Wykład 8
Wnioskowanie na podstawie modelu ekonometrycznego  prognozowanie ekonometryczne
Model ekonometryczny, który pomyślnie przeszedł weryfikację, mo\
e być podstawą wnioskowania.
W zale\
ności od celu badań, dobry model mo\
e być wykorzystany do opisu mechanizmu
kształtowania się badanego zjawiska, a więc odpowiedzieć na pytanie jaki jest kierunek i siła
oddziaływania zmiennych objaśniających na zmienna objaśnianą. W tej sytuacji model spełnia cel
poznawczy. Oczywiście wartość poznawczą mają modele przyczynowe-skutkowe. Je\
eli model
dobrze odwzorowuje badany fragment rzeczywistości gospodarczej mo\
e słu\
yć do symulacji efektów
decyzji gospodarczych, czyli do realizacji celów decyzyjnych.
Najszerszy obszar zastosowań modeli ekonometrycznych to prognozowanie zjawisk
ekonomicznych. Ze względu na ogromne znaczenie prognozowania ekonomicznego w działalności
gospodarczej poświęca się temu zagadnieniu du\
o miejsca w teorii i praktyce ekonometrii. Metody
prognozowania mo\
na wydzielić w odrębną dziedzinę wiedzy.
My ograniczymy siÄ™ tylko do przedstawienia najwa\
niejszych zasad prognozowania na podstawie
klasycznego modelu liniowego. Wymaga to jednak zdefiniowania kilku istotnych pojęć.
Prognoza ekonometryczna jest to sąd o kształtowaniu się zjawiska w przyszłości sformułowany
na podstawie modelu ekonometrycznego, a więc przewidywanie jaką wartość przyjmie zmienna
objaśniana, w określonym czasie. Poniewa\
zmienna objaśniana jest zmienną losową to sąd ten ma
charakter stochastyczny i przyjmuje siÄ™, \
e prawdopodobieństwo jego prawdziwości jest niemniejsze
od zało\
onej wartości, bliskiej jedności, zwanej wiarygodnością prognozy.
Predykcja ekonometryczna to proces wnioskowania w przyszłość na podstawie modelu
ekonometrycznego opisujÄ…cego interesujÄ…cy wycinek zjawisk ekonomicznych.
Prognoza ekonometryczna jest więc wynikiem predykcji ekonometrycznej1.
Prognoza ekonometryczna mo\
e być prognozą ilościową lub jakościową. Mówimy o prognozie
ilościowej, je\
eli podajemy przewidywaną wartość zmiennej objaśnianej, np. w 2008 r 45%
gospodarstw domowych w Polsce będzie wyposa\
onych w komputery, lub, udział GD w Polsce
wyposa\
onych w komputery będzie w 2008 r. kształtował się w przedziale od 42% do 48%, przy czym
w pierwszym przypadku jest to prognoza ilościowa punktowa, w drugim prognoza ilościowa
przedziałowa. Przykładem prognozy jakościowej jest sąd, \
e w 2007 r. w Polsce stopa bezrobocia
spadnie poni\
ej 17%.
Ka\
da prognoza dotyczy określonego odcinka czasu. Okres, dla którego sporządzana jest
prognoza nazywamy okresem prognozowania. Natomiast przedział czasowy, dla którego mo\
emy
daną metodą predykcji wyznaczać prognozy, w przypadku predykcji na podstawie klasycznego
modelu liniowego przedział, dla którego mo\
emy ekstrapolować funkcję, nazywamy horyzontem
prognozy.
