Przekształcenia liniowe a macierze
WYKA
AD 11
Jacek Jędrzejewski
2008/2009
Spis treści
1 Macierze cd. 2
2 Macierz przekształcenia liniowego 3
1
1 Macierze cd.
Macierzą kwadratową nazywamy macierz, w której liczba wierszy jest równa
liczbie kolumn. Tę wspólną liczbę nazywamy stopniem macierzy kwadrato-
wej.

Jeśli macierz kwadratowa A o n wierszach i kolumnach ma postać aij ,
to ciąg (a11, a22, . . . , ann) nazywamy główną przekątną tej macierzy.

Jeśli w macierzy kwadratowej aij , wszystkie elementy powyżej głównej
przekątnej są równe zeru, to taką macierz nazywamy macierzą trójkątną dol-
ną.

Jeśli w macierzy kwadratowej aij , wszystkie elementy poniżej głównej
przekątnej są równe zeru, to taką macierz nazywamy macierzą trójkątną gór-
ną.

Jeśli w macierzy kwadratowej aij , wszystkie elementy poza główną prze-
kątną są równe zeru, to taką macierz nazywamy macierzą diagonalną, ozna-
czamy ją jako diag (a11, a22, . . . , ann).
Macierzą skalarną nazywamy macierz diagonalną, w której wszystkie ele-
menty głównej przekątnej są sobie równe.
Macierzą jednostkową stopnia n nazywamy macierz diagonalną, w której
wszystkie elementy na głównej przekątnej są równe 1. Macierz tę będziemy
oznaczali literą E.
Czasami symbolem �ij będziemy oznaczali tzw. deltę Kroneckera, czyli
funkcję, określoną w zbiorze N2 wzorem:
ńł
�ł
�ł
1, gdy i = j,
�ij =
�ł
ół
0, gdy i = j.

Wtedy macierz jednostkową stopnia n można zapisać w postaci:
i=1,...,n
E = �ij .
j=1,...,n
Macierzą zerową (niezależnie od jej wymiaru) nazywamy macierz, której
wszystkie wyrazy są równe zeru. Macierz tę będziemy oznaczali literą O.
2
Zbiór wszystkich macierzy o wymiarach m � n i elementach z ciała K
oznaczamy symbolem Km�n lub Mm�n(K).
Zbiór wszystkich macierzy kwadratowych stopnia n i elementach z ciała K
oznaczamy symbolem Kn�n lub Mn�n(K), lub Mn(K).
i=1,...,m
Niech A, gdzie A = aij , będzie macierzą ze zbioru Mm�n(K).
j=1,...,n
j=1,...,n
Macierz B, gdzie B = bji , ze zbioru Mn�m(K) nazywamy macierzą
i=1,...,m
transponowaną macierzy A, jeśli bji = aij dla każdego i ze zbioru {1, . . . , n}
oraz j ze zbioru {1, . . . , m}. Macierz transponowaną macierzy A oznaczamy
jako At lub AT lub A".
Każdy wiersz macierzy A jest kolumną macierzy transponowanej At i każ-
da kolumna macierzy A jest wierszem macierzy transponowanej At.
Przykład 1 Niech
�ł łł
2 1 3 -2

�ł śł
�ł śł
A = 5 6 8 4 i B = 7 9 6 4 0 .
�ł �ł
4 0 5 7
Dla tych macierzy mamy:
�ł łł
�ł łł
7
�ł śł
2 5 4
�ł śł
�ł śł
9
�ł śł
�ł śł
�ł śł
1 6 0
�ł śł
�ł śł
At = �ł śł i Bt = 6 .
�ł śł
�ł śł
3 8 5 �ł śł
�ł �ł
�ł śł
4
�ł �ł
-2 4 7
0
Twierdzenie 1 Zbiór Mm�n(K) z dodawaniem macierzy i mnożeniem ma-
cierzy przez elementy ciała K jest przestrzenią liniową nad ciałem K, mającą
wymiar m � n.
2 Macierz przekształcenia liniowego
Niech V i W będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K i niech układ
(x1, . . . , xn) będzie bazą przestrzeni V , natomiast układ (y1, . . . , ym) będzie
3
bazą przestrzeni W .
Niech A będzie przekształceniem liniowym przestrzeni V w przestrzeń W .
Każdy wektor A(xj) można jednoznacznie przedstawić w postaci kombinacji
liniowej wektorów y1, . . . , ym, tzn. istnieją elementy aij ciała K takie, że
A(xj) = a1jy1 + . . . + amjym,
dla wszystkich j ze zbioru {1, . . . , n}.
Otrzymane współczynniki tworzą macierz o m wierszach i n kolumnach
�ł łł
a11 . . . a1n
�ł śł
�ł śł
. . . . . . . . . .
�ł �ł
am1 . . . amn

Oznaczamy tę macierz symbolem A lub MA lub krótko A. Macierz tę
Y,X
nazywamy macierzą przekształcenia A względem baz X i Y, gdzie
X = (x1, . . . , xn) i Y = (y1, . . . , ym).
Zauważamy, że j-ta kolumna składa się ze współczynników rozwinięcia wek-
tora A(xj) względem bazy (y1, . . . , ym).
Twierdzenie 2 Jeśli V i W są przestrzeniami liniowymi nad ciałem K oraz
dim V = n i dim W = m, to przestrzeń Hom(V , W ) jest izomorficzna z
przestrzenią Mm�n(K) wszystkich macierzy o m wierszach i n kolumnach.
D o w ó d. Wiemy, że zbiór macierzy Mm�n(K) stanowi przestrzeń liniową
ze względu na dodawanie macierzy i mnożenie przez elementy ciała. Niech
X i Y, gdzie X = (x1, . . . , xn) i Y = (y1, . . . , ym) będą bazami przestrzeni
V i W , odpowiednio. Niech T będzie przekształceniem, które każdemu ho-
momorfizmowi A przestrzeni V w przestrzeń W przyporządkowuje macierz
[A]Y,X .

