2014-10-15
Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
Witold Jurek
Etapy budowy modelu
ekonometrycznego
ð OkreÅ›lenie zjawiska, które ma być opisane za pomocÄ…
modelu ekonometrycznego
ð Dobór zmiennej objaÅ›nianej i zmiennych objaÅ›niajÄ…cych
ð Dobór typu zależnoÅ›ci pomiÄ™dzy zmiennymi
ð Zebranie danych statystycznych (wartoÅ›ci zmiennych)
ð Oszacowanie modelu
ð Weryfikacja oszacowanego modelu ekonometrycznego
(merytoryczna i statystyczna)
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 2
Idea metody
najmniejszych kwadratów
ð Hipoteza teoretyczna
ð Dane statystyczne (wartoÅ›ci zmiennych)
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 3
1
2014-10-15
Idea metody
najmniejszych kwadratów
ð Hipoteza empiryczna (model oszacowany)
5ØfÜ5ØaÜ = 5ØOÜ15ØeÜ5ØaÜ1 + 5ØOÜ25ØeÜ5ØaÜ2 + ï" + 5ØOÜ5Ø>Ü5ØeÜ5ØaÜ5Ø>Ü (5ØaÜ = 1,2, & 5ØGÜ)
ð Kryterium dopasowania (minimalizacja sumy
kwadratów odchyleń):
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 4
Idea metody
najmniejszych kwadratów
Warunek konieczny istnienia ekstremum:
Å›ð (SKO)
=ð 2 ( yt -ð b1xt1 -ð b2xt2 -ð ... -ð bK xtK )(-ðxt2) =ð 0
åð
Å›ðb2
&
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 5
Idea metody
najmniejszych kwadratów
ð UkÅ‚ad równaÅ„ normalnych
5ØOÜ1 5ØeÜ5ØaÜ15ØeÜ5ØaÜ1 + 5ØOÜ2 5ØeÜ5ØaÜ15ØeÜ5ØaÜ2 + ï" + 5ØOÜ5Ø>Ü 5ØeÜ5ØaÜ15ØeÜ5ØaÜ5Ø>Ü = 5ØeÜ5ØaÜ15ØfÜ5ØaÜ
5ØOÜ1 5ØeÜ5ØaÜ25ØeÜ5ØaÜ1 + 5ØOÜ2 5ØeÜ5ØaÜ25ØeÜ5ØaÜ2 + ï" + 5ØOÜ5Ø>Ü 5ØeÜ5ØaÜ25ØeÜ5ØaÜ5Ø>Ü = 5ØeÜ5ØaÜ25ØfÜ5ØaÜ
&
5ØOÜ1 5ØeÜ5ØaÜ5Ø>Ü5ØeÜ5ØaÜ1 + 5ØOÜ2 5ØeÜ5ØaÜ5Ø>Ü5ØeÜ5ØaÜ2 + ï" + 5ØOÜ5Ø>Ü 5ØeÜ5ØaÜ5Ø>Ü5ØeÜ5ØaÜ5Ø>Ü = 5ØeÜ5ØaÜ5Ø>Ü5ØfÜ5ØaÜ
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 6
2
2014-10-15
Idea metody
najmniejszych kwadratów
ð UkÅ‚ad równaÅ„ normalnych w zapisie macierzowym:
ð RozwiÄ…zanie ukÅ‚adu równaÅ„ normalnych
b =ð (XT X)-ð1XT y
ð Przypadek szczególny
 model z jedną zmienną objaśniającą:
 oceny (oszacowania) parametrów:
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 7
Przykład 1
Na całkowite koszty produkcji przedsiębiorstw przemysłu
owocowo-warzywnego, obok wielkości produkcji wpływają m.
in. warunki przechowywania surowców zależne od temperatury.
Wylosowano 7 przedsiębiorstw i stwierdzono, że koszty
całkowite, wielkość produkcji i temperatura przechowywania
surowców w okresie produkcji pewnego wyrobu kształtowały
się następująco:
(Liczby w tabeli są wyrażone w postaci odchyleń od wartości przeciętnych
zaobserwowanych w tym samym okresie roku poprzedniego).
