach,
różne moduły sprężystości ( Eb, Es ),
np.: beton stal, beton cegła, drewno stal, itp.;
 materiały są połączone monolitycznie,
siła rozwarstwiająca przenoszona przez łączniki
założenia:
" stan złożony: moment M `"0 i siła normalna N`"0,
x
" przekrój o pionowej ( y ) osi symetrii (Jxy=0),
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W11A/4
Wytrzymałość Materiałów pręty zespolone
Pręty zespolone
określenie:
 pręt z materiałów o różnych podatnościach,
różne moduły sprężystości ( Eb, Es ),
np.: beton stal, beton cegła, drewno stal, itp.;
 materiały są połączone monolitycznie,
siła rozwarstwiająca przenoszona przez łączniki
założenia:
" stan złożony: moment M `"0 i siła normalna N`"0,
x
" przekrój o pionowej ( y ) osi symetrii (Jxy=0),
" przekrój złożony z dwóch materiałów: Ab , As i Es = nEb,
1
równoważnie Eb = Es
n
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W11A/5
Wytrzymałość Materiałów pręty zespolone
Pręty zespolone
określenie:
 pręt z materiałów o różnych podatnościach,
różne moduły sprężystości ( Eb, Es ),
np.: beton stal, beton cegła, drewno stal, itp.;
 materiały są połączone monolitycznie,
siła rozwarstwiająca przenoszona przez łączniki
założenia:
" stan złożony: moment M `"0 i siła normalna N`"0,
x
" przekrój o pionowej ( y ) osi symetrii (Jxy=0),
" przekrój złożony z dwóch materiałów: Ab , As i Es = nEb,
1
równoważnie Eb = Es
n
" hipoteza o płaskich przekrojach:
wyznaczamy odkształcenia �( y) = by + c
i środek ciężkości przekroju zespolonego.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W11A/6
Wytrzymałość Materiałów pręty zespolone
Analiza stanu naprężeń normalnych:
" naprężenia - z prawa Hooke a ( Eb, Es = nEb), dla obu materiałów ( Ab , As )
przy założeniu płaskich przekrojów � (y) = by + c ,
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W11A/7
Wytrzymałość Materiałów pręty zespolone
Analiza stanu naprężeń normalnych:
" naprężenia - z prawa Hooke a ( Eb, Es = nEb), dla obu materiałów ( Ab , As )
przy założeniu płaskich przekrojów � (y) = by + c, wynoszą:
�b(y) = Eb� (y) = Eb(by+c) na Ab,
ż#
� (y) = E(y)� (y) �!
�#
(y) = Es� (y) = Es(by+c) = nEb(by+c) na As.
�#�s
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W11A/8
Wytrzymałość Materiałów pręty zespolone
Analiza stanu naprężeń normalnych:
" naprężenia - z prawa Hooke a ( Eb, Es = nEb), dla obu materiałów ( Ab , As )
przy założeniu płaskich przekrojów � (y) = by + c , wynoszą:
�b(y) = Eb� (y) = Eb(by+c) na Ab,
