plik


ÿþWykBad 5 Niech f : V ’! W bdzie przeksztaBceniem liniowym przestrzeni wektoro- wych. Wtedy jdrem przeksztaBcenia nazywamy zbiór tych elementów z V , których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W . Jdro przeksztaBcenia oznaczamy przez Ker(f), czyli mamy: Ker(f) = {v " V ; f(v) = 0} Obrazem przeksztaBcenia f nazywamy zbiór wszystkich obrazów wektorów z przestrzeni V i oznaczamy go przez Im(f), a wic: Im(f) = {f(v); v " V } Zgodnie z tym co byBo powiedziane na jednym z poprzednich wykBadów Ker(f) jest podprzestrzeni przestrzeni V , a Im(f) jest podprzestrzeni prze- strzeni W . Je[li V jest podprzestrzeni skoDczonego wymiaru to zachodzi zwizek: dim V = dim Ker(f) + dim Im(f) Rzeczywi[cie je[li v1, v2, . . . , vk jest baz przestrzeni Ker(f) to mo|na j uzu- peBni do bazy przestrzeni V , zatem istnieje baza przestrzeni V o postaci v1, . . . , vk, u1, . . . , un. Wystarczy wic udowodni, |e wymiar obrazu jest rów- ny n. Poka|emy, |e baz obrazu s wektory f(u1), . . . , f(un). Je[li u nale|y do obrazu to istnieje wektor v " V , |e u = f(v) element v mo|na zapisa jako liniow kombinacj wektorów bazowych: v = ±1v1 + . . . + ±kvk + ²1u1 + . . . + ²nun std mamy: u = f(v) = ±1f(v1) + . . . + ±kf(vk) + ²1f(u1) + . . . + ²nf(un) i poniewa| wektory vi nale| do jdra to f(ui) = 0 i otrzymujemy u = f(v) = ²1f(u1) + . . . + ²nf(un), a to oznacza, |e Im(f) = Lin(f(u1), . . . , f(un)). Musimy pokaza jeszcze, |e wektory f(u1), . . . , f(un) s liniowo niezale|ne. Rozpatrzmy równanie: k1f(u1) + . . . + knf(un) = 0 z wBasno[ci przeksztaBcenia liniowego mamy: f(k1u1 + . . . + knun) = 0, a to oznacza, |e k1u1 + . . . + knun " Ker(f) poniewa| wektory u1, . . . , un s 1 niezale|ne od wektorów generujcych jdro to nasza liniowa kombinacja na- le|y do jdra tylko wtedy gdy k1 = . . . = kn = 0, a wic wektory s liniowo niezale|ne. Poka|emy teraz, |e ró|nowarto[ciowo[ przeksztaBcenia liniowego zale|y od jdra tego przeksztaBcenia. Twierdzenie 1 Niech f bdzie przeksztaBceniem liniowym przestrzeni wek- torowych. PrzeksztaBcenie f jest ró|nowarto[ciowe wtedy i tylko wtedy gdy Ker(f) = {0}. Dowód (Ò!) Poniewa| f(0) = 0 to z ró|nowarot[ciowo[ci wynika, |e je[li f(v) = 0 to v = 0, a wic jdro skBada si tylko z wektora zerowego. (Ð!) Musimy udowodni, |e je[li f(v) = f(u) to v = u. Rzeczywi[cie je[li f(v) = f(u) to z wBasno[ci przeksztaBcenia liniowego wynika, |e f(u-v) = 0, a wic u - v " Ker(f) = {0} zatem u - v = 0 i mamy u = v. PrzeksztaBcenie liniowe bdziemy nazywa nieosobliwym je[li Ker(f) = {0}. Twierdzenie 2 Niech V bdzie przestrzeni liniow o skoDczonym wymiarze i niech f bdzie przeksztaBceniem liniowym przestrzeni V w siebie. Wtedy nastpujce warunki s równowa|ne: (i) f jest bijekcj, (ii) f jest suriekcj, (iii) f jest iniekcj. Dowód Poniewa| V jest skoDczenie wymiarow przestrzeni liniow i f prze- ksztaBca V w V wic jdro i obraz s podprzestrzeniami V i jest speBniona udowodniona wcze[niej równo[: dim V = dim Ker(f) + dim Im(f) Oczywi[cie z faktu, |e f jest bijekcj wynika, |e f jest suriekcj. Je[li f jest suriekcj to Im(f) = V , a wic dim Im(f) = dim V i z powy|- szego wzoru otrzymujemy, |e dim Ker(f) = 0 a to oznacza, |e Ker(f) = {0} i na podstawie poprzedniego twierdzenia f jest funkcj ró|nowarto[ciow (=iniekcj). Je[li f jest iniekcj to na podstawie poprzedniego twierdzenia i na podstawie powy|szego wzoru otrzymujemy dim Im(f) = dim V , a wic Im(f) = V , czyli f jest równie| suriekcj, a wic jest bijekcj. 