Ćwiczenie 2 (6 godzin)
Numeryczne zagadnienia algebry liniowej
Cel ćwiczenia trzeby wykonać odpowiednie operacje wielokrotnie  w pętli; czas mierzyć posługując się parą
poleceńticoraztoc(pamiętać o odjęciu czasu  pustej pętli).
Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z podstawowymi zagadnieniami numerycznymi algebry liniowej
5. Zabserwować związek wskaz
nika uwarunkowania z wielkością zmian rozwiązania układu równań
(to jest rozwiązywaniem układów równań liniowych i wyznaczaniem wartości własnych i wektorów
liniowych i macierzy odwrotnej, przy zaburzeniu macierzy wejściowych. Badanie przeprowadzić
własnych macierzy) oraz numerycznymi sposobami ich realizacji. Głębsze zrozumienie takich pojęć
dla wskazanych macierzy testowych i macierzy losowych wymiaru 5 × 5 oraz 10 × 10 lub zbli-
jak: uwarunkowanie zadania, wskaz
niki uwarunkowania, numeryczna osobliwość macierzy, numeryczna
żonego. Wybrać macierze, dla których wynikcondlubrcondznacznie się różni. Przebadać
stabilność i numeryczna poprawność algorytmu, czas działania algorytmu, szybkość zbieżności metod
różne warianty zaburzeń: niewielka modyfikacja jednego elementu prawej strony (np. pomnoże-
iteracyjnych i wybór kryterium zakończenia procesu iteracji, wpływ błędów zaokrągleń i zaburzenia
nie przez (1 + µ), gdzie µ jest maÅ‚Ä… liczbÄ… dodatniÄ…), analogiczna modyfikacja jednego elementu
układu na dokładność numerycznie obliczonego rozwiązania.
macierzy układu, losowa modyfikacja wszystkich elementów prawej strony (przeskalowany wynik
funkcjirandn, np. µ b v, gdzie v jest wynikiem funkcjirandn), analogiczna losowa modyfika-
Instrukcja wykonawcza
cja wszystkich elementów macierzy. Dla każdego z wariantów po ustaleniu sposobu zaburzenia
Ćwiczenia wykonuje się przy pomocy programu Matlab. Ze sposobem obsługi i podstawowymi
sporządzić zestawienie normy błędu w zależności od wielkości parametru skalującego zaburzenie
poleceniami programu Matlab należy się zapoznać w oparciu o literaturę podaną na wykładzie ob-
(µ w podanym przykÅ‚adzie albo od normy zaburzenia). Zwrócić uwagÄ™ czy istnieje zależność
jaśniającym.
numerycznej osobliwości macierzy i największej lub najmniejszej wartości szczególnej.
1. Zapoznać się ze sposobem komunikowania z programem Matlab. Włączyć zapis sesji roboczej
6. Korzystając z algorytmu QR wyznaczyć wartości własne i odpowiadające im wektory własne dla
na dysk (poleceniediary). Przećwiczyć podstawowe operacje na macierzach
różnych typów macierzy (polecenieeig). Wygenerować poleceniemmakejcfmacierze o różnym
takie jak: tworzenie macierzy, transpozycję, dodawanie, mnożenie, zamiana kolejności wierszy
rozkładzie wartości własnych (jednokrotne i wielokrotne wartości własne, jedna lub wiele kla-
i kolumn, obrót, przekształcenie przez podobieństwo, wycinanie fragmentów macierzy, operacje
tek Jordana odpowiadających jednej wartości własnej). Przeanalizować wpływ rozkładu wartości
na blokach, . . .
własnych na dokładność wyników funkcjieig. Zbadać, jak niewielkie (względne) zaburzenia
2. Dla zaproponowanej przez prowadzącego macierzy i wektora prawych stron przeprowadzić w try-
macierzy (mała zmiana pojedynczego elementu lub losowe zaburzenie wszystkich elementów)
bie konwersacyjnym, krok po kroku, eliminację Gaussa z częściowym wyborem elementu głów-
wpływają na zmiany wartości własnych. Podobnie jak w poprzednim punkcie wybrać ustalony
nego. Wyniki eliminacji powinny znalez
ć się w macierzach o nazwieL1iR1i wektorzeb1.