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 8
Przykład 1
ð Dane statystyczne:
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 9
3
2014-10-15
Przykład 1
Obliczenia
65 1,5
5ØÜ5Ø{Ü5Ø2Ü = 5ØÜ = 0,5
35
12 1,0
Oszacowany model ekonometryczny:
5ØfÜ5ØaÜ = 1,55ØKÜ5ØaÜ1 + 0,55ØKÜ5ØaÜ2 + 1,0
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 10
Przykład 1.
Wykorzystanie Excela
BÅ‚Ä…d
Współcz Wartość- Dolne Górne
standard t Stat
ynniki p 95% 95%
owy
Przecięcie 1,0 1,43735 0,69573 0,52491 -2,99072 4,99072
Zmienna X 1 1,5 0,34359 4,36564 0,01201 0,54604 2,45396
Zmienna X 2 0,5 0,90906 0,55002 0,61157 -2,02395 3,02395
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 11
Przykład 1.
Wykorzystanie Excela
ð Funkcja: reglinp(znane_y; znane_x; [staÅ‚a]; [statystyka])
ð Wprowadzanie funkcji: Ctrl+Shift Enter
ð Wyniki obliczeÅ„:
0,5 1,5 1 Oceny parametrów
0,90906 0,34359 1,43735 Średnie błędy
0,90923 1,6298 #N/D! R2 s #N/D!
20,0336 4 #N/D! F T-K #N/D!
106,429 10,625 #N/D! RSK SKO #N/D!
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 12
4
2014-10-15
Wartości teoretyczne. Reszty
ð WartoÅ›ci teoretyczne zmiennej objaÅ›nianej: 5ØšÜ = 5ØÜ5ØÜ
ð Reszty: 5ØÜ = 5Ø2Ü - 5Ø2Ü
Własności reszt (model dowolny):
ð UkÅ‚ad równaÅ„ normalnych:
ð Z ukÅ‚adu równaÅ„ wynika, że: 5ØÜ5ØGÜ5Ø2Ü = 5ØÜ5ØGÜy
ð Reszty speÅ‚niajÄ… warunek: 5ØÜ5ØGÜe = 5ØÎß(5Ø>Ü,1) albo warunek:
5ØÜ5ØGÜ5ØÜ = 5ØÎß(1,5Ø>Ü)
ð Z definicji wartoÅ›ci teoretycznych wynika, że
5ØÜ5Ø{Ü5ØšÜ = 5ØÜ5Ø{Ü5ØÜ5ØÜ = 5ØÎß
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 13
Własności oszacowań otrzymanych
metodą najmniejszych kwadratów
ð WÅ‚asnoÅ›ci reszt z modelu z wyrazem wolnym
(w macierzy wartości zmiennych objaśniających X jest
kolumna jedynek):
ć% Suma reszt jest równa zeru:
ć% Suma wartości empirycznych = suma wartości teoretycznych
zmiennej objaśnianej:
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 14
Wartości teoretyczne zmiennej objaśnianej
éð-ð 4 1 1Å‚ð éð-ð 4,5Å‚ð
Ä™ð Å›ð
3 2 1Å›ð Ä™ð 6,5
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
1 1 1 3
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
éð1,5Å‚ð
Ä™ð Ä™ð Å›ð
w
=ð Xb =ð 2 0 1Å›ðÄ™ð0,5Å›ð =ð -ð 2
Ä™ð-ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
Ä™ð 0 1 1Å›ðëð 1 Ä™ð 1,5 Å›ð
Ä™ð Å›ð
ûð
Ä™ð Ä™ð Å›ð
0,5
Ä™ð-ð1 2 1Å›ð Ä™ð Å›ð
Å›ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
3 3 1ûð ëð 7
ëð ûð
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 15
5
2014-10-15
Przykład 1
ð Wektor reszt:
-5,25 -4,5 -0,75
7,5 6,5 1
1 3 -2
=
5ØÜ = 5Ø2Ü - 5Ø2Ü = -2 - -2 0
3,25 1,5 1,75
1,5 0,5 1
6 7 -1
ð Szacowany model zawiera wyraz wolny. Można
zauważyć, że
ć% Suma reszt wynosi zero
ć% Suma wartości teoretycznych (12) jest równa sumie wartości
empirycznych (12) zmiennej objaśnianej
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 16
Przykład 1.
