Przekształcenia liniowe
Niech V i W będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K . Funkcję f :V W nazywamy
przekształceniem liniowym, jeżeli spełnione są następujące warunki:
1) "v ,v2"V f (v1 + v2) = f (v1) + f (v2) ,
1
2) "ą "K "v"V f (ąv) = ą f (v) .
Uwaga: Warunki 1) i 2) można zastąpić jednym warunkiem:
"ą , � "K "v ,v2"V f (ąv1 + �v2) = ą f (v1) + � f (v2) .
1
Macierz przekształcenia liniowego
Niech f :V W będzie przekształceniem liniowym, B = (v1,v2,& ,vn) będzie bazą
przestrzeni V , a C = w1,w2,& ,wm - bazą przestrzeni W . Macierzą przekształcenia f
( )
B
w bazach B i C nazywamy macierz f , której kolejne kolumny są współrzędnymi
[ ]
C
wektorów f (v1), f (v2),& , f (vn) w bazie C , tzn.
f (v1) f (v2) & f (vn)
�! �! �!
w1 �! a11 a12 & a1n
�ł łł
B
�ła a22 & a2n śł
w2 �!
21
f =
[ ]
�ł śł
C
�ł śł
�ł
wm �! am2 & amn śł
�łam1 �ł
Schematycznie
B
f
[ ]
C
Macierz przejścia z bazy do bazy
Niech B = (v1,v2,& ,vn) i C = w1,w2,& ,wn będą bazami przestrzeni V . Macierz
( )
B
id nazywamy macierzą przejścia z bazy C do bazy B i oznaczamy przez PCB . Zatem
[ ]
C
kolumnami macierzy PCB są współrzędne kolejnych wektorów bazy B w bazie C , tzn.
v1 v2 & vn
�! �! �!
w1 �! a11 a12 & a1n
�ł łł
.
�ła a22 & a2n śł
PCB = w2 �!
21
�ł śł
�ł
śł
�ł
wm �! am2 & amn śł
�łam1 �ł
Inaczej: kolumnami macierzy przejścia ze ,,starej  bazy do ,,nowej  bazy są
współrzędne wektorów ,,nowej  bazy w ,,starej  bazie.
Macierz PCB jest odwracalna i (PCB)-1 = PBC .
Reprezentacja macierzowa przekształcenia liniowego
Niech f :V W będzie przekształceniem liniowym, B - bazą przestrzeni V , a C - bazą
przestrzeni W . Wtedy
B
[ f (v)]T = f �" v dla dowolnego wektora v "V ,
[ ] [ ]T
C
C B
tzn.
y1 a11 a12 & a1n x1
�ł łł �ł łł �ł łł
�ł śł �ła a22 & a2n śł �łx śł
y2 21
2 współrzędne v
współrzędne f (v)
�ł śł �ł śł �ł śł
=
�ł śł �ł śł �ł śł w bazie B
w bazie C
�ł śł �ł
ym am2 & amn śł �ł śł
�ł �ł �łam1 �ł �łxn �ł
macierz f wbazach Bi C
Zmiana współrzędnych przy zmianie bazy
Niech B i C będą bazami przestrzeni V . Wtedy
[v]T = PCB �" v = (PBC )-1 �" v dla dowolnego wektora v "V
[ ]T [ ]T
C
B B
Aby otrzymać współrzędne wektora v w ,,nowej  bazie, mnożymy macierz odwrotną do
macierzy przejścia ze ,,starej  bazy do ,,nowej  przez współrzędne wektora v w
,,starej  bazie.
Macierz złożenia przekształceń liniowych
Niech f :V W i g :W U będą przekształceniami liniowymi, B - bazą przestrzeni V ,
C - bazą przestrzeni W , a D - bazą przestrzeni U :
g
f
V W U
C D
B
g f
Wtedy
B C B
g f = g f
[ ] [ ] [ ]
D D C
Schemat:
B C B
g f = g f
[ ] [ ] [ ]
D D C
Zmiana macierzy przekształcenia przy zmianie baz
Niech f :V W będzie przekształceniem liniowym, B i B ' - bazami przestrzeni V , a C i
C '- bazami przestrzeni W . Wtedy
B ' B
f = (PCC ')-1 �" f �"PBB '
[ ] [ ]
C
C '
tzn.: Macierz przekształcenia f w ,,nowych  bazach = odwrotność macierzy przejścia z
bazy ,,starej  do ,,nowej  przestrzeni W razy macierz przekształcenia f w
,,starych  bazach razy macierz przejścia z bazy ,,starej  do ,,nowej  przestrzeni V
Jądro i obraz przekształcenia liniowego
Jeżeli f :V W jest przekształceniem liniowym, to zbiór
Ker f = v "V : f (v) = 0
{ }
jest podprzestrzenią przestrzeni liniowej V , a zbiór
Im f = f (v) : v "V
{ }
jest podprzestrzenią przestrzeni liniowej W .
