Wykład 5
Pierścienie cd.
Twierdzenie 1 JeÅ›li struktura (P, +, ·) jest pierÅ›cieniem to każde równanie
a + x = b ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Dowód Tym rozwiązaniem jest element x = b - a.
Twierdzenie 2 Jeśli element a jest odwracalny w pierścieniu P to każde
równanie ax = b i ya = b ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Twierdzenie 3 Każde ciało jest dziedziną całkowitości.
Dowód Wystarczy pokazać, że w ciele nie ma dzielników zera. Rzeczywiście
jeśli a = 0P i jeśli ab = 0P to a jest elementem odwracalnym i mamy:

ab = 0P
a-1(ab) = a-10P
(a-1a)b = 0P
1P b = 0P
b = 0P
a więc jeśli a jest niezerowym elementem ciała to nie istnieje niezerowy ele-
ment b dla którego ab = 0P .
Twierdzenie 4 Każda skończona dziedzina całkowitości jest ciałem.
Dowód Ponieważ P jest zbiorem skończonym to możemy go zapisać w po-
staci P = {p1, p2, . . . , pn}. Niech p będzie dowolnym, niezerowym, elementem

pierścienia P . Rozważmy zbiór P = {pp1, pp2, . . . , ppn}. W tym zbiorze ele-
menty się nie powtarzają bo jeśli ppi = ppj to mamy p(pi - pj) = 0P i
ponieważ p = 0P to z faktu, że P jest dziedziną wynika, że pi - pj = 0. A


więc pi = pj. Zbiór P = {pp1, pp2, . . . , ppn} zawiera się w P i ma tyle samo
elementów co P , a więc {pp1, pp2, . . . , ppn} = P . Istnieje więc element pi taki,
że ppi = p istnieje również element pj taki, że ppj = pi. Pokażemy, że element
pi jest jedynką pierścienia P . Rzeczywiście dla dowolnego q istnieje również
k, że qpk = q. Zatem q = qppj = qpk, stąd (ponieważ P jest dziedziną) mamy
pi = ppj = pk. Element p jest odwracalny, bo pj jest do niego odwrotny.
1
Izomorfizm pierścieni
Niech (R, +, ·) i (S, +, ·) bÄ™dÄ… pierÅ›cieniami. BÄ™dziemy mówić, że funkcja
f jest homomorfizmem pierścienia P w S jeśli:
(i) f : R S.
(ii) "a, b " P f(a + b) = f(a) + f(b), f(ab) = f(a)f(b).
Izomorfizmem pierścieni nazywamy homomorfizm, który jest bijekcją.
Mówimy, że pierścienie są izomorficzne jeśli istnieje izomorfizm przekształ-
cający jeden pierścień na drugi.
Przykład Rozważmy pierścień P składający się z macierzy

a b
, a, b " R
-b a
oraz pierścień liczb zespolonych wtedy funkcja f : P C dana wzorem:

a b
f : a + bi
-b a
jest izomorfizmem pierścieni.
Przykład Funkcja g : C C dana wzorem:
f(a + bi) = a + bi = a - bi
jest izomorfizmem pierścienia C na siebie.
Twierdzenie 5 Jeśli funkcja f : R S jest homomorfizmem pierścieni to:
(i) f(0R) = 0S.
(ii) f(-a) = -f(a) dla każdego a " R.
(iii) Jeśli pierścienie R i S mają jedynki 1R i 1S oraz f jest izomorfizmem
to f(1R) = 1S.
Dowód
(i) Ponieważ 0R = 0R + 0R to mamy:
f(0R) = f(0R + 0R) = f(0R) + f(0R)
a stÄ…d odejmujÄ…c obustronnie f(0R) otrzymujemy f(0R) = 0S.
(ii) Ponieważ 0R = a + (-a) to mamy:
0S = f(0R) = f(a + (-a)) = f(a) + f(-a)
stÄ…d odejmujÄ…c stronami f(a) otrzymujemy: f(-a) = -f(a).
2
(iii) Ponieważ f jest suriekcją to istnieje r " R, takie, że f(r) = 1S. Wtedy
mamy:
f(1R) = f(1R)1S = f(1R · r) = f(r) = 1S

