Przykład:
Rozwijamy Rozwinięcie
wyznacznik wzgl. względem 1
4 wiersza kolumny
�!x3
|9 3 -4 -2 7| |9 3 -4 -2 7| |9 3 -4 -2 7| |0 3 -4 7| |3 -4 7|
|3 1 -1 0 4| |3 1 -1 0 4| |3 1 -1 0 4| |0 1 -1 4| |1 -1 4|
|6 2 -2 -1 0|=|6 2 -2 -1 0|=3(-1)4+4|6 2 -2 -1 0|=3|0 2 -2 0|=3*13*(-1)4+1*|2 -2 0|=
|-6 -2 2 3 -8| |0 0 0 3 0| |-5 -6 0 -2 4| |13 -6 0 4| - 3 -4 7 +
|-5 -6 0 -2 4| |-5 -6 0 -2 4| - 1 -1 4 +
=-39(-14-32+14+24)=(-39)(-8)=312
Tw. Cauchy ego
Dla macierzy kwadratowych A i B wymiaru nxn det(A*B)=detA*detB.
Dw.
detA*det odwz. wieloliniowe i antysymetryczne względem
det(A* )) oddz.. wieloliniowe i antysymetryczne względem
Dla }
} są równe
Df.
Macierz kwadratową A nazywamy osobliwą (nieosobliwą) jeśli detA=0 (detA 0).
Rozważamy układ równao liniowych
a11x1+a12x2+& +a1nxn=y1}
a21x1+a22x2+& +a2nxn=y2 } ó� A
}
an1x1+an2x2+& +annxn=yn}
(a11,& ,a1n)
A=(& & ) macierzy współczynników
(an1,& ,ann)
(1,0,& ,x1,& ,0)
(0,1,& ,x2,& ,0)
xj= (0,1,& ,xj,& ,0)(j)
(0,0,& ,xn,& ,1)
(a11 , & , , & , a1n) (a11 , & , y1 , & , a1n)
AXj= ( ) = ( ) = Bj
(an1 , & , , & , ann) (an1 , & , yn , & , ann)
detBj=det(A*Xj)=detA*detXj=detA*xj
Twierdzenie Cramera
Jeżeli macierz A jest macierzą nieosobliwą, to układ równao(1) ma dokładnie jedno rozwiązane dane
wzorem:
Przykład:
Rozwiązad układ równao.
X1-5x2+x3=0
2x1+x2-3x3=-4
-x1+2x2+2x3=6
detA = = 18
detB1 = = 36
detB2 = = 18
detB3 = = 54
x1=detB1/detA=36/18=2
x2=18/18=1
x3=54/18=3
X-przestrzeo wektorowa nad K, dimX=n.
T,S:X->X liniowe
Odwzorowanie S nazywamy odwrotnym do T i piszemy S=T-1, jeżeli Sć%T=Tć%S=ex
Niech A-reprezentacja macierzowa T } macierze kwadratowe
B  reprezentacja macierzowa S }
Macierz B jw. nazywamy odwrotną do A i piszemy B=A-1 jeżeli S=T-1.
Wniosek 1:
B=A-1ó� B*A=A*B=I
Wniosek2:
(A-1)-1=A
Ponieważ (T-1)-1=T
Wniosek3:
Ponieważ dla T,S : X -> X (Sć%T)-1=T-1*S-1
Zatem
(B*A)-1=A-1*B-1
Tw.
Niech A  macierz kwadratowa wymiaru nxn, nieosobliwa, niech B=A-1 (kwadratowa, wymiaru nxn,
nieosobliwa).
Wtedy:
Dw.
A*B=I ó� B=A-1
(b1j ) (0)
A*(& )= (& )
(bnj) (1)(j)
(& )
(0)
{1 dla k=j
Ck= {0 dla k j
Przykład:
A = detA=-3
A-1=B= = =
= =
spr.
( ) = (