MACIERZE. ZWI
ZEK Z ODWZOROWANIAMI LINIOWYMI.
k = 1,2,...,k
{ }
Definicja 1.
Macierzą nazywamy każde odwzorowanie określone na iloczynie
kartezjaÅ„skim k × .Wartość tego odwzorowania na parze (i,j)
j
oznaczamy aij i nazywamy elementem tej macierzy. Zbiór wartości
zapisujemy w formie:
a11 a12 a1n
îÅ‚Å‚Å‚
ïÅ‚a a22 a2n śł
21
ïłśł
ïłśł

ïłśł
ak2 akn ûÅ‚
ðÅ‚ak1
Ten zbiór utożsamiamy z macierzą.
Elementami macierzy mogą być różne obiekty matematyczne np. liczby,
wielomiany, inne funkcje.
Definicja 2.
a11 a12 a1 j a1m
îÅ‚Å‚Å‚
ïłśł
a21 a22 a2 j a2m śł
ïÅ‚
ïłśł

ïłśł
ïłśł
ai1 ai2 aij aim
ïłśł

ïłśł
ïÅ‚
ak1 ak2 akj akm śł
ðÅ‚ûÅ‚
O elementach ai1, ai2, aim mówimy, że tworzą i-ty wiersz macierzy.
O elementach a1j, a2j, anj mówimy, że tworzą j-tą kolumnę macierzy.
Jeżeli macierz ma k wierszy i m kolumn, to mówimy, że jest to macierz o
wymiarach k×m.
PRZYKA
AD 1.
1
îÅ‚ -1 2 3
Å‚Å‚
A =
ïłśł
5 4 -2 5
ðÅ‚ûÅ‚2×4
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 1 z 11 Część 6 - Macierze
 Macierze oznaczamy najczęściej dużymi literami
A = [aij] = [aij]k×m = A k×m
Definicja 3.
a) MacierzÄ… transponowanÄ… do macierzy A nazywamy macierz AT,
powstała z macierzy A przez zamianę jej wierszy na kolumny bez
zmiany ich kolejności.
AT=[bij]k×m
PRZYKA
AD 2.
1
îÅ‚ -1 2 3
Å‚Å‚
A =
ïłśł
5 4 -2 5
ðÅ‚ûÅ‚2×4
1 5
îÅ‚Å‚Å‚
ïłśł
ïÅ‚-1 4 śł
AT =
ïÅ‚ -2
śł
2
ïłśł
3 5
ðÅ‚ûÅ‚
b) Macierz nazywamy macierzą zerową jeżeli wszystkie jej elementy
równe są zero.
Oznaczenie:
0 k×m
c) Jeżeli ilość wierszy macierzy równa jest ilości jej kolumn, to macierz
takÄ… nazywamy macierzÄ… kwadratowÄ….
A n×n
Definicja 4.
A n×n=[aij]
a) O elementach aii i=1, 2, ..., n mówimy, że tworzą przekątną główną
macierzy.
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 2 z 11 Część 6 - Macierze
a11 . . .
îÅ‚Å‚Å‚
ïłśł
. a22 . .
ïłśł
ïłśł
. . .
ïłśł
. . . ann ûÅ‚
ðÅ‚
