BLOK 4
Weryfikacja liniowych modeli ekonometrycznych
Weryfikacja modelu liniowego szacowanego klasyczną metodą najmniejszych kwadratów polega
na zbadaniu:
" merytorycznej oceny sensowności ocen parametrów strukturalnych modelu,
" dopasowania modelu do danych empirycznych,
" istotności parametrów strukturalnych modelu,
" własności składnika losowego
Przykład 1.
Na podstawie danych dotyczących wydajności pracy proszę zweryfikować model liniowy
^
y = 4,8Å" x2 - 0,9Å" x3 + 26
Y X2 X3
14 0,4 15
17 0,6 13
14,5 0,4 15
20 0,7 11
21,6 1 10
23 1,2 10
24,5 1 7
28 1,5 6
26,4 1,5 8
29 1,7 5
RozwiÄ…zanie:
1. Badanie merytorycznej oceny sensowności ocen parametrów strukturalnych modelu
Sprawdzamy czy współczynnik korelacji pomiędzy zmiennymi Y, X2 i X3 i znak ocen parametrów są
jednakowe.
Ryx2 = 0,972, Ryx3 = -0,985
Znaki parametrów:
a1 = 4,8, a2 = -0,9
Znaki się zgadzają, więc uzyskane szacunki parametrów modelu wskazują kierunek zale\
ności
między zmienną objaśnianą a zmiennymi objaśniającymi x2 i x3 zgodny z zale\
nością wynikającą
z danych empirycznych. Przechodzimy do następnego etapu weryfikacji.
mgr Grzegorz Stolarczyk 1
Ekonometria 1
2. Badanie dopasowania modelu do danych empirycznych
Ocena dopasowania modelu do danych empirycznych ma na celu sprawdzenie, czy model ten
w wystarczająco wysokim stopniu wyjaśnia kształtowanie się zmiennej objaśnianej.
Obliczamy współczynnik zgodności ze wzoru:
n
2
"e
2
i=1
Õ =
n
"(Y - Y )2
i=1
n
2
"e = 1,24
i=1
Y (Y - Y )2
14 60,84
17 23,04
14,5 53,29
20 3,24
21,6 0,04
23 1,44
24,5 7,29
28 38,44
26,4 21,16
29 51,84
średnia 21,8
suma 260,62
1,24
2
Õ = = 0,004758
260,2
Liczymy współczynnik determinacji:
2
R2 =1-Õ
R2 = 1 - 0,004758 = 0,995242
Trzecią miarą dopasowania jest współczynnik zmienności losowej, który wyra\
a siÄ™ wzorem:
Se
We = Å"100%
Y
gdzie:
Se = Se2 - odchylenie standardowe składnika losowego
mgr Grzegorz Stolarczyk 2
Ekonometria 1
W naszym przykładzie wynosi on:
0,421
We = Å"100% = 1,93%
21,8
Z obliczeń wynika, \
e model jest bardzo dobrze dopasowany do danych empirycznych. Jak wynika
ze współczynnika determinacji ponad 99% zmienności zmiennej objaśnianej została wyjaśniona
przez model.
Przykład 2.
Proszę na podstawie danych zbadać dopasowanie modelu do danych empirycznych za pomocą
współczynnika zgodności i determinacji:
Y X1
99 1
107 2
115 2
113 3
116 4
117 5
109 7
107 9
101 14
Model ma postać:
^
y =111,87 - 0,48Å" X1
RozwiÄ…zanie:
Liczymy miary dopasowania modelu:
2
Õ = 0,90
R2 = 0,10
Jak widać z obliczeń model wyjaśnia zaledwie 10% zmienności zmiennej objaśnianej i jest z
le
dopasowany do danych empirycznych.
Powinniśmy zatem zmienić postać analityczną modelu i poszukać modelu nieliniowego,
który by najlepiej opisywał badane zjawisko lub znalez
ć inne zmienne objaśniające liniowo powiązane
ze zmienną objaśnianą.
mgr Grzegorz Stolarczyk 3
Ekonometria 1
Przykład 3.
Proszę na podstawie danych zbadać dopasowanie modelu do danych empirycznych:
Y X1 X2
10 6 8
10 6 8
16 10 12
16 10 12
12 8 8
14 10 8
20 12 14
20 12 16
20 12 16
22 14 18
RozwiÄ…zanie:
Szacujemy parametry i otrzymujemy następującą postać modelu:
^
y =1,039Å" x1 + 0,447 Å" x2 + 0,252
Obliczamy miary dopasowania modelu:
2
Õ = 0,011
R2 = 0,989
We = 3%
Model jest bardzo dobrze dopasowany do danych rzeczywistych. Wyjaśnia prawie 99% zmienności
zmiennej objaśnianej.
