PODSTAWY WYTRZYMAA
OŚCI
MATERIAA
ÓW (POWYM)
Wykresy momentów gnących:
belki i proste ramy płaskie
Praca domowa
Automatyka i Robotyka, sem. 3.
Dr in\
.. Anna Dąbrowska-Tkaczyk
LITERATURA
1. Lewiński J., Wilczyński A., Wittenberg  Perzyk D, Podstawy
Wytrzymałości Materiałów, Oficyna Wydawnicza Politechniki
Warszawskiej, Warszawa 2000,
2. Lewiński J., Wawrzyniak A., Pomoce dydaktyczne do ćwiczeń z
wytrzymałości materiałów, Warszawa 2005,
3. Bąk Roman, Burczyński Tadeusz, Wytrzymałość materiałów z
elementami ujęcia komputerowego, WNT, Warszawa 2001,
4. Niezgodziński M., E, Niezgodziński T, Wzory, wykresy i tablice
wytrzymałościowe, WNT, 1996,
5. Brzoska Zbigniew, Wytrzymałość materiałów, PWN, Warszawa
1972
6. Jastrzębski Przemysław, Mutermilch Jerzy, Orłowski Wiktor,
Wytrzymałość materiałów, Arkady, Warszawa, 1985
MODEL PR
TA PROSTEGO W STANIE
RÓWNOWAGI STATYCZNEJ
Wg [3]
SIA
Y WEWN
TRZNE
I NAPR
śENIA W PR
CIE
Wektor naprę\
enia całkowitego
"A - element powierzchni przekroju w otoczeniu punktu,
"
"
"
"PW -wypadkowa sił powierzchniowych działających na "
" "
" "A.
" "
Ka\
demu punktowi przekroju jest przyporządkowany wektor naprę\
enia. Określone w
ten sposób pole wektorowe naprę\
enia tworzy układ powierzchniowych sił
wewnętrznych p (y, z).
Po zredukowaniu do środka cię\
kości S przekroju mo\
na go zastąpić wektorem
głównym Pw i momentem głównym Mw sił wewnętrznych
Pw i Mw mo\
na wyznaczyć albo z warunków równowagi lewej  /", albo prawej  p"
części pręta,
Wg [3]
SKA
ADOWE SIA
WEWN
TRZNYCH
" Poło\
enie przekroju pręta określa
współrzędna x,
" Pręt dzieli się na przedziały,
" Granicę przedziału stanowi:
- podpora,
-miejsce przyło\
enia siły skupionej lub
momentu skupionego,
-początek lub koniec obcią\
enia
rozło\
onego w sposób ciągły wzdłu\

osi pręta
Równaniem siły normalnej N(x), momentu skręcającego Ms(x), siły
poprzecznej T(x) lub momentu gnącego Mg(x) nazywamy funkcję
określającą odpowiednio N, Ms, T lub Mg w ka\
dym przekroju
nale\
ącym do rozwa\
anego przedziału pręta.
Obrazem równań N(x), Ms(x), T(x) lub Mg(x) są wykresy sił
wewnętrznych w pręcie.
Wg [3]
KONWENCJA ZNAKÓW
Siła normalna N jest równa algebraicznej sumie składowych osiowych sił
zewnętrznych działających po jednej stronie rozwa\
anego przekroju pręta.
Rozciąganie
Ściskanie
Moment skręcający Ms jest równy algebraicznej sumie momentów sił
zewnętrznych działających po jednej stronie rozwa\
anego przekroju pręta
względem jego osi.
Wg [3]
KONWENCJA ZNAKÓW
Wg [5]
MODEL BELKI ZGINANEJ
Pręt obcią\
ony siłami lub momentami zewnętrznymi, których wektory przecinają
jego oś pod kątem prostym, nazywa się belką
W przekroju belki mo\
e działać moment gnący Mg oraz siła tnąca
(poprzeczna) T. Wektor momentu gnącego jest prostopadły do płaszczyzny,
w której le\
ą obcią\
enia oraz siła poprzeczna T.