ż#
� (y) = E(y)� (y) �!
�#
(y) = Es� (y) = Es(by+c) = nEb(by+c) na As.
�#�s
" siły wewnętrzne (w obu materiałach ( Eb, Es = nEb) na podstawie definicji):
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W11A/9
Wytrzymałość Materiałów pręty zespolone
Analiza stanu naprężeń normalnych:
" naprężenia - z prawa Hooke a ( Eb, Es = nEb), dla obu materiałów ( Ab , As )
przy założeniu płaskich przekrojów � (y) = by + c , wynoszą:
�b(y) = Eb� (y) = Eb(by+c) na Ab,
ż#
� (y) = E(y)� (y) �!
�#
(y) = Es� (y) = Es(by+c) = nEb(by+c) na As.
�#�s
" siły wewnętrzne (w obu materiałach ( Eb, Es = nEb) na podstawie definicji):
def
N = � dA = �bdA+ �sdA
+"+" +"
AAb As
= Eb(by+c)dA+ nEb(by+c)dA
+"+"
Ab As
= Eb(bSx b+cAb)+ nEb(bSx s+cAs )
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W11A/10
Wytrzymałość Materiałów pręty zespolone
Analiza stanu naprężeń normalnych:
" naprężenia - z prawa Hooke a ( Eb, Es = nEb), dla obu materiałów ( Ab , As )
przy założeniu płaskich przekrojów � (y) = by + c , wynoszą:
�b(y) = Eb� (y) = Eb(by+c) na Ab,
ż#
� (y) = E(y)� (y) �!
�#
(y) = Es� (y) = Es(by+c) = nEb(by+c) na As.
�#�s
" siły wewnętrzne (w obu materiałach ( Eb, Es = nEb) na podstawie definicji):
def
N = � dA = �bdA+ �sdA
+"+" +"
AAb As
= Eb(by+c)dA+ nEb(by+c)dA
+"+"
Ab As
= Eb(bSx b+cAb)+ nEb(bSx s+cAs )
def
M = � ydA = �b ydA+ � ydA
x
+"+" +"
AAb As s
= Eb(by+c)y dA+ nEb(by+c) y dA
+"+"
Ab As
= Eb(bJx b+cSx b)+ nEb(bJx s+cSx s),
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W11A/11
Wytrzymałość Materiałów pręty zespolone
Analiza stanu naprężeń normalnych:
" naprężenia - z prawa Hooke a ( Eb, Es = nEb), dla obu materiałów ( Ab , As )
przy założeniu płaskich przekrojów � (y) = by + c , wynoszą:
�b(y) = Eb� (y) = Eb(by+c) na Ab,
ż#
� (y) = E(y)� (y) �!
�#
(y) = Es� (y) = Es(by+c) = nEb(by+c) na As.
�#�s
" siły wewnętrzne (w obu materiałach ( Eb, Es = nEb) na podstawie definicji):
def
N = � dA = �bdA+ �sdA
+"+" +"
AAb As
= Eb(by+c)dA+ nEb(by+c)dA
+"+"
Ab As
= Eb(bSx b+cAb)+ nEb(bSx s+cAs )
def
M = � ydA = �b ydA+ � ydA
x
+"+" +"
AAb As s
= Eb(by+c)y dA+ nEb(by+c) y dA
+"+"
Ab As
= Eb(bJx b+cSx b)+ nEb(bJx s+cSx s),
gdzie: Sxb= ydA, Sx s= ydA, Jxb= y2dA, Jx s= y2dA.
+" +" +" +"
Ab As Ab As
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W11A/12
Wytrzymałość Materiałów pręty zespolone
zapisując N = Eb(bSx b+cAb)+ nEb(bSx s+cAs) i M = Eb(bJx b+cSx b)+ nEb(bJx s+cSx s) w postaci macierzowej:
x
Sx c
AC
N M
ż# �# ż#b = x
Ą#
ń#