3. Badanie istotności parametrów strukturalnych modelu
Przykład 1.
Sprawdzamy na podstawie modelu opisującego wydajność pracy czy parametry modelu istotnie
ró\
nią się od zera, a tym samym czy zmienne objaśniające w sposób istotny wpływają na zmienną
objaśnianą.
Sprawdzamy istotność ze wzoru:
a
j
I =
S(a )
j
gdzie:
a - wartość szacunku j-tego parametru
j
S(a ) - standardowy błąd szacunku j-tego parametru
j
mgr Grzegorz Stolarczyk 4
Ekonometria 1
Sprawdzamy istotność parametrów: a1 i a2
4,8
I1 = = 6,04
0,794
- 0,9
I2 = = 8,55
0,105
Wartość krytyczna I* dla poziomu istotności " = 0,05 i n-m stopni swobody wynosi I* = 2,365.
Obliczone I1 i I2 są większe od wartości krytycznej, więc parametry istotnie ró\
niÄ… siÄ™ od zera,
a tym samym zmienne objaśniające X2 i X3 w sposób istotny wpływają na zmienną objaśnianą.
Przykład 2.
Proszę zbadać istotność parametrów a1 i a2 modelu wiedząc, \
e:
^
y = 0,193Å" x1 + 0,044Å" x2 +1,657
Y X1 X2
1,8 2,2 2
2,1 2,5 5
2,3 3 7
2,8 3,4 5
2,8 4 8
3,4 4,6 9
3,2 5,3 10
3,6 6,1 10
3,5 6,9 9
3,7 7,9 12
3,8 9 14
4,2 9,5 15
4,8 12,3 22
RozwiÄ…zanie:
Wyznaczamy standardowe błędy szacunku parametrów:
S(a1) = 0,094
S(a2) = 0,056
Sprawdzamy istotność parametrów:
I1 = 2,056
I2 = 0,786
Wartość krytyczna I* dla poziomu istotności " = 0,05 i n-m stopni swobody wynosi I* = 2,228.
Obliczone I1 i I2 są mniejsze od wartości krytycznej, więc parametry nieistotnie ró\
niÄ… siÄ™ od zera,
a tym samym zmienne objaśniające X1 i X2 nie wpływają w sposób istotny na zmienną objaśnianą.
mgr Grzegorz Stolarczyk 5
Ekonometria 1
Nale\
y zmodyfikować zestaw zmiennych objaśniających i dobrać takie, które będą silnie wpływać
na zmienną objaśnianą.
4. Badanie własności składnika losowego
Przykład 1.
Procedurę badania własności składnika losowego przeprowadzamy na podstawie wektora reszt.
Badanie przeprowadzamy na wartościach wektora reszt z zadania dotyczącego wydajności pracy.
a. Badanie symetryczności
Weryfikacja hipotezy o symetryczności rozkładu odchyleń losowych modelu ma na celu ocenę
trafności wyboru postaci analitycznej modelu.
Do sprawdzania symetryczności stosujemy test symetrii. Sprawdzamy ile w wektorze reszt
znajduje siÄ™ reszt dodatnich:
e
-0,42
-0,18
0,08
0,54
-0,2
0,24
-0,00000000000034
0,2
0,4
-0,66
Mamy 5 reszt dodatnich. Wg tablic do testu symetrii dla n=10 liczba reszt dodatnich powinna
mieścić się w przedziale <2,8>. Mieści się, więc wektor reszt jest symetryczny.
Przykład 2.
Proszę zbadać symetryczność wektora reszt.
e
0,40
-1,16
0,02
0,04
0,10
0,01
0,09
0,50
mgr Grzegorz Stolarczyk 6
Ekonometria 1
Mamy 7 reszt dodatnich. Wg tablic do testu symetrii dla n=8 liczba reszt dodatnich powinna mieścić
się w przedziale <2,6>. Nie mieści się, więc wektor reszt nie jest symetryczny. Mo\
e to być
spowodowane niewłaściwym doborem postaci analitycznej modelu.
b. Losowość
Weryfikacja hipotezy o losowości rozkładu odchyleń losowych modelu ma na celu, tak jak
w przypadku symetryczności, ocenę trafności wyboru postaci analitycznej modelu.