sposób wprowadzania zaburzenia i zmieniać jego wielkość poprzez zmiany pojedynczego para-
Policzyć ilość wykonanych operacji. Sprawdzić otrzymane wyniki z eliminacją Gaussa wykonaną
metru.
automatycznie. W oparciu o zarejestrowany przebieg sesji roboczej, napisać M-plik wykonują-
cy eliminację Gaussa bez wyboru elementu głównego i obliczający rozkład trójkątny. Napisana
Sprawozdanie powinno zawierać
M funkcja powinna mieć nagłowekfunction [x, L, U]=elgauss(A,b)
3. Przeanalizować znaczenie wyboru elementu głównego w eliminacji Gaussa (na kilku testowych " Odpowiednio uporządkowany i skomentowany zapis części sesji Matlab a poświęconej konwer-
układach równań  na przykład wygenerowanych losowo w ten sposób by rozwiązanie miało sacyjnej realizacji eliminacji Gaussa.
elementy całkowite). Spróbować odpowiedzieć na pytanie, kiedy eliminacja bez wyboru elementu " Opatrzony komentarzami listing napisanej na zajęciach M-funkcji dokonującej eliminacji Gauss a
głównego może dać lepszy rezultat, niż z częściowym wyborem elementu głównego. UWAGA! bez wyboru elementu głównego.
do wszelkich porównań dokładności różnych metod ustawićformat long. " Wykresy zależności nakładu obliczeń (czas i ilość operacji zmiennoprzecinkowych) potrzebnego
4. Zbadać zależność czasu potrzebnego na obliczenie iloczynu dwóch macierzy kwadratowych, do obliczenia śladu macierzy, rozwiązania układu trójkątnego, obliczenia wyznacznika i rozkładu
iloczynu macierzy kwadratowej i wektora kolumnowego, wyznacznika, śladu macierzy i eli- LU oraz QR od wymiaru zadania (w skali logarytmicznej!).
minację Gaussa, rozkład LU oraz rozkład QR (rozkład  polecenieqr, a nie algorytm QR) " Opis wykonanych eksperymentów, ewentualnie listingi napisanych do ich przeprowadzenia M-
od wymiaru zadania (przetestować losowe  wygenerowane poleceniem randn  macierze -skryptów, i tabelaryczne zestawienie wyników badań wrażliwości układu równań liniowych na
2 × 2, 4 × 4, 8 × 8, 16 × 16, 32 × 32, 64 × 64 lub o zbliżonych wymiarach); w razie po- zaburzenia macierzy ukÅ‚adu i prawej strony w zależnoÅ›ci od liczby uwarunkowania użytych ma-
cierzy testowych. " poleceniaticoraztoc
" Opis wykonanych eksperymentów numerycznych i tabelaryczne zestawienie wyników badań wrażli- " Funkcje definiowane przez użytkownika (M-funkcje) oraz pliki poleceń (M-skrypty)
wości wartości własnych na zaburzenia macierzy przy różnym rozmieszczeniu wartości własnych. " Funkcje zwracające specjalne macierze:zeros(),ones(),eye(),diag(),rand()
" Opis pozostałych przeprowadzonych eksperymentów numerycznych. " Funkcje działające na macierzach:trace(),norm(),det(),inv(),lu(),qr(),svd(),hess(),
" uwagi i wnioski. schur(),eig(),rcond(),cond()
Literatura
Wymagana wiedza teoretyczna
[1] Germund Dahlquist, Åke Björck. Metody numeryczne, strony 134 213. PWN Warszawa, 1983.
