Wykład 06
Witold Obłoza
20 stycznia 2011
GRANICA FUNKCJI
DEFINICJA 53 (definicja Heine go)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S(x0) sasiedztwie punktu
x0.
Mówimy, że liczba g jest granica funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy "{xn}" ‚" S(x0)
n=1
( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = g)
n" n"
GRANICA FUNKCJI
DEFINICJA 53 (definicja Heine go)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S(x0) sasiedztwie punktu
x0.
Mówimy, że liczba g jest granica funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy "{xn}" ‚" S(x0)
n=1
( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = g)
n" n"
GRANICA FUNKCJI
DEFINICJA 53 (definicja Heine go)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S(x0) sasiedztwie punktu
x0.
Mówimy, że liczba g jest granica funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy "{xn}" ‚" S(x0)
n=1
( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = g)
n" n"
GRANICA FUNKCJI
DEFINICJA 53 (definicja Heine go)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S(x0) sasiedztwie punktu
x0.
Mówimy, że liczba g jest granica funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy "{xn}" ‚" S(x0)
n=1
( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = g)
n" n"
GRANICA FUNKCJI
DEFINICJA 54 (Definicja Cauchy ego)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica funkcji f w punkcie x0 wtedy i tylko
wtedy,
gdy "µ > 0 "´ > 0 : "x " D
(x0 - ´ < x < x0 + ´ =Ò! |f(x) - g| < µ).
GRANICA FUNKCJI
DEFINICJA 54 (Definicja Cauchy ego)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica funkcji f w punkcie x0 wtedy i tylko
wtedy,
gdy "µ > 0 "´ > 0 : "x " D
(x0 - ´ < x < x0 + ´ =Ò! |f(x) - g| < µ).
GRANICA FUNKCJI
DEFINICJA 54 (Definicja Cauchy ego)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica funkcji f w punkcie x0 wtedy i tylko
wtedy,
gdy "µ > 0 "´ > 0 : "x " D
(x0 - ´ < x < x0 + ´ =Ò! |f(x) - g| < µ).
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
TWIERDZENIE 55
Definicje Cauchy ego i Heine go granicy funkcji w punkcie są równoważne,
DOWÓD:
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x0 w sensie Cauchy ego.
Wówczas "µ > 0 "´ > 0 taka, że gdy 0 < |x - x0| < ´ to
|f(x) - g| < µ.
Jeżeli xn - x0 i {xn} ‚" S(x0) to "n0 takie, że "n > n0
0 < |xn - x0| < ´, wiÄ™c |f(xn) - g| < µ.
StÄ…d dla xn - x0 i {xn} ‚" S(x0) mamy f(xn) - g.
Liczba g jest także granicą w sensie Heine go.
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
TWIERDZENIE 55
Definicje Cauchy ego i Heine go granicy funkcji w punkcie są równoważne,
DOWÓD:
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x0 w sensie Cauchy ego.
Wówczas "µ > 0 "´ > 0 taka, że gdy 0 < |x - x0| < ´ to
|f(x) - g| < µ.
Jeżeli xn - x0 i {xn} ‚" S(x0) to "n0 takie, że "n > n0
0 < |xn - x0| < ´, wiÄ™c |f(xn) - g| < µ.
StÄ…d dla xn - x0 i {xn} ‚" S(x0) mamy f(xn) - g.
Liczba g jest także granicą w sensie Heine go.
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
TWIERDZENIE 55
Definicje Cauchy ego i Heine go granicy funkcji w punkcie są równoważne,
DOWÓD:
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x0 w sensie Cauchy ego.
Wówczas "µ > 0 "´ > 0 taka, że gdy 0 < |x - x0| < ´ to
|f(x) - g| < µ.
Jeżeli xn - x0 i {xn} ‚" S(x0) to "n0 takie, że "n > n0
0 < |xn - x0| < ´, wiÄ™c |f(xn) - g| < µ.
StÄ…d dla xn - x0 i {xn} ‚" S(x0) mamy f(xn) - g.
Liczba g jest także granicą w sensie Heine go.
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
TWIERDZENIE 55
Definicje Cauchy ego i Heine go granicy funkcji w punkcie są równoważne,
DOWÓD:
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x0 w sensie Cauchy ego.
