Macierze i przekształcenia liniowe
WYKA
AD 10
Jacek Jędrzejewski
2008/2009
Spis treści
1 Macierze 2
2 Macierz przekształcenia liniowego 6
1
1 Macierze
Definicja 1 MacierzÄ… o m wierszach i n kolumnach (o wymiarach m × n) i
wyrazach w ciele K nazywamy funkcję określoną w zbiorze
{1, 2, . . . , m} × {1, 2, . . . , n},
gdzie n " N, m " N, i przyjmującą wartości w ciele K, którą zapisujemy
w tabeli
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 . . . a1n
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
a21 a22 . . . a2n śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ,
ïÅ‚ śł
. . . . . . . . . . . .
ðÅ‚ ûÅ‚
am1 am2 . . . amn
co oznacza, że wartością naszej funkcji dla argumentu (i, j) jest element aij,
czasem oznaczany też jako ai,j, należący do ciała K.
Powyższą macierz zapisujemy też w następującej tabeli:
ëÅ‚ öÅ‚
a11 a12 . . . a1n
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
a21 a22 . . . a2n ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ .
ìÅ‚ ÷Å‚
. . . . . . . . . . . .
íÅ‚ Å‚Å‚
am1 am2 . . . amn
Pionowe rzędy macierzy nazywamy kolumnami macierzy, poziome rzędy na-
zywamy wierszami macierzy.
W skrócie macierze zapisujemy w jeden z następujących sposobów:
i=1,...,m i=1,...,m
aij , aij , aij , aij ,
j=1,...,n j=1,...,n
przy czym ostatnie dwa sposoby zapisu stosujemy wtedy, gdy liczba wierszy
i liczba kolumn danej macierzy sÄ… ustalone.
Mówimy, że wyraz akl stoi w k-tym wierszu i l-tej kolumnie macierzy

aij . Elementy aij nazywamy wyrazami, elementami lub współczynnikami
macierzy.
2

Macierze są pewnymi funkcjami, więc macierze aij , bij są równe, jeśli
majÄ… tÄ™ samÄ… liczbÄ™ wierszy i tÄ™ samÄ… liczbÄ™ kolumn oraz
aij = bij,
dla wszystkich i ze zbioru {1, . . . , m} oraz j ze zbioru {1, . . . , n}.
Macierzy o różnych liczbach wierszy lub kolumn nie porównujemy.
Jeśli znamy wymiar macierzy, a mniej interesują nas wyrazy tych macierzy,
to często na oznaczanie macierzy będziemy stosowali litery typu: A, B i
tak dalej. Najczęściej zapisując macierz będziemy stosowali wielkie litery na
oznaczenie macierzy i odpowiadające im małe litery na oznaczanie elementów
danych macierzy. Np.

A = aij , B = bij
i tym podobnie.
Macierzą kwadratową nazywamy macierz, w której liczba wierszy jest rów-
na liczbie kolumn. Tę wspólną liczbę nazywamy stopniem macierzy kwadra-
towej.

Jeśli macierz kwadratowa A o n wierszach i kolumnach ma postać aij ,
to ciąg (a11, a22, . . . , ann) nazywamy główną przekątną tej macierzy.

Jeśli w macierzy kwadratowej aij , wszystkie elementy powyżej głównej
przekątnej są równe zeru, to taką macierz nazywamy macierzą trójkątną dol-
nÄ….

Jeśli w macierzy kwadratowej aij , wszystkie elementy poniżej głównej
przekątnej są równe zeru, to taką macierz nazywamy macierzą trójkątną gór-
nÄ….

Jeśli w macierzy kwadratowej aij , wszystkie elementy poza główną prze-
kątną są równe zeru, to taką macierz nazywamy macierzą diagonalną, ozna-
czamy jÄ… jako diag (a11, a22, . . . , ann).
Macierzą skalarną nazywamy macierz diagonalną, w której wszystkie ele-
menty głównej przekątnej są sobie równe.
Macierzą jednostkową stopnia n nazywamy macierz diagonalną, w której
wszystkie elementy na głównej przekątnej są równe 1. Macierz tę będziemy
3
oznaczali literÄ… E.
Czasami symbolem ´ij bÄ™dziemy oznaczali tzw. deltÄ™ Kroneckera, czyli
funkcję, określoną w zbiorze N2 wzorem:
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚
1, gdy i = j,
´ij =
ôÅ‚
ół
0, gdy i = j.

