Wykład 4
Pierścienie
Pierścieniem nazywamy niepusty zbiór P wraz z dwoma (binarnymi) dzia-
Å‚aniami + i · (bÄ™dziemy czÄ™sto pisać (P, +, ·)) w tym zbiorze, które speÅ‚niajÄ…
następujące aksjomaty. Dla każdych a, b, c " P :
(1) JeÅ›li a, b " P wtedy a + b, a · b " P .
(2) a + (b + c) = (a + b) + c.
(3) a + b = b + a.
(4) Istnieje element 0P " P , taki że dla każdego a " P mamy a + 0P =
0P + a = a.
(5) Dla każdego elementu a " P równanie a + x = 0P ma rozwiązanie w P .
(6) a(bc) = (ab)c.
(7) a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc.
Element 0P nazywać będziemy elementem neutralnym dodawania lub w
skrócie zerem pierścienia. Rozwiązanie równania a + x = 0P nazywać będzie-
my elementem przeciwnym do a i zapisywać będziemy je w postaci -a.
PrzykÅ‚adami pierÅ›cieni sÄ… struktury (Z, +, ·), (Zn, +n, · ).
n
BÄ™dziemy mówić, że pierÅ›cieÅ„ (P, +, ·) jest przemienny jeÅ›li:
(8) ab = ba dla każdych a, b " P .
BÄ™dziemy mówić, że pierÅ›cieÅ„ (P, +, ·) jest pierÅ›cieniem z jedynkÄ… jeÅ›li
istnieje element 1P taki, że:
(9) a · 1P = 1P · a = a dla każdego a " P .
PierÅ›cienie (Z, +, ·) i (Zn, +n, · ) sÄ… przykÅ‚adami pierÅ›cieni przemiennych
n
z jedynkÄ…. PrzykÅ‚adem pierÅ›cienia bez jedynki może być (2Z, +, ·) czyli zbiór
liczb całkowitych parzystych ze zwykłymi działaniami.
Mówimy, że niepusty podzbiór S zbioru P jest podpierścieniem jeśli struk-
tura (S, +, ·)jest pierÅ›cieniem, gdzie dziaÅ‚ania sÄ… takie same jak w pierÅ›cieniu
P . Inaczej mówiÄ…c dla pierÅ›cienia (S, +, ·) muszÄ… być speÅ‚nione aksjomaty
(1) - (7). Nietrudno jest zauważy, że S jest podpierścieniem pierścienia P
wtedy i tylko wtedy gdy:
JeÅ›li a, b " S to a + b, a · b " S.
0P " S.
Jeśli a " S to rozwiązanie równania a + x = 0p też należy do zbioru S.
PrzykÅ‚adami podpierÅ›cieni pierÅ›cienia (Z, +, ·) sÄ… (nZ, +, ·).
PrzykÅ‚ad Niech Mn(R) oznacza zbiór macierzy n × n o współczynnikach
rzeczywistych. Wtedy Mn(R) wraz z dziaÅ‚aniami + dodawania macierzy i ·
1
mnożenia macierzy jest pierścieniem. Pierścień ten posiada element neutralny
mnożenia I ( a więc jest to przykład pierścienia z jedynką). Jeśli n > 1 to
pierścień ten jest nieprzemienny.
Podobnie można rozpatrywać pierścienie macierzy o współczynnikach cał-
kowitych (Mn(Z)), wymiernych (Mn(Q)), lub o współczynnikach z pierścienia
Zk czyli o pierścieniu Mn(Zk).
Przykład Niech C oznacza zbiór funkcji ciągłych, które przekształcających
R w R. Wtedy funkcje można dodawać i mnożyć:
(f + g)(x) = f(x) + g(x), (fg)(x) = f(x)g(x)
Można udowodnić, że suma i iloczyn funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą,
a wiÄ™c struktura (C, +, ·) jest pierÅ›cieniem. Jest to pierÅ›cieÅ„ przemienny z
jedynką. Pierścień ten jest podpierścieniem pierścienia wszystkich funkcji,
które przekształcają R w R.
Mówimy, że przemienny pierÅ›cieÅ„ z jedynkÄ… (P, +, ·) jest dziedzinÄ… caÅ‚-
kowitości lub pierścieniem bez dzielników zera jeśli 0P = 1P i spełniony