Wówczas "µ > 0 "´ > 0 taka, że gdy 0 < |x - x0| < ´ to
|f(x) - g| < µ.
Jeżeli xn - x0 i {xn} ‚" S(x0) to "n0 takie, że "n > n0
0 < |xn - x0| < ´, wiÄ™c |f(xn) - g| < µ.
StÄ…d dla xn - x0 i {xn} ‚" S(x0) mamy f(xn) - g.
Liczba g jest także granicą w sensie Heine go.
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
TWIERDZENIE 55
Definicje Cauchy ego i Heine go granicy funkcji w punkcie są równoważne,
DOWÓD:
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x0 w sensie Cauchy ego.
Wówczas "µ > 0 "´ > 0 taka, że gdy 0 < |x - x0| < ´ to
|f(x) - g| < µ.
Jeżeli xn - x0 i {xn} ‚" S(x0) to "n0 takie, że "n > n0
0 < |xn - x0| < ´, wiÄ™c |f(xn) - g| < µ.
StÄ…d dla xn - x0 i {xn} ‚" S(x0) mamy f(xn) - g.
Liczba g jest także granicą w sensie Heine go.
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
TWIERDZENIE 55
Definicje Cauchy ego i Heine go granicy funkcji w punkcie są równoważne,
DOWÓD:
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x0 w sensie Cauchy ego.
Wówczas "µ > 0 "´ > 0 taka, że gdy 0 < |x - x0| < ´ to
|f(x) - g| < µ.
Jeżeli xn - x0 i {xn} ‚" S(x0) to "n0 takie, że "n > n0
0 < |xn - x0| < ´, wiÄ™c |f(xn) - g| < µ.
StÄ…d dla xn - x0 i {xn} ‚" S(x0) mamy f(xn) - g.
Liczba g jest także granicą w sensie Heine go.
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x0 w sensie Heine go i
przypuśćmy, że g nie jest granicą w sensie Cauchy ego.
Wówczas "µ > 0 "´ > 0 "x´ takie, że |X - X0| < ´ i |f(x) - g| > µ.
1
Mamy stÄ…d ( zamiast ´ bierzemy )
n
1
µ > 0 "n "xn takie, że 0 < |xn - x0| < |f(xn) - g| > µ.
n
Ale wówczas xn - x0 i f(xn) g.
Sprzecznośść kończy dowód twierdzenia.
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x0 w sensie Heine go i
przypuśćmy, że g nie jest granicą w sensie Cauchy ego.
Wówczas "µ > 0 "´ > 0 "x´ takie, że |X - X0| < ´ i |f(x) - g| > µ.
1
Mamy stÄ…d ( zamiast ´ bierzemy )
n
1
µ > 0 "n "xn takie, że 0 < |xn - x0| < |f(xn) - g| > µ.
n
Ale wówczas xn - x0 i f(xn) g.
Sprzecznośść kończy dowód twierdzenia.
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x0 w sensie Heine go i
przypuśćmy, że g nie jest granicą w sensie Cauchy ego.
Wówczas "µ > 0 "´ > 0 "x´ takie, że |X - X0| < ´ i |f(x) - g| > µ.
1
Mamy stÄ…d ( zamiast ´ bierzemy )
n
1
µ > 0 "n "xn takie, że 0 < |xn - x0| < |f(xn) - g| > µ.
n
Ale wówczas xn - x0 i f(xn) g.
Sprzecznośść kończy dowód twierdzenia.
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x0 w sensie Heine go i
przypuśćmy, że g nie jest granicą w sensie Cauchy ego.
Wówczas "µ > 0 "´ > 0 "x´ takie, że |X - X0| < ´ i |f(x) - g| > µ.
1
Mamy stÄ…d ( zamiast ´ bierzemy )
n
1
µ > 0 "n "xn takie, że 0 < |xn - x0| < |f(xn) - g| > µ.
n
Ale wówczas xn - x0 i f(xn) g.
Sprzecznośść kończy dowód twierdzenia.
DEFINICJE GRANICY FUNKCJI W PUNKCIE
Niech g będzie granicą funkcji f w punkcie x0 w sensie Heine go i
przypuśćmy, że g nie jest granicą w sensie Cauchy ego.
