X,Y - przestrzenie wektorowe nad K
(e1, & , en)  baza przestrzeni X
T: X->Y odwz. Liniowe
Cztery możliwości:
T - bijekcja
T - iniekcja
T - suriekcja
T - nie jest iniekcjÄ…, nie jest suriekcjÄ…
Tw. 1.
T  iniekcja óð liniowo niezależne
Dw. nie wprost
(=>)
liniowo zależne =>
ðð
(<=)
dla co najmniej
jednego
nie są liniowo niezależne.
Tw. 2.
T  suriekcja óð generujÄ… Y.
( => )
T suriekcja
( <= )
Tw. 3.
T bijekcja óð sÄ… liniowo niezależne i generujÄ… Y óð tworzÄ… bazÄ™ w Y.
Wniosek:
Jeżeli dimX = dimY = n , to T bijekcja óð sÄ… liniowo niezależne.
Tw. 4.
Niech dimX= dimY = n, T:X->Y liniowe
A- Reprezentacja macierzowa T.
Wtedy kolumny A sÄ… liniowo niezależne óð detA 0 óð wiersze A sÄ… liniowo niezależne.
Dw.
Kolumny A - w bazie przestrzeni Y.
Macierz A jest macierzÄ… wymiaru nxn.
( => )
Kolumny A są liniowo niezależne => są liniowo niezależne => T bijekcja =>
T-1 oraz A-1 => det I = det (A*A-1) = detA*detA-1=1 => detA 0
( <= )
Jeżeli kolumna numeru n jest liniowo zależna od pozostałych, to x1,& ,xn-1 :
, tzn. n-ta kolumna jest lin. komb. pozostałych => jeżeli tą kombinację
liniową odejmiemy od ostatniej kolumny, to ostatnia kolumna bęcie kolumną zerową detA=0.
Ponieważ detA = detAT , to samo tyczy się wierszy.
Niech X,Y  przestrzenie wektorowe nad K, dimX=n, dimY=m, T:X->Y liniowe
Df.
RzÄ…d macierzy A = rzÄ…d odwzorowania T (rzÄ…dA = r(A))
Wniosek:
Rząd A = ilośd liniowo niezależnych kolumna.
Dw.
Kolumny A = => ilośd liniowo niezależnych kolumn V = dim T(X), bo generują T(X).
Tw. 5.
Ilośd liniowo niezależnych kolumn A = ilośd liniowo niezależnych wierszy A.
lemat
Ilośd liniowo niezależnych wierszy A ilośd liniowo niezależnych kolumn A.
(a11 , & , a1k , & , a1n )
(& )
A= (ak1 , & , akk , & , akn )
(& )
(am1 , & , amk , & , amn)
( Kol.lin.niez. )
(a11 , & , a1n )
AK= (& )
(ak1 , & , akn )
Kolumny AK są liniowo niezależne => detAK 0 => wiersze AK są liniowo niezależne.
Dw. tw.
Stosujemy lemat macierzy A i AT.
Wniosek 2
r(A) min(m,n).
Tw.6.
Rząd macierzy A = wymiar największy nieosobliwej podmacierzy kwadratowej.
Tw.
Niech X,Y,Z  przestrzenie wektorowe nad K, T:X->Y, S:Y->Z liniowe. Wtedy
rząd(Sć%T) min(rządT, rządS.
Dw.
(Sć%T)(X)=S(T(X)) S(Y) => dim(Sć%T(X)) dimS(Y) => rząd(Sć%T) rządS
(Sć%T)(X)=S(T(X)) => dimS(T(X)) dimT(X) => rząd(Sć%T)(X) rządT
Wniosek (Tw. Sylwestera)
r(A*B) min{r(A),r(B)}.
Dany jest układ równao liniowych (1)
Macierz układu równao
Macierz uzupełniona (macierz A do której dostawiono kolumnę)
Tw. Kroneckera  Capelliego
UkÅ‚ad równao (1) posiada (co najmniej jedno) rozwiÄ…zanie óð r(A)=a(Au).
Dw.
( <= )
r(A)=a(Au) => kolumna (między y1 i yn  &  tak samo niżej) jest kombinacją liniową pozostałych
o współrzędnych x1 , & , xn . czyli istnieje
rozwiązanie układu (1).
( => )
Jeżeli liniowo niezależne od pozostałych to nie istnieją x1 , & , xn j.w. i układ (1) nie ma
rozwiÄ…zania.
Wnioski z twierdzenia Kroneckera-Capelliego:
Wniosek 1:
Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by układ (1) posiadał rozwiązanie dla każdej
kolumny wyrazów wolnych jest aby r(A)=m oraz n(ilośd równao) m(ilośd niewiadomych).
Wniosek 2:
Jeżeli m=n i A jest macierzą nieosobliwą to .
Df.
Jeżeli to układ (1) nazywamy układem jednorodnym.
Wniosek 3:
Jeżeli r(a)=k to jednorodny układ ma n-k rozwiązao liniowo niezależnych.
Wniosek 4:
Jeżeli n=m oraz detA 0 to układ jednorodny ma tylko rozwiązanie zerowe.
Wniosek 5:
UkÅ‚ad jednorodny ma tylko rozwiÄ…zanie zerowe óð dla każdej prawej strony istnieje co
najwyżej jedno rozwiązanie.