b) Macierz kwadratową nazywamy macierzą diagonalną, jeżeli wszystkie
jej elementy poza przekątną główną są równe zero.
PRZYKA
AD 3.
1 0 0
îÅ‚Å‚Å‚
ïÅ‚0 -2 0śł
ïłśł
ïÅ‚ûÅ‚
ðÅ‚0 0 4śł
c) Macierz jednostkowa to macierz diagonalna, w której wszystkie
elementy na głównej przekątnej są równe jeden.
PRZYKA
AD 4.
1 0 0
îÅ‚Å‚Å‚
ïÅ‚0 śł
I3 = 1 0
ïłśł
ïÅ‚ûÅ‚
ðÅ‚0 0 1śł
d) Macierz nazywamy trójkątną górną jeżeli wszystkie jej elementy
poniżej głównej przekątnej są równe zero.
PRZYKA
AD 5.
1 2 7
îÅ‚Å‚Å‚
ïÅ‚0 -2 3śł
ïłśł
ïÅ‚ûÅ‚
ðÅ‚0 0 5śł
Macierz nazywamy trójkątną dolną jeżeli wszystkie jej elementy
powyżej głównej przekątnej są równe zero.
PRZYKA
AD 6.
1 0 0
îÅ‚Å‚Å‚
ïÅ‚7 -2 0śł
ïłśł
ïÅ‚ûÅ‚
ðÅ‚4 2 5śł
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 3 z 11 Część 6 - Macierze
e) Macierz nazywamy symetryczną jeżeli:
AT=A
PRZYKA
AD 7.
1 2 -3 4
îÅ‚Å‚Å‚
ïłśł
2 5 7 6
ïłśł
ïÅ‚-3 7 4 2
śł
ïłśł
4 6 2 0
ðÅ‚ûÅ‚
DZIAA
ANIA NA MACIERZACH.
1) Równość dwóch macierzy zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy macierze
mają takie same wymiary i odpowiednie ich elementy są sobie równe.
A = [aij]k×m B = [bij]l×p
aij = bij '" k=l '" m=p
2) Suma dwóch macierzy  dodając do siebie dwie macierze dodajemy do
siebie odpowiednie elementy.
A k×m [aij] B l×p [bij]
A+B=[cij]: cij= aij+ bij
3) Mnożenie macierzy przez liczbę  mnożąc macierz przez liczbę
mnożymy każdy element macierzy przez tę liczbę.
A = [aij], Ä…A = Ä…[aij]
4) Mnożenie dwóch macierzy
A n×p [aij] " B p×n [bij]
Jest ono wykonalne tylko wtedy, gdy ilość wierszy macierzy B równa
jest ilości kolumn macierzy A.
A n×p [aij]
B p×n [bij]
p
îÅ‚ Å‚Å‚
AB = C = : cij = aik ibkj
i
"
ðÅ‚cij ûÅ‚
k =1
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 4 z 11 Część 6 - Macierze
a11 a12 a1 j a1p b11 b12 b1 j b1m
îÅ‚Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïłśł ïÅ‚ śł
a22 a2 j a2p śł ïÅ‚ b21 b22 b2 j b2m śł
ïÅ‚a21
ïłśł ïÅ‚ śł