Wykorzystanie Excela
Przewidy Składniki
Obserwacja
wane Y resztowe
1 -4,5 -0,75
2 6,5 1,00
3 3,0 -2,00
4 -2,0 0,00
5 1,5 1,75
6 0,5 1,00
7 7,0 -1,00
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 17
Przykład 1
ð Reszty ortogonalne do kolumn macierzy X
5ØÜ5ØGÜX= -0,75 1 -2 0 1,75 1 -1 X
-4 1 1
3 2 1
1 1 1
X -2 0 1 0 0 0
=
0 1 1
-1 2 1
3 3 1
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 18
6
2014-10-15
Przykład 1
ð Reszty ortogonalne do wektora wartoÅ›ci teoretycznych
zmiennej objaÅ›nianej 5Ø2Ü
5ØÜ5ØGÜ5Ø2Ü = -0,75 1 -2 0 1,75 1 -1 X
-4,5
6,5
3
X -2 = 0
1,5
0,5
7
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 19
Sumy kwadratów
w modelu z wyrazem wolnym
ð Ogólna suma kwadratów:
ð Regresyjna suma kwadratów:
ð Suma kwadratów odchyleÅ„:
ð JeÅ›li model zawiera wyraz wolny, to
OSK = RSK + SKO
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 20
Przykład 1
Sumy kwadratów
ð Obliczenia pomocnicze:
ð Sumy kwadratów:
OSK = 137,625  20, 5714 = 117,0536
RSK = 127,000  20,5714 = 106,4286
SKO = 137,625  127,000 = 10,625
(Można sprawdzić, że OSK = RSK + SKO)
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 21
7
2014-10-15
Ocena dopasowania oszacowanego
modelu do danych rzeczywistych
ð Współczynnik zbieżnoÅ›ci:
ð Współczynnik determinacji:
ð Jeżeli szacowany model zawiera wyraz wolny, to
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 22
Ocena dopasowania oszacowanego
modelu do danych rzeczywistych
ð Współczynnik determinacji skorygowany
(ze względu na liczbę stopni swobody)
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 23
Przykład 1. Ocena dopasowania
oszacowanego modelu
ð Współczynnik zbieżnoÅ›ci i determinacji:
ð Skorygowany współczynnik determinacji:
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 24
8
2014-10-15
Przykład 1.
Wykorzystanie Excela
BÅ‚Ä…d
Współcz Wartość- Dolne Górne
standard t Stat
ynniki p 95% 95%
owy
Przecięcie 1,0 1,43735 0,69573 0,52491 -2,99072 4,99072
Zmienna X 1 1,5 0,34359 4,36564 0,01201 0,54604 2,45396
Zmienna X 2 0,5 0,90906 0,55002 0,61157 -2,02395 3,02395
Statystyki regresji
Wielokrotność R 0,95354
R kwadrat 0,90923
Dopasowany R kwadrat 0,86384
BÅ‚Ä…d standardowy 1,62980
Obserwacje 7
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 25
Klasyczna regresja liniowa
ð Hipoteza ekonometryczna  model
ð Charakterystyka wielkoÅ›ci wystÄ™pujÄ…cych w modelu
Wielkości Losowe Nielosowe
Obserwowalne Y X
Nieobserwowalne µ ²
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 26
Składnik losowy
modelu ekonometrycznego
ð SkÅ‚adnik losowy - zmienna losowa opisujÄ…ca
(sumarycznie) wszystkie zakłócenia w obserwacji
opisywanego zjawiska i błędy poczynione w konstrukcji
modelu:
ć% zakłócenia czysto losowe
ć% błędy pomiaru zmiennych
ć% brakujące i  nietypowe dane statystyczne
ć% nieuwzględnienie istotnej zmiennej objaśniającej
ć% uwzględnienie nieistotnej zmiennej objaśniającej
ć% przybliżenia funkcyjne
ć% zły typ funkcji wiążącej zmienne
ć% itd.