Wtedy T Hom(V , W ) = Mm�n(K). Istotnie, niech aij będzie dowolną
macierzą ze zbioru Mm�n(K) oraz niech
wj = a1jy1 + . . . + amjym, j " {1, . . . , n}.
4
Z twierdzenia o określaniu przekształcenia liniowego wynika, że istnieje jedy-
ne przekształcenie liniowe A przestrzeni V w przestrzeń W takie, że
A(xj) = wj

dla każdego wskaz
nika j ze zbioru {1, . . . , n}. Oczywiście [A]Y,X = aij , czyli

T (A) = aij .
Z tego twierdzenia wynika też, że jeśli T (A) = T (B) dla pewnych prze-
kształceń liniowych A i B ze zbioru Hom(V , W ), czyli dla każdego wektora
xj z bazy X spełniony jest warunek A(xj) = B(xj), to A = B.
Udowodnimy teraz, że funkcja T jest homomorfizmem. Niech A i B będą
dowolnymi przekształceniami ze zbioru Hom(V , W ) i ą  dowolnym elemen-
tem z ciała K. Jeśli
�ł łł
a11 . . . a1n
�ł śł
�ł śł
T (A) = . . . . . . . . .
�ł �ł
am1 . . . amn
i
�ł łł
b11 . . . b1n
�ł śł
�ł śł
T (B) = . . . . . . . . . ,
�ł �ł
bm1 . . . bmn
to
(A + B)(xj) = A(xj) + B(xj) =
= (a1j + b1j)�y1 + . . . + (amj + bmj)�ym,
gdy j " {1, . . . , n}.
Zatem
�ł łł
a11 + b11 . . . a1n + b1n
�ł śł
�ł śł
T (A + B) = . . . . . . . . . =
�ł �ł
am1 + bm1 . . . amn + bmn
�ł łł �ł łł
a11 . . . a1n b11 . . . b1n
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł
= . . . . . . . . . + . . . . . . . . . =
�ł �ł �ł �ł
am1 . . . amn bm1 . . . bmn
5
= T (A) + T (B).
Ponieważ
(ą�A)(xj) = ą�A(xj) = (ąa1j)�y1 + . . . + (ąamj)�ym,
więc
�ł łł
ąa11 . . . ąa1n
�ł śł
�ł śł
T (ą�A) = . . . . . . . . . =
�ł �ł
ąam1 . . . ąamn
�ł łł
a11 . . . a1n
�ł śł
śł
= ą��ł . . . . . . . . . ą�T (A).
=
�ł �ł
am1 . . . amn

Wniosek 1 Niech V i V będą skończenie wymiarowymi przestrzeniami li-

niowymi nad ciałem K oraz niech X będzie bazą przestrzeni V , a X  bazą

przestrzeni V . Jeśli A " Hom(V , V ), B " Hom(V , V ) i ą " K, to

A + B = A + B

X ,X X ,X X ,X

ą � A = ą � A

X ,X X ,X
Przykład 2 Niech funkcja A : R3 - R2 będzie określona wzorem

A (x1, x2, x3) = (2x1 + x2, x1 - 3x2 + x3).
Czy A jest homomorfizmem przestrzeni R3 w przestrzeń R2? Jeśli tak, to
znalez
ć macierz tego przekształcenia względem baz X i Y, gdzie
X = (x1, x2, x3) i Y = (y1, y2)
oraz
x1 = (1, 0, 0), x2 = (0, 1, 0), x3 = 0, 0, 1),
y1 = (1, 0), i y2 = (0, 1).
6
Niech x i y, gdzie
x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3),
będą dowolnymi wektorami z przestrzeni R3 i ą dowolnym elementem ciała R.
Wtedy
x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3),
ąx = (ąx1, ąx2, ąx3).
Zatem
A(x + y) =

= 2(x1 + y1) + (x2 + y2), (x1 + y1) - 3(x2 + y2) + (x3 + y3) =

= 2x1 + x2, x1 - 3x2 + x3) + 2y1 + y2, y1 - 3y2 + y3 =
= A(x) + A(y).
Podobnie

A(ąx) = 2(ąx1) + ąx2, ąx1 - 3(ąx2) + ąx3 =

= ą(2x1 + x2), ą(x1 - 3x2 + x3) =

= ą� (2x1 + x2), (x1 - 3x2 + x3) = ą�A(x).
Udowodniliśmy, że przekształcenie A jest homomorfizmem.
Obliczmy wartości A(x1), A(x2) i A(x3) :

A(x1) = 2�1 + 0, 1 - 3�0 + 0 = (2, 1) =
= 2�(1, 0) + (0, 1) = 2y1 + y2,

A(x2) = 2�0 + 1, 0 - 3�1 + 0 = (1, -3) =
= (1, 0) - 3�(0, 1) = y1 - 3y2,

A(x3) = 2�0 + 0, 0 - 3�0 + 1 = (0, 1) = y2.
7
Z obliczeń tych wynika, że
�ł łł

2 1 0
�ł �ł
A = .
Y,X
1 -3 1
W przypadku endomorfizmów (czyli gdy V = W ) przyjmujemy (chyba,
że zaznaczymy inaczej), że została ustalona tylko jedna baza; niech to będzie

baza X . W takim przypadku mówimy, że macierz A endomorfizmu (ope-
X ,X
ratora liniowego) A przestrzeni V jest macierzą tego endomorfizmu względem

bazy X . Macierz tę oznaczamy jako A . Macierz takiego przekształcenia
X
jest więc macierzą kwadratową.
8