plik


ÿþWykBad 4 Okre[limy teraz pewn wa|n klas pier[cieni. Twierdzenie 1 Niech m, n " Z. Je[li n > 0 to istnieje dokBadnie jedna para licz q, r, |e: m = qn + r, 0 r < n. Liczb r nazywamy reszt z dzielenia m przez n i czsto oznaczamy j przez mn. Zauwa|my, |e reszta zawsze jest liczb wiksz lub równ zero i jest mniejsza od liczby przez, któr dzielimy. PrzykBady 1. m = 26, n = 6, wtedy mamy 26 = 4 · 6 + 2, wic reszta z dzielenia 26 przez 6 wynosi 2. 2. m = -26, n = 6, wtedy mamy 26 = (-5) · 6 + 4, wic reszta z dzielenia -26 przez 6 wynosi 4. 3. m = 5, n = 7, wtedy mamy 5 = 0 · 7 + 5, wic reszta z dzielenia 5 przez 7 wynosi 5. Niech Zn = {0, 1, . . . , n - 1}, gdzie n " N, n > 0, wtedy w zbiorze Zn mo|emy okre[li dziaBania +n, · w nastpujcy sposób: n a +n b = (a + b)n a · b = (a · b)n n a wic sum i iloczyn w Zn okre[lamy jako reszt z dzielenia zwykBej sumy i zwykBego iloczynu przez n. Okre[lmy nastpujc funkcj: fn : Z ’! Zn fn(x) = reszta z dzielenia liczby x przez n. Wtedy funkcja fn ma wBasno[ci: fn(x + y) = fn(x) +n fn(y) fn(x · y) = fn(x) · fn(y) n Niech r, s oznaczaj reszty z dzielenia x i y przez n wtedy mamy x = an + r, y = bn + s. Std x + y = (a + b)n + r + s i fn(x + y) = fn(r + s) i fn(x) = r oraz fn(y) = s. Poniewa| 0 r, s < n to zgodnie z definicj funkcji fn i dodawania +n otrzymujemy |dan równo[. Twierdzenie 2 System algebraiczny (Zn, +n, · ) jest pier[cieniem przemien- n nym z jedynk. 1 Dowód Wszystkie wBasno[ci pier[cienia mo|na sprawdzi korzystajc z funk- cji fn. Na przykBad je[li chcemy udowodni Bczno[ to wezmy dowolne ele- menty a, b, c " Zn. Wtedy mamy: a +n (b +n c) = fn(a + (b + c)) = fn((a + b) + c) = (a +n b) +n c Inne wBasno[ci pokazuje si podobnie. Elementem neutralnym dodawania jest 0, mno|enia jest 1. Elementem przeciwnym do a " Zn jest n - a. DziaBania +n, · nazywa si zwykle dodawaniem i mno|eniem modulo n, n a pier[cieD (Zn, +n, · ) pier[cieniem reszt modulo n. Mo|na te| zdefiniowa n potgowanie np. a2 w Zn rozumiemy jako a · a itd... W sensie pier[cienia Zn n mo|emy formalnie u|ywa dowolnych liczb caBkowitych i mo|emy powiedzie, |e liczba a = b w Zn je[li fn(a) = fn(b). Co to daje? Mo|na w prosty sposób wykonywa pewne dziaBania np. je[li chcemy obliczy 7·9(4+95) to wystarczy obliczy ile wynosi 7 · (4 + 5) w Z, a potem wzi reszt z dzielenia wyniku przez 9. Mo|na te| inaczej postpowa na przykBad je[li chcemy obliczy 2100 w pier[cieniu Z5 to Batwiej jest wykonywa od razu pewne obliczenia modulo 5, bo 24 = 1 w Z5, a wic 2100 = (24)25 = 125 = 1. Zadanie Skonstruowa tabelki dziaBaD w pier[cieniu Z5. +n 0 1 2 3 4 · 0 1 2 3 4 n 0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 