2 Twierdzenie to oznacza, |e przeksztaBcenie f : V ’! V przestrzeni skoD- czenie wymiarowej w siebie jest nieosobliwe wtedy i tylko wtedy gdy jest izomorfizmem. Rzdem przeksztaBcenia liniowego f nazywamy wymiar obrazu tego prze- ksztaBcenia i oznaczamy go przez r(f), a wic: r(f) := dim Im(f) Je[li dziedzin f jest przestrzeD skoDczonego wymiaru to na podstawie wcze- [niej udowodnionego wzoru mamy: dim V = dim Ker(f) + r(f) Niech U, V, W bd przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciaBem i niech f : U ’! V , g : V ’! W bd przeksztaBceniami liniowymi wtedy zBo|enie: g æ% f : U ’! W jest przeksztaBceniem liniowym przestrzeni u w przestrzeD W . Rzeczywi[cie je[li u1, u2 " U to mamy g æ% f(u1 + u2) = g(f(u1 + u2)) = g(f(u1) + f(u2)) = g(f(u1)) + g(f(u2)) = g æ% f(u1) + g æ% f(u2). Drug wBasno[ przeksztaBceD liniowych udowadnia si podobnie. Twierdzenie 3 Jesli f : U ’! V i g : V ’! W s przeksztaBceniami linio- wymi to: r(g æ% f) min(r(f), r(g)) Dowód Je[li V1 ‚" V2 to g(V1) ‚" g(V2) i poniewa| f(U) ‚" V to mamy równie| g æ% f(U) = g(f(U)) ‚" g(V ), a zatem r(g æ% f) r(g). Niech przeksztaBcenie liniowe f : V ’! W bdzie bijekcj wtedy istnieje funkcja f-1 odwrotna do f i funkcja f-1 jest przeksztaBceniem liniowym W ’! V . Rzeczywi[cie niech w1, w2 nale| do W . Poniewa| f jest suriekcj to istniej v1, v2 " V , |e w1 = f(v1) i w2 = f(v2) i mamy: f-1(w1 + w2) = f-1(f(v1) + f(v2)) = f-1(f(v1 + v2)) = f-1 æ% f(v1 + v2) = v1 + v2 = f-1(w1) + f-1(w2) i podobnie mo|na udowodni drug z potrzebnych wBasno[ci. Oznaczmy przez Aut(V ) zbiór wszystkich izomorfizmów przestrzeni V na siebie. Wtedy: 3 Twierdzenie 4 Zbiór Aut(V ) wraz z dziaBaniem skBadania przeksztaBceD jest grup. Niech V bdzie przestrzeni liniow z baz A = {v1, v2, . . . , vn}, a W niech bdzie przestrzeni liniow z baz B = {w1, w2, . . . , wm} i niech f bdzie przeksztaBceniem liniowym przestrzeni V w W wtedy obraz ka|dego vi da si zapisa jako kombinacja liniowa bazy przestrzeni W : f(v1) = k11w1 + k21w2 + . . . + km1wm f(v2) = k12w1 + k22w2 + . . . + km2wm . . . f(vn) = k1nw1 + k2nw2 + . . . + kmnwm mo|emy utworzy macierz zBo|on ze wspóBczynników z prawej strony: îø ùø k11 k12 . . . k1n ïø k21 k22 . . . k2n úø ïø úø ïø úø ðø ûø . . . . . . . . . . . . km1 km2 . . . kmn Macierz t nazywamy macierz przeksztaBcenia f w bazach A i B. Macierz ta (je[li mamy ustalone bazy) daje nam wszystkie mo|liwe informacje o prze- ksztaBceniu. Je[li mamy dan macierz przeksztaBcenia to mo|emy wyznaczy obraz dowolnego wektora. Twierdzenie 5 Je[li V i W s przestrzeniami liniowymi nad ciaBem K, dim V = n, dim W = m, A i B s ustalonymi bazami tych przestrzeni to przyporzdkowanie ka|demu przeksztaBceniu f : V ’! W macierzy Mf " Mm,n(K) w tych bazach wyznacza izomorfizm przestrzeni Hom(V, W ) na przestrzeD Mm,n(K), to znaczy je[li f, g " Hom(V, W ) i k " K to: Mf+g = Mf + Mg Mkf = kMf Dane s trzy przestrzenie V, W, U i bazy tych przestrzeni A, B, C Je[li f jest przeksztaBceniem liniowym przestrzeni V w W , a g jest przeksztaBce- niem liniowym W w U i je[li Mf, Mg s macierzami tych przeksztaBceD w powy|szych bazach to macierz zBo|enia g æ% f w bazach odpowiednio A i C jest iloczyn macierzy MgMf, mamy zatem: Mgæ%f = MgMf 4 W przypadku gdy przestrzenie W i V s równe to przewa|nie szukajc macierzy przeksztaBcenia ustalamy w dziedzinie i w przeciwdziedzinie t sam