Wtedy macierz jednostkową stopnia n można zapisać w postaci:
i=1,...,n
E = ´ij .
j=1,...,n
Macierzą zerową (niezależnie od jej wymiaru) nazywamy macierz, której
wszystkie wyrazy są równe zeru. Macierz tę będziemy oznaczali literą O.
Zbiór wszystkich macierzy o wymiarach m × n i elementach z ciaÅ‚a K
oznaczamy symbolem Km×n lub Mm×n(K).
Zbiór wszystkich macierzy kwadratowych stopnia n i elementach z ciała K
oznaczamy symbolem Kn×n lub Mn×n(K), lub Mn(K).
i=1,...,m
Niech A, gdzie A = aij , bÄ™dzie macierzÄ… ze zbioru Mm×n(K).
j=1,...,n
j=1,...,n
Macierz B, gdzie B = bji , ze zbioru Mn×m(K) nazywamy macierzÄ…
i=1,...,m
transponowaną macierzy A, jeśli bji = aij dla każdego i ze zbioru {1, . . . , n}
oraz j ze zbioru {1, . . . , m}. Macierz transponowanÄ… macierzy A oznaczamy
jako At lub AT lub A".
Każdy wiersz macierzy A jest kolumną macierzy transponowanej At i każ-
da kolumna macierzy A jest wierszem macierzy transponowanej At.
Przykład 1 Niech
îÅ‚ Å‚Å‚
2 1 3 -2

ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
A = 5 6 8 4 i B = 7 9 6 4 0 .
ðÅ‚ ûÅ‚
4 0 5 7
Znajdziemy macierze transponowane do macierzy A i B.
4
Dla danych macierzy mamy:
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
7
ïÅ‚ śł
2 5 4
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
9
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
1 6 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
At = ïÅ‚ śł i Bt = 6 .
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
3 8 5 ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚ śł
4
ðÅ‚ ûÅ‚
-2 4 7
0
W zbiorze macierzy Mm×n(K) możemy rozpatrywać dziaÅ‚ania dodawania
i mnożenia przez elementy ciała K (macierze są funkcjami, więc działania
określamy zgodnie z zasadą podaną w przykładzie przestrzeni liniowej funk-
cji). Możemy te działania zapisać w wersji macierzowej
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 . . . a1n b11 b12 . . . b1n
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚
a21 a22 . . . a2n śł ïÅ‚ b21 b22 . . . b2n śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł + ïÅ‚ śł =
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
am1 am2 . . . amn bm1 bm2 . . . bmn
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1n
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
a21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ,
ïÅ‚ śł
. . . . . . . . . . . .
ðÅ‚ ûÅ‚
am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 . . . a1n
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
a21 a22 . . . a2n śł
ïÅ‚ śł
Ä… · ïÅ‚ śł =
ïÅ‚ śł
. . . . . . . . . . . .
ðÅ‚ ûÅ‚
am1 am2 . . . amn
îÅ‚ Å‚Å‚
Ä…a11 Ä…a12 . . . Ä…a1n
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
ąa21 ąa22 . . . ąa2n śł
ïÅ‚ śł
= ïÅ‚ śł .
ïÅ‚ śł
. . . . . . . . . . . .
ðÅ‚ ûÅ‚
Ä…am1 Ä…am2 . . . Ä…amn
Krócej
i=1,...,m i=1,...,m i=1,...,m
aij + bij = aij + bij ,
j=1,...,n j=1,...,n j=1,...,n
5
 i=1,...,m i=1,...,m
Ä…· aij = Ä…·aij
j=1,...,n j=1,...,n
lub jeszcze krócej