PrzykÅ‚ad PierÅ›cienie Z12 oraz Z3 × Z4 sÄ… izomorficzne.
Rzeczywiście zgodnie z punktem (iii)powyższego Twierdzenia mamy f(1) =
(1, 1), stÄ…d:
f(2) = f(1 + 1) = f(1) + f(1) = (1, 1) + (1, 1) = (2, 2)
f(3) = f(1 + 2) = f(1) + f(2) = (1, 1) + (2, 2) = (0, 3)
f(4) = f(1 + 3) = f(1) + f(3) = (1, 1) + (0, 3) = (1, 0)
f(5) = f(1 + 4) = f(1) + f(5) = (1, 1) + (1, 0) = (2, 1)
f(6) = f(1 + 5) = f(1) + f(5) = (1, 1) + (2, 1) = (0, 2)
f(7) = f(1 + 6) = f(1) + f(6) = (1, 1) + (0, 2) = (1, 3)
f(8) = f(1 + 7) = f(1) + f(7) = (1, 1) + (1, 3) = (2, 0)
f(9) = f(1 + 8) = f(1) + f(8) = (1, 1) + (2, 0) = (0, 1)
f(10) = f(1 + 9) = f(1) + f(9) = (1, 1) + (0, 1) = (1, 2)
f(11) = f(1 + 10) = f(1) + f(10) = (1, 1) + (1, 2) = (2, 3)
f(0) = f(1 + 11) = f(1) + f(11) = (1, 1) + (2, 3) = (0, 0)
Oczywiście funkcja ta jest bijekcją. Aby udowodnić, że funkcja ta jest homo-
morfizmem zauważmy, że dana jest wzorem:
f([a]12) = ([a]3, [a]4)
gdzie [a]n oznacza klasÄ™ reszt modulo n.
PrzykÅ‚ad PierÅ›cienie Z4 oraz Z2 ×Z2 nie sÄ… izomorficzne (chociaż majÄ… takÄ…
samą liczbę elementów. Gdyby pierścienie te były izomorficzne to mielibyśmy
f(1) = (1, 1) wtedy mamy f(2) = f(1 + 1) = f(1) + f(1) = (1, 1) + (1, 1) =
(0, 0), ale to jest niemożliwe bo funkcja f jest iniekcją i f(0) = (0, 0), a 2 = 0

w Z4.
Ogólniej można powiedzieć:
Twierdzenie 6 JeÅ›li liczby n i m sÄ… wzglÄ™dnie pierwsze to pierÅ›cieÅ„ Zn×Zm
jest izomorficzny z pierścieniem Znm.
Przykład Jeśli pierścienie R i S są izomorficzne i pierścień R jest przemienny
to również pierścień S jest przemienny. Rzeczywiście jeśli s1, s2 " S to istnieją
elementy r1, r2, że s1 = f(r1) i s2 = f(r2) wtedy korzystając z przemienności
mnożenia w pierścieniu R mamy:
s1s2 = f(r1)f(r2) = f(r1r2) = f(r2r1) = f(r2)f(r1) = s2s1
3
Przykład Jeśli R i S są pierścieniami przemiennymi z jednościami. Niech f
będzie odpowiednim izomorfizmem. Wtedy jeśli u jest elementem odwracal-
nym w R to f(u) jest elementem odwracalnym w S, a jeśli v jest elementem
odwracalnym w S to f-1(v) jest elementem odwracalnym w R.
Przykład Elementami odwracalnymi pierścienia Z12 są 1, 5, 7, 11 zatem, na
podstawie powyższego PrzykÅ‚adu elementami odwracalnymi pierÅ›cienia Z3 ×
Z4 sÄ… (1, 1), (2, 1), (1, 3), (2, 3).
Inaczej mówiÄ…c w pierÅ›cieniu R × S elementami odwracalnymi sÄ… pary
(u, v), takie że u jest elementem odwracalnym w R, a v jest elementem od-
wracalnym w pierścieniu S.
4