Sx c a" 0
�#
ó#
Ab+ nAs Sx b+ nSx s Ą# ż# �# �# �# AC 0
Eb
c Ą#ń# c N EbJc
ż# �#
ż# �# 1
�# �# dla �#
ó#Ą#
= �! = ,
Sx Sx b+ nSx s
�#bŹ# �#M Ź# �# Ź#
ó#
11 1
0 Jx c Ą# �#b�# �#M Ź# �! �#
Eb �# x �# �#c = N
yc = =
ó#S + nSxs Jxb+ nJxs �# �# �# x �#
xb
Ł# Ś#

ó# Ą# Ac Ab+ nAs
Sx c Jx c �# �# �#
Eb Eb Ac
Ł#Ą#
Ś#
�# �# �#
gdzie: AC = Ab+ nAs, Sx c = Sx b+ nSx s, Jx c = Jx b+ nJx s .
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W11A/13
Wytrzymałość Materiałów pręty zespolone
zapisując N = Eb(bSx b+cAb)+ nEb(bSx s+cAs) i M = Eb(bJx b+cSx b)+ nEb(bJx s+cSx s) w postaci macierzowej:
x
Sx c
AC
N M
ż# �# ż#b = x
Ą#
ń#

Sx c a" 0
�#
ó#
Ab+ nAs Sx b+ nSx s Ą# ż# �# �# �# AC 0
Eb
c Ą#ń# c N EbJc
ż# �#
ż# �# 1
�# �# dla �#
ó#Ą#
= �! = ,
Sx Sx b+ nSx s
�#bŹ# �#M Ź# �# Ź#
ó#
11 1
0 Jx c Ą# �#b�# �#M Ź# �! �#
Eb �# x �# �#c = N
yc = =
ó#S + nSxs Jxb+ nJxs
xb
�# �# x
Ł# Ś#
�# �#

ó# Ą# Ac Ab+ nAs
Sx c Jx c �# �# �#
Eb Eb Ac
Ł#Ą#
Ś#
�# �# �#
gdzie: AC = Ab+ nAs, Sx c = Sx b+ nSx s, Jx c = Jx b+ nJx s .
Ostatecznie naprężenia normalne � (y) dane są następująco:
N M
ż#
x
�#�b(y) = Eb(by + c) = + Jc y na Ab
Ac
�#
� (y) �!
�#
�#�s(y) = nEb(by + c) = nN + nM x y na As.
�#
Ac Jc
�#
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W11A/14
Wytrzymałość Materiałów pręty zespolone
zapisując N = Eb(bSx b+cAb)+ nEb(bSx s+cAs) i M = Eb(bJx b+cSx b)+ nEb(bJx s+cSx s) w postaci macierzowej:
x
Sx c
AC
N M
ż# �# ż#b = x
Ą#
ń#

Sx c a" 0
�#
ó#
Ab+ nAs Sx b+ nSx s Ą# ż# �# �# �# AC 0
Eb
c Ą#ń# c N EbJc
ż# �#
ż# �# 1
�# �# dla �#
ó#Ą#
= �! = ,
Sx Sx b+ nSx s
�#bŹ# �#M Ź# �# Ź#
ó#
11 1
0 Jx c Ą# �#b�# �#M Ź# �! �#
Eb �# x �# �#c = N
yc = =
ó#S + nSxs Jxb+ nJxs
xb
�# �# x
Ł# Ś#
�# �#

