Wykład 3
Dobór zmiennych do liniowego modelu ekonometrycznego1
Przedmiotem naszego zainteresowania jest jednorównaniowy model liniowy, który mo\
emy
zapisać w postaci ogólnej:
yt = Ä…1xt1 +Ä…2xt 2 +Ä…3xt3 + ...Ä…k xtk + µt (3.1)
gdzie:
yt - t-ta realizacja zmiennej objaśnianej
xtj - t  ta realizacja j  tej zmiennej objaśniającej
µt - t  ty skÅ‚adnik losowy
Po określeniu celu, przedmiotu i zakresu badań ekonometrycznych przechodzimy do specyfikacji
zmiennych. Na podstawie merytorycznej oceny i analizy modelowanych kategorii ekonomicznych
i relacji między nimi definiuje się zmienną objaśnianą przez model oraz potencjalne zmienne
objaśniające. Pomiędzy zmienną objaśnianą a zmiennymi objaśniającymi powinna zachodzić
zale\
ność przyczynowo-skutkowa lub przynajmniej symptomatyczna. Wybrane zmienne powinny być
mierzalne i dostępne, co pozawala utworzyć szeregi ich realizacji.
Dana jest, więc macierz obserwacji zmiennej objaśnianej i potencjalnych zmiennych
objaśniających:
y1 x11 x12 ... x1m
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚y x21 x22 ... x2m śł
2
ïÅ‚ śł
(3.2)
ïÅ‚ śł
... ... ... ... ...
ïÅ‚y xn1 xn2 ... xnm śł
ðÅ‚ n ûÅ‚
Dalsza analiza ma charakter formalno-statystyczny i jest prowadzona na empirycznych
realizacjach zmiennych. Prowadzi ona zwykle do redukcji zbioru zmiennych objaśniających. Zmienne
stosowane w modelowaniu ekonometrycznym powinny posiadać dostatecznie du\
ą zmienność.
Zmienność (zawartość informacyjna) jest mierzona współczynnikiem zmienności.
Przyjmuje siÄ™, \
e dla zmiennych objaśniających współczynnik zmienności powinien mieć wartość
większą ni\
10%, dla zmiennej objaśnianej mo\
na przyjąć nieco ni\
szą wartość krytyczną
współczynnika.
Dalsza redukcja zbioru zmiennych objaśniających ma na celu wyłonienie zbioru zmiennych
objaśniających silnie skorelowanych ze zmienną objaśnianą i słabo skorelowanych pomiędzy sobą.
Pierwsza z wymienionych własności związana jest z faktem, \
e zmienna objaśniana w modelu
liniowym jest funkcją liniową zmiennych objaśnianych. Druga własność decyduje natomiast
o dokładności ocen parametrów modelu uzyskanych metodą najmniejszych kwadratów. Zagadnienia
te bli\
ej zostaną omówione na wykładach dotyczących estymacji.
1
Wykład opracowano na podstawie K Hanusik, U. A
angowska, Modelowanie ekonometryczne procesów
społeczno-ekonomicznych, Uniwersytet Opolski, Opole 1994, ss. 45-47
dr Dua
an Bogdanov 1
Ekonometria 1
Informacja niezbędna do przeprowadzenia doboru zmiennych na tym etapie zawarta jest
w macierzy korelacji rozpatrywanych cech:
Y X1 X ... X
îÅ‚ Å‚Å‚
2 m
ïÅ‚
Y 1 r1 r2 ... rm śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
X1 r1 1 r12 ... r1m
R = (3.3)
ïÅ‚ śł
X r2 r21 1 ... r
2
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
... ... ... ... ... ...
ïÅ‚ śł
rm rm1 rm2 ... 1
ïÅ‚ śł
ðÅ‚X m ûÅ‚
W przypadku małej ilości rozpatrywanych zmiennych bezpośrednia analiza macierzy korelacji
pozwala na dokonanie redukcji zbioru zmiennych objaśniających wprowadzanych do danego
równania modelu. Przy większych ilościach kandydatek na zmienne objaśniające analiza taka jest
utrudniona ze względu na rozmiary macierzy korelacji. Istnieją metody analityczne pozwalające
pokonać tę trudność. Do najpopularniejszych nale\
y metoda optymalnego doboru predykant
oraz metoda grafowa.