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 27
9
2014-10-15
Założenia dotyczące składnika
losowego
ð Hipoteza ekonometryczna zapisana dla danych
statystycznych (t = 1, 2, & , T) będących w dyspozycji
5ØfÜ5ØaÜ = 5ØżÞ15ØeÜ5ØaÜ1 + 5ØżÞ25ØeÜ5ØaÜ2 + ï" + 5ØżÞ5Ø>Ü5ØeÜ5ØaÜ5Ø>Ü + 5Øß5ØaÜ
ð Jest tyle skÅ‚adników losowych ile danych statystycznych
ð Każdy skÅ‚adnik losowy może powodować odchylenia
dodatnie i ujemne, ale średnia ze wszystkich
możliwych odchyleń wynosi zero
ð Rozproszenie skÅ‚adników losowych jest takie samo
ð SkÅ‚adniki losowe majÄ… rozkÅ‚ad normalny
ð SkÅ‚adniki losowe dla różnych danych statystycznych sÄ…
niepowiÄ…zane ze sobÄ…
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 28
Rozkład normalny
ð Funkcja gÄ™stoÅ›ci
(5ØeÜ-5Øß)2
1
5ØSÜ 5ØeÜ = 5ØRÜ- 25Øß2
5Øß 25Øß
ð Dystrybuanta
5ØeÜ
5Ø9Ü 5ØeÜ = 5ØSÜ 5ØaÜ 5ØQÜ5ØaÜ
-"
ð Momenty
E(5ØeÜ) = ź
5Ø7Ü2 5ØeÜ = 5Øß2
ð RozkÅ‚ad standaryzowany: E(5ØeÜ) = 0 , 5Ø7Ü2 5ØeÜ = 1
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 29
Rozkład normalny
ð Funkcja gÄ™stoÅ›ci (rozkÅ‚ad standaryzowany)
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
30
10
2014-10-15
Rozkład normalny
ð Dystrybuanta (rozkÅ‚ad standaryzowany)
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych
31
Założenia dotyczące składnika
losowego
ð Zerowa wartość oczekiwana (Å›rednia):
5Ø8Ü 5Øß5ØaÜ = 0 dla t = 1, 2, & , T
ð Jednakowa wariancja (jednakowe rozproszenie):
5Ø7Ü2 5Øß5ØaÜ = 5Øß2 dla t = 1, 2, & , T
ð Zerowa kowariancja (brak powiÄ…zania):
5ØPÜ5Ø\Ü5ØcÜ 5Øß5ØaÜ, 5Øß5Ø`Ü = 0 dla 5ØaÜ `" 5Ø`Ü
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 32
Macierz wariancji i kowariancji
wektora estymatorów
ð Oszacowanie wariancji skÅ‚adników losowych:
2
5ØFÜ5Ø>Ü5ØBÜ 5ØRÜ5ØaÜ (5ØfÜ5ØaÜ - 5ØfÜ5ØaÜ)2
5Ø`Ü2 = = =
5ØGÜ - 5Ø>Ü 5ØGÜ - 5Ø>Ü 5ØGÜ - 5Ø>Ü
ð PrzykÅ‚adowe oszacowanie wariancji skÅ‚adników
losowych
ð Odchylenie standardowe skÅ‚adników losowych
s = 1,6298
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 33
11
2014-10-15
Macierz wariancji i kowariancji
wektora estymatorów
ð Skoro zmienna objaÅ›niana Y jest zmiennÄ… losowÄ…, to
estymator, 5Ø
Ü = (5ØÜ5ØGÜ5ØÜ)-15ØÜ5ØGÜ5ØÜ, jest zmiennÄ… losowÄ…
ð Jest to zmienna losowa K  wymiarowa, o macierzy
wariancji i kowariancji 5ØÜ5Ø
Ü = 5Ø`Ü2(5ØÜ5ØGÜ5ØÜ)-1
ð PrzykÅ‚adowe oszacowanie
4 -ð 7 10
éð Å‚ð
1
Ä™ð
SB =ð s2(XT X)-ð1 =ð 2,65625´ð 7 28 -ð 40Å›ð =ð
Ä™ð-ð Å›ð
90
Ä™ð
ëð10 -ð 40 70 Å›ð
ûð
0,11806 -ð 0,20660 0,29514
éð Å‚ð
Ä™ð
=ð 0,20660 0,82639 -ð1,18056Å›ð
Ä™ð-ð Å›ð
Ä™ð 0,29514 -ð1,18056 2,06597 Å›ð
ëð ûð
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 34
