stała częstotliwość fali
Efekt fotoelektryczny Efekt fotoelektryczny
-
Q = 0
E
+
+
+ + +
+ +
+
+
+
+ +
+
+
+ +
+
Potencjał hamujący
+
+ +
+
+ +
+
+
Stałe natężenie oświetlenia
Aby elektron mógł opuścić metal należy dostarczyć mu pewną
minimalną wartość energii którą nazywamy pracą wyjścia.
Energia ta może być uzyskana np. poprzez absorpcję energii fali
elektromagnetycznej. Dla większości metali wartość pracy
wyjścia jest bliska 4 eV.
Dr Jan Szatkowski 1 Dr Jan Szatkowski 2
Efekt fotoelektryczny Efekt fotoelektryczny - wyjaśnienie
" Właściwości fotoefektu
Założenie Einsteina:
 Elektrony emitowane są jedynie pod wpływem  oświetlenia
Fala elektromagnetyczna o czÄ™stotliwoÅ›ci ½ jest
falą o częstotliwości większej od pewnej minimalnej zwanej
strumieniem czÄ…stek ( fotonów) o energii E=h½ , każdy.
czÄ™stotliwoÅ›ciÄ… progowÄ… fotoefektu (½gr), a odpowiadajÄ…cajej
długość fali progową długością fali (długofalową granicą)
c
gr =
h½ = A + E
½
k ,max
gr
 Dla f > fgr natężenie fotoprądu jest proporcjonalne do wartości
 Dla f > f natężenie fotoprądu jest proporcjonalne do wartości
strumienia padającej fali (natężenia oświetlenia katody )
Wyjaśnienie:
 Elektrony emitowane sÄ… natychmiast
" W wyniku absorpcji fotonu przez elektron uzyskuje on energiÄ™ E=h½. Jeżeli
energia ta jest większa od pracy wyjścia A, elektron może opuścić powierzchnię
katody i w układzie płynie fotoprąd.
" Różnicę energii pomiędzy energią fotonu a pracą wyjścia elektron unosi w
postaci jego energii kinetycznej.
Dr Jan Szatkowski 3 Dr Jan Szatkowski 4
Efekt fotoelektryczny - wyjaÅ›nienie Efekt fotoelektryczny h½ = A + E
k ,max
h½ = A + E
k ,max
Wyjaśnienie:
" Wraz ze wzrostem natężenia oświetlenia powierzchni katody ( tzn. wzrostem
ilości fotonów padających w jednostce czasu na jednostkę powierzchni katody)
rośnie ilość elektronów emitowanych z powierzchni, a tym samym wartość
rośnie ilość elektronów emitowanych z powierzchni, a tym samym wartość
fotoprÄ…du nasycenia.
e V = h½ - A
AC
Im większa jest częstość tym większa jest wartość potencjału hamującego
Dr Jan Szatkowski 5 Dr Jan Szatkowski 6
Efekt Comptona Efekt Comptona - wyjaśnienie
" Zderzenia fotonów o pędzie pi i energii E=hc/i ze spoczywającymi elektronami.
i i
" Elektron uzyskuje pęd pe, a pęd fotonu zmienia się do wartości ps.
" Długość rozpraszanej fali elektromagnetycznej zwiększa się do wartości s=h/ps.
hc hc
2 2
+ mec2 = + c mec2 + pe
i s
Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali
elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na
hc hc
2 2
- = c me c2 + pe - mec2
swobodnych elektronach
s > i
i s
Dr Jan Szatkowski 7 Dr Jan Szatkowski 8
Efekt Comptona - wyjaśnienie Efekt Comptona - wyjaśnienie
h
s - i = (1- cos¸ )
mec
h
h
" Zderzenia fotonów o pędzie pi i energii E=hc/i ze spoczywającymi elektronami.

= 0.002426 nm a" C (dlugosć fali Compton'a )



mec
" Elektron uzyskuje pęd pe, a pęd fotonu maleje do wartości ps.
" Długość rozpraszanej fali elektromagnetycznej zwiększa się do wartości s=h/ps.