baz. Mówimy wtedy o macierzy przeksztaBcenia w bazie. Szczególnie pro- stym przypadkiem jest gdy przestrzeD V nad ciaBem K jest równa Kn i gdy ja- ko baz wybierzemy baz kanoniczn: e1 = (1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 1). Wtedy je[li A jest macierz przeksztaBcenia f : Kn ’! Kn w bazie kano- nicznej i v = (k1, . . . , kn) " Kn jest dowolnym wektorem to obraz wektora otrzymujemy przez mno|enie: îø ùø k1 ïø úø . ïø úø . f(v) = A . ðø ûø kn Wtedy jdro przeksztaBcenia skBada si z wektorów v = (k1, . . . , kn), które speBniaj równanie: îø ùø îø ùø k1 0 ïø úø ïø úø . . ïø úø ïø úø . . f(v) = A = . . ðø ûø ðø ûø kn 0 i wymiar jdra jest równy n - r(A), gdzie r(A) jest rzdem macierzy, r(f) = r(A). Macierz zmiany bazy Niech A = {a1, a2, . . . , an} i B = {b1, b2, . . . , bn} bd dwiema bazami przestrzeni V . Ka|dy element bazy B mo|na zapisa w postaci liniowych kombinacji wektorów z bazy A: b1 = k11a1 + k21a2 + . . . + kn1an b2 = k12a1 + k22a2 + . . . + kn2an . . . bn = k1na1 + k2na2 + . . . + knnan wtedy macierz îø ùø k11 k12 . . . k1n ïø k21 k22 . . . k2n úø ïø úø ïø úø ðø ûø . . . . . . . . . . . . kn1 kn2 . . . knn nazywamy macierz przej[cia od bazy A do bazy B. Zadanie W przestrzeni R3 wyznaczy macierz przej[cia od bazy (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0) 5 do bazy (1, 0, 1), (1, 2, 0), (1, 1, 1). Nieformalnie mo|na zapisa równo[: îø ùø îø ùø b1 îø k11 k12 . . . k1n ùø a1 ïø úø b2 ïø k21 k22 . . . k2n úø ïø a2 úø ïø úø ïø úø ïø úø ïø úø ïø úø = ïø úø . . ïø úø ïø úø . . ðø ûø . . . . . . . . . . . . ðø . ûø ðø . ûø kn1 kn2 . . . knn an bn Twierdzenie 6 Je[li P jest macierz przej[cia od bazy A do bazy B to ma- -1 cierz przej[cia od bazy B do bazy A jest równa P . Pojcie macierzy przej[cia od jednej bazy do drugiej pozwala nam stwier- dzi jak otrzyma macierz danego przeksztaBcenia liniowego w innej bazie. Niech A i B bd bazami przestrzeni liniowej V , niech Mf bdzie macierz operatora liniowego f : V ’! V w bazie A i niech P oznacza macierz przej[cia od bazy A do bazy B. Wtedy macierz Gf przeksztaBcenia f w bazie B jest równa: -1 Gf = P MfP PrzykBad Dana jest macierz przeksztaBcenia f : R3 ’! R3 w bazie kanonicz- nej: îø ùø 1 0 2 ïø úø ðø 1 2 3 ûø 0 3 1 Wyznaczy macierz tego przeksztaBcenia w bazie (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0). Niech w zbiorze Mn(K) bdzie okre[lona nastpujca relacja je[li M, N " Mn(K) to -1 M <" N Ð!Ò! "P M = P NP wtedy ta relacja jest relacj równowa|no[ci, a klasa abstrakcji [M]<" okre[la zbiór macierzy, które s macierzami tego samego przeksztaBcenia liniowego w ró|nych bazach. Je[li f jest przeksztaBceniem liniowym pewnej skoDczenie wymiarowej prze- strzeni liniowej V , a Mf jest macierz tego przeksztaBcenia w pewnej bazie to f jest przeksztaBceniem odwracalnym wtedy i tylko wtedy gdy Mf jest macierz odwracaln ( to znaczy wtedy i tylko wtedy gdy det Mf = 0). 6

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Przekształcenia liniowe zadania i przykłady
Algebra 0 05 pierścienie
Wykład 12 Składanie przekształceń liniowych a mnożenie macierzy
Przeksztalcenia liniowe
Wykład 8 przekształcenia liniowe
Wykład 10 Macierze i przekształcenia liniowe
1 5 Przeksztalcenia liniowe
8 Przekształcenia liniowe
Algebra 2 05 pierścienie
Wykład 11 Macierze i przekształcenia liniowe II
Geometia i Algebra Liniowa
ALGEBRA LINIOWA KOLOKWIA PRZYKLADOWE

więcej podobnych podstron