BLOK 3
Szacowanie parametrów modeli liniowych i nieliniowych klasyczną metodą najmniejszych
kwadratów
Szacowanie parametrów modeli liniowych
Przykład 1.
Proszę na podstawie danych oszacować parametry ekonometrycznego modelu liniowego
opisujÄ…cego wydatki na \
ywność gospodarstwa domowego w zł na 1 osobę (Y) w zale\
ności
od dochodów na 1 osobę (X1).
Y X1
100 750
125 790
130 820
140 860
152 890
160 900
180 925
190 960
210 980
220 1000
RozwiÄ…zanie:
Szacujemy parametry modelu o postaci:
y = Ä…x1 + ² + µ
Oceny a i b parametrów Ä… i ² wyznaczamy ze wzorów:
n
(yi - y)(xi - x)
"
i=1
a =
n
2
(xi - x)
"
i=1
b = y - ax1
mgr Grzegorz Stolarczyk 1
Ekonometria 1
Tabela 1. Obliczenia pomocnicze
2
yi xi yi - y xi - x (yi - y)(xi - x) (xi - x)
100 750 -60,7 -137,5 8346,25 18906,25
125 790 -35,7 -97,5 3480,75 9506,25
130 820 -30,7 -67,5 2072,25 4556,25
140 860 -20,7 -27,5 569,25 756,25
152 890 -8,7 2,5 -21,75 6,25
160 900 -0,7 12,5 -8,75 156,25
180 925 19,3 37,5 723,75 1406,25
190 960 29,3 72,5 2124,25 5256,25
210 980 49,3 92,5 4560,25 8556,25
220 1000 59,3 112,5 6671,25 12656,25
średnia 160,7 887,5 ----- ------ --------------- ----------
suma ------ ------- ----- ------ 28517,5 61762,5
28517,5
a = H" 0,462
61762,5
b = 160,7 - 0,462 Å"887,5 H" -249,1
Oszacowany model:
^
y = 0,462Å" x1 - 249,1
Interpretacja modelu:
Wzrost dochodu w gospodarstwie domowym o 1 zł na osobę powoduje wzrost wydatków
na \
ywność o 0,462 zł na 1 osobę.
Te same oceny parametrów wyznaczymy ze wzoru:
T T
a = (X X )-1 X Y
mgr Grzegorz Stolarczyk 2
Ekonometria 1
Wektor Y obserwacji zmiennej objaśnianej oraz macierz X obserwacji zmiennych objaśniających
wyglądają następująco:
100
125
130
Y= 140
152
160
180
190
210
220
750 1
790 1
820 1
860 1
X= 890 1
900 1
925 1
960 1
980 1
1000 1
Obliczenia:
750 790 820 860 890 900 925 960 980 1000
XT
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7938325 8875
XTX
8875 10
0,0000162 -0,0143696
(XTX)-1
-0,0143696 12,8529852
1454730
XTY
1607
a 0,462
(XTX)-1 XTY=
b -249,1
mgr Grzegorz Stolarczyk 3
Ekonometria 1
Jak widać wartości ocen parametrów szacowane za pomocą dwóch wzorów są takie same.
Kolejnym krokiem jest wyliczenie z modelu wartości teoretycznych zmiennej objaśnianej y :
^
y1 = 0,462 Å" 750 - 249,1
^
y2 = 0,462 Å" 790 - 249,1
^
y3 = 0,462 Å" 820 - 249,1
^
y4 = 0,462 Å"860 - 249,1
^
y5 = 0,462 Å" 890 - 249,1
^
y6 = 0,462 Å" 900 - 249,1
^
y7 = 0,462 Å" 925 - 249,1
^
y8 = 0,462 Å" 960 - 249,1
^
y9 = 0,462 Å" 980 - 249,1
^
y10 = 0,462Å"1000 - 249,1
^
y
97,21235
115,6815
129,5333
148,0025
161,8543
166,4716
178,0148
194,1753
203,4099
212,6444
mgr Grzegorz Stolarczyk 4
Ekonometria 1
Na podstawie danych empirycznych oraz wartości teoretycznych zmiennej y sporządzamy wykres:
Punkty empiryczne i prosta wyznaczona metodÄ…
najmniejszych kwadratów
250
200
150
Punkty
empiryczne
Wartości
100
teoretyczne
Liniowy
50
0
0 200 400 600 800 1000 1200
Dochód
Szacowanie parametrów modeli nieliniowych
Jednorównaniowe modele nieliniowe dzielimy na:
1. sprowadzalne do postaci liniowej:
a) modele liniowe względem parametrów, lecz nieliniowe względem zmiennej objaśniającej
b) modele nieliniowe względem parametrów oraz nieliniowe względem zmiennej
objaśniającej.