1
Por. Z. Pawłowski, Teoria prognozy ekonometrycznej w gospodarce socjalistycznej, PWN Warszawa 1974,
s. 29 i nast., A. ZeliaÅ›, Teoria prognozy, PWE Warszawa 1997 s. 28
dr Dua
an Bogdanov 1
Ekonometria 1
Uzasadnione prognozowanie ekonometryczne wymaga spełnienia pewnych warunków
koniecznych, zwanych podstawowymi zało\
eniami predykcji, wymienimy je za Z. Pawłowskim2:
1. Znajomość ekonometrycznego modelu dla zmiennej prognozowanej,
2. Stabilność w czasie relacji strukturalnych,
3. Stabilność rozkładu składnika losowego,
4. Znajomość wartości zmiennych objaśniających w okresie prognozowanym,
5. Dopuszczalność ekstrapolacji modelu poza próbę statystyczną.
Zało\
enie 1, które mówi, \
e do wyznaczania wartości pewnej zmiennej w przyszłości niezbędny
jest objaśniający ją model ekonometryczny. Przy czym znana musi być postać analityczna tego
modelu, liczbowe oceny jego parametrów strukturalnych oraz oceny parametrów struktury
stochastycznej, niezbędne go ustalenia dokładności prognozy. śąda się zwykle znajomości ocen
takich parametrów jak wariancja składnika losowego, macierz wariancji i kowariancji estymatorów
parametrów strukturalnych modelu, współczynnika autokorelacji składnika losowego i współczynnika
zgodności lub determinacji. Taka znajomość modelu ekonometrycznego objaśniającego pewną
zmiennÄ… endogenicznÄ… pozwala na wyznaczenie uzasadnionej prognozy tej zmiennej oraz na ocenÄ™
dokładności prognozy. Nale\
y tu zauwa\
yć, \
e będący przedmiotem naszych rozwa\
ań klasyczny
model liniowy, który przeszedł pomyślnie całą procedurę budowy modelu spełnia omawiany warunek.
Zało\
enie 2 głosi, \
e w czasie określonym horyzontem prognozy struktura opisywanych przez
model zjawisk i zachodzących między nimi relacji pozostaje stała, to znaczy nie zmienią się ani postać
analityczna modelu, ani zbiór zmiennych objaśniających, ani wartości parametrów strukturalnych. Jest
to zało\
enie dosyć silne, wiele przemawia za tym, \
e relacje między zjawiskami ekonomicznymi
ulegają pewnym zmianom, a model ekonometryczny jest obrazem przeszłości, a więc wnioskowanie
w daleką przyszłość jest ograniczone3.
Istota zało\
enia o stabilności składnia losowego wią\
e siÄ™ z mo\
liwością oceny dokładności
predykcji.
Klasyczne zało\
enia o stabilności parametrów strukturalnych i parametrów struktury stochastycznej
w praktyce jest zastępowane zało\
eniem o  prawie stabilności .
Zało\
enie 4 zwiÄ…zane jest z faktem, \
e predykcja jest procesem warunkowym. Prognoza
formułowana jest dla określonych wartości zmiennych objaśniających i jest wa\
na tylko wtedy,
gdy rzeczywiście w okresie prognozowanym zmienne objaśniające przyjmą takie wartości. Trafne
ustalenie wartości zmiennych objaśniających dla okresu prognozowanego stanowi istotny problem
w procesie prognozowania, który te\
mo\
e być rozwiązywany na drodze ekonometrycznej,
na przykład na podstawie trendów tych zmiennych. Tylko w przypadku modeli tendencji rozwojowych
(trendów) nie występuje problem trafnego ustalenia wartości zmiennych objaśniających.
2
Z. Pawłowski, Teoria prognozy ekonometrycznej w gospodarce socjalistycznej, PWN Warszawa 1974, ss.33,34
3
szerszą dyskusję na ten temat znajdzie Czytelnik w pracach Z. Pawłowski, Prognozy ekonometryczne, PWN,
Warszawa 1973. Z. Pawłowski, Teoria prognozy ekonometrycznej w gospodarce socjalistycznej, PWN Warszawa
1974, A. Zeliaś, Teoria prognozy, PWE, Warszawa 1997, Prognozowanie gospodarcze, pod red. M. Cieślak,
PWN, Warszawa
dr Dua
an Bogdanov 2
Ekonometria 1
Kolejne zało\
enie, dopuszczalność ekstrapolacji modelu poza próbę statystyczną, jest zdaniem
Z. Pawłowskiego bardzo trudne do zagwarantowania w praktyce i niesie bardzo du\
e ryzyko
popełnienia błędu. W pewnych sytuacjach teoria ekonomii pozwala na formułowanie wniosków
dotyczących kształtowania się występujących w modelu relacji poza obszarem zmienności
obserwowanym w próbie.