Metoda optymalnego doboru predykant. Na wstępie nale\
y utworzyć wszystkie mo\
liwe
kombinacje zbioru zmiennych kandydujących do roli zmiennych objaśniających w równaniu modelu:
{X1},& ,{Xm}, {X1,X2},...,{X1, X2...,Xm}. Otrzymujemy 2m -1 kombinacji. Ka\
dÄ… kombinacjÄ™ rozpatrujemy
oddzielnie, wyznaczając dla niej tak zwaną integralną pojemność informacyjną, która jest sumą
indywidualnych pojemności informacyjnych zmiennych wchodzących w skład rozpatrywanej
kombinacji. Pojemność indywidualną zmiennej w danej kombinacji wyznacza się według formuły:
rj2
hlj =
ml
(3.4)
rij
"
i=1
gdzie: l - numer rozpatrywanej kombinacji,
ml - liczba zmiennych w rozpatrywanej kombinacji,
rij - współczynnik korelacji pomiędzy i-tą i j-tą kandydatką na zmienną objaśniającą
(i,j=1,2,...m),
rj - współczynnik korelacji j-tej kandydatki na zmienną objaśniającą ze zmienną
objaśnianą.
Z przedstawionego wzoru widać, \
e pojemność informacyjna zmiennej jest tym większa,
im większa jest jej korelacja ze zmienną objaśnianą oraz im słabsze są związki korelacyjne między
zmiennymi w danej kombinacji. Pojemność integralna l-tej kombinacji kandydatek na zmienne
objaśniające wyra\
a siÄ™ natomiast wzorem:
dr Dua
an Bogdanov 2
Ekonometria 1
ml
Hl = (3.5)
"h
lj (l=1,2,...2m-1)
j=1
Kombinacja o największej pojemności wyznacza zbiór zmiennych objaśniających. Istota metody
optymalnego wyboru predykant polega na tym, \
e wybiera siÄ™ takÄ… kombinacjÄ™ zmiennych
objaśniających, które są relatywnie najsilniej powiązane ze zmienną objaśnianą i najsłabiej powiązane
ze sobÄ….
Metoda grafowa. Jest to metoda prawie identyczna jak metoda grafowa stosowana do redukcji
zbioru zmiennych diagnostycznych. Metoda ta w zasadzie uwzględnia tylko postulat, \
e zmienne
objaśniające powinny być nieskorelowane między sobą. Poniewa\
w praktyce nie ma mo\
liwości
uzyskania takiego układu zmiennych, dla których rij = 0, zastępuje się ten warunek mniej
rygorystycznym, a mianowicie: rij H" 0. Oznacza to, i\
przyjmuje siÄ™, \
e korelacja między zmiennymi jest
dostatecznie niska, gdy charakteryzujący ją współczynnik korelacji między zmiennymi przyjmuje
wartość nieistotnie ró\
ną od zera, przy danej liczbie obserwacji i zało\
onym poziomie istotności.
W utworzonej macierzy korelacji zmiennych - kandydatek do zbioru zmiennych objaśniających-
wszystkie współczynniki korelacji nieistotnie ró\
ne od zera zastępuje się zerami, a pozostałe
jedynkami. Zmodyfikowaną w ten sposób macierz korelacji traktuje się jako macierz przyległości grafu,
którego węzłami są zmienne. Graf ten dzieli się następnie na podgrafy spójne. Zmienne
reprezentowane przez wierzchołki ka\
dego podgrafu spójnego charakteryzują się istotnym
skorelowaniem między sobą. Zgodnie z zało\
eniem omawianej metody, jako zmienne objaśniające
typowane sÄ… reprezentantki ka\
dego podgrafu. ReprezentantkÄ… danego podgrafu jest natomiast
zmienna połączona największą liczbą wiązadeł z pozostałymi jego węzłami. Je\
eli w podgrafie
spójnym jest kilka węzłów o tym samym maksymalnym stopniu, to wybiera się spośród nich jako
zmienną objaśniającą cechę najsilniej skorelowaną ze zmienną objaśnianą.
Opisane procedury mają charakter pomocniczy, w ogólnym przypadku nie dają identycznych
rozwiązań i nale\
y przy ich pomocy dÄ…\
yć do uzyskania nie jednego, ale małej ilości potencjalnych
układów zmiennych objaśniających. Zwykle dopiero w wyniku procesu weryfikacji następuje wybór
najlepszego wariantu zestawu zmiennych objaśniających modelu.
dr Dua
an Bogdanov 3
Ekonometria 1
Pytania kontrolne:
1. Wyjaśnij istotę doboru zmiennych objaśniających metodą optymalnego doboru predykant.
2. Wyjaśnij istotę doboru zmiennych objaśniających metodą grafową.
3. Która z wymieniowych metod lepiej oddaje istotę doboru zmiennych do liniowego modelu
ekonometrycznego?
4. Oceń precyzję metod doboru zmiennych.
dr Dua
an Bogdanov 4
Ekonometria 1