Do sprawdzania losowości wykorzystujemy test serii. Seria jest to ciąg kolejnych reszt o tym
samym znaku.
Przykład 1:
e
-0,42
1 seria
-0,18
0,08
2 seria
0,54
-0,2 3 seria
0,24 4 seria
-0,00000000000034 5 seria
0,2
6 seria
0,4
-0,66 7 seria
Sprawdzamy czy liczba serii mieści się w przedziale odczytanym z tablic do testu serii dla poziomu
istotności " = 0,05.
Dolna granica przedziału odczytana z tablic to 3, a górna granica to 8 serii. Liczba serii w zadaniu
to 7, więc wektor reszt ma charakter losowy.
mgr Grzegorz Stolarczyk 7
Ekonometria 1
Przykład 2.
Proszę zbadać losowość wektora reszt.
^
Y Y
3086,07 2901,313
3336,04 3177,106
3407,02 3452,898
3644,65 3646,897
3888,45 3987,356
4160,02 4239,379
4456,29 4637,861
4712,43 4930,781
5135,22 5254,113
5283,35 5519,422
5558,01 5842,754
6008,58 6329,672
6644,31 6799,464
7363,37 7187,463
8131,80 7510,795
8863,20 7912,079
9464,98 8323,848
9937,15 9389,962
10236,50 10169,8
10001,96 10319,06
9403,26 10251,59
8273,76 7984,427
7820,10 8234,373
8289,19 8854,465
8752,10 9000,925
Liczymy wartości wektora reszt i sprawdzamy liczbę serii:
e
184,76
158,94
-45,88
-2,25
-98,91
-79,36
-181,57
-218,35
-118,89
-236,07
-284,74
-321,09
-155,15
175,90
621,00
951,12
1141,13
mgr Grzegorz Stolarczyk 8
Ekonometria 1
547,19
66,70
-317,11
-848,33
289,33
-414,27
-565,28
-248,83
Dolna granica przedziału odczytana z tablic testu serii to 8, a górna granica to 16 serii. Liczba serii
w zadaniu to 6, więc wektor reszt nie ma charakteru losowego. Nale\
y zmienić postać analityczną
modelu.
c. Stacjonarność
Badanie stacjonarności odchyleń losowych ma na celu sprawdzenie stałości ich wariancji.
Badanie stacjonarności odnosi się modeli dynamicznych i polega na sprawdzeniu czy moduł wektora
reszt jest liniowo zale\
ny od czasu.
Sprawdzamy statystykę na stacjonarność wg wzoru:
re ,t Å" n - 2
f =
1- re ,t 2
gdzie:
re ,t
- współczynnik korelacji pomiędzy modułem wektora reszt i czasem:
n
(et - e)(t - t)
"
t=1
re ,t =
n n
2
2
(et - e) (t - t)
" "
t=1 t=1
Przypominamy, \
e jest to statystyka pozwalająca badać istotność dowolnego współczynnika
korelacji liniowej.
mgr Grzegorz Stolarczyk 9
Ekonometria 1
Przykład 1.
Obliczamy współczynnik korelacji na podstawie obserwacji (dane z zadania z wydajnością pracy):
et
t
0,42 1
0,18 2
0,08 3
0,54 4
0,2 5
0,24 6
0,00000000000034 7
0,2 8
0,4 9
0,66 10
re ,t = 0,241
0,241Å" 10 - 2
f = = 0,701
1- 0,2412
Z tablic rozkładu Studenta odczytujemy dla poziomu istotności " = 0,05 i n-2 stopni swobody
wartość krytyczną f *=2,306. Jest ona większa od obliczonej wartości f , więc wektor reszt jest
stacjonarny, czyli niezale\
ny od czasu. Wariancja odchyleń losowych jest tym samym stała w czasie.
Przykład 2.
Proszę sprawdzić stacjonarność wektora reszt
et
t
0,01 1
0,1 2
0,25 3
0,3 4
0,5 5
0,9 6
0,55 7
0,6 8
0,7 9
0,86 10
mgr Grzegorz Stolarczyk 10
Ekonometria 1
RozwiÄ…zanie:
Liczymy współczynnik korelacji re ,t :
re ,t = 0,886
Wartość statystyki:
f = 5,411
Z tablic rozkładu Studenta odczytujemy dla poziomu istotności " = 0,05 i n-2 stopni swobody
wartość krytyczną f *=2,306. Jest ona mniejsza od obliczonej wartości f , więc wektor reszt nie jest
stacjonarny, czyli jest zale\
ny od czasu. Aby spróbować wyeliminować zjawisko stacjonarności mo\
na
zastosować inną metodę estymacji parametrów modelu.
d. Autokorelacja
Jednym z warunków stosowalności KMNK jest zało\
enie o niezale\
ności składników losowych.