Je\
eli spełnione są zało\
enia klasycznej teorii predykcji, nale\
y wybrać regułę, na podstawie której
będziemy budowali prognozę zmiennej objaśnianej, to jest zasadę predykcji.
PodstawowÄ… rolÄ™ w predykcji odgrywajÄ… dwie zasady:
" Zasada predykcji nieobciÄ…\
onej.
" Zasada predykcji według największego prawdopodobieństwa.
Zasada predykcji nieobciÄ…\
onej polega na tym, \
e prognozę ustalamy na poziomie wartości
oczekiwanej zmiennej prognozowanej w okresie T:
yTp = E(YT )
(8.1)
gdzie:
yTp -
wartość prognozy w okresie T
YT -
zmienna prognozowana w o kresie T
Zasada predykcji nieobciÄ…\
onej jest uzasadniona wtedy, gdy proces prognozowania jest
wielokrotnie powtarzany, dotyczy na przykład systematycznie prowadzonych badań (np. powtarzane
prognozy sprzeda\
y samochodów, prognozy dochodów, wyposa\
enia gospodarstw domowych
w dobra trwałego u\
ytku itp.). Wielokrotne dokonywanie prognoz prowadzi do wzajemnego znoszenia
się popełnionych błędów.
W przypadku, gdy wnioskowanie na przyszłość ma charakter jednostkowy zasada predykcji
nieobciÄ…\
onej traci swoje uzasadnienie i wówczas proponuje się zasadę predykcji według
największego prawdopodobieństwa.
Zasada predykcji według największego prawdopodobieństwa na tym, \
e prognozÄ™ ustala siÄ™
(Mo) rozkładu zmiennej YT .
na poziomie modalnej
yTp = Mo(YT )
(8.2)
W przypadku zmiennej skokowej jest wartość najczęstsza, a w przypadku zmiennej ciągłej
maksimum funkcji gęstości.
YT
W przypadku, gdy wartość oczekiwana rozkładu zmiennej jest równa jej modalnej obie zasady
prowadzÄ… do tych samych prognoz. Nale\
y zauwa\
yć, \
e często przyjmuje się, \
e rozpatrywane
zmienne mają rozkład normalny, w którym właśnie wartość oczekiwana jest równa dominancie.
W predykcji bardzo wa\
ną rolę odgrywa ocena dokładności prognoz, czyli ocena efektywności
predykcji. Mo\
e ona być dokonywana przez:
dr Dua
an Bogdanov 3
Ekonometria 1
" podanie spodziewanej wartości odchyleń rzeczywistych realizacji zmiennej prognozowanej
od prognozy, czyli ocena dokładności ex ante,
" obliczenie średniego błędu prognozy na podstawie prognoz zrealizowanych (wygasłych),
czyli ocena dokładności ex post.
Podstawowym miernikiem efektywności predykcji jest wariancja predykcji, definiowana wzorem:
2
2
V = E(YT - yTp) (8.3)
jest to więc średnia kwadratów odchyleń zmiennej prognozowanej od wartości prognozy. Pierwiastek
z wariancji predykcji nazywamy błędem średnim predykcji. Mierzy on o ile średnio w długim czasie
YT
prawdziwe wartości zmiennej będą odchylać się od prognozy.
W dalszych rozwa\
aniach ograniczymy siÄ™ do prognozy nieobciÄ…\
onej wyznaczonej na podstawie
klasycznego modelu liniowego. Przyjmujemy, \
e spełnione są klasyczne zało\
enia predykcji.
