Przekształcenia liniowe
Definicja
Mówimy, \
e przekształcenie L : U V jest liniowe, gdy spełnia warunki:
a) L(u1 + u2) = L(u1) + L(u2) dla dowolnych u1 , u2 " U
b) L( ² u) = ²L(u) dla dowolnych u " U, ² " R.
Twierdzenia
a) L(0) = 0
b) L(u1  u2) = L(u1 )  L(u2)
c) L(²1 u1 + ²2 u2) = ²1 L(u1) + ²2 L(u2), dla dowolnych u1, u2 " U, ²1, ²2 " R.
Twierdzenie
Niech {u1 , u2, & , un} będzie bazą przestrzeni liniowej U oraz v1, v2 , & , vn będą dowolnymi
wektorami przestrzeni liniowej V. Wtedy istnieje dokładnie jedno przekształcenie liniowe
L : U V takie, \
e L(u1) = v1 , L(u2) = v2 , & , L(un) = vn .
Definicja .
Jądrem przekształcenia liniowego L : U V nazywamy zbiór tych wektorów przestrzeni U,
których obrazem jest wektor 0 przestrzeni V;
Ker L = {u " U: L(u) = 0}.
Definicja
Obrazem przekształcenia liniowego L : U V nazywamy zbiór tych wektorów przestrzeni V,
które są obrazami wektorów przestrzeni U.
Im L = { v " V: " u " U taki, \
e L(u) = v}
Definicja
Niech L będzie przekształceniem liniowym przestrzeni V w siebie, czyli L : V V
Liczbę rzeczywistą  nazywamy wartością własną przekształcenia liniowego L, je\
eli istnieje
niezerowy wektor v taki, \
e L(v) =  v.
Ka\
dy wektor v `" 0 spełniający warunek L(v) =  v nazywamy wektorem własnym
przekształcenia liniowego odpowiadającym wartości własnej  .