ó# Ą# Ac Ab+ nAs
Sx c Jx c �# �# �#
Eb Eb Ac
Ł#Ą#
Ś#
�# �# �#
gdzie: AC = Ab+ nAs, Sx c = Sx b+ nSx s, Jx c = Jx b+ nJx s .
Ostatecznie naprężenia normalne � (y) dane są następująco:
N M
ż#
x
�#�b(y) = Eb(by + c) = + Jc y na Ab
Ac
�#
� (y) �!
�#
�#�s(y) = nEb(by + c) = nN + nM x y na As.
�#
Ac Jc
�#
Uwaga
Powyższe wzory wskazują na możliwość stosowania prostszego sposobu obliczania tego typu konstrukcji
przez wprowadzenie tzw. przekroju zastępczego
i traktowanie dalej pręta zespolonego wykonanego jak z materiału jednorodnego.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W11A/15
Wytrzymałość Materiałów pręty zespolone
Przekrój zastępczy
sposoby wyznaczania przez sprowadzenie do:
1. jednorodnego przekroju o module Eb;
mnożąc przez n szerokości (składniki liniowe)
półek i środników obszaru As ,
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W11A/16
Wytrzymałość Materiałów pręty zespolone
Przekrój zastępczy
sposoby wyznaczania przez sprowadzenie do:
1. jednorodnego przekroju o module Eb; 2. jednorodnego przekroju o module Es ;
mnożąc przez n szerokości (składniki liniowe) dzieląc przez n szerokości (składniki liniowe)
półek i środników obszaru As , półek i środników obszaru Ab .
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W11A/17
Wytrzymałość Materiałów pręty zespolone
dla przekroju zastępczego prowadzimy obliczenia jak dla pręta z materiału jednorodnego,
jedynie na końcu:
" w przypadku 1., aby otrzymać naprężenia w części (s) mnożmy przez n naprężenia z obszaru As ,
Przypadek 1.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W11A/18
Wytrzymałość Materiałów pręty zespolone
dla przekroju zastępczego prowadzimy obliczenia jak dla pręta z materiału jednorodnego,
jedynie na końcu:
" w przypadku 1., aby otrzymać naprężenia w części (s) mnożmy przez n naprężenia z obszaru As ,
" w przypadku 2., aby otrzymać naprężenia w części (b) dzielimy przez n naprężenia z obszaru Ab .
Przypadek 1. Przypadek 2.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W11A/19
Wytrzymałość Materiałów pręty zespolone
Przykład
Belkę drewnianą bd � hd =10� 20 cm ( Ed =10 GPa ), swobodnie podpartą l = 3 m, obciążoną siłą P =10 kN
w środku, wzmocniono w strefie rozciąganej płaskownikiem stalowym bs � hs =10� 0.5 cm ( Es= 200 GPa ).
Wyznaczyć maksymalne naprężenia oraz rozstaw wkrętów, jeśli nośność wkręta wynosi Nw= 2,5 kN .
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W11A/20
Wytrzymałość Materiałów pręty zespolone
Przykład
Belkę drewnianą bd � hd =10� 20 cm ( Ed =10 GPa ), swobodnie podpartą l = 3 m, obciążoną siłą P =10 kN
w środku, wzmocniono w strefie rozciąganej płaskownikiem stalowym bs � hs =10� 0.5 cm ( Es= 200 GPa ).
Wyznaczyć maksymalne naprężenia oraz rozstaw wkrętów, jeśli nośność wkręta wynosi Nw= 2,5 kN .
Rozwiązanie (wariant 1. ):
Es
" przekrój zastępczy, jednolity jak z drewna n = = 20,
Ed
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W11A/21
Wytrzymałość Materiałów pręty zespolone
Przykład
Belkę drewnianą bd � hd =10� 20 cm ( Ed =10 GPa ), swobodnie podpartą l = 3 m, obciążoną siłą P =10 kN
w środku, wzmocniono w strefie rozciąganej płaskownikiem stalowym bs � hs =10� 0.5 cm ( Es= 200 GPa ).
Wyznaczyć maksymalne naprężenia oraz rozstaw wkrętów, jeśli nośność wkręta wynosi Nw= 2,5 kN .
Rozwiązanie (wariant 1. ):
Es
" przekrój zastępczy, jednolity jak z drewna n = = 20,
Ed
" nowy wymiar poprzeczny płaskownika stalowego
(tak jakby był wykonany z drewna)
bsd = nbs = 20i10 = 200 cm,
przekrój zastępczy
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W11A/22
Wytrzymałość Materiałów pręty zespolone
Przykład
Belkę drewnianą bd � hd =10� 20 cm ( Ed =10 GPa ), swobodnie podpartą l = 3 m, obciążoną siłą P =10 kN
w środku, wzmocniono w strefie rozciąganej płaskownikiem stalowym bs � hs =10� 0.5 cm ( Es= 200 GPa ).
Wyznaczyć maksymalne naprężenia oraz rozstaw wkrętów, jeśli nośność wkręta wynosi Nw= 2,5 kN .
Rozwiązanie (wariant 1. ):
Es
" przekrój zastępczy, jednolity jak z drewna n = = 20,
Ed
" nowy wymiar poprzeczny płaskownika stalowego
(tak jakby był wykonany z drewna)
bsd = nbs = 20i10 = 200 cm,
przekrój zastępczy
" pole zastępcze (całkowite)
Ac= Ad + nAs
= 20i10 + 20i(0.5i10) = 300 cm2 ,
" współrzędna yc środka ciężkości względem osi x1
Sx Sx b+ nSx s
11 1
yc = =
Ac Ab+ nAs
10i20i10 - 200i0.5i0.25
=E" 6.58cm,
20i10 + 200i0.5
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W11A/23
Wytrzymałość Materiałów pręty zespolone

1
" moment bezwładności wz. osi x1 (podstawy Jx = bh3 )
3 przekrój zastępczy
1
1
Jx = (10i203 + 200i0.53) = 26 675cm4 ,
3
1
" główny centralny moment bezwładności wz. osi x
(wz. środka ciężkości figury zastępczej  zespolonej)
Jx = Jx+ Ac(yc)2 �! Jx = Jx -Ac(yc)2
1 1
2
Jx= Jx -Ac yc = 26 675 - 300i(6.58)2=13 700 cm4,
1
\
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W11A/24
Wytrzymałość Materiałów pręty zespolone