Zjawisko takie ( istotna zale\
ność składników losowych z ró\
nych momentów czasu) nazywamy
zjawiskiem autokorelacji
Badanie autokorelacji, tak jak w przypadku stacjonarności, odnosi się do modeli dynamicznych.
Jest to zjawisko niepo\
Ä…dane.
Do badania autokorelacji stosujemy test Durbina  Watsona.
Obliczamy statystykÄ™:
n
2
- et )
"(et -1
t =2
f =
n
2
"et
t =1
mgr Grzegorz Stolarczyk 11
Ekonometria 1
Przykład 1.
et
2
et-1 (et - et-1) (et - et -1)
-0,42
-0,18 -0,42 0,24 0,0576
0,08 -0,18 0,26 0,0676
0,54 0,08 0,46 0,2116
-0,2 0,54 -0,74 0,5476
0,24 -0,2 0,44 0,1936
-0,00000000000034 0,24 -0,24 0,0576
0,2 -0,00000000000034 0,2 0,04
0,4 0,2 0,2 0,04
-0,66 0,4 -1,06 1,1236
-0,66 2,3392 suma
2,3392
f = =1,886
1,24
Sprawdzamy wartości krytyczne dla rozkładu statystyki Durbina  Watsona. Odczytany przedział z
tablic dla poziomu istotności " = 0,05, n=10 i liczby zmiennych objaśniających k=2 to <0,697, 1,641>.
Wartość statystyki f jest większa od górnej granicy przedziału, więc autokorelacja nie występuje.
Przykład 2.
Proszę na podstawie danych zbadać czy występuje autokorelacja wektora reszt.
et
3,362
3,660
0,661
-2,520
-3,383
-3,041
-0,864
2,126
mgr Grzegorz Stolarczyk 12
Ekonometria 1
RozwiÄ…zanie:
Stosujemy test Durbina  Watsona.
Obliczamy statystykÄ™ do testu Durbina  Watsona:
et
et 2
2
et-1 (et - et-1) (et - et-1)
3,362 11,302
3,660 3,362 0,298 0,089 13,392
0,661 3,660 -2,999 8,993 0,437
-2,520 0,661 -3,180 10,114 6,349
-3,383 -2,520 -0,863 0,745 11,444
-3,041 -3,383 0,341 0,117 9,250
-0,864 -3,041 2,177 4,740 0,747
2,126 -0,864 2,990 8,943 4,520
suma
33,740
2,126 57,440
33,740
f = = 0,587
57,440
Sprawdzamy wartości krytyczne dla rozkładu statystyki Durbina  Watsona. Odczytany przedział
z tablic dla poziomu istotności " = 0,05, n=8 i liczby zmiennych objaśniających k=1 to <0,763, 1,332>.
Wartość statystyki f jest mniejsza od dolnej granicy przedziału, więc autokorelacja występuje. Mo\
e
to być spowodowane np. nieprawidłowym doborem postaci analitycznej modelu lub złym wyborem
zmiennych objaśniających. W przypadku wystąpienia autokorelacji mo\
na równie\
zastosować inną
metodę szacowania parametrów modelu.
Przykład 3.
Na podstawie danych proszę sprawdzić autokorelację składnika losowego
^
y = 1,005Å" x3 -1,830
Y x3
100 100
106,3 103,7
108,7 111,9
114,4 119,7
119,3 123,3
123,2 126,1
133,4 131,8
142,6 140,8
mgr Grzegorz Stolarczyk 13
Ekonometria 1
RozwiÄ…zanie:
Wyznaczamy wartości teoretyczne zmiennej objaśnianej i wektora reszt.
^
Y e
98,717 1,283
102,438 3,862
110,683 -1,983
118,525 -4,125
122,145 -2,845
124,960 -1,760
130,691 2,709
139,741 2,859
Obliczamy statystykÄ™ do testu Durbina  Watsona:
et
et 2
2
et-1 (et - et-1) (et - et-1)
1,283 1,645
3,862 1,283 2,580 6,655 14,918
-1,983 3,862 -5,845 34,162 3,930
-4,125 -1,983 -2,143 4,591 17,017
-2,845 -4,125 1,280 1,639 8,093
-1,760 -2,845 1,085 1,177 3,098
2,709 -1,760 4,469 19,970 7,337
2,859 2,709 0,151 0,023 8,176
suma
2,859 68,217 64,215
68,217
f = = 1,062
64,215
Sprawdzamy wartości krytyczne dla rozkładu statystyki Durbina  Watsona. Odczytany przedział
z tablic dla poziomu istotności " = 0,05, n=8 i liczby zmiennych objaśniających k=1 to <0,763, 1,332>.