aij + bij = aij + bij ,

Ä…· aij = Ä…·aij .
Nietrudno udowodnić, że przestrzeÅ„ liniowa Mm×n(K) ma wymiar m · n.
Istotnie, niech Dkl będzie macierzą, w której współczynnik w k-tym wierszu
i l-tej kolumnie jest równy 1, a pozostałe są równe 0, gdzie k " {1, . . . , m}
i l " {1, . . . , n}. Macierze te są liniowo niezależne i każda macierz jest kom-
binacją liniową tychże. Dowodzi to, iż macierze te stanowią bazę przestrzeni
Mm×n(K), a jest ich m · n.
Udowodniliśmy w ten sposób następujące twierdzenie:
Twierdzenie 2 Zbiór Mm×n(K) z dodawaniem macierzy i mnożeniem ma-
cierzy przez elementy ciała K jest przestrzenią liniową nad ciałem K, mającą
wymiar m · n.
2 Macierz przekształcenia liniowego
Niech V i W będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K i niech układ
(x1, . . . , xn) będzie bazą przestrzeni V , natomiast układ (y1, . . . , ym) będzie
bazÄ… przestrzeni W .
Niech A będzie przekształceniem liniowym przestrzeni V w przestrzeń W .
Każdy wektor A(xj) można jednoznacznie przedstawić w postaci kombinacji
liniowej wektorów y1, . . . , ym, tzn. istnieją elementy aij ciała K takie, że
A(xj) = a1jy1 + . . . + amjym,
dla wszystkich j ze zbioru {1, . . . , n}.
6
Otrzymane współczynniki tworzą macierz o m wierszach i n kolumnach
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 . . . a1n
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
. . . . . . . . . .
ðÅ‚ ûÅ‚
am1 . . . amn

Oznaczamy tę macierz symbolem A lub MA lub krótko A. Macierz tę
Y,X
nazywamy macierzą przekształcenia A względem baz X i Y, gdzie
X = (x1, . . . , xn) i Y = (y1, . . . , ym).
Zauważamy, że j-ta kolumna składa się ze współczynników rozwinięcia wek-
tora A(xj) względem bazy (y1, . . . , ym).
Twierdzenie 3 Jeśli V i W są przestrzeniami liniowymi nad ciałem K oraz
dim V = n i dim W = m, to przestrzeń Hom(V , W ) jest izomorficzna z
przestrzeniÄ… Mm×n(K) wszystkich macierzy o m wierszach i n kolumnach.
D o w ó d. Wiemy, że zbiór macierzy Mm×n(K) stanowi przestrzeÅ„ liniowÄ…
ze względu na dodawanie macierzy i mnożenie przez elementy ciała. Niech
X i Y, gdzie X = (x1, . . . , xn) i Y = (y1, . . . , ym) będą bazami przestrzeni
V i W , odpowiednio. Niech T będzie przekształceniem, które każdemu ho-
momorfizmowi A przestrzeni V w przestrzeń W przyporządkowuje macierz
[A]Y,X .

Wtedy T Hom(V , W ) = Mm×n(K). Istotnie, niech aij bÄ™dzie dowolnÄ…
macierzÄ… ze zbioru Mm×n(K) oraz niech
wj = a1jy1 + . . . + amjym, j " {1, . . . , n}.
Z twierdzenia o określaniu przekształcenia liniowego wynika, że istnieje jedy-
ne przekształcenie liniowe A przestrzeni V w przestrzeń W takie, że
A(xj) = wj

dla każdego wskaz
nika j ze zbioru {1, . . . , n}. Oczywiście [A]Y,X = aij , czyli