" Kierunek propagacji fali ulega zmianie o kąt Ć. Zmiana długości fali jest tym
większa , im większy jest kąt rozproszenia. Zależność zmiany długości fali od kąta
rozpraszania wyznaczyć można wykorzystując prawa zachowania pędu i energii.
2 2
pi = ps + pe oraz h½i + mec2 = h½ + c me c2 + pe
s
Dr Jan Szatkowski 9 Dr Jan Szatkowski 10
Fale materii Fale materii
Dualizm falowo-czÄ…stkowy fali elektromagnetycznej.
Elektron
" W zjawiskach takich jak dyfrakcja czy interferencja fala elektromagnetyczna
wykazuje typowe własności falowe.
n Masa = 9.11 x 10-31 kg prędkość = 106 m / s
" W zjawiskach takich jak efekt Comptona czy efekt fotoelektryczny fala
elektromagnetyczna wykazuje naturÄ™ korpuskularnÄ…, tzn. jest strumieniem
6.63×10-34Joula Å"s
czÄ…stek zwanych fotonami.
 = = 7.28 ×10-10m



(9.11×10-31 kg)(106 m/s)
Hipoteza de Broglie'a .
Hipoteza de Broglie'a .
" W 1924 roku L. de Broglie założył, że dualizm cząstkowo - falowy jest
Piłka
własnością charakterystyczną nie tylko dla fali elektromagnetycznej, ale
również dla cząstek o masie spoczynkowej różnej od zera .Oznacza to, że
n Masa = 1 kg prędkość = 1 m / s
cząstki takie jak np. elektrony powinny również wykazywać własności
falowe. Fale te nazwał on falami materii. Założył, że długość fal materii
6.63×10-34JoulesÅ"sec
określona jest tym samym związkiem, który stosuje się do fotonów.
 = = 6.63×10-34m



(1 kg)(1 m/sec)
h
 =
p
Dyfrakcja na polikrystalicznej folii aluminiowej
Doświadczenie C.J.Davissona i L.G.Germera
dNi=0.215nm
p2
eVba =
2m
Wzór de Broglie
Z dyfrakcji
h h
 = d sin¸ = 0.165nm
 = = = 0.167nm
Dyfrakcja
p
2meVba
Dyfrakcja elektronów
promieniowania X
Funkcja falowa
Zasada komplementarności
Fotony czy też elektrony oraz obiekty mikroświata w jednych zjawiskach Zgodnie z hipotezą de Broglie'a, cząstki takie jak elektron czy proton,
mogą zachowywać się jak fala, a w innych jak cząstka tzn. wykazują mają własności falowe.
zarówno własności falowe jak i korpuskularne. Obie te cechy uzupełniają
się wzajemnie , dając pełny opis danego obiektu. Własności falowe cząstki (lub innego obiektu) w mechanice
kwantowej opisuje tzw. funkcja falowa ¨(x,t) :
zawiera w sobie wszystkie informacje o obiekcie (np. czÄ…stce)
Jaka jest długość fali 50 kg worka poruszającego się z prędkością
w ogólnym przypadku jest to funkcja zespolona współrzędnych
100 m/s?
przestrzennych oraz czasu
przestrzennych oraz czasu
musi być funkcją ciągłą , a także musi mieć ciągłą pochodną
6.62 Å"10-34 Js
Kwadrat modułu funkcji falowej
 = H" 1.2 Å"10-33 !!
50Å"100 kgm / s
2
È =È *È
Długość fali elektronu poruszającego się z prędkością 100 m/s
jest gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w chwili t
w pewnym punkcie przestrzeni
v H" 7.1" 10-6 m
2
p = ¨ "V Ò! ¨2 dV = 1
+"
V
Równanie Schroedingera Cząstka swobodna
Cząstka swobodna - na cząstkę nie działają żadne pola.