Zbiór Ker f nazywamy jądrem przekształcenia f , a zbiór Im f nazywamy obrazem
przekształcenia f .
f
W
V
Im f
Ker f
0
0
Związek między wymiarami jądra i obrazu
Jeżeli f :V W jest przekształceniem liniowym, to
dim V = dim Ker f + dim Im f
(tzn. wymiar dziedziny jest sumą wymiarów jądra i obrazu)
Związki jądra i obrazu z macierzą przekształcenia liniowego
Niech f :V W będzie przekształceniem liniowym, a A - macierzą przekształcenia f (w
dowolnych bazach). Wtedy
1) dim Im f = rz(A) (tzn. wymiar obrazu jest równy rzędowi macierzy przekształcenia)
2) f jest przekształceniem ,,na  (suriekcją) �! f (V ) = W �! dim Im f = dimW �!
rz(A) = dimW
3) f jest przekształceniem różnowartościowym (iniekcją) �! Ker f = 0 �!
{ }
dim Ker f = 0 �! rz(A) = dimV
4) f jest przekształceniem wzajemnie jednoznacznym (bijekcją) �! Ker f = 0 i
{ }
f (V ) = W �! dim Ker f = 0 i dim Im f = dimW �! rz(A) = dimV = dimW
Wartości i wektory własne przekształcenia liniowego
Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K i niech f będzie przekształceniem
liniowym przestrzeni V w siebie (endomorfizmem przestrzeni V ). Wtedy
- Skalar  " K nazywamy wartością własną przekształcenia f , jeżeli istnieje niezerowy
wektor v "V taki, że f (v) = v .
- Każdy niezerowy wektor v "V taki, że f (v) = v , nazywamy wektorem własnym
przekształcenia f odpowiadającym wartości własnej  .
Związek wartości i wektorów własnych z macierzą przekształcenia
Niech f :V V będzie przekształceniem liniowym, a A - jego macierzą w bazie B . Wtedy
1) skalar  jest wartością własną przekształcenia f �! A - I = 0 (wielomian
wA() = A - I nazywamy wielomianem charakterystycznym macierzy A , a równanie
wA() = 0 nazywamy równaniem charakterystycznym macierzy A );
2) wektor v jest wektorem własnym przekształcenia f odpowiadającym wartości własnej
 �! współrzędne [x1, x2,& , xn] wektora v w bazie B są niezerowym rozwiązaniem
układu równań
x1 0
�ł łł �ł łł
�łx śł �ł0śł
A
( - I = .
)�ł 2 śł �ł śł
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł0śł
�łxn �ł �ł �ł
Własności wektorów własnych
Niech f :V V będzie przekształceniem liniowym.
1) Jeśli  jest wartością własną przekształcenia f , to zbiór
W = v "V : f (v) = v
{ }
jest podprzestrzenią przestrzeni V (tzw. przestrzeń wektorów własnych odpowiadających
wartości własnej  ). Ponadto dimW = dimV - rz(A - I) .
2) Wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym przekształcenia f są
liniowo niezależne.
3) Przekształcenie f jest diagonalizowalne (tzn. w pewnej bazie przestrzeni V macierz
przekształcenia f jest diagonalna) �! istnieje baza przestrzeni V złożona z wektorów
własnych przekształcenia f �! suma wymiarów wszystkich przestrzeni własnych
odpowiadających poszczególnym wartościom własnym przekształcenia f jest równa
dimV .
Wartości i wektory własne macierzy
Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n o elementach z ciała K . Wtedy
- Skalar  " K nazywamy wartością własną macierzy A , jeżeli A - I = 0 (tzn.  jest
pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego macierzy A ).
n
- Niezerowy wektor x1, x2,& , xn " K nazywamy wektorem własnym macierzy A
( )
odpowiadającym wartości własnej  , jeżeli
x1 0
�ł łł �ł łł
�łx śł �ł0śł
A
( - I = .
)�ł 2 śł �ł śł
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł0śł
�łxn �ł �ł �ł
Uwaga: Wartości i wektory własne macierzy A są identyczne z wartościami i wektorami
n n
własnymi przekształcenia liniowego f : K K , dla którego macierz A jest macierzą w
n
bazie standardowej przestrzeni K .
Macierz diagonalizowalna
Macierz kwadratowa A o elementach z ciała K jest diagonalizowalna, jeżeli istnieje
odwracalna macierz P (o elementach z ciała K ) taka, że macierz P-1AP jest diagonalna.
Związek diagonalizowalności macierzy z wektorami własnymi
Macierz kwadratowa A stopnia n o elementach z ciała K jest diagonalizowalna �! istnieje
n
baza przestrzeni K złożona z wektorów własnych macierzy A .