ïłśł ïÅ‚ śł
i
ïłśł ïÅ‚ śł
ai1 ai2 aij aip bi1 bi2 bij bim
ïłśł ïÅ‚ śł

ïłśł ïÅ‚ śł
ïÅ‚a an2 anj anp śł ïÅ‚
bp1 bp2 bpj bpm śł
n1
ðÅ‚ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
c11 = a11b11 + a12b21 + a13b31 + ... + a1pbp1
c12 = a11b12 + a12b22 + a13b32 + ... + a1pbp2
c22 = a21b12 + a22b22 + a23b32 + ... + a2pbp2
c34 = a31b14 + a32b24 + a33b34 + ... + a3pbp4

cij = ai1b1 j + ai2b2 j + ai3b3 j + ... + aipbpj
WNIOSEK
Element cij macierzy A" B to iloczyn skalarny i-tego wiersza macierzy A
przez j-tÄ… kolumnÄ™ macierzy B.
PRZYKA
AD 8.
1 2
îÅ‚Å‚Å‚
ïłśł
1
îÅ‚ -1 0 2 1 7 3
Å‚Å‚ Å‚Å‚
ïÅ‚-1 3 śłîÅ‚
ïłśł śł
śłïÅ‚
3 -2 1 -1 5 i ïÅ‚ -1
= 8 8
0
ïłśł ïÅ‚ śł
ïÅ‚-1 0 1 1 -1ûÅ‚3×5 ïłśłðÅ‚
2 1
ðłśł 2 śł
ïłśłïÅ‚ -4ûÅ‚3×2
ïłśł5×2
1 2
ðÅ‚ûÅ‚
UWAGA
Mnożenie macierzy nie jest przemienne, B" A może być niewykonalne.
1 2
îÅ‚Å‚Å‚
ïłśł
1
îÅ‚ -1 0 2 1 7 3
Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚-1 3 śł
ïłśł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ -1
śł i 3 -2 1 -1 5 `" 8 8
0
ïłśł ïÅ‚ śł
ïłśł
ïÅ‚-1 0 1 1 -1ûÅ‚3×5 ðÅ‚ 2 -4ûÅ‚3×2
ïÅ‚ śł
2 1
ðłśł
ïłśł
ïłśł5×2
1 2
ðÅ‚ûÅ‚
Jeśli jest wykonalne to na ogół AB`"BA.
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 5 z 11 Część 6 - Macierze
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
(X,K,+," ) dimX=m (Y,K,+," ) dimY=n
B = e1,e2,...,em C= l1, l2,..., ln
( )
( )
f:X Y - odwzorowanie liniowe
y=f x
( )
X " x = x1e1 + x2e2 + ... + xmem
Y " y=y1l1+y2l2 + ... + ynln
f x1e1 + x2e2 + ... + xmem = x1f e1 + x2f e2 + ... + xmf em
() ( ) ( ) ( )
f e1 = a11l1 + a21l2 + & + an1ln
( )
f e2 = a12l1 + a22l2 + & + an2ln
( )
f em = a1ml1 + a2ml2 + & + anmln
( )
f x1e1 + x2e2 + ... + xmem = üÅ‚
()
ôÅ‚
= x1f e1 + x2f e2 + ... + xmf em =ôÅ‚
( ) ( ) ( )
ôÅ‚
= x1 a11l1 + a21l2 + & + an1ln +
() ôÅ‚
y1 = a11x1 + a12x2 + & + a1mxm
()
ôÅ‚
+x2 a12l1 + a22l2 + & + an2ln +y2 = a21x1 + a22x2 + & + a2mxm
ôÅ‚
()
()
ôÅ‚
żł

+& + xm a1ml1 + a2ml2 + & + anmln =
ôÅ‚
()
ôÅ‚
yn = an1x1 + an2x2 + & + anmxm
()
= a11x1 + a12x2 + & + a1mxm l1 + ôÅ‚
()
ôÅ‚
+ a21x1 + a22x2 + & + a2mxm l2 +
() ôÅ‚
ôÅ‚
+& + an1x1 + an2x2 + & + anmxm ln ôÅ‚
()
þÅ‚
a11 a12 a1m
îÅ‚Å‚Å‚
ïÅ‚
a21 a22 a2m śł
ïłśł
Mf B,C =
( )
ïłśł

ïłśł
an1 an2 anm ûÅ‚
ðÅ‚
Jest to macierz odwzorowania liniowego f względem baz B,C przestrzeni X,Y.
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 6 z 11 Część 6 - Macierze
WNIOSEK
1) Pierwszą kolumnę macierzy stanowią współrzędne wektora f e1
( )
w bazie przestrzeni X, Y.
Drugą kolumnę macierzy stanowią współrzędne wektora f e2
( )
w bazie przestrzeni X, Y..
n-tą kolumnę macierzy stanowią współrzędne wektora f en
( )
w bazie przestrzeni X, Y.
2) Przy ustalonych bazach w przestrzeni X i Y danemu odwzorowaniu
liniowemu odpowiada dokładnie jedna macierz i na odwrót:
macierz odpowiednich wymiarów definiuje nam poprzez powyższy związek
dokladnie jedno odwzorowanie.
Czyli przy ustalonych bazach w przestrzeni X, Y każdemu
odwzorowaniu odpowiada dokładnie jedna macierz.
Istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniosć pomiędzy
odwzorowaniem okreslonym w tych ptrzestrzeniach i macierzami.
3)
dimX=m '" dimY =n
f:X Y
B C
A=Mf B,Cn×m
( )
UMOWA
Macierz odwzorowania liniowego będzie synonimem macierzy.
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 7 z 11 Część 6 - Macierze
REPREZENTACJA MACIERZOWA ODWZOROWANIA LINIOWEGO
Oznaczenia jak wyżej
f:X Y
y=f x
( )
x=ðÅ‚x1, x2,..., xn ûÅ‚
îÅ‚Å‚Å‚B
y=ðÅ‚y1,y2,...,yn ûÅ‚
îÅ‚Å‚Å‚C
y1 x1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚y śł ïÅ‚x śł
2
ïÅ‚ śł
y= x=ïÅ‚ 2 śł A=Mf B,Cn×m
( )
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł

ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚yn ûÅ‚ ðÅ‚xn ûÅ‚
y=Ax
y1 a11 a12 & a1m x1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚y śł ïÅ‚a a22
& a2m śł ïÅ‚x2 śł
221
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
= i
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł

ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
an2 & anm ûÅ‚ ðÅ‚xn ûÅ‚
ðÅ‚yn ûÅ‚ ðÅ‚an1
Jest to postać macierzowa odwzorowania.
PRZYKA
AD 1.
R3, R, +,Å" R2 R, +,Å"
,
( ) ( )
B= e1 = (1,0,0),e2 = (0,1,0),e3 = (0,0,1)
()
C= l1 = (1,0), l2 = (0,1)
()
f:R3 R2 : f (x1, x2, x3) = (x1 + x2 - x3, x1 - 2x2 + x3)
A
atwo sprawdzić, że jest to odwzorowanie liniowe.
f(e1) = f (1,0,0) = (1,1) = 1(1,0) + 1(0,1) = îÅ‚ûÅ‚
ðÅ‚1,1Å‚Å‚C
f(e2) = f (0,1,0) = (1, -2) = 1(1,0) + -2(0,1) = -2ûÅ‚C
îÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚1,
f(e3) = f (0,0,1) = (-1,1) = -1(1,0) + 1(0,1) =
îÅ‚-1,1ûÅ‚C
Å‚Å‚
ðÅ‚
1 1 -1
îÅ‚Å‚Å‚
Mf (B,C) =
ïÅ‚1 -2 1śł
ðÅ‚ûÅ‚
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 8 z 11 Część 6 - Macierze
PRZYKA
AD 2.
R2, R, +,Å"
( )
f:R2 R2 -endomorfizm
f(-1,1)=(2,3)
f(1,-2)=(3,-1)
A) Znalez
ć macierz tego odwzorowania w bazach kanonicznych
2
R : B= e1 = (1,0),e2 = (0,1)
()
1
2
R : C= l1 = (1,0), l2 = (0,1)
()
2
(-1,1)=-1e1 + 1e2 =
îÅ‚-1,1ûÅ‚B
ðÅ‚Å‚Å‚
f(-1,1)=f(-1e1 + 1e2) = (2,3) = 2e1+3e2
f(1,-2)=f(1e1-2e2) = (3,-1)=3e1 - 1e2
f(e1)
Å„Å‚ - 2f(e2) = 3e1 - 1e2
òÅ‚
) + f(e2) = 2e1+3e2
ół-f(e1
f(e1) = -7e1 - 5e2
Å„Å‚
òÅ‚
) = -5e1 - 2e2
ółf(e2
îÅ‚-7 -5
Å‚Å‚
Mf (B,C) =
ïÅ‚
ðÅ‚-5 -2śł
ûÅ‚
y = y1,y2 = f(x1, x2)
( )
y1 x1
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚-7 -5 îÅ‚ Å‚Å‚
Å‚Å‚
= i
ïÅ‚y śł ïÅ‚x śł
ïÅ‚
ûÅ‚
ðÅ‚ 2 ûÅ‚ ðÅ‚-5 -2śł ðÅ‚ 2 ûÅ‚
Znalez
ć f(2,4)
2,4 =
îÅ‚ûÅ‚
( )
ðÅ‚2,4Å‚Å‚B
f(2,4)
îÅ‚-34
Å‚Å‚ îÅ‚-7 -5 2
Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
= i ïÅ‚4śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚
ðÅ‚-18ûÅ‚ ðÅ‚-5 -2śł ðÅ‚ ûÅ‚
ûÅ‚
f(2,4) =
îÅ‚-34, -18ûÅ‚B =
(-34,-18
)
ðÅ‚Å‚Å‚
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 9 z 11 Część 6 - Macierze
Znalez
ć macierz tego samego odwzorowania w bazach:
2
R : B= b1 = (-1,1),b2 = (1, -2)
{}
1
2
R : C= l1 = (2,3), l2 = (3, -1)
{}
2
f(b1) = f (-1,1) = (2,3) = 1(2,3) + 0(3, -1) = 1l1 + 0l2 =
îÅ‚ûÅ‚
ðÅ‚1,0Å‚Å‚C
f(b2) = f (1, -2) = (3, -1) = 0(2,3) + 1(3, -1) = 0l1 + 1l2 =ûÅ‚
îÅ‚
ðÅ‚0,1Å‚Å‚C
1 0
îÅ‚ Å‚Å‚
Mf (B,C) =
ïÅ‚0 1śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Twierdzenie 1.
Z : X,K, +,i
( )-przestrzeń wektorowa z bazą D = e1,e2,& ,em
( )
Y,K, +,i
()-przestrzeń wektorowa z bazą C = l1, l2,& , ln
()
dim X = m
dimY = n
f:X Y
g:X Y
f i g " L(X,Y )
îÅ‚ Å‚Å‚
A=Mf (D,C) =
ðÅ‚aij ûÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚
B=Mg(D,C) =
ðÅ‚bij ûÅ‚
T :
a) Mf + g = Mf + Mg
b) Ä… " K MÄ… f = Ä…Mf
Twierdzenie 2.
Z:
f:X U g:U Y f " L(X,U), g " L(U,Y)
D-baza przestrzeni X C-baza przestrzeni Y G-baza przestrzeni U
A=Mf (D,G) B = Mg(G,C)
g f : X Y
T : Mg f = Mg " Mf
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 10 z 11 Część 6 - Macierze
WA
ASNOÅšCI DZIAA
AC
NA MACIERZACH.
Mn×m(K) - zbiór macierzy o wymiarach n × m o elementach z ciala K

