Dynamika Budowli wyklad 3 2011 12


Dynamika Budowli
Drgania wymuszone układów
o jednym stopniu swobody
wykład 3
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
Budowni ctwo, semestr 5, rok akademi cki 2011/12 Krzysztof Wilde
Dynamika Budowli
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
Podział drgań z uwagi na siłę wymuszającą
&&
fi (t) = mu(t)
&
fd (t) = cu(t)
fs (t) = ku(t)
m  masa [kg]
fi (t) + fd (t) + fs (t) = p(t)
c  tłumienie [kg/s]
k  sztywność [N/m]
&& &
mu(t) + cu(t) + ku(t) = p(t)
Z uwagi na siłę wymuszającą drgania dzielimy na:
" swobodne
" wymuszone
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
2
Budowni ctwo, semestr 5, rok akademi cki 2011/12 Krzysztof Wilde
Dynamika Budowli
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
Drgania wymuszone harmonicznie (nietłumione)
&&
mu + ku = po sinwt p(t) = po sinwt
u(0) = u0

u(0) = u0
&&

u(t) = uc (t) + up (t)
uc (t) = Acoswnt + Bsinwnt
up (t) = Dsinwt + E coswt
up (t) = Dw coswt - Ew sinwt
&
po
up (t) =-Dw2 sinwt - Ew2 coswt
&&
u wn2u = sinwt
&&+
m
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
3
Budowni ctwo, semestr 5, rok akademi cki 2011/12 Krzysztof Wilde
Dynamika Budowli
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
po
-Dw2 sinwt - Ew2 coswt + wn2Dsinwt + wn2E coswt = sinwt
m
po
Ewn2 - Ew2 coswt + Dwn2 - Dw2 sinwt = sinwt
( ) ( )
m

Ewn2 - Ew2 = 0 E = 0

po 1
ć
po po 1
2
D =
n
Dw - Dw2 = m D = m wn2 -w2
m
wn2
()2
(1- w / wn )
Łł

po 1
D =
k
1- w / wn
()2
u(t) = Acoswnt + Bsinwnt + Dsinwt
u(0) = A A = u0
&
u0 po w / wn
&
u(t) =-Awn sinwnt + Bwn coswnt + Dw coswt
B = -
wn k
()2
(1- w / wn )
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
4
Budowni ctwo, semestr 5, rok akademi cki 2011/12 Krzysztof Wilde
Dynamika Budowli
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
ł ł
&
u0 po w / wn po 1
u(t) = u0 coswnt + - t +
ę
kk
1- (w / wn)2 śsinwn ę 1- (w / wn)2 śsinwt
n
w
u0= 0.01 ; % przemieszczenie początkowe [m]
v0= 0.02 ; % prędkość początkowa [m/s]
wn= 10 ; % częstość kołowa drgań [rad/s]
w = 1.5 ; % częstość wymuszenia [rad/s]
0.04
po= 1 ; % amplituda siły wymuszającej [N]
k = 80 ; % sztywność [N/m]
0.02
0
odpowiedz calkowita u(t)
0.04
-0.02 drgania ustalone up(t)
0.02
-0.04
0 2 4 6 8 10 12 14 16 0
t [s]
-0.02
0.04
-0.04
0 2 4 6 8 10 12 14 16
t [s]
0.02
0.04
0.02
0
0
-0.02
-0.02
-0.04 -0.04
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0 2 4 6 8 10 12 14 16
t [s]
t [s]
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
5
Budowni ctwo, semestr 5, rok akademi cki 2011/12 Krzysztof Wilde
c
u [m]
u(t) [m]
p
u [m]
u(t) [m]
Dynamika Budowli
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
w = wn
Rezonans
po 1
u(t) = sinwt
k
1- (w / wn)2
po
(ust )o =
k
1
u(t) = (ust )o sinwt = uo sinwt
1- (w / wn)2
1
Rd =
u(t) = uo sin(wt -j) = (ust )oRd sin(wt -j)
1- (w / wn )2
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
6
Budowni ctwo, semestr 5, rok akademi cki 2011/12 Krzysztof Wilde
Dynamika Budowli
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
1
Współczynnik dynamiczny Rd =
1- (w / wn)2
o