T (A) = aij .
7
Z tego twierdzenia wynika też, że jeśli T (A) = T (B) dla pewnych prze-
kształceń liniowych A i B ze zbioru Hom(V , W ), czyli dla każdego wektora
xj z bazy X spełniony jest warunek A(xj) = B(xj), to A = B.
Udowodnimy teraz, że funkcja T jest homomorfizmem. Niech A i B będą
dowolnymi przekształceniami ze zbioru Hom(V , W ) i ą  dowolnym elemen-
tem z ciała K. Jeśli
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 . . . a1n
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
T (A) = . . . . . . . . .
ðÅ‚ ûÅ‚
am1 . . . amn
i
îÅ‚ Å‚Å‚
b11 . . . b1n
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
T (B) = . . . . . . . . . ,
ðÅ‚ ûÅ‚
bm1 . . . bmn
to
(A + B)(xj) = A(xj) + B(xj) =
= (a1j + b1j)·y1 + . . . + (amj + bmj)·ym,
gdy j " {1, . . . , n}.
Zatem
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 + b11 . . . a1n + b1n
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
T (A + B) = . . . . . . . . . =
ðÅ‚ ûÅ‚
am1 + bm1 . . . amn + bmn
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
a11 . . . a1n b11 . . . b1n
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
= . . . . . . . . . + . . . . . . . . . =
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
am1 . . . amn bm1 . . . bmn
= T (A) + T (B).
Ponieważ
(Ä…·A)(xj) = Ä…·A(xj) = (Ä…a1j)·y1 + . . . + (Ä…amj)·ym,
więc
8
îÅ‚ Å‚Å‚
Ä…a11 . . . Ä…a1n
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
T (Ä…·A) = . . . . . . . . . =
ðÅ‚ ûÅ‚
Ä…am1 . . . Ä…amn
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 . . . a1n
ïÅ‚ śł
śł
= Ä…·ïÅ‚ . . . . . . . . . Ä…·T (A).
=
ðÅ‚ ûÅ‚
am1 . . . amn

Wniosek 1 Niech V i V będą skończenie wymiarowymi przestrzeniami li-

niowymi nad ciałem K oraz niech X będzie bazą przestrzeni V , a X  bazą

przestrzeni V . Jeśli A " Hom(V , V ), B " Hom(V , V ) i ą " K, to

A + B = A + B

X ,X X ,X X ,X

Ä… · A = Ä… · A

X ,X X ,X
Przykład 2 Niech funkcja A : R3 - R2 będzie określona wzorem

A (x1, x2, x3) = (2x1 + x2, x1 - 3x2 + x3).
Czy A jest homomorfizmem przestrzeni R3 w przestrzeń R2? Jeśli tak, to
znalez
ć macierz tego przekształcenia względem baz X i Y, gdzie
X = (x1, x2, x3) i Y = (y1, y2)
oraz
x1 = (1, 0, 0), x2 = (0, 1, 0), x3 = 0, 0, 1),
y1 = (1, 0), i y2 = (0, 1).
Niech x i y, gdzie
x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3),
9
będą dowolnymi wektorami z przestrzeni R3 i ą dowolnym elementem ciała R.
Wtedy
x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3),
Ä…x = (Ä…x1, Ä…x2, Ä…x3).
Zatem
A(x + y) =

= 2(x1 + y1) + (x2 + y2), (x1 + y1) - 3(x2 + y2) + (x3 + y3) =

= 2x1 + x2, x1 - 3x2 + x3) + 2y1 + y2, y1 - 3y2 + y3 =
= A(x) + A(y).
Podobnie

A(Ä…x) = 2(Ä…x1) + Ä…x2, Ä…x1 - 3(Ä…x2) + Ä…x3 =

= Ä…(2x1 + x2), Ä…(x1 - 3x2 + x3) =

= Ä…· (2x1 + x2), (x1 - 3x2 + x3) = Ä…·A(x).
Udowodniliśmy, że przekształcenie A jest homomorfizmem.
Obliczmy wartości A(x1), A(x2) i A(x3) :

A(x1) = 2·1 + 0, 1 - 3·0 + 0 = (2, 1) =
= 2·(1, 0) + (0, 1) = 2y1 + y2,

A(x2) = 2·0 + 1, 0 - 3·1 + 0 = (1, -3) =
= (1, 0) - 3·(0, 1) = y1 - 3y2,

A(x3) = 2·0 + 0, 0 - 3·0 + 1 = (0, 1) = y2.
Z obliczeń tych wynika, że
îÅ‚ Å‚Å‚

2 1 0
ðÅ‚ ûÅ‚
A = .
Y,X
1 -3 1
10
W przypadku endomorfizmów (czyli gdy V = W ) przyjmujemy (chyba,
że zaznaczymy inaczej), że została ustalona tylko jedna baza; niech to będzie

baza X . W takim przypadku mówimy, że macierz A endomorfizmu (ope-
X ,X
ratora liniowego) A przestrzeni V jest macierzą tego endomorfizmu względem

bazy X . Macierz tę oznaczamy jako A . Macierz takiego przekształcenia
X
jest więc macierzą kwadratową.
11