Wartość statystyki f mieści się w przedziale, więc test Durbina  Watsona nie rozstrzyga o tym,
czy autokorelacja występuje. Musimy w takim przypadku zastosować test na istotność współczynnika
korelacji zgodnie ze wzorem:
re ,et Å" n - 2
t -1
f =
1 - re ,et 2
t -1
gdzie:
re ,et-1 - współczynnik korelacji pomiędzy wektorem reszt i wektorem reszt przesuniętym o jedną
t
jednostkÄ™ czasu
mgr Grzegorz Stolarczyk 14
Ekonometria 1
Obliczamy:
et
et-1
1,283
3,862 1,283
-1,983 3,862
-4,125 -1,983
-2,845 -4,125
-1,760 -2,845
2,709 -1,760
2,859 2,709
2,859
Współczynnik korelacji obliczony z części wspólnej tych dwóch wielkości wynosi:
re ,et-1 = 0,422
t
StÄ…d:
f = 1,140
Z tablic rozkładu Studenta odczytujemy dla poziomu istotności " = 0,05 i n-2 stopni swobody
wartość krytyczną f *=2,447. Jest ona większa od obliczonej wartości f , więc współczynnik
korelacji jest nieistotny, co powoduje, \
e autokorelacja nie występuje.
e. Rozkład normalny
Badanie normalności rozkładu odchyleń losowych sprowadza się do porównania wartości
empirycznych dystrybuanty wektora reszt z dystrybuantą rozkładu normalnego.
Badanie rozkładu normalnego jest szczególnie wa\
ne w przypadku modeli przeznaczonych
do prognozowania. Do badania rozkładu wykorzystujemy test zgodności Hellwiga.
mgr Grzegorz Stolarczyk 15
Ekonometria 1
Przykład 1.
e
e'=
S
j
e e' uporzÄ…dkowany F(e') Cele Cele puste
-0,42
-1,132 -1,778 0,038 [0 0,1)
-0,18
-0,485 -1,132 0,129 [0,1 0,2)
0,08
0,216 -0,539 0,295 [0,2 0,3)
0,54
1,455 -0,485 0,314 [0,3 0,4)
-0,2
-0,539 0,000 0,500 [0,4 0,5) pusta
0,24
0,647 0,216 0,585 [0,5 0,6)
-0,00000000000034
0,000 0,539 0,705 [0,6 0,7) pusta
0,2
0,539 0,647 0,741 [0,7 0,8)
0,4
1,078 1,078 0,859 [0,8 0,9)
-0,66
-1,778 1,455 0,927 [0,9 1,0]
Odchylenie
Standardowe - Sj 0,371
F(e')  wartość dystrybuanty rozkładu normalnego liczona za pomocą funkcji dostępnej w Excelu
 Rozkład. Normalny. S.
Liczba cel pustych wynosi K=2. Przedział z tablic testu Hellwiga wynosi <1,5>. Liczba cel pustych
K=2 mieści się w przedziale, więc wektor reszt ma rozkład normalny.
Przykład 2.
Proszę zbadać normalność rozkładu wektora reszt:
e
0,1
0,1
0,15
1,4
0,5
3
0,7
0,9
1,4
-8,25
mgr Grzegorz Stolarczyk 16
Ekonometria 1
RozwiÄ…zanie:
e
e'=
S
j
e e' uporzÄ…dkowany F(e') Cele Cele puste
0,1 0,033 -2,724 0,003 [0 0,1)
0,1 0,033 0,033 0,513 [0,1 0,2) pusta
0,15 0,050 0,033 0,513 [0,2 0,3) pusta
1,4 0,462 0,050 0,520 [0,3 0,4) pusta
0,5 0,165 0,165 0,566 [0,4 0,5) pusta
3 0,990 0,231 0,591 [0,5 0,6)
0,7 0,231 0,297 0,617 [0,6 0,7)
0,9 0,297 0,462 0,678 [0,7 0,8) pusta
1,4 0,462 0,462 0,678 [0,8 0,9)
-8,25 -2,724 0,990 0,839 [0,9 1,0] pusta
Odchylenie 3,029
Standardowe - Sj
Liczba cel pustych wynosi K=6. Przedział z tablic testu Hellwiga wynosi <1,5>. Liczba cel pustych
K=2 nie mieści się w przedziale, więc wektor reszt nie ma rozkładu normalnego. Nie dyskwalifikuje
to modelu, jednak w przypadku tworzenia na jego podstawie prognoz mogą wystąpić ich zbyt du\
e
błędy i mo\
liwość nie uzyskania prognozy dopuszczalnej.