Wówczas "µ > 0 "´ > 0 "x´ takie, że |X - X0| < ´ i |f(x) - g| > µ.
1
Mamy stÄ…d ( zamiast ´ bierzemy )
n
1
µ > 0 "n "xn takie, że 0 < |xn - x0| < |f(xn) - g| > µ.
n
Ale wówczas xn - x0 i f(xn) g.
Sprzecznośść kończy dowód twierdzenia.
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 56 (Definicja Heine go)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie lewostronnym
punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica lewostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S-(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = g.)
n=1
n" n"
DEFINICJA 57 (Definicja Heine go)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica prawostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S+(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = g).
n=1
n" n"
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 56 (Definicja Heine go)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie lewostronnym
punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica lewostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S-(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = g.)
n=1
n" n"
DEFINICJA 57 (Definicja Heine go)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica prawostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S+(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = g).
n=1
n" n"
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 56 (Definicja Heine go)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie lewostronnym
punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica lewostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S-(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = g.)
n=1
n" n"
DEFINICJA 57 (Definicja Heine go)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica prawostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S+(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = g).
n=1
n" n"
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 56 (Definicja Heine go)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie lewostronnym
punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica lewostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S-(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = g.)
n=1
n" n"
DEFINICJA 57 (Definicja Heine go)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica prawostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S+(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = g).
n=1
n" n"
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 56 (Definicja Heine go)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie lewostronnym
punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica lewostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S-(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = g.)
n=1
n" n"
DEFINICJA 57 (Definicja Heine go)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica prawostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S+(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = g).
n=1
n" n"
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 56 (Definicja Heine go)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie lewostronnym
punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica lewostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S-(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = g.)
n=1
n" n"
DEFINICJA 57 (Definicja Heine go)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica prawostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S+(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = g).
n=1
n" n"
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 56 (Definicja Heine go)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie lewostronnym
punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica lewostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S-(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = g.)
n=1
n" n"
DEFINICJA 57 (Definicja Heine go)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica prawostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S+(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = g).
n=1
n" n"
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 58 (Definicja Cauchy ego)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie lewostronnym
punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica lewostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tyko wtedy, gdy "µ > 0 "´ > 0 : "x " D
(x0 - ´ < x < x0 =Ò! |f(x) - g| < µ).
DEFINICJA 59 (Definicja Cauchy ego)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica prawostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy "µ > 0 "´ > 0 : "x " D
(x0 < x < x0 + ´ =Ò! |f(x) - g| < µ).
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 58 (Definicja Cauchy ego)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie lewostronnym
punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica lewostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tyko wtedy, gdy "µ > 0 "´ > 0 : "x " D
(x0 - ´ < x < x0 =Ò! |f(x) - g| < µ).
DEFINICJA 59 (Definicja Cauchy ego)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica prawostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy "µ > 0 "´ > 0 : "x " D
(x0 < x < x0 + ´ =Ò! |f(x) - g| < µ).
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 58 (Definicja Cauchy ego)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie lewostronnym
punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica lewostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tyko wtedy, gdy "µ > 0 "´ > 0 : "x " D
(x0 - ´ < x < x0 =Ò! |f(x) - g| < µ).
DEFINICJA 59 (Definicja Cauchy ego)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica prawostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy "µ > 0 "´ > 0 : "x " D
(x0 < x < x0 + ´ =Ò! |f(x) - g| < µ).
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 58 (Definicja Cauchy ego)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie lewostronnym
punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica lewostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tyko wtedy, gdy "µ > 0 "´ > 0 : "x " D
(x0 - ´ < x < x0 =Ò! |f(x) - g| < µ).
DEFINICJA 59 (Definicja Cauchy ego)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica prawostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy "µ > 0 "´ > 0 : "x " D
(x0 < x < x0 + ´ =Ò! |f(x) - g| < µ).
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 58 (Definicja Cauchy ego)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie lewostronnym
punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica lewostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tyko wtedy, gdy "µ > 0 "´ > 0 : "x " D
(x0 - ´ < x < x0 =Ò! |f(x) - g| < µ).