1 2 3 4 0 1 0 1 2 3 4 2 2 3 4 0 1 2 0 2 4 1 3 3 3 4 0 1 2 3 0 3 1 4 2 4 4 0 1 2 3 4 0 4 3 2 1 Zadanie Obliczy 8882 w pier[cieniu Z889. Rozwizanie Poniewa| w pier[cieniu Z889 liczba 888 = -1 to 8882 = (-1)2 = 1. Zadanie Rozwiza równanie 15 ·19 x = 1 w Z19. Rozwizanie Trzeba wyznaczy liczb, która wymno|ona przez 15 modulo 19 da nam 1. T liczb mo|na wyznaczy badajc wszystkie reszty modulo 19. Po przetestowaniu wszystkich liczb modulo 15, stwierdzimy, |e jedynym rozwizaniem naszego równania jest 14. Opiszemy teraz ogóln metod odwracania liczb modulo n Niech a, b bd liczbami caBkowitymi i niech b = 0. Wtedy mówimy, |e liczba b dzieli a (lub, |e b jest dzielnikiem a) je[li istnieje liczba caBkowita c, |e a = bc. Fakt, |e liczba b dzieli a zapisujemy symbolicznie b|a, a je[li liczba b nie dzieli a to piszemy b a. Na przykBad 24|96 bo 96 = 4 · 24. Podobnie -4|24 bo 24 = (-6) · (-4). Liczba 3 nie dzieli liczby 7, a wic mo|emy zapisa 3 7. 2 Niech a i b bd liczbami caBkowitymi, z których przynajmniej jedna jest ró|na od zera. Wtedy najwikszym wspólnym dzielnikiem tych liczb nazywamy najwiksz liczb caBkowit d, która dzieli jednocze[nie a i b. Naj- wikszy wspólny dzielnik oznaczamy przez NWD(a, b) i jest on wyznaczony (w tym przypadku) jednoznacznie. Inaczej mówic d = NWD(a, b) wtedy i tylko wtedy gdy (i) d|a i d|b, (ii) je[li c|a i c|b to c d. Z powy|szej definicji wida, |e NWD(a, b) 1. Na przykBad NWD(12, 30) = 6. Opiszemy teraz algorytm, który pozwala w prosty sposób wyznacza naj- wikszy wspólny dzielnik dwóch liczb. ZaBó|my, |e a b. Oczywi[cie je[li b|a to NWD(a, b) = b i problemu nie ma. Przypu[my, |e b a wtedy mo|emy a podzieli przez b z niezerow reszt: a = q0b + r0, 0 < r0 < b Je[li liczba c dzieli a i dzieli b to ta liczba musi dzieli równie| r0. Oznacza to, |e zbiór dzielników liczb a, b jest taki sam jak zbiór dzielników liczb b, r0, a wic równie| NWD(a, b) = NWD(b, r0). Mo|na wic proces dzielenia z reszt kontynuowa w nastpujcy sposób: a = q0b + r0, 0 < r0 < b b = q1r0 + r1, 0 < r1 < r0 r0 = q2r1 + r2, 0 < r2 < r1 r1 = q3r2 + r3, 0 < r3 < r2 . . . a wic w nastpnym kroku dzielimy poprzedni reszt przez nastpn reszt. Mo|na zauwa|y, |e NWD(a, b) = NWD(b, r0) = NWD(r0, r1) = NWD(r1, r2) = . . . i poniewa| cig reszt jest [ci[le malejcym cigiem liczb caBkowitych nie- ujemnych to po skoDczonej ilo[ci kroków musimy otrzyma reszt równ zero. Zgodnie z wcze[niejszym stwierdzeniem najwikszym wspólnym dzielnikiem liczb a i b bdzie ostatnia niezerowa reszta w tym procesie. Opisany algorytm znajdowania najwikszego wspólnego dzielnika nosi nazw Algorytmu Eu- klidesa. Poka|emy teraz na przykBadzie dziaBanie tego