Moment gnący Mg równa się
algebraicznej sumie momentów
obcią\
eń zewnętrznych (P - siła
skupiona, q - obcią\
enie
rozło\
one,
M  moment skupiony, czyli para
sił) działających po jednej stronie
rozwa\
anego przekroju belki
względem środka cię\
kości tego
przekroju
Wg [3]
SIA
A POPRZECZNA, TN
CA T
i MOMENT GN
CY Mg
Siła poprzeczna T jest równa algebraicznej sumie składowych sił
ze-wnętrznych prostopadłych do osi belki, działających po jednej stronie
rozwa\
anego przekroju
Wg [3]
Modele belek i ram płaskich statycznie
wyznaczalnych
Sposoby podparcia, reakcje
Utwierdzenie, Rx, Ry, Mo
y
Podpora przegubowa
x
y
stała, Rx, Ry
o
x
y
Podpora przegubowa
przesuwna, Ry
Modele belek
belki dwupodporowe belki wspornikowe
belki z przegubem
ż
ż
Ramy płaskie statycznie wyznaczalne
Modele ram płaskich, przykłady
OBCI
śENIA BELEK I RAM PA
ASKICH
Siła skupiona
Moment skupiony
Obcią\
enie ciągłe, rozło\
one równomiernie
Obcią\
enie ciągłe, rozło\
one liniowo
ANALITYCZNE OKREŚLENIE
MOMENTÓW GN
CYCH I SIA
TN
CYCH
Wg [5]
OBLICZANIE BELEK ZGINANYCH
Wg [4]
WZORY I WYKRESY DOTYCZ
CE ZGINANIA BELEK
WSPORNIKOWYCH
y
x
Wg [4]
WZORY I WYKRESY DOTYCZ
CE ZGINANIA BELEK
WSPORNIKOWYCH
y
x
Wg [4]
WZORY I WYKRESY DOTYCZ
CE ZGINANIA BELEK
WSPORNIKOWYCH
y
x
Wg [4]
WYKRESY I WZORY DOTYCZ
CE ZGINANIA
BELEK SPOCZYWAJ
CYCH NA DWÓCH
PODPORACH
Wg [4]
WYKRESY I WZORY DOTYCZ
CE ZGINANIA
BELEK SPOCZYWAJ
CYCH NA DWÓCH
PODPORACH
y
x
Wg [4]
WYKRESY I WZORY DOTYCZ
CE ZGINANIA
BELEK SPOCZYWAJ
CYCH NA DWÓCH
PODPORACH, wg [ 4]
y
x
Wg [4]
PRZYKA
ADY BELEK I RAM
(praca domowa)
1 2 3
M=ql2 P
ś=ql2
M=ql2
M=ql2
M=2ql2
ż ż
ż
M=Pl
P
P P
M=Pl
M=Pl
P
P
2P
4 5 6
ql
ql2 ql ql2
q
q
q
l l
l
l l l l
ql2 ql2 ql2
2ql2 ql
ql
ż ż
ż
l l/2
l/2 l/2 l/2 l/2 l/2
l l
ql2
q ql ql
ql
ql2
q
ql q
Długości przedziałów w ramach = l
7 8 9
ql
ql2 ql2
q q q
l 1.5l l 1.5l
l l
0.5l
Pl
q
M M P
ql
ż
ż
ż
l l
l l 0.5l 0.5l 0.5l 0.5l
ql Pl q
Pl
q ql2
ql
ql2
P
Długość prętów w ramach = l
10 11 12
ql2 q
q q
ql
l l l/2
l l l/2
l/2 l l
ql
q q ql q
ql2
ż
ż ż
ql2
l l/2 l l l/2 l l/2 l/2 l/2 l
Pl
P
P
Pl
Pl
P
Pl
P
Długości przedziałów w ramach = l P
13 14 15
ql2 ql2
ql q q
q
l l l/2 1,5l 1,5l l/2
ql2
q ql2 ql ql2
q q
ż
ż
ż
l l/2 l
l l/2 l l l l/2
Pl
P
3Pl
Pl
P l/2
2P
P
P
P
Długości prętów w ramach = l
16 17 18
ql2 ql2
q ql q q
l/2 l l/2 l l l l
q
q ql2
q ql
ż ż
ż
l l/2 l/2 l l l l l/2
Pl P
Pl
P
P
Pl
P
Pl
P
Pl
Długości prętów w ramach = l
19 20 21
ql2
q ql2
q ql q
l l
l l l l
Pl
ql2
q Pl
P
P
ż
l l/2 l/2
l/2 l/2 l
ż l/2 l/2 l/2 l/2
P ql2
ql
P
q
ql
q
Pl
ql2
Długości prętów w ramach = l
ż
22 23 24
ql ql2
ql2
q q ql
l l l/2 l l/2 l l
ql2 q ql ql2 q
q
ż
ż
ż
l l/2 l l l/2 l l l/2 l
P Pl
P
Pl Pl
P
P
Pl
P
Długości prętów w ramach = l
25 26 27
ql2
q
ql2
q
q
l/2 l/2 l
l l l
l l l/2
q q ql
Pl
ż
ql P
q
l l/2 l/2
ż
ż
P l l
l l
2Pl
P
P
Pl
Pl
2Pl
P
P
Długości prętów w ramach = l
28 29 30
q
ql2
2q
q q
l
l l
ql
l l l l l/2 l/2
M M
ql
ql2
q
ż q
l l/2 l/2
ż ż
l l
l l l
P
Pl
Pl
q P
ql
Pl
P
ql2
Długości prętów w
ramach = l
31 32 33
ql2
ql2 ql2
q q q
l l l l
l l
ql2 ql2
ql2 q
q
q
ż ż
ż
l l
l l
l l
Pl P
P
Pl
Pl
2P
2P
P
P
Długości prętów w ramach = l
34
ql2
ql2 ql2
q
q
ż
l l
2l
P
P
Pl
Pl
Długości prętów w ramie = l