1 "A,B,C"M (K ) : A + B + C = A + B + C
( ) ( )
n×m
2 "A,B,C"M (K ) : A " B = B " A
n×m
3 "0"M (K ) : "A"M (K ) : A + 0 = A
n×m n×m
4 "A"M (K ) : " : A + = 0
(-A
)
- A"Mn×m(K )
n×m
5 " '" "A"M (K ) :(Ä… + ²)A = Ä… A + ² A
Ä… ,²"K
n×m
² A
(Ä…² A = Ä… ( )
)
6 " '" "A,B"M (K ): Ä… ( )
A+B =Ä…A+Ä…B
Ä… ,"K
n×m
7 "A"M (K ) :1A =A
n×m
WNIOSEK:
Mn,m(K),K, +,Å" - jest przestrzeniÄ… wektorowÄ….
( )
Ponadto, o ile dane działania są wykonalne zachodzą następujące własności
dodatkowe:
8 (A Å" B) Å" C = A Å" (B Å" C)
9 "I : "A In Å" A = A
n
"I : "A A Å" In = A
n
10 A Å" (B + C) = AB + AC
(A + B) Å" C = AC + BC
11 (A + B)T = AT + BT
(Ä… A)T = Ä… AT
(AB)T = BT AT
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 11 z 11 Część 6 - Macierze