algorytmu. Zadanie Wyznaczy przy pomocy Algorytmu Euklidesa najwikszy wspólny 3 dzielnik liczb 324 i 148. A wic wykonujemy kolejne dzielenia: 324 = 2 · 148 + 28 148 = 5 · 28 + 8 28 = 3 · 8 + 4 8 = 4 · 2 + 0 Ostatni niezerow reszt jest 4. To oznacza, |e NWD(324, 148) = 4. Jest to du|o lepszy i szybszy algorytm od rozkBadania liczb na czynniki pierwsze. Poka|emy teraz, |e korzystajc z powyzszego algorytmu mo|na poszu- kiwa caBkowitych rozwizaD równania ax + by = NWD(a, b). Jak mo|na znalez te liczby? W przypadku liczb a = 324, b = 148 równanie to rozwizujemy w na- stpujcy sposób. Najpierw z przedostatniego kroku mo|emy wyznaczy 4 jako: 4 = 28 - 3 · 8 dalej krok wy|ej mamy 8 = 148 - 5 · 28 podstawiajc to do wcze[niej otrzy- manego wzoru mamy: 4 = 28 - 3 · 8 = 28 - 3 · (148 - 5 · 28) = 16 · 28 - 3 · 148 w kroku wy|ej mamy formuB na 28, wic mo|emy otrzyma: 4 = 28-3·8 = 16·28-3·148 = 16·(324-2·149)-3·148 = 16·324-35·148 co daje nam jedno z mo|liwych rozwizaD caBkowitych równania 324u + 148v = 4, a mianowicie u = 16, v = -35. A wic Algorytm Euklidesa mo|na wykorzystywa nie tylko do poszuki- wania najwikszego wspólnego dzielnika dwóch liczb, ale równie| do rozwi- zywania równaD typu ax + by = NWD(a, b) Wprost z powy|szych rozumowaD mo|na wywnioskowa nastpujce Twier- dzenie: Twierdzenie 3 Niech a, b bd dwiema liczbami caBkowitymi z których przy- najmniej jedna liczba jest ró|na od 0. Wtedy istniej liczby caBkowite u, v, takie |e ua + vb = NWD(a, b) Z powy|szego twierdzenia wynika natychmiast nastpujcy wniosek: 4 Wniosek 1 Liczba d jest najwikszym wspólnym dzielnikiem liczb a i b wtedy i tylko wtedy gdy (i) d|a i d|b, (ii) je[li c|a i c|b to c|d Dowód (Ò!) Niech d = NWD(a, b) wtedy zgodnie z powy|szym twierdzeniem istniej liczby caBkowite u i v takie, |e d = ua+vb. Je[li liczba c|a i c|b to a = kc, b = lc dla pewnych k, l. Std d = ukc + vlc = (uk + vl)c, a wic c|d. (Ð!) Je[li c|d to c d a wic punkty (i), (ii) pocigaj warunki: (i) d|a i d|b, (ii) je[li c|a i c|b to c d które stanowi definicj najwikszego wspólnego dzielnika. 5

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Algebra 2 04 pierścienie
Algebra 0 05 pierścienie
Algebra 2 05 pierścienie
Microsoft PowerPoint 04 algebra relacji i rachunek relacyjny
04 Wyrazenia algebraiczne
04 Wyrazenia algebraiczne odp
04 (131)
2006 04 Karty produktów
04 Prace przy urzadzeniach i instalacjach energetycznych v1 1
04 How The Heart Approaches What It Yearns
str 04 07 maruszewski
[W] Badania Operacyjne Zagadnienia transportowe (2009 04 19)
Plakat WEGLINIEC Odjazdy wazny od 14 04 27 do 14 06 14
MIERNICTWO I SYSTEMY POMIAROWE I0 04 2012 OiO

więcej podobnych podstron