1
" moment bezwładności wz. osi x1 (podstawy Jx = bh3 )
3 przekrój zastępczy
1
1
Jx = (10i203 + 200i0.53) = 26 675cm4 ,
3
1
" główny centralny moment bezwładności wz. osi x
(wz. środka ciężkości figury zastępczej  zespolonej)
Jx = Jx+ Ac(yc)2 �! Jx = Jx -Ac(yc)2
1 1
2
Jx= Jx -Ac yc = 26 675 - 300i(6.58)2=13 700 cm4,
1
" wskaz
niki wytrzymałości
Jx Jx 13 700
Wg == ==1020 cm3 ,
ygórne hd -yc 13.42
Jx Jx 13 700
Wd == ==1935 cm3,
ydolne yc+ hs 7.08
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W11A/25
Wytrzymałość Materiałów pręty zespolone

1
" moment bezwładności wz. osi x1 (podstawy Jx = bh3 )
3 przekrój zastępczy
1
1
Jx = (10i203 + 200i0.53) = 26 675cm4 ,
3
1
" główny centralny moment bezwładności wz. osi x
(wz. środka ciężkości figury zastępczej  zespolonej)
Jx = Jx+ Ac(yc)2 �! Jx = Jx -Ac(yc)2
1 1
2
Jx= Jx -Ac yc = 26 675 - 300i(6.58)2=13 700 cm4,
1
" wskaz
niki wytrzymałości
Jx Jx 13 700
Wg == ==1020 cm3 ,
ygórne hd -yc 13.42
Jx Jx 13 700
Wd == ==1935 cm3,
\
ydolne yc+ hs 7.08
" maksymalny moment zginający
1 1
Mmax = Pl = (10 000i300) = 750 000 Ncm,
4 4
" maksymalna siła tnąca
1
Ty= P = 5 kN ,
2
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W11A/26
Wytrzymałość Materiałów pręty zespolone
" ekstremalne naprężenia (ściskające) w drewnie
\
Mmax 750 000
drewna
� = � = - =- =-735 N / cm2 ,
g
Wg 1020
" ekstremalne naprężenia (rozciągające) w stali
Mmax 750 000
stali
� = n�d = n = 20 = 7760 N / cm2 ,
Wg 1935
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W11A/27
Wytrzymałość Materiałów pręty zespolone
" ekstremalne naprężenia (ściskające) w drewnie
Mmax 750 000
drewna
� = � = - =- =-735 N / cm2 ,
g
Wg 1020
" ekstremalne naprężenia (rozciągające) w stali
Mmax 750 000
stali
� = n�d = n = 20 = 7760 N / cm2 ,
Wg 1935
przekrój zastępczy
" moment statyczny np. płaskownika stalowego
ł
1
Sx = nibshs (yc+ hs )
2
1
= 20i10i0.5i(6.58 + 0.5) = 683 cm3,
2
" siła rozwarstwiająca między drewnem i stalą
ł
TySx 5 000i683
Rł = =E" 250 N / cmb,
Jx 13 700
\
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W11A/28
Wytrzymałość Materiałów pręty zespolone
" ekstremalne naprężenia (ściskające) w drewnie
Mmax 750 000
drewna
� = � = - =- =-735 N / cm2 ,
g
Wg 1020
" ekstremalne naprężenia (rozciągające) w stali
Mmax 750 000
stali
� = n�d = n = 20 = 7760 N / cm2 ,
Wg 1935
przekrój zastępczy
" moment statyczny np. płaskownika stalowego
ł
1
Sx = nibshs (yc+ hs )
2
1
= 20i10i0.5i(6.58 + 0.5) = 683 cm3,
2
" siła rozwarstwiająca między drewnem i stalą
ł
TySx 5 000i683
Rł = =E" 250 N / cmb,
Jx 13 700
Nw
" odstęp wkrętów �! z warunku Rł e d" Nw �! e d"
Rł
Nw 2500
e d" ==10 cm .
Rł 250
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W11A/29
Wytrzymałość Materiałów Budownictwo, Rok II, Semestr III
Dziękuję za uwagę
cdn.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów