Dział III Prognozowanie na podstawie modeli autoregresji.
Autoregresja  regresja w której zmienna zależna jest objaśniana poprzez wartości zmiennej
zależnej z przeszłości (inaczej poprzez opóz
nione w czasie wartości zmiennej objaśnianej)
Zapis modelu autoregresji (zapis na tablicy)
Autokorelacja  Zależność wartości bieżących obserwowalnych w czasie t od wartości
wcześniejszych obserwowalnych w czasie t-1 (inaczej jest to zależność wartości bieżących
danej zmiennej od wartości z okresów poprzednich tej samej zmiennej).
Biały szum  nieprognozowany, czysto losowy składnik resztowy modelu. Własności białego
szumu:
1.
2. ,
Dla tych samych momentów wariancja jest stała i skończona w czasie. Brak autokorelacji
składnika losowego.
Rysunek 1. Biały szum
Badanie autokorelacji składnika losowego
1. Test Durbina-Watsona  test służący do badania zjawiska autokorelacji rzędu I składnika
losowego.
H0: rð1=0 (współczynnik autokorelacji rzÄ™du I skÅ‚adnika losowego jest równy 0, co oznacza brak
autokorelacji rzędu I)
H1: rð1Ä…ð0 (współczynnik autokorelacji rzÄ™du I skÅ‚adnika losowego jest różny od 0, co oznacza
występowanie autokorelacji rzędu I)
Do badania autokorelacji rzędu I służy statystyka DW, którą porównuje się z dolną oraz górną granicą
odczytaną z tablic rozkładu testu DW uzależnioną od wielkości próby oraz liczby szacowanych
parametrów w modelu bez wyrazu wolnego.
Jeżeli DW>2, wówczas należy wyprowadzić statystykę DW*=4-DW
DW, DW* > dU (górna granica testu), wówczas występuje brak podstaw do odrzucenia hipotezy
zerowej, która wskazuje na brak autokorelacji rzędu I.
DW, DW* d" dL (dolna granica testu), wówczas występuje odrzucenie hipotezy zerowej na korzyść
alternatywnej, co oznacza występowanie autokorelacji rzędu I.
dL< DW, DW* d" dU wówczas test DW nie rozstrzyga o istnieniu autokorelacji składnika losowego,
należy zastosować inny test, jest to obszar niekonkluzywny testu.
2. Test Quinoille a (wartości współczynników autokorelacji cząstkowej dla testu należy szukać w
wartościach funkcji PACF)
H0: rðtðtð = 0 (współczynnik autokorelacji rzÄ™du m nie wystÄ™puje) (tð=1,2,& ,k)
H1: rðtðtð Ä…ð 0 (współczynnik autokorelacji rzÄ™du m wystÄ™puje) (tð=1,2,& ,k)
Test ten pozwala badać autokorelację cząstkową rzędów wyższych.
Wartość statystyki testu przyrównuje się do wartości krytycznej równej , gdzie N jest liczebnością
próby.
Jeżeli , wówczas następuje odrzucenie hipotezy zerowej H0 na korzyść alternatywnej.
Stwierdza się występowanie autokorelacji m rzędu składnika losowego.
Jeśli , wówczas nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej H0, zatem brak jest
autokorelacji m rzędu składnika losowego
Przykład badania autokorelacji cząstkowej na podstawie funkcji PACF (zadanie z wejściówki nr 1).
Decyzja
tð rðtðtð
1 0.58
1. Obliczenie wartości krytycznej testu Quinoile a
2 0.28
3 -0.19
wg wzoru .
4 0.49
2. Stosując metodę od góry do dołu badamy
odrzucenie H0, oznacza
przekroczenia wartości współczynnika
występowanie
autokorelacji czÄ…stkowej rðtðtð
autokorelacji rzędu 4
3. Procedura trwa dopóki nie nastąpi odrzucenie
składnika losowego,
hipotezy zerowej dla
procedura zatrzymuje siÄ™.
5 -0.09 brak
podstaw do odrzucenia
H0, testujemy dalej
UWAGA! Ustalony rzÄ…d autokorelacji odpowiada
6 0.10 , brak
szukanemu rzędowi autoregresji.
podstaw do odrzucenia
H0, testujemy dalej
Ocena wartości prognostycznej modelu
Test Ljunga Boxa (Q)  służy do badania autokorelacji rzędów wyższych
H0: rð1 = & = rðm = 0 (współczynnik autokorelacji rzÄ™du m nie wystÄ™puje)
H1: rð1 Ä…ð & Ä…ð rðm Ä…ð 0 (współczynnik autokorelacji rzÄ™du m wystÄ™puje)
Reguła decyzyjna: PATRZ  TESTOWANIE PRZY WYKORZYSTANIU WARTOŚCI P-
VALUE!!!
Test Jarque a  Bery (JB)  służy do badania, czy rozkład składnika losowego jest rozkładem
normalnym.
H0: F(ei) = FN(ei) (rozkład składnika losowego jest rozkładem normalnym)
H1: F(ei) Ä…ð FN(ei) (skÅ‚adnik losowy ma rozkÅ‚ad inny niż rozkÅ‚ad normalny)
Reguła decyzyjna: PATRZ  TESTOWANIE PRZY WYKORZYSTANIU WARTOŚCI P-
VALUE!!!
Test Chowa (FCHOWA)  służy do badania zmian strukturalnych w parametrach modelu, weryfikuje
hipoteze o stabilności parametrów modelu.
H0: parametry modelu sÄ… stabilne w czasie
H1: parametry modelu sÄ… niestabilne w czasie
Reguła decyzyjna: PATRZ  TESTOWANIE PRZY WYKORZYSTANIU WARTOŚCI P-
VALUE!!!
Test na liniowość zależności (LMliniowość).
H0: zależność w modelu jest liniowa
H1: zależność w modelu jest nie liniowa
Reguła decyzyjna: PATRZ  TESTOWANIE PRZY WYKORZYSTANIU WARTOŚCI P-
VALUE!!!
Test White a (LMhetero)  test służy do badania jednorodności wariancji (homoskedastyczności
wariancji)
H0: bðk = 0 (wariancja jest homoskedastyczna)
H1: bðk Ä…ð 0 (wariancja jest heteroscedastyczna)
Reguła decyzyjna: PATRZ  TESTOWANIE PRZY WYKORZYSTANIU WARTOŚCI P-
VALUE!!!
Interpretacja współczynnika determinacji R2  wyraża udział zmienności części teoretycznej modelu w
całkowitej zmienności zmiennej objaśnianej. Jest miarą dopasowania modelu do danych
empirycznych. Powinien przyjmować wartości większe niż 85%.
Przykład. R2 = 90% - oznacza to, że zmienne objaśniające w modelu wyjaśniają 90% zmienności
zmiennej objaśnianej. Dopasowanie modelu do danych empirycznych z próby jest wysokie i
przekracza granicÄ™ 85%.
Interpretacja współczynnika zmienności VU  wyraża procentowy udział średniego błędu reszt w
średniej wartości zmiennej objaśnianej. VU nie powinien przekraczać wartości 15%.
Przykład. VU = 12% oznacza, że udział procentowy błędu resztowego w średniej wartości
zmiennej objaśnianej wynosi 12% i nie przekracza progu 15%
Jak obliczać wartości prognoz  rozpisać przykład na tablicy dla modelu wewnętrznej
struktury.