w < wn
0
j =

180o w > wn

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
7
Budowni ctwo, semestr 5, rok akademi cki 2011/12 Krzysztof Wilde
Dynamika Budowli
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
w = wn
Przemieszczenia układu w rezonansie
up (t) = Dt coswnt
pown
po
22
D =-
-Dwn sinwnt - Dwn sinwnt - Dwnt coswnt + Dwnt coswnt = sinwnt
2k
m
u(t) = Acoswnt + Bsinwnt + Dt coswnt
A = 0
D po
B =- =
&
u(t) =-wnAsinwnt + wnBcoswnt + Dcoswnt - Dtwn sinwnt
wn 2k
po
u(t) = sinwnt - wnt coswnt
()
2k
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
8
Budowni ctwo, semestr 5, rok akademi cki 2011/12 Krzysztof Wilde
Dynamika Budowli
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
Drgania wymuszone harmonicznie (tłumione)
&& & p(t) = po sinwt
mu + cu + ku = po sinwt
u(0) = u0

u(0) = u0
&&

u(t) = uc (t) + up (t)
n
up (t) = Dsinwt + E coswt
uc (t) = e-xw t Acoswdt + Bsinwdt
( )
p0 -2x (w / wn)
E =
2
k
2
[]
1- (w / wn)2 ł + 2x (w / wn)
p0 1- (w / wn)2
D =
2
n
k
2
u(t) = e-xw t Acoswdt + Bsinwdt + Dsinwt + E coswt []
( )
1- (w / wn)2 ł + 2x (w / wn)
po 2x (w / wn)
A = uo +
2
2
k
1- (w / wn)2 ł
+ 2x (w / wn)
[]

ć
&
u0 w po 1- (w / wn)2 wn u po 2x (w / wn)

B = - + +
22
2
2
wd wd k wd 0 k
1- (w / wn)2 ł 1- (w / wn)2 ł
+ 2x (w / wn) + 2x (w / wn)
[] []

Łł
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
9
Budowni ctwo, semestr 5, rok akademi cki 2011/12 Krzysztof Wilde
Dynamika Budowli
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
n
u(t) = e-xw t Acoswdt + Bsinwdt + Dsinwt + E coswt
( )
u0= 0.01 % przemieszczenie początkowe [m]
v0= 0.02 % prędkość początkowa [m/s]
wn= 10 % częstość kołowa drgań [rad/s]
w = 1.5 % częstość wymuszenia [rad/s]
po= 1 % amplituda siły wymuszającej[N]
ksi= 0.05 % współczynnik tłumienia [-]
k = 80 % sztywność [N/m]
odpowiedz calkowita u(t)
0.02 0.02
drgania ustalone u p(t)
0.01 0.01
0 0
-0.01 -0.01
-0.02 -0.02
0 2 4 6 8 10 12 14 16 0 2 4 6 8 10 12 14 16
t [s] t [s]
0.02 0.02
0.01 0.01
0 0
-0.01 -0.01
-0.02 -0.02
0 2 4 6 8 10 12 14 16 0 2 4 6 8 10 12 14 16
t [s] t [s]
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
10
Budowni ctwo, semestr 5, rok akademi cki 2011/12 Krzysztof Wilde
c
u [m]
u(t) [m]
p
u [m]
u(t) [m]
Dynamika Budowli
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
w = wn
Rezonans
-E
u(t) = uo sin wt -j = ust o Rd sin wt -j tgj =
( ) ( ) ( )
uo = D2 + E2
D
1
Rd =
2
2
[]
1- (w / wn)2 ł + 2x (w / wn)
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
11
Budowni ctwo, semestr 5, rok akademi cki 2011/12 Krzysztof Wilde
Dynamika Budowli
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
w = wn
Rezonans
2x (w / wn)
j = tg-1
1- (w / wn)2
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
12
Budowni ctwo, semestr 5, rok akademi cki 2011/12 Krzysztof Wilde
Dynamika Budowli
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
w = wn
Przemieszczenia układu w rezonansie
po po po
D = 0, E = - , A = , B =
2
2xk 2xk
2k 1- x
ł
ć
po 1 x
n
ę ś