DEFINICJA 59 (Definicja Cauchy ego)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica prawostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy "µ > 0 "´ > 0 : "x " D
(x0 < x < x0 + ´ =Ò! |f(x) - g| < µ).
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 58 (Definicja Cauchy ego)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie lewostronnym
punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica lewostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tyko wtedy, gdy "µ > 0 "´ > 0 : "x " D
(x0 - ´ < x < x0 =Ò! |f(x) - g| < µ).
DEFINICJA 59 (Definicja Cauchy ego)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica prawostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy "µ > 0 "´ > 0 : "x " D
(x0 < x < x0 + ´ =Ò! |f(x) - g| < µ).
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI
DEFINICJA 58 (Definicja Cauchy ego)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie lewostronnym
punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica lewostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tyko wtedy, gdy "µ > 0 "´ > 0 : "x " D
(x0 - ´ < x < x0 =Ò! |f(x) - g| < µ).
DEFINICJA 59 (Definicja Cauchy ego)
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że liczba g jest granica prawostronna funkcji f w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy "µ > 0 "´ > 0 : "x " D
(x0 < x < x0 + ´ =Ò! |f(x) - g| < µ).
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 60
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0 wtedy i
tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (0 < |x - x0| < ´ =Ò! f(x) > M).
DEFINICJA 61
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S(x0) sasiedztwie punktu
x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0 wtedy i
tylko wtedy, gdy "{xn}" ‚" S(x0)
n=1
( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = ").
n" n"
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 60
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0 wtedy i
tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (0 < |x - x0| < ´ =Ò! f(x) > M).
DEFINICJA 61
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S(x0) sasiedztwie punktu
x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0 wtedy i
tylko wtedy, gdy "{xn}" ‚" S(x0)
n=1
( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = ").
n" n"
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 60
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0 wtedy i
tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (0 < |x - x0| < ´ =Ò! f(x) > M).
DEFINICJA 61
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S(x0) sasiedztwie punktu
x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0 wtedy i
tylko wtedy, gdy "{xn}" ‚" S(x0)
n=1
( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = ").
n" n"
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 60
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0 wtedy i
tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (0 < |x - x0| < ´ =Ò! f(x) > M).
DEFINICJA 61
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S(x0) sasiedztwie punktu
x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0 wtedy i
tylko wtedy, gdy "{xn}" ‚" S(x0)
n=1
( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = ").
n" n"
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 60
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0 wtedy i
tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (0 < |x - x0| < ´ =Ò! f(x) > M).
DEFINICJA 61
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S(x0) sasiedztwie punktu
x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0 wtedy i
tylko wtedy, gdy "{xn}" ‚" S(x0)
n=1
( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = ").
n" n"
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 62
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie punktu x0.
Mówimy, że -" jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0 wtedy i
tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (0 < |x - x0| < ´ =Ò! f(x) < M).
DEFINICJA 63
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S(x0) sasiedztwie punktu
x0.
Mówimy, że -" jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0wtedy i
tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = -").
n=1
n" n"
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 62
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie punktu x0.
Mówimy, że -" jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0 wtedy i
tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (0 < |x - x0| < ´ =Ò! f(x) < M).
DEFINICJA 63
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S(x0) sasiedztwie punktu
x0.
Mówimy, że -" jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0wtedy i
tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = -").
n=1
n" n"
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 62
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie punktu x0.
Mówimy, że -" jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0 wtedy i
tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (0 < |x - x0| < ´ =Ò! f(x) < M).
DEFINICJA 63
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S(x0) sasiedztwie punktu
x0.
Mówimy, że -" jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0wtedy i
tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = -").
n=1
n" n"
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 62
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie punktu x0.
Mówimy, że -" jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0 wtedy i
tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (0 < |x - x0| < ´ =Ò! f(x) < M).
DEFINICJA 63
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S(x0) sasiedztwie punktu
x0.
Mówimy, że -" jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0wtedy i
tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = -").
n=1
n" n"
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 62
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie punktu x0.
Mówimy, że -" jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0 wtedy i
tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (0 < |x - x0| < ´ =Ò! f(x) < M).