Podstawowe wiadomości z algebry liniowej w zakesie objętym programem przedmiotu Algebra i wy-
[2] Zenon Fortuna, Bohdan Macukow, Janusz WÄ…sowski. Metody numeryczne, strony 188 231. WNT War-
korzystywanym w programie wykładu Metod Numerycznych  materiał można powtórzyć w oparciu o
szawa, 1995.
[3] Anthony Ralston. Wstęp do analizy numerycznej, strony 362 483. PWN Warszawa, 1983.
podanÄ… literaturÄ™:
[4] Josef Stoer. Wstęp do metod numerycznych, wolumen 1, strony 127 180. PWN Warszawa, 1979.
" podstawowe pojęcia algebry liniowej: przestrzeń wektorowa, iloczyn skalarny, kombinacja liniowa
[5] Josef Stoer, Roland Bulirsch. Wstęp do metod numerycznych, wolumen 2, strony 7 89. PWN Warszawa,
1980.
wektorów [1, str. 135 138], liniowa niezależność wektorów, macierze i operacje na macierzach
[6] David Kincaid, Ward Cheney. Analiza numeryczna, strony 131 287. WNT Warszawa, 2006.
(dodawanie, mnożenie), mnożenie wektora przez macierz, macierz odwrotna, macierze: jed-
[7] Jerzy Krupka, Roman Z. Morawski, Leszek J. Opalski. Metody numeryczne dla studentów elektroniki
nostkowa, diagonalna, symetryczna, sprzężona, nieosobliwa, ortogonalna, blokowa, transpozycja
i technik informacyjnych, strony 62 68. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa, 1997.
macierzy i jej właściwości [1, str. 135 137], wartości własne i wektory własne macierzy, pod-
[8] Andrzej Kiełbasiński, Hubert Schwetlick. Numeryczna algebra liniowa. Wprowadzenie do obliczeń zauto-
stawowe właściwości [1, str. 204 205], [2, str. 253 256] operacji na macierzach, wyznacznik matyzowanych. WNT Warszawa, 1992.
macierzy i sposoby jego obliczania [1, str. 136 i 153]
Wiadomości z numerycznych zagadnień algebry liniowej w zakresie objętym programem wykładu Metod
Numerycznych  powtórzyć w oparciu o przynajmniej jedną z wymienionych przy każdym zagadnieniu
pozycji literatury:
" metoda eliminacji Gaussa bez wyboru elementu głównego, z częściowym i pełnym wyborem ele-
mentu głównego [1, str. 144 150], [2, str. 202 216], [3, str. 366 368, 369 380],
" rozkład trójkątny i jego zastosowania [1, str. 150 153], [2, str. 216]
" definicja i właściwości norm wektorów i macierzy [3, str. 383 384], [1, str. 172], [4, str. 142 145],
norma spektralna macierzy, norma Frobeniusa, norma pierwsza macierzy [2, str. 189 192]
" wskaz
niki uwarunkowania macierzy [1, str. 173 177], [3, str. 382, 383, 385 392], [2, str. 194 199],
[4, str. 145 147]
" przekształcenia przez podobieństwo (obrót, odbicie) [2, str. 279 283]
" postacie Hessenberga i trójprzekątniowa [1, str. 210], [5, str. 24 35, 38 41]
" sposoby wyznaczania wektorów i wartości własnych: metoda potęgowa i jej ograniczenia [1, str.
205 207], [3, str. 432 442], [2, str. 268 270], [5, str. 45 52] idea i właściwości algorytmu QR
[1, str. 207 213], [3, str. 467 470], [2, str. 270 283], [5, str. 61 68]
Wymagana wiedza n/t programu Matlab
" Zmienne, indeksowanie elementów i bloków; konstruowanie macierzy blokowych
" Podstawowe operatory działające na wektorach i macierzach oraz  poelementowo na tablicach:
   ,  .  ,  + ,  - ,  * ,  / ,  \ ,  ^ ,  .* ,  ./ ,  .\ ,  .^
" instrukcja pętlifor