następujący aksjomat:
(11) Jeśli dla a, b " P mamy ab = 0P to a = 0P lub b = 0P .
PrzykÅ‚adami pierÅ›cieni bez dzielników zera sÄ… (Z, +, ·), (R, +, ·) lub pier-
Å›cieÅ„ (Zp, +p, · ), gdzie p jest liczbÄ… pierwszÄ…. PierÅ›cieniem, który nie jest
p
dziedzinÄ… jest (Z6, +6, ·6), bo 2 ·6 3 = 0.
Element a " P pierÅ›cienia z jedynkÄ… (P, +, ·) nazywamy odwracalnym
jeśli
(12) Równanie a · x = x · a = 1P ma rozwiÄ…zanie.
Element, który jest rozwiązaniem tego równania nazywamy elementem od-
wrotnym do a i oznaczamy go przez a-1.
Mówimy, że pierÅ›cieÅ„ z jedynkÄ… (P, +, ·) jest pierÅ›cieniem z dzieleniem
jeśli każdy niezerowy element pierścienia P jest odwracalny. Na przykład
(Z, +, ·) nie jest pierÅ›cieniem z dzieleniem, a (R, +, ·) jest.
Przemienny pierścień z dzieleniem nazywamy ciałem.
Twierdzenie 1 PierÅ›cieÅ„ (Zp, +p, · ) jest ciaÅ‚em wtedy i tylko wtedy gdy p
p
jest liczbÄ… pierwszÄ….
Zadanie Udowodnić, że podpierścień pierścienia macierzy M2(R), który skła-
da siÄ™ z macierzy o postaci:

a b
-b a
jest ciałem.
2
Zadanie Udowodnić, że podpierścień pierścienia macierzy M2(C), który skła-
da siÄ™ z macierzy o postaci:

a + bi c + di
-c + di a - bi
jest pierścieniem z dzieleniem i nie jest ciałem (to znaczy każdy niezerowy
element jest odwracalny, ale mnożenie jest nieprzemienne).
Pokażemy teraz, że można konstruować iloczyn kartezjański pierścieni:
Twierdzenie 2 Niech (R, +, ·), (S, +, ·) bÄ™dÄ… dwoma pierÅ›cieniami. Wtedy
zbiór R × S wraz z dziaÅ‚aniami:
(r, s) + (r , s ) = (r + r , s + s )
(r, s) · (r , s ) = (r · r , s · s )
jest pierÅ›cieniem. JeÅ›li R i S sÄ… pierÅ›cieniami przemiennymi to R × S też,
jeÅ›li oba pierÅ›cienie posiadajÄ… jedynki 1R, 1S to R × S też posiada jedynkÄ™
(1R, 1S).
Dowód Ćwiczenie.
Zadanie Skonstruować tabelki dodawania i mnożenia w pierÅ›cieniu Z2 × Z3.
Pokażemy teraz kilka ważnych własności pierścieni:
Twierdzenie 3 Jeśli P jest pierścieniem to równanie a + x = 0P ma do-
kładnie jedno rozwiązanie.
Dowód Przypuśćmy, że równanie to ma dwa rozwiązanie, nazwijmy je u i v.
Wtedy a + u = u + a = 0P , a + v = v + a = 0P i mamy:
u = u + 0P = u + (a + v) = (u + a) + v = 0P + v = v.
a więc udowodniliśmy, że u równa się v. To oznacza, że równanie ma dokładnie
jedno (istnienie rozwiązania wynika z aksjomatyki pierścieni).
Jak powiedzieliśmy już wcześniej element przeciwny do a (czyli rozwią-
zanie równania a + x = 0P ) oznaczać będziemy przez -a. Pozwala nam to
na zdefiniowanie odejmowania w pierścieniu w następujący sposób: a - b :=
a + (-b).
Twierdzenie 4 Jeśli w pierścieniu spełniona jest równość a + b = a + c to
b = c.
Dowód Ćwiczenie.
3
Twierdzenie 5 Dla każdych elementow a, b pierścienia P mamy:
(1) a · 0p = 0P · a = 0P .
(2) a(-b) = (-a)b = -(ab).
(3) -(-a) = a.
(4) -(a + b) = (-a) + (-b).
(5) -(a - b) = -a + b.
W dowolnym pierścieniu można zdefiniować potęgowanie elementów ja-
ko an = a · a · · · a. Możemy również zdefiniować potÄ™gÄ™ a0 jako 1P (jeÅ›li P

n×
posiada jedynkę). Dokładnie tak samo jak w pierścieniu liczb całkowitych
potęgowanie ma następujące własności:
(1) an+m = an · am.
(2) anm = (an)m.
4