FunkcjÄ™ falowÄ…, ¨ dla danej czÄ…stki, lub bardziej zÅ‚ożonego ukÅ‚adu Energia potencjalna czÄ…stki U(x)=0.
fizycznego, otrzymujemy rozwiązując równanie różniczkowe
2
!2 d ¨
nazywane równaniem Schroedingera. Jeżeli energia potencjalna
- = E¨(x)
cząstki U nie zależy od czasu, to równanie Schroedingera jest
2m
dx2
równaniem niezależnym od czasu i nazywa się stacjonarnym
równaniem Schroedingera. Szukamy rozwiÄ…zania w postaci ¨(x)=A sin(kx)
!
!2
2
2
- A(-k )sin(kx) = EAsin(kx)
- A(-k2)sin(kx) = EAsin(kx)
!2 d ¨
!2 d ¨
- +U(x)¨(x) = E¨(x) 2m
2m
dx2
!2
k2Asin(kx) = E Asin(kx)
2m
Funkcja ¨(x)=A sin(kx) bÄ™dzie rozwiÄ…zaniem gdy:
!2k2
E =
2m
CzÄ…stka swobodna - paczka falowa
CzÄ…stka -
mikroświat
CzÄ…stka -
makroświat
"
2Ä„x
¨(x) = A()sin d
+"

0
Zasada nieoznaczoności Zasada nieoznaczoności - interpretacja
" Fizyka klasyczna
 dokładność pomiaru jest zdeterminowana jedynie jakością aparatury
pomiarowej
 Nie ma teoretycznych ograniczeń na dokładność z jaką mogą być
wykonane pomiary
" Mechanika kwantowa
 Obowiązuje zasada nieoznaczoności: pewnych wielkości fizycznych
nie można zmierzyć równocześnie z dowolną dokładnością
Zasada nieoznaczoności dla równoczesnego pomiaru pędu i położenia:
"x"px e" ! / 2
Przykład. Pęd poruszającego się z prędkością v=5000m/s elektronu zmierzono
z dokładnością ą0.003%. Z jaką maksymalną dokładnością można było
Proces pomiaru zaburza stan układu
wyznaczyć położenie tego elektronu?
!
"x e" = 3.84 Å"10-3mm
2"p
Zasada nieoznaczoności Zasada nieoznaczoności energii
Zasada nieoznaczoności dla równoczesnego pomiaru energii i
"x"px e" ! / 2
czasu:
" Piłka o masie m=0.1kg porusza się z prędkością
v= 40 m/s
"E"Ä e" ! / 2
" Jej pęd p= 0.1 x 40kg = 4 kg m/s
Przykład: Czas przebywania atomu sodu
Przykład: Czas przebywania atomu sodu
" Pęd zmierzono z dokładnością do 0.01%
w stanie wzbudzonym zmierzono z
"
dokładnością "t=1.6 10-8 s. Z jaką
"p = 0.01 p = 4 x 10-4 kg m/s
"
"
"
maksymalną dokładnością można było
" Dokładność wyznaczenia położenia:
wyznaczyć wartość energii tego stanu?
!
h
"x e" = 1.3×10-31m
"E e" H" 2Å"10-8eV
2"p
2"t
Cząstka w studni potencjału Cząstka w studni potencjału
1. Przypadek klasyczny 2. Przypadek kwantowy
Znajdująca się w głębokiej studni Energia potencjalna
piłka może posiadać dowolną ener-gię
kinetycznÄ….
Å„Å‚" dla x "(-",0)*" (L,")
U(x) =
òÅ‚0 dla x "(0, L)
W szczególnym przypadku gdy
ół
znajduje siÄ™ w spoczynku na dnie
znajduje siÄ™ w spoczynku na dnie
2 2
studni posiada energię całkowitą
Warunki brzegowe:
¨(0) = ¨(L) = 0
równą zeru .
2
!2 d ¨
Równanie Schroedingera:
- = E¨
2m
dx2
Cząstka w studni potencjału Cząstka w studni potencjału -wnioski
W obszarze studni cząstka jest cząstką swobodną. Pytanie: czy n może być równe zeru?
x "(0, L)
Szukamy wiec rozwiÄ…zania w postaci ¨(x)=A sin( kx+Ä…) .