DEFINICJA 63
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S(x0) sasiedztwie punktu
x0.
Mówimy, że -" jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0wtedy i
tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = -").
n=1
n" n"
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 62
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie punktu x0.
Mówimy, że -" jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0 wtedy i
tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (0 < |x - x0| < ´ =Ò! f(x) < M).
DEFINICJA 63
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S(x0) sasiedztwie punktu
x0.
Mówimy, że -" jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0wtedy i
tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = -").
n=1
n" n"
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 62
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie punktu x0.
Mówimy, że -" jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0 wtedy i
tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (0 < |x - x0| < ´ =Ò! f(x) < M).
DEFINICJA 63
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S(x0) sasiedztwie punktu
x0.
Mówimy, że -" jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0wtedy i
tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = -").
n=1
n" n"
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 62
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie punktu x0.
Mówimy, że -" jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0 wtedy i
tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (0 < |x - x0| < ´ =Ò! f(x) < M).
DEFINICJA 63
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S(x0) sasiedztwie punktu
x0.
Mówimy, że -" jest granica niewłaściwa funkcji f w punkcie x0wtedy i
tylko wtedy, gdy
"{xn}" ‚" S(x0) ( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = -").
n=1
n" n"
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 64
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S-(x0) sasiedztwie
lewostronnym punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa lewostronna funkcji f w punkcie
x0 wtedy i tylko wtedy, gdy "{xn}" ‚" S-(x0)
n=1
( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = ").
n" n"
DEFINICJA 65
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S+(x0) sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa prawostronna funkcji f w
punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy "{xn}" ‚" S+(x0)
n=1
( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = ").
n" n"
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 64
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S-(x0) sasiedztwie
lewostronnym punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa lewostronna funkcji f w punkcie
x0 wtedy i tylko wtedy, gdy "{xn}" ‚" S-(x0)
n=1
( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = ").
n" n"
DEFINICJA 65
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S+(x0) sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa prawostronna funkcji f w
punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy "{xn}" ‚" S+(x0)
n=1
( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = ").
n" n"
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 64
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S-(x0) sasiedztwie
lewostronnym punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa lewostronna funkcji f w punkcie
x0 wtedy i tylko wtedy, gdy "{xn}" ‚" S-(x0)
n=1
( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = ").
n" n"
DEFINICJA 65
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S+(x0) sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa prawostronna funkcji f w
punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy "{xn}" ‚" S+(x0)
n=1
( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = ").
n" n"
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 64
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S-(x0) sasiedztwie
lewostronnym punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa lewostronna funkcji f w punkcie
x0 wtedy i tylko wtedy, gdy "{xn}" ‚" S-(x0)
n=1
( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = ").
n" n"
DEFINICJA 65
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S+(x0) sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa prawostronna funkcji f w
punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy "{xn}" ‚" S+(x0)
n=1
( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = ").
n" n"
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 64
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S-(x0) sasiedztwie
lewostronnym punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa lewostronna funkcji f w punkcie
x0 wtedy i tylko wtedy, gdy "{xn}" ‚" S-(x0)
n=1
( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = ").
n" n"
DEFINICJA 65
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S+(x0) sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa prawostronna funkcji f w
punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy "{xn}" ‚" S+(x0)
n=1
( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = ").
n" n"
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 64
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S-(x0) sasiedztwie
lewostronnym punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa lewostronna funkcji f w punkcie
x0 wtedy i tylko wtedy, gdy "{xn}" ‚" S-(x0)
n=1
( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = ").
n" n"
DEFINICJA 65
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w S+(x0) sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa prawostronna funkcji f w
punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy "{xn}" ‚" S+(x0)
n=1
( lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = ").
n" n"
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 66
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa prawostronna funkcji f w
punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (x0 < x < x0 + ´ =Ò! f(x) > M).
DEFINICJA 67
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie lewostronnym
punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa lewostronna funkcji f w punkcie
x0 wtedy i tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (x0 - ´ < x < x0 =Ò! f(x) > M).
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 66
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa prawostronna funkcji f w
punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (x0 < x < x0 + ´ =Ò! f(x) > M).