Średnie błędy szacunku parametrów
ð Åšrednie bÅ‚Ä™dy szacunku parametrów
(odchylenia standardowe estymatorów)
s2 =ð 0,82639 =ð 0,90906
s0 =ð 2,06597 =ð1,43735
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 35
Przykład 1.
Wykorzystanie Excela
BÅ‚Ä…d
Współcz Wartość- Dolne Górne
standard t Stat
ynniki p 95% 95%
owy
Przecięcie 1,0 1,43735 0,69573 0,52491 -2,99072 4,99072
Zmienna X 1 1,5 0,34359 4,36564 0,01201 0,54604 2,45396
Zmienna X 2 0,5 0,90906 0,55002 0,61157 -2,02395 3,02395
Statystyki regresji
Wielokrotność R 0,95354
R kwadrat 0,90923
Dopasowany R kwadrat 0,86384
BÅ‚Ä…d standardowy 1,62980
Obserwacje 7
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 36
12
2014-10-15
Wnioskowanie o istotności
parametrów modelu
ð Hipotezy:
ð Wartość statystyki testowej (statystyki o rozkÅ‚adzie t
Studenta):
bk -ð bðk
tk =ð
sk
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 37
Wnioskowanie o istotności
parametrów modelu
ð Wartość krytyczna statystyki t Studenta: t(Ä…, T-K):
ć% ą  poziom istotności
ć% T  K  liczba stopni swobody (liczba danych  liczba
szacowanych parametrów)
ð Jeżeli , to nie ma podstaw do
odrzucenia hipotezy zerowej
ð Jeżeli , to hipotezÄ™ zerowÄ… należy
odrzucić na rzecz hipotezy alternatywnej
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 38
Funkcja gęstości rozkładu t Studenta
Wartości krytyczne dla ą = 0,05; T - K = 4
0,4
0,3
0,2
-2,776
2,776
0,1
0,025
0,025
0,95
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 39
13
2014-10-15
Przykład 1.
Istotność parametrów modelu
ð WartoÅ›ci empiryczne statystyki t Studenta, przy
zaÅ‚ożeniu o prawdziwoÅ›ci 5Ø;Ü0
1,5
5ØaÜ1 = = 4,36564
0,34359
0,5
5ØaÜ2 = = 0,69573
0,90906
1,0
5ØaÜ0 = = 0,55002
1,43735
Wartość krytyczna t(ą, T  K) = t(0,05; 4) = 2,776
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 40
Przedział ufności dla parametru
szacowanego modelu
ð PrzedziaÅ‚ ufnoÅ›ci dla parametru:
5ØOÜ5ØXÜ - 5Ø`Ü5ØXÜ5ØaÜ 5ØüÞ, 5ØGÜ - 5Ø>Ü < 5ØżÞ5ØXÜ < 5ØOÜ5ØXÜ + 5Ø`Ü5ØXÜ5ØaÜ 5ØüÞ, 5ØGÜ - 5Ø>Ü
ð W przykÅ‚adzie 1 przedziaÅ‚y ufnoÅ›ci zostanÄ… wyznaczone
ð przy poziomie ufnoÅ›ci 1  Ä… = 0,95
ð przy liczbie stopni swobody równej T  K = 7  3 = 4
ð Wartość statystyki t Studenta 5ØaÜ 0,05; 4 = 2,776
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 41
Przedziały ufności dla parametrów
szacowanego modelu
0,54604 < 5ØżÞ1 < 2,45396
0,5 -ð 0,9091´ð 2,776 <ð bð2 <ð 0,5 +ð 0,9091´ð2,776
-2,02395 < 5ØżÞ2 < 3,02395
-2,99072 < 5ØżÞ0 < 4,99072
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 42
14
2014-10-15
Przykład 1.
Wykorzystanie Excela
BÅ‚Ä…d
Współcz Wartość- Dolne Górne
standard t Stat
ynniki p 95% 95%
owy
Przecięcie 1,0 1,43735 0,69573 0,52491 -2,99072 4,99072
Zmienna X 1 1,5 0,34359 4,36564 0,01201 0,54604 2,45396
Zmienna X 2 0,5 0,90906 0,55002 0,61157 -2,02395 3,02395
Statystyki regresji
Wielokrotność R 0,95354
R kwadrat 0,90923
Dopasowany R kwadrat 0,86384
BÅ‚Ä…d standardowy 1,62980
Obserwacje 7
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 43
Wnioskowanie o istotności regresji
ð Wnioskowanie odnosi siÄ™ modelu z wyrazem wolnym
ð Wnioskowanie dotyczy wszystkich parametrów
bÄ™dÄ…cych skÅ‚adowymi wektora 5ØÃÞ5ØOÜ5ØRÜ5ØgÜ 5ØdÜ5ØdÜ (jest to wektor
5ØÃÞ bez wyrazu wolnego)
ð Hipotezy:
5Ø;Ü0: 5ØÃÞ5ØOÜ5ØRÜ5ØgÜ 5ØdÜ5ØdÜ = 5ØÎß
5Ø;Ü1: 5ØÃÞ5ØOÜ5ØRÜ5ØgÜ 5ØdÜ5ØdÜ `" 5ØÎß
ð Statystyka:
5ØEÜ5ØFÜ5Ø>Ü
5ØEÜ5ØFÜ5Ø>Ü 5ØGÜ - 5Ø>Ü
5Ø>Ü - 1
5Ø9Ü = =
5ØFÜ5Ø>Ü5ØBÜ - 1
5ØFÜ5Ø>Ü5ØBÜ 5Ø>Ü
5ØGÜ - 5Ø>Ü
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 44
Wnioskowanie o istotności regresji.
Przykład
ð Wartość statystyki testowej
106,4286
2
5Ø9Ü = = 20,0336
10,625
4
ð Wartość krytyczna: F(0,05; 2; 4) = 6,944
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 45
15
2014-10-15
Przykład 1.
Wykorzystanie Excela
Analiza wariancji
Istotność
df SS MS F F
Regresja 2 106,4286 53,2143 20,0336 0,0082
Resztkowy 4 10,6250 2,6563
Razem 6 117,0536
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 46
Model z jedną zmienną objaśniającą.
Linia charakterystyczna
ð Notowania PKO bp wzglÄ™dem WIG
(okres: 29 czerwca 2012  30 sierpnia 2012;
stopy zwrotu składane ciągle; 42 dane)
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 47
Model z jedną zmienną objaśniającą.
Linia charakterystyczna
df SS MS F
Istotność F
Regresja 1 0,00465 0,00465 51,12197 0,00000
Resztkowy 40 0,00364 0,00009
Razem 41 0,00829
Statystyki regresji
Wielokrotność R 0,74902
R kwadrat 0,56103
Dopasowany R kwadrat 0,55005
BÅ‚Ä…d standardowy 0,00954
Obserwacje 42
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 48
16
2014-10-15
Założenia, przy jakich stawiane są
prognozy
ð ZaÅ‚ożenia przyjmowane przy szacowaniu
ć% Zależność 5ØfÜ5ØaÜ = 5ØżÞ15ØeÜ5ØaÜ1 + 5ØżÞ25ØeÜ5ØaÜ2 + ï" + 5ØżÞ5Ø>Ü5ØeÜ5ØaÜ5Ø>Ü + 5Øß5ØaÜ dla t =1,& ,T
ć% Dana macierz X wartości zmiennych objaśniających
ć% SkÅ‚adniki losowe 5Øß5ØaÜ

ð majÄ… zerowÄ… Å›redniÄ…, wariancjÄ™ równÄ… 5Øß2, sÄ… ze sobÄ… niepowiÄ…zane

ð majÄ… rozkÅ‚ad normalny N(0, Ã)
ð ZaÅ‚ożenia przyjmowane przy prognozowaniu
ć% Zależność 5ØfÜ5ØAÜ = 5ØżÞ15ØeÜ5ØAÜ1 + 5ØżÞ25ØeÜ5ØAÜ2 + ï" + 5ØżÞ5Ø>Ü5ØeÜ5ØAÜ5Ø>Ü + 5Øß5ØAÜ dla N > T
ć% Dany jest wektor 5Ø1Ü5ØAÜ wartoÅ›ci zmiennych objaÅ›niajÄ…cych
ć% SkÅ‚adnik losowy 5Øß5ØAÜ

ð ma zerowÄ… Å›redniÄ…, wariancjÄ™ równÄ… 5Øß2, jest niepowiÄ…zany z 5Øß5ØaÜ

ð ma rozkÅ‚ad normalny N(0, Ã)
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 49
Prognozowanie na podstawie
modelu ekonometrycznego
ð Wektor wartoÅ›ci zmiennych objaÅ›niajÄ…cych
ð Prognoza
ð Wariancja bÅ‚Ä™du prognozowania (pojedynczej wartoÅ›ci)
2 5ØGÜ
5Ø`Ü5ØAÜ = 5Ø`Ü2(1 + 5Ø1Ü5ØAÜ(5ØÜ5ØGÜ5ØÜ)-15Ø1Ü5ØAÜ)
ð PrzedziaÅ‚ ufnoÅ›ci dla przyszÅ‚ej wartoÅ›ci zmiennej
objaśnianej
5ØfÜ5ØAÜ - 5Ø`Ü5ØAÜ5ØaÜ 5ØüÞ, 5ØGÜ - 5Ø>Ü < 5ØfÜ5ØAÜ < 5ØfÜ5ØAÜ + 5Ø`Ü5ØAÜ5ØaÜ 5ØüÞ, 5ØGÜ - 5Ø>Ü
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 50
Prognozowanie na podstawie modelu
ekonometrycznego. Przykład 1
ð Jakich kosztów może siÄ™ spodziewać przykÅ‚adowe
przedsiębiorstwo przetwórstwa owocowo  warzywnego
w przyszłym roku, jeżeli  według planów  produkcja
będzie o 6 tys. t wyższa od produkcji tegorocznej a
temperatura przechowywania surowców o 4 oC wyższa
od temperatury, w jakiej przechowywano surowiec w
bieżącym roku?
ð Wektor wartoÅ›ci zmiennych objaÅ›niajÄ…cych
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 51
17
2014-10-15
Prognozowanie na podstawie modelu
ekonometrycznego. Przykład 1
ð Prognoza
ð Wariancja bÅ‚Ä™du prognozowania
406
2
sN =ð 2,65625(1+ð ) =ð14,64
90
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 52
Prognozowanie na podstawie modelu
ekonometrycznego. Przykład 1
ð Åšredni bÅ‚Ä…d prognozowania
ð PrzedziaÅ‚ ufnoÅ›ci dla przyszÅ‚ej wartoÅ›ci zmiennej
objaśnianej
-ð 0,6 <ð yN <ð 20,6
W.J. - Budowa i szacowanie modeli
ekonometrycznych 53
18