u(t) = e-xw t coswdt + sinwdt - coswnt
2

k 2x
ę ś
1-x
Łł

(ust )o
uo =
2x
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
13
Budowni ctwo, semestr 5, rok akademi cki 2011/12 Krzysztof Wilde
Dynamika Budowli
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
Drgania wywołane obciążeniem impulsowym
&&
p = mu
t2
& & &
J = pdt = m(u2 - u1) = mDu

t1
&
u(0)
u(t) = u(0)coswn(t -t ) + sinwn(t -t )
wn
&&
u(0) = 0 u(0) = Du =1/ m
1
h(t -t ) u(t) = sin wn(t -t ) , t łt
[]
mwn
1
n
h(t -t ) u(t) = e-xw (t-t ) sin wd (t -t ) , t łt
[]
mwd
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
14
Budowni ctwo, semestr 5, rok akademi cki 2011/12 Krzysztof Wilde
Dynamika Budowli
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
 Krótki impuls
td < 0.5Tn
td
J = p(t)dt

0
J
u(t) = sin(wnt)
mwn
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
15
Budowni ctwo, semestr 5, rok akademi cki 2011/12 Krzysztof Wilde
Dynamika Budowli
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
Drgania wywołane dowolną siłą wymuszającą
" Całka Duhamela
" Całkowanie numeryczne równań ruchu
Całka Duhamela
t
p(t )
u(t) = sin wn (t -t ) dt
[]

mwn
0
t
p(t )
n
u t = e-xw (1-t ) sin wd (t -t ) dt
( ) []

mwd
0
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
16
Budowni ctwo, semestr 5, rok akademi cki 2011/12 Krzysztof Wilde
Dynamika Budowli
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
Całkowanie numeryczne równań ruchu:
" metoda różnic centralnych
" metoda Newmarka
Metoda różnic centralnych
&& &
mui + cui + kui = pi
ui+1 - ui-1 ui+1 - 2ui + ui-1
&&&
ui = , ui =
2
2Dt
Dt
( )
ui+1 - 2ui + ui-1 ui+1 - ui-1
m + c + kui = pi
2
2Dt
Dt
( )
ł ł2m ł

mc mc
+ -
ęśui+1 = pi - ęśui-1 - ęk - śui
22 2
2Dt 2Dt
Dt Dt
ęś ęś ś
ę
( ) ( ) ( )
Dt

14 3 1444444 3
4244 424444444
$
Ć
pi
k
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
17
Budowni ctwo, semestr 5, rok akademi cki 2011/12 Krzysztof Wilde
Dynamika Budowli
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
Ć
pi
$
Ć
kui+1 = pi
ui+1 =
$
k
u1 - u-1 u1 - 2u0 + u-1
&&&
u0 = , u0 =
2
2Dt
Dt
( )
2
Dt
( )
&&&
u-1 = u0 - Dtu0 + u0
2
&& &
mu0 + cu0 + ku0 = p0
&
p0 - cu0 - ku0
&&
u0 =
m
[u,v,a]=mrc(M,C,K,P,t,u0,v0)
Dt 1
Warunek stabilności
<
Tn p
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
18
Budowni ctwo, semestr 5, rok akademi cki 2011/12 Krzysztof Wilde
Dynamika Budowli
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
Metoda Newmarka
&& && &&
ui+1 = ui + 1- g Dtłui + gDt ui+1
( )( )