2. niesprowadzalne do postaci liniowej
Przykłady modeli liniowych względem parametrów, lecz nieliniowych względem zmiennej
objaśniającej:
a) model logarytmiczny
y = Ä…0 + Ä…1 ln x
b) model wielomianowy
2
y = Ä…0 + Ä…1x1 + Ä…2x1
c) model hiperboliczny
1
y = Ä… + Ä…
0 1
x
1
mgr Grzegorz Stolarczyk 5
Ekonometria 1
Wydatki
Przykłady modeli nieliniowych względem parametrów oraz nieliniowych względem zmiennej
objaśniającej:
a) model potęgowy
Ä…1
y = Ä… Å" x
0 1
b) model wykładniczy
a1x
y = Ä… e
0
Wybór postaci analitycznej modeli nieliniowych ustala się w oparciu o wiedzę dotyczącą
kształtowania się badanych zjawisk oraz analizę rozrzutu punktów empirycznych na wykresie
Sposoby linearyzacji (sprowadzenia do postaci liniowej) modeli nieliniowych
1. Poprzez podstawienie  w przypadku modelu logarytmicznego wielomianowego,
hiperbolicznego,
2. Poprzez logarytmowanie stronami  w przypadku modelu potęgowego, wykładniczego.
Estymacja parametrów modeli liniowych względem parametrów, lecz nieliniowych względem
zmiennej objaśniającej.
Przykład 1:
Zbuduj model zale\
ności wydatków na \
ywność w tys. zł (Y) od dochodu na osobę w tys. zł.(X).
Macierz obserwacji zmiennych oraz wykres rozrzutu punktów empirycznych:
Y X
Wykres rozrzutu punktów empirycznych
1,8 2,2
6
2,1 2,5
2,3 3
5
2,8 3,4
2,8 4
4
3,4 4,6
3,2 5,3
3 Y
3,6 6,1
3,5 6,9
2
3,7 7,9
3,8 9 1
4,2 9,5
0
4,8 12,3
0 2 4 6 8 10 12 14
RozwiÄ…zanie:
Analiza rozrzutu punktów empirycznych na wykresie wskazuje na mo\
liwą postać modelu
logarytmicznego
y = Ä…0 + Ä…1 ln x
poprzez podstawianie budujemy postać zlinearyzowaną:
y = Ä… +Ä… z
0 1
gdzie: z=lnx,
mgr Grzegorz Stolarczyk 6
Ekonometria 1
Macierz obserwacji zmiennych dla modelu zlinearyzowanego:
y z=ln(x)
1,8 0,8
2,1 0,9
2,3 1,1
2,8 1,2
2,8 1,4
3,4 1,5
3,2 1,7
3,6 1,8
3,5 1,9
3,7 2,1
3,8 2,2
4,2 2,3
4,8 2,5
Następnie korzystając z KMNK definiowanej następująco:
ai = (ZTZ)-1 ZTy
szacujemy parametry a0, a1,
Macierz:
Z
Z=ln(x) z0
0,8 1,0
0,9 1,0
1,1 1,0
1,2 1,0
1,4 1,0
1,5 1,0
1,7 1,0
1,8 1,0
1,9 1,0
2,1 1,0
2,2 1,0
2,3 1,0
2,5 1,0
ZT
z=ln(x) 0,8 0,9 1,1 1,2 1,4 1,5 1,7 1,8 1,9 2,1 2,2 2,3 2,5
z0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0
ZTZ
39 21
21 13
mgr Grzegorz Stolarczyk 7
Ekonometria 1
(ZTZ)-1
0,3 -0,5
-0,5 0,8
(ZTZ)-1 ZTy=ai
=a1
1,5
=a0
0,7
A zatem oszacowano model zlinearyzowany postaci:
w
=1,5z+0,7
Na podstawie postaci pierwotnej wyznaczono wartości teoretyczne zmiennej objaśnianej Y:
1,9
2,1
2,4
2,6
2,8
3
3,3
3,5
3,7
3,9
4,1
4,2
4,6
które naniesiono na wykres w postaci linii trendu (kolor ró\
owy):
6
5
4
Y
3
Yteor.