Zadanie 1.
^
ProszÄ™ zweryfikować model liniowy: y = 23,77Å" x1 + 408,97 Å" x3 - 2310,82
Y X1 X3
3086,07 104 6,7
3336,04 107 7,2
3407,02 110 7,7
3644,65 113 8
3888,45 117 8,6
4160,02 119 9,1
4456,29 122 9,9
4712,43 124 10,5
5135,22 129 11
5283,35 135 11,3
5558,01 140 11,8
6008,58 145 12,7
6644,31 151 13,5
7363,37 157 14,1
8131,80 162 14,6
8863,20 172 15
9464,98 179 15,6
9937,15 186 17,8
10236,50 193 19,3
10001,96 201 19,2
9403,26 193 19,5
8273,76 163 15,7
mgr Grzegorz Stolarczyk 17
Ekonometria 1
7820,10 189 14,8
8289,19 191 16,2
8752,10 192 16,5
S(a1) 12,26
S(a2) 100,74
S(a0) 670,35
Zadanie 2.
Proszę na podstawie danych zbadać stacjonarność wektora reszt.
^
y = 0,136 Å" x2 + 83,055
e
3,362
3,660
0,661
-2,520
-3,383
-3,041
-0,864
2,126
Zadanie 3.
Proszę na podstawie danych zbadać dopasowanie modelu do danych empirycznych
oraz symetryczność i losowość składnika losowego.
Y X1 X2
10 6 8
10 6 8
16 10 12
16 10 12
12 8 8
14 10 8
20 12 14
20 12 16
20 12 16
22 14 18
^
y =1,039Å" x1 + 0,447 Å" x2 + 0,252
mgr Grzegorz Stolarczyk 18
Ekonometria 1
Zadanie 4.
Dane są wartości wektora reszt:
e
2,4
3,5
0,4
-1,5
-2,3
0,1
-0,1
-2,4
-1,5
1,3
2,3
0,5
-3
1,6
2,2
-0,5
-3
Proszę sprawdzić czy wektor reszt ma rozkład normalny.
Zadanie 5.
Do opisu PKB w Polsce w latach 1990  2003 zaproponowano wstępnie następujące zmienne
objaśniające:
X1  końcowa produkcja rolnicza
X2  zbiory zbó\
w mln ton
X3  produkcja \
ywca w tys. ton
X4  skup produktów rolnych
X5  produkcja sprzedana przedsiębiorstw
X6  wielkość inwestycje
X7  wartość środków trwałych
Pr. Pr. Wartość
Końcowa produkcja Zbiory zbó\
w Skup Wielkość
PKB \
ywca w sprzedana śr.
rolnicza mln t pr. rol. inwestycji
tys. ton przedsieb. Trwałych
100 100 24,1 3325 100 100 100 100
93 98,4 23,7 3348 82,8 92 97,2 100,9
95,4 87,9 17,1 3211 74,9 94,6 95,4 102,1
99 94,9 19,9 2954 71,9 100,7 96,1 103,8
104,1 84,7 18,5 2694 65,4 112,8 116 106,7
111,4 98,5 21,8 2959 74,9 123,7 133,3 107
118,1 97,6 21,4 3105 78,1 134 160,1 113,5
126,1 99,4 20,8 3021 83,6 149,4 182,2 117,6
mgr Grzegorz Stolarczyk 19
Ekonometria 1
132,2 104,6 22,3 3242 91,5 154,7 202,6 121,4
137,6 100,4 21,2 3296 96,5 160,3 193,1 125,8
143,1 97,2 18,3 3119 99,1 171 170,1 130
144,5 105,6 21,5 3119 100,4 172 163 133,1
146,5 105,7 21 3339 110,3 173,9 150 136,4
152,1 108,3 17,9 3640 117,9 188 159,5 139,1
Proszę dobrać zmienne objaśniające do modelu, oszacować parametry i przeprowadzić weryfikację
modelu.
mgr Grzegorz Stolarczyk 20
Ekonometria 1