2
łu&i + b Dt 2 łu&i+1
&& &
ui+1 = ui + Dt ui + 0.5 - b Dt
( ) ( )( ) ( )

Dt 11
Warunek stabilności
Ł
Tn
p 2 g - 2b
1
b =
Dt
4

Tn
1
g =
2
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
19
Budowni ctwo, semestr 5, rok akademi cki 2011/12 Krzysztof Wilde
Dynamika Budowli
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
Metoda Newmarka
& & && &&
ui+1 = ui + 1- g Dtłui + gDt ui+1
( )( )

2
łu&i + b Dt 2 łu&i+1 &&
ui+1
&& &
ui+1 = ui + Dt ui + 0.5 - b Dt
( ) ( )( ) ( )

11& ć 0.5
1
&& &&
ui+1 = ui+1 - ui - ui - -1ui

22
bDt b
b Dt b Dt Łł
( ) ( )
ć
1
&& && & &&
ui+1 = ui + 1- g Dtłui + gDt ui+1 - ui - ui - -1ui
( ) ( ) 11 ć 0.5

bDt b
b Dt b Dt
Łł
( )2 ( )2
Łł
&& &
mui+1 + cui+1 + kui+1 = pi+1
mm m ć 0.5 gg gć 0.5
&&& & && & &&
ui+1 - ui - ui - -1 mui + cui + 1-g Dtł cui + cui+1 - cui - cui -gDt -1cui + kui+1 = pi+1
( )


bDt bDt b b
b Dt b Dt Łł Łł
( )2 ( )2 bDt b
ćm ć 0.5
m gg g ć 0.5
m
&&& & && & &&
+ c + k ui+1 = ui + ui + -1 mui - cui - 1-g Dtcui + cui + cui + gDt -1cui + pi+1
( )


b
b Dt b Dt Łł Łł
( )2 bDt ( )2 bDt b bDt b
Łł
Ć
Ć
kui+1 = pi+1
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
20
Budowni ctwo, semestr 5, rok akademi cki 2011/12 Krzysztof Wilde
Dynamika Budowli
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
Projektowanie konstrukcji o jednym stopniu swobody
obciążonych dynamicznie
&& &
mu + cu + ku = p(t)
&& &
ku = p(t)4244
cu
14- mu -3
pz
pz = ku
pz min = kumin
pz max = kumax
Mdyn max
M1pz max
obw M = MQ ą= M1Q ą
Mdyn min
M1pz min
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
21
Budowni ctwo, semestr 5, rok akademi cki 2011/12 Krzysztof Wilde
Dynamika Budowli
Drgania wymuszone układów o jednym stopniu swobody
2 przypadki szczególne:
a) drgania swobodne bez tłumienia b) drgania wymuszone harmonicznie
&& &
mu + cu + ku = po sinwt
u(t) = C sin wnt +j
&& ( )
mu + ku = 0
&&
ku =-mu
u(t) = ust o Rd sin wt -f
( ) ( )
2
&&
pz =-mu = mwnC = kC
umin,max = m(ust )o Rd
pz min,max = mkC
pz min,max = mkumin,max = m poRd
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska Magdalena Rucka
22
Budowni ctwo, semestr 5, rok akademi cki 2011/12 Krzysztof Wilde


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Dynamika Budowli wyklad 4 11 12
Metodologia wykład 11 12 Tabela
wykład 11 12
wykład 5 8 11 12
Wykład 3 11 3 12
Kierunek Analityka Medyczna zal wykładów 11 12
Metodologia wykład 11 12
11 mechanika budowli wykład 11 linie wplywu?lki ciaglej
11 12 02 wyklad algebra
wykład 6 15 11 12
wykład 7 22 11 12
Wyklad 11 dynamika osrodkow sprezystych
11 12 09 wyklad algebraid337
wykład 8 29 11 12

więcej podobnych podstron