2
1
0
0 2 4 6 8 10 12 14
mgr Grzegorz Stolarczyk 8
Ekonometria 1
Przykład 2:
Zbuduj model zale\
ności jednostkowych stałych kosztów produkcji w tys. zł, ceny stałe (Y)
od wielkości produkcji w tys. sztuk (X). Macierz obserwacji zmiennych oraz wykres rozrzutu punktów
empirycznych:
Y X
66 100
64,2 104
61,9 121
60,8 126
59,7 132
58,3 150
57,5 152
58,3 147
60,1 130
60 131
60,2 122
63,4 110
65 100
64,7 105
62,4 120
Wykres rozrzutu punktów empirycznych
67
66
65
64
63
62 Y
61
60
59
58
57
0 20 40 60 80 100 120 140 160
RozwiÄ…zanie:
Analiza rozrzutu punktów empirycznych na wykresie wskazuje na mo\
liwą postać modelu
hiperbolicznego:
1
y = Ä… + Ä…
0 1
x
1
poprzez podstawianie budujemy postać zlinearyzowaną:
y = Ä…0 + Ä…1z
1
gdzie: ,
z =
x
mgr Grzegorz Stolarczyk 9
Ekonometria 1
Macierz obserwacji zmiennych dla modelu zlinearyzowanego:
1
z=
y x
66 0,010
64,2 0,010
61,9 0,008
60,8 0,008
59,7 0,008
58,3 0,007
57,5 0,007
58,3 0,007
60,1 0,008
60 0,008
60,2 0,008
63,4 0,009
65 0,010
Następnie korzystając z KMNK szacujemy parametry ą0, ą1.
Oszacowano model zlinearyzowany o postaci:
w
=2269z+43
Postać pierwotna:
1
w
=2269 +43;
x
Na podstawie postaci pierwotnej wyznaczono wartości teoretyczne zmiennej objaśnianej y:
65,4
64,6
61,5
60,8
59,9
57,9
57,7
58,2
60,2
60,1
61,4
63,4
65,4
które naniesiono na wykres w postaci linii trendu (kolor ró\
owy):
mgr Grzegorz Stolarczyk 10
Ekonometria 1
67
66
65
64
63
Y
62
Yteor.
61
60
59
58
57
0 20 40 60 80 100 120 140 160
Przykład 3:
Zbuduj model zale\
ności wydajności pracy robotników (Y) od ich wieku (X). Macierz obserwacji
zmiennych oraz wykres rozrzutu punktów empirycznych:
Y X
Wykres rozrzutu punktów empirycznych
99 0
118
107 1
116
115 2
113 3 114
116 4
112
117 5
110
109 6
108 Y
107 7
106
101 8
104
102
100
98
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
RozwiÄ…zanie:
Analiza rozrzutu punktów empirycznych na wykresie wskazuje na mo\
liwą postać modelu
wielomianowego stopnia drugiego:
2
y = Ä… + Ä… x + Ä… x
0 1 2
poprzez podstawianie budujemy postać zlinearyzowaną:
y = Ä… + Ä… x + Ä… z
0 1 2
gdzie: z=x2
mgr Grzegorz Stolarczyk 11
Ekonometria 1
Macierz obserwacji zmiennych dla modelu zlinearyzowanego:
y x z=x2
99 0 0
107 1 1
115 2 4
113 3 9
116 4 16
117 5 25
109 6 36
107 7 49
101 8 64
Następnie korzystając z KMNK szacujemy parametry ą0, ą1, ą2.
Oszacowano model zlinearyzowany o postaci:
w
=-z+8x+100
Postać pierwotna:
w
=-x2+8x+100;
Na podstawie postaci pierwotnej wyznaczono wartości teoretyczne zmiennej objaśnianej Y:
100
107
112
115
116
115
112
107
100
które naniesiono na wykres w postaci linii trendu (kolor ró\
owy):
118
116
114
112
110
Y
108
Yteor.
106
104
102
100
98
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
mgr Grzegorz Stolarczyk 12
Ekonometria 1
Estymacja parametrów modeli nieliniowych względem parametrów oraz nieliniowych względem
zmiennej objaśniającej.
Przykład 4:
Zbuduj model zale\
ności pomiędzy wydatkami na luksusowe samochody (Y), a dochodami (X).