DEFINICJA 67
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie lewostronnym
punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa lewostronna funkcji f w punkcie
x0 wtedy i tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (x0 - ´ < x < x0 =Ò! f(x) > M).
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 66
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa prawostronna funkcji f w
punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (x0 < x < x0 + ´ =Ò! f(x) > M).
DEFINICJA 67
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie lewostronnym
punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa lewostronna funkcji f w punkcie
x0 wtedy i tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (x0 - ´ < x < x0 =Ò! f(x) > M).
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 66
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa prawostronna funkcji f w
punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (x0 < x < x0 + ´ =Ò! f(x) > M).
DEFINICJA 67
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie lewostronnym
punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa lewostronna funkcji f w punkcie
x0 wtedy i tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (x0 - ´ < x < x0 =Ò! f(x) > M).
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 66
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa prawostronna funkcji f w
punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (x0 < x < x0 + ´ =Ò! f(x) > M).
DEFINICJA 67
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie lewostronnym
punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa lewostronna funkcji f w punkcie
x0 wtedy i tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (x0 - ´ < x < x0 =Ò! f(x) > M).
GRANICE NIEWA
AÅšCIWE
DEFINICJA 66
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie
prawostronnym punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa prawostronna funkcji f w
punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (x0 < x < x0 + ´ =Ò! f(x) > M).
DEFINICJA 67
Niech funkcja f : D - R bedzie określona w sasiedztwie lewostronnym
punktu x0.
Mówimy, że " jest granica niewłaściwa lewostronna funkcji f w punkcie
x0 wtedy i tylko wtedy, gdy
"M "´ > 0 : "x " D (x0 - ´ < x < x0 =Ò! f(x) > M).
GRANICE W NIESKOC
CZONOÅšCI
DEFINICJA 68
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie " ma granicę g " R przy
x zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "µ > 0 "M takie, że
"x > M |f(x) - g| < µ.
DEFINICJA 69
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie -" ma granicę g " R
przy x zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "µ > 0 "M takie, że
"x < M |f(x) - g| < µ.
GRANICE W NIESKOC
CZONOÅšCI
DEFINICJA 68
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie " ma granicę g " R przy
x zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "µ > 0 "M takie, że
"x > M |f(x) - g| < µ.
DEFINICJA 69
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie -" ma granicę g " R
przy x zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "µ > 0 "M takie, że
"x < M |f(x) - g| < µ.
GRANICE W NIESKOC
CZONOÅšCI
DEFINICJA 68
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie " ma granicę g " R przy
x zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "µ > 0 "M takie, że
"x > M |f(x) - g| < µ.
DEFINICJA 69
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie -" ma granicę g " R
przy x zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "µ > 0 "M takie, że
"x < M |f(x) - g| < µ.
GRANICE W NIESKOC
CZONOÅšCI
DEFINICJA 68
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie " ma granicę g " R przy
x zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "µ > 0 "M takie, że
"x > M |f(x) - g| < µ.
DEFINICJA 69
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie -" ma granicę g " R
przy x zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "µ > 0 "M takie, że
"x < M |f(x) - g| < µ.
GRANICE W NIESKOC
CZONOÅšCI
DEFINICJA 68
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie " ma granicę g " R przy
x zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "µ > 0 "M takie, że
"x > M |f(x) - g| < µ.
DEFINICJA 69
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie -" ma granicę g " R
przy x zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "µ > 0 "M takie, że
"x < M |f(x) - g| < µ.
GRANICE W NIESKOC
CZONOÅšCI
DEFINICJA 70
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie " ma granicę " przy x
zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "K "M takie, że
"x > M f(x) > K.
DEFINICJA 71
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie -" ma granicę " przy x
zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "K "M takie, że
"x < M f(x) > K.
GRANICE W NIESKOC
CZONOÅšCI
DEFINICJA 70
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie " ma granicę " przy x
zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "K "M takie, że
"x > M f(x) > K.
DEFINICJA 71
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie -" ma granicę " przy x
zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "K "M takie, że
"x < M f(x) > K.