Dla n=0 energia k=0 oraz ¨(x)=A sin(0 " x)= 0. Oznacza to,
2 2
2
że prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w tym obszarze
Warunku brzegowy dla x=0 :
¨(0) = A [sin(k Å"0 +Ä…)] = 0
2
¨(x) "x = 0
spełniony jest jedynie gdy ą=0 .
2 2
2 2
2
2
Warunku brzegowy dla x= L :
Warunku brzegowy dla x= L :
¨(L) = A [sin(k Å" L)] = 0
¨(L) = A [sin(k Å" L)] = 0
Wniosek: najmniejsza wartość n=1. Cząstka musi mieć
energię różną od zera. Najmniejsza energia:
spełniony jest jedynie gdy kL=nĄ .
2
2
nĄ
!2k2 Ä„ !2
Ä„ !2
k = oraz
E = skÄ…d
E = n2
E1 = 12
L
2m
2mL2
2mL2
n = 0, 1, 2, 3, ...
Cząstka w studni potencjału -wnioski Cząstka w studni potencjału -wnioski
2 nĄ
W nieskończonej studni potencjału energia cząstki może przyjmować
Funkcja falowa : ¨n = sin( x)
L L
tylko pewne ściśle określone, różne od zera wartości:
WewnÄ…trz studni powstaje fala stojÄ…ca materii z
2
Ä„ !2 gdzie n = 1, 2, 3, ...
węzłami na brzegach studni.
E = n2
2mL2
Cząstka w studni potencjału -wnioski Cząstka w studni potencjału -wnioski
Przykład 1
Przykład 2
Pyłek o masie 1 g w studni o szerokości 1 cm
Elektron o masie 9.11x10-31 g w studni o szerokości 0.2 nm.
a) minimalna energia
a) minimalna energia
h2 (6.63Å"10-34 J Å" s)2
E1 = = = 5.49Å"10-58 J = 3.43Å"10-39eV
h2 (6.63Å"10-34 J Å" s)2
E1 = = = 1.51Å"10-18 J = 9.42eV
8mL2 8Å"10-6kg Å"10-2m
8mL 8Å"(9.11Å"10 kg) Å"(2 Å"10 m)
8mL2 8Å"(9.11Å"10-34kg) Å"(2 Å"10-10m)
b) nr poziomu gdy porusza się z prędkością 3cm/s
1 b) poziomy drugi i trzeci
En = mv2 = 4.5Å"10-10 J
2
E2 = 4 Å" E1 = 37.7eV
E3 = 9E1 = 84.8 eV
En = n2E1 Ò! n = En / E1 = 9.05Å"1023
E2 - E1 = 28.28 eV
En+1 - En = (2n +1)E1 H" 6.2 Å"10-15eV
Molekuła dwuatomowa - H2
Kwantowanie energii
" Energia dowolnego obiektu jest skwanowana. Obiekt
znajduje się na jednym z dozwolonych poziomów
energetycznych
" Zmiana energii układu może odbywać się wyłącznie
Molekuła H2 emituje falę EM z
porcjami - kwantami
zakresu podczerwieni o długości fali
zakresu podczerwieni o długości fali
" W makroświecie odległość pomiędzy najbliższymi
w pobliżu 2300 nm.
poziomami energetycznymi jest niemierzalnie mała
1
E0 = !É = 0.27eV
2
"Evib = 0.54eV
Kwantowanie energii - oscylator harmoniczny
Energia potencjalna oscylatora harmonicznego:
1
U(x) = mÉ2x2
2
Równanie Schroedingera dla oscylatora :
2 2
!
!2 d ¨ mÉ x2
- + ¨ = E¨
- + ¨ = E¨
2m 2
dx2
Funkcje falowe ¨ bÄ™dÄ…ce rozwiÄ…zaniem tego równania muszÄ… być
ciągłe i posiadać ciągłe pierwsze pochodne. Takie rozwiązania istnieją
wyłącznie wtedy gdy energia całkowita oscylatora posiada jedną z
wartości:
1
En = (n + )!É gdzie n = 1,2,3,....
2