Macierz obserwacji zmiennych oraz wykres rozrzutu punktów empirycznych:
Wykres rozrzutu punktów empirycznych
Y X
14
2,2 1,8
2,5 2,1
12
3 2,3
3,4 2,8
10
4 2,8
8
4,6 3,4
Y
5,3 3,2
6
6,1 3,6
6,9 3,5
4
7,9 3,7
2
9 3,8
9,5 4,2
0
12,3 4,8
0 1 2 3 4 5 6
RozwiÄ…zanie:
Analiza rozrzutu punktów empirycznych na wykresie wskazuje na mo\
liwą postać modelu
potęgowego
Ä…1
y = Ä… Å" x
0
logarytmujemy obustronnie:
ln(y)=ln(Ä…0)+Ä…1Å"Å"ln(x)
poprzez podstawianie budujemy postać zlinearyzowaną:
v=²0+Ä…1Å"z
gdzie : v=lny,
z=lnx,
²0=lnÄ…0,
mgr Grzegorz Stolarczyk 13
Ekonometria 1
Macierz obserwacji zmiennych dla modelu zlinearyzowanego:
v=ln(y) z=ln(x)
0,8 0,6
0,9 0,7
1,1 0,8
1,2 1,0
1,4 1,0
1,5 1,2
1,7 1,2
1,8 1,3
1,9 1,3
2,1 1,3
2,2 1,3
2,3 1,4
2,5 1,6
NastÄ™pnie korzystajÄ…c z KMNK szacujemy parametry ²0, Ä…1.
Oszacowano model zlinearyzowany o postaci:
w
=1,9z+(-0,5)
0
Ä…0=e² Ò!Ä…0=0,6269
Postać pierwotna:
w
=0,6x1,9
Na podstawie postaci pierwotnej wyznaczono wartości teoretyczne zmiennej objaśnianej Y:
1,9
2,5
2,9
4,2
4,2
6,1
5,4
6,8
6,4
7,1
7,5
9,0
11,5
mgr Grzegorz Stolarczyk 14
Ekonometria 1
które naniesiono na wykres w postaci linii trendu (kolor ró\
owy):
14
12
10
8
Y
yteor.
6
4
2
0
0 1 2 3 4 5 6
Przykład 5:
Zbuduj model zale\
ności pomiędzy jednostkowymi kosztami produkcji (Y) a wielkością produkcji
(X). Macierz obserwacji zmiennych oraz wykres rozrzutu punktów empirycznych:
Y X
6,7 14,2
8,7 22,4
11,2 30,2
13,3 35,5
17 48,2
26,7 61,8
39,3 74,2
Wykres rozrzutu punktów empirycznych
45
40
35
30
25
Y
20
15
10
5
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80
mgr Grzegorz Stolarczyk 15
Ekonometria 1
RozwiÄ…zanie:
Analiza rozrzutu punktów empirycznych na wykresie wskazuje na mo\
liwą postać modelu
wykładniczego:
1
y = Ä…0eÄ… x
logarytmujemy obustronnie:
ln(y)=ln(Ä…0)+Ä…1x
poprzez podstawianie budujemy postać zlinearyzowaną:
v=²0+Ä…1Å"z
gdzie: v=lny,
z=x,
²0=lnÄ…0,
Macierz obserwacji zmiennych dla modelu zlinearyzowanego:
v=ln(y) x
1,9 14,2
2,2 22,4
2,4 30,2
2,6 35,5
2,8 48,2
3,3 61,8
3,7 74,2
NastÄ™pnie korzystajÄ…c z KMNK szacujemy parametry ²0, Ä…1.
Oszacowano model zlinearyzowany o postaci:
Ć
v =0,03Å"Z+1,52
0
Ä…0=e² Ò!Ä…0=4,5616
Postać pierwotna:
w
=0,03Å"e4,6X
Na podstawie postaci pierwotnej wyznaczono wartości teoretyczne zmiennej objaśnianej Y:
6,9
8,7
10,9
12,7
18,2
26,9
38,5
mgr Grzegorz Stolarczyk 16
Ekonometria 1
które naniesiono na wykres w postaci linii trendu (kolor ró\
owy):
45
40
35
30
25
Y
Yteor.
20
15
10
5
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Estymacja parametrów struktury stochastycznej
Przykład 1
Proszę na podstawie danych z danych z przykładu 1 z etapu szacowania parametrów modeli
linowych dokonać estymacji parametrów struktury stochastycznej.