Klasyczny model liniowy, zgodnie z oznaczeniami przyjętymi wcześniej mo\
na zapisać w postaci:
(8.4)
Y = XÄ… + µ
Wyznaczony metodą najmniejszych kwadratów estymator parametrów tego modelu wyra\
a siÄ™
wzorem:
-1
T T
(8.5)
a = (X X ) X Y
w wyniku estymacji otrzymujemy następującą postać modelu:
(8.6)
Y = Xa + e
-1
T T
(8.7)
e = Y - X(X X) X Y
a
Macierz wariancji i kowariancji estymatora wyra\
a siÄ™ wzorem:
-1
2 T
(8.8)
D2(a)= Ã (X X)
NieobciÄ…\
onym estymatorem wariancji składnika losowego jest:
eTe
(8.9)
s2 =
n - k
dr Dua
an Bogdanov 4
Ekonometria 1
Y
Nale\
y dokonać predykcji zmiennej endogenicznej na okres T, przy zastosowaniu predykcji
nieobciÄ…\
onej. Wartości zmiennych objaśniających w okresie T oznaczymy:
xT = [xT1, xT 2,...xTk ,]
yTp = E(YT )= E(xTÄ… +µ ) = xTÄ… + E(µt )= xTÄ…
(8.10)
T
Poniewa\
w praktyce nie dysponujemy parametrami modelu tylko ich ocenami, wyznaczanie
prognozy przeprowadza siÄ™ na podstawie oszacowanego modelu, czyli:
E(xTa)= xT E(a)= xTÄ… (8.11)
xpÄ…
wyznaczmy wariancjÄ™ :
2 2
D2(xT a)= E(xT a - xTÄ…) = E{[xT (a -Ä…)] }=
(8.12)
T
T
= E[xT (a -Ä…)(a -Ä…) xT ]= xT E(a)xT
stad:
-1
2 T T
(8.13)
D2(xT a) = Ã xT(X X) xT
Wyznaczmy teraz wariancjÄ™ zmiennej losowej
Z = w
TP -YT = w
TP - (xT + e)= xT a - (xTÄ… + µ )
Z = xT (a -Ä…)- µ
D2(Z)= D2(xT a -(xTÄ… + µ ))= D2(xT [a -Ä…]- µ )= D2(xT a)+ D2(µ ) (8.14)
-1
2 T T
D2(Z)= Ã (1+xT(X X ) xT )
-1
2 T T
D2(w
TP - YT )= Ã (1+xT(X X) xT )
Wariancja zmiennej losowej odchyleń oceny prognozy od prognozy określa dokładność prognozy
ex ante.
dr Dua
an Bogdanov 5
Ekonometria 1
Wnioski z powy\
szych rozwa\
ań mo\
emy sformułować w postaci następującego twierdzenia:
Twierdzenie:
v
= Xa
Je\
eli dana jest, wyznaczona KMNK, ocena klasycznego modelu liniowego
w
Tp = xT a
Y = XÄ… + µ
oraz, spełnione są klasyczne zało\
enia teorii predykcji to jest
yTp = xTÄ…
najefektywniejszym nieobciÄ…\
onym estymatorem liniowym prognozy , a średni błąd tej
prognozy wyra\
a siÄ™ wzorem:
-1
T T
(8.15)
STp = s 1+ xT(X X) xT
Powy\
sze twierdzenie daje nam teoretyczne podstawy budowania prognoz na podstawie
jednorównaniowego modelu ekonometrycznego i dotyczy ostatniego szóstego etapu modelowania
i analizy zjawisk ekonomicznych przy wykorzystaniu modeli ekonometrycznych.
Pytania kontrolne
1. Wyjaśnij, na czym polega ró\
nica pomiędzy predykcją a prognozą.
2. Wyjaśnij pojęcia okres prognozy i horyzont prognozy.
3. Omów znaczenie klasycznych zało\
eń teorii predykcji.
4. Omów trudności spełnienia w praktyce zało\
eń teorii predykcji.
5. Wymień i zdefiniuj podstawowe zasady predykcji.
6. Zdefiniuj estymator prognozy na podstawie klasycznego modelu liniowego.
7. Jak ocenia się dokładność prognozy uzyskanej na podstawie klasycznego modelu
liniowego?
dr Dua
an Bogdanov 6
Ekonometria 1