RozwiÄ…zanie:
Do estymacji parametrów struktury stochastycznej niezbędne jest wyznaczenie reszt modelu e jako
ró\
nicy pomiędzy Y rzeczywistym a Y teoretycznym wyznaczonym z modelu:
e
2,79
9,32
0,47
-8,00
-9,85
-6,47
1,99
-4,18
6,59
7,36
Następnie wyznaczamy ocenę wariancji składnika losowego ze wzoru:
n
2
"e eTe
i=1
Se2 = =
n - m n - m
mgr Grzegorz Stolarczyk 17
Ekonometria 1
gdzie:
n  liczba obserwacji
m  liczba parametrów w modelu
e2
7,77
86,83
0,22
64,04
97,11
41,88
3,94
17,43
43,43
54,10
416,76 suma
416,76
Se2 = = 52,10
10 - 2
Macierz wariancji i kowariancji ocen parametrów szacujemy na podstawie wzoru:
T
D2 (a) = Se2 Å"(X X )-1
0,0008 -0,7486
D2 (a) =
-0,7486 669,5771
W tej macierzy na głównej przekątnej wyznaczone są oceny wariancji szacunku parametrów V(aj).
Obliczone wielkości
S(a ) = V (a )
j j
są to standardowe błędy szacunku parametrów i wynoszą kolejno:
S(a) = 0,0008 = 0,029
S(b) = 669,5771 = 25,876
Jak wyszło z obliczeń wartość oceny a ró\
ni się o 0,029 od rzeczywistej wartości parametru,
a ocena b o 25,876.
mgr Grzegorz Stolarczyk 18
Ekonometria 1
Przykład 2.
Proszę oszacować parametry modelu liniowego opisującego zespołową wydajność pracy
na podstawie danych z przykładu 1 przedstawionego w etapie doboru zmiennych objaśniających
do modelu.
RozwiÄ…zanie:
Do modelu weszły zmienne objaśniające X2 i X3 dobrane z wykorzystaniem metody wskaz
ników
pojemności informacji.
Model ma postać:
^
y = Ä…1x2 +Ä…2x3 +Ä…0
Parametry będziemy szacować wg wzoru:
T T
a = (X X )-1 X Y
Wektor Y obserwacji zmiennej objaśnianej oraz macierz X obserwacji zmiennych objaśniających
wyglądają następująco:
14
17
14,5
Y= 20
21,6
23
24,5
28
26,4
29
0,4 15 1
0,6 13 1
0,4 15 1
0,7 11 1
X= 1 10 1
1,2 10 1
1 7 1
1,5 6 1
1,5 8 1
1,7 5 1
mgr Grzegorz Stolarczyk 19
Ekonometria 1
Obliczenia:
0,4 0,6 0,4 0,7 1 1,2 1 1,5 1,5 1,7
XT 15 13 15 11 10 10 7 6 8 5
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
12 86 10
XTX 86 1114 100
10 100 10
3,5625 0,4375 -7,9375
(XTX)-1 0,4375 0,0625 -1,0625
-7,9375 -1,0625 18,6625
240,2
XTY 2010,2
218
a1 4,8
(XTX)-1XTY= a2 -0,9
a0 26
Zatem oszacowany model ma postać:
^
y = 4,8Å" x2 - 0,9Å" x3 + 26
W naszym przykładzie mo\
na interpretować parametry następująco:
Wzrost technicznego uzbrojenia pracy (x2) o 1 tys. zł na 1 zatrudnionego spowoduje wzrost
zespołowej wydajności pracy o 4,8 tys. zł na 1 zatrudnionego, przy zało\
eniu, \
e pozostałe zmienne
nie ulegnÄ… zmianie. Je\
eli wzrośnie zatrudnienie (x3) o tysiąc osób, to wydajność pracy powinna się
zmniejszyć o 900 zł na 1 zatrudnionego, przy zało\
eniu, \
e pozostałe zmienne nie ulegną zmianie.
Wyliczamy z modelu wartości teoretyczne zmiennej objaśnianej y :
^
y1 = 4,8Å"0,4 - 0,9Å"15 + 26
^
y1 = 4,8Å"0,6 - 0,9Å"13 + 26
^
y1 = 4,8Å"0,4 - 0,9Å"15 + 26
^
y1 = 4,8Å"0,7 - 0,9Å"11+ 26
^
y1 = 4,8Å"1- 0,9Å"10 + 26
mgr Grzegorz Stolarczyk 20
Ekonometria 1
^
y1 = 4,8Å"1,2 - 0,9Å"10 + 26
^
y1 = 4,8 Å"1 - 0,9 Å" 7 + 26
^
y1 = 4,8Å"1,5 - 0,9Å"6 + 26
^
y1 = 4,8Å"1,5 - 0,9Å"8 + 26
^
y1 = 4,8Å"1,7 - 0,9Å"5 + 26
^
y
14,42
17,18
14,42
19,46
21,8
22,76
24,5
27,8
26
29,66
Dokonujemy estymacji parametrów struktury stochastycznej.
Szacujemy reszty modelu i wariancję składnika losowego:
e
-0,42
-0,18
0,08
0,54
-0,2
0,24
-0,00000000000034
0,2
0,4
-0,66
mgr Grzegorz Stolarczyk 21
Ekonometria 1
e2
0,1764
0,0324
0,0064
0,2916
0,04
0,0576
1,16E-25
0,04
0,16
0,4356
1,24 suma
1,24
Se2 = = 0,177
10 - 3
Macierz wariancji i kowariancji ocen parametrów:
0,631 0,077 -1,406
D2 (a) = 0,077 0,011 -0,188
-1,406 -0,188 3,306
Standardowe błędy szacunku parametrów wynoszą:
S(a1) = 0,631 = 0,794
S(a2) = 0,011 = 0,105
S(a0) = 3,306 = 1,818
Wartość oceny a1 ró\
ni się o 0,794 od rzeczywistej wartości parametru, wartość oceny a2 o 0,105,
a wartość oceny a0 o 1,818.
Zadanie 1.
^
Wyznaczyć standardowe błędy szacunku parametrów modelu y = ą0 +ą1x2 +ą2x3 na podstawie
danych:
Se2 = 0,589
4 5 4
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚5
(XTX)-1 = 1 2śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚4 2 3ûÅ‚
mgr Grzegorz Stolarczyk 22
Ekonometria 1
Zadanie 2.
W tabeli przedstawiono miesięczne dane z pewnego przedsiębiorstwa dotyczące wielkości
przychodów ze sprzeda\
y w tys. zł. z okresu styczeń 2005r  marzec 2006r.
Y T
34,7 1
37 2
58 3
62 4
67,8 5
75,3 6
79,9 7
85,6 8
90,4 9
99 10
105,6 11
111 12
119,3 13
127,8 14
135 15
Proszę oszacować parametry modelu liniowego opisującego kształtowanie się wielkości sprzeda\
y
w czasie t i wyznaczyć wartości wektora reszt.
Zadanie 3.
^
Oszacować parametry modelu liniowego y = ą0 +ą1x2 +ą2x3 na podstawie danych:
1704
îÅ‚ Å‚Å‚
T ïÅ‚2068śł
X Y =
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
160
ðÅ‚ ûÅ‚
0,08 ? ?
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚- śł
D2 (a) = 0,05 0,04 ?
ïÅ‚ śł
ïÅ‚- 0,21 0,04 1,71ûÅ‚
śł
ðÅ‚
Se2 = 0,266
mgr Grzegorz Stolarczyk 23
Ekonometria 1
Zadanie 4.
Na podstawie danych empirycznych określ postać analityczną modelu nieliniowego i oszacuj
parametry modelu:
a) Zale\
ność pomiędzy wydatkami na markowe ubrania (Y) a dochodami (X)
Y X
24 46
25 48
25 49
26 52
27 52
27 54
28 57
29 59
31 59
33 60
35 61
b) Zale\
ność pomiędzy jednostkowymi kosztami produkcji (Y) a wielkością produkcji (X)
Y X
2,19 2,62
6,97 10
10 11
8,18 12
10,5 14
11,75 16
12,75 19
15 21
18 21,93
22,8 24
36,93 26,64
c) Zale\
ność pomiędzy wartością majątku trwałego (Y), a wartością pracy (X) w przedsiębiorstwie
Y X
3,4 35
3,4 33
3,5 31
3,7 29
3,8 28
3,8 27
3,9 27
4 26
4,3 25
4,5 25
4,8 24
mgr Grzegorz Stolarczyk 24
Ekonometria 1
d) Zale\
ność pomiędzy wydajnością pracy (Y), a sta\
em pracy (X)
Y X
2 2,6
7 10
10 11
8 12
10,5 14
11,75 16
12,75 19
15 21
18 22
23 24
37 26,5
e) Zu\
ycie paliwa w silnikach spalinowych (Y) w zale\
ności od wysokości obrotów silnika (X)
Y X
7,6 1,7
5 2,4
3,9 2,8
4 3,2
5 3,4
5 3,4
6 3,6
7 4,2
9 4,8
11 5,3
15,6 5,7
mgr Grzegorz Stolarczyk 25
Ekonometria 1