GRANICE W NIESKOC
CZONOÅšCI
DEFINICJA 70
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie " ma granicę " przy x
zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "K "M takie, że
"x > M f(x) > K.
DEFINICJA 71
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie -" ma granicę " przy x
zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "K "M takie, że
"x < M f(x) > K.
GRANICE W NIESKOC
CZONOÅšCI
DEFINICJA 70
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie " ma granicę " przy x
zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "K "M takie, że
"x > M f(x) > K.
DEFINICJA 71
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie -" ma granicę " przy x
zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "K "M takie, że
"x < M f(x) > K.
GRANICE W NIESKOC
CZONOÅšCI
DEFINICJA 70
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie " ma granicę " przy x
zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "K "M takie, że
"x > M f(x) > K.
DEFINICJA 71
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie -" ma granicę " przy x
zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "K "M takie, że
"x < M f(x) > K.
GRANICE W NIESKOC
CZONOÅšCI
DEFINICJA 72
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie " ma granicę -" przy x
zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "K "M takie, że
"x > M f(x) < K.
DEFINICJA 73
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie -" ma granicę -" przy
x zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "K "M takie, że
"x < M f(x) < K.
GRANICE W NIESKOC
CZONOÅšCI
DEFINICJA 72
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie " ma granicę -" przy x
zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "K "M takie, że
"x > M f(x) < K.
DEFINICJA 73
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie -" ma granicę -" przy
x zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "K "M takie, że
"x < M f(x) < K.
GRANICE W NIESKOC
CZONOÅšCI
DEFINICJA 72
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie " ma granicę -" przy x
zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "K "M takie, że
"x > M f(x) < K.
DEFINICJA 73
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie -" ma granicę -" przy
x zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "K "M takie, że
"x < M f(x) < K.
GRANICE W NIESKOC
CZONOÅšCI
DEFINICJA 72
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie " ma granicę -" przy x
zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "K "M takie, że
"x > M f(x) < K.
DEFINICJA 73
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie -" ma granicę -" przy
x zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "K "M takie, że
"x < M f(x) < K.
GRANICE W NIESKOC
CZONOÅšCI
DEFINICJA 72
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie " ma granicę -" przy x
zmierzającym do nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "K "M takie, że
"x > M f(x) < K.
DEFINICJA 73
Mówimy, że funkcja f określona w sąsiedztwie -" ma granicę -" przy
x zmierzającym do minus nieskończoności
wtedy i tylko wtedy, gdy "K "M takie, że
"x < M f(x) < K.
GRANICE JEDNOSTRONNE I GRANICA FUNKCJI
TWIERDZENIE 74
Funkcja f określona w sasiedztwie punktu x0 ma granice w tym punkcie
wtedy i tylko wtedy, gdy istniejÄ… granice lim f(x), lim f(x) oraz
xx- xx+
0 0
lim f(x) = lim f(x).
xx- xx+
0 0
DOWÓD:
Jeżeli granica istnieje to oczywiście istnieją granice jednostronne i są
sobie równe.
Z istnienia i równości granic jednostronnych mamy:
"µ "´1 takie, że "x " (x0 - ´1, x0) |f(x) - g| < µ
"µ "´2 takie, że "x " (x0, x0 + ´2) |f(x) - g| < µ
GRANICE JEDNOSTRONNE I GRANICA FUNKCJI
TWIERDZENIE 74
Funkcja f określona w sasiedztwie punktu x0 ma granice w tym punkcie
wtedy i tylko wtedy, gdy istniejÄ… granice lim f(x), lim f(x) oraz
xx- xx+
0 0
lim f(x) = lim f(x).
xx- xx+
0 0
DOWÓD:
Jeżeli granica istnieje to oczywiście istnieją granice jednostronne i są
sobie równe.
Z istnienia i równości granic jednostronnych mamy:
"µ "´1 takie, że "x " (x0 - ´1, x0) |f(x) - g| < µ
"µ "´2 takie, że "x " (x0, x0 + ´2) |f(x) - g| < µ
GRANICE JEDNOSTRONNE I GRANICA FUNKCJI
TWIERDZENIE 74
Funkcja f określona w sasiedztwie punktu x0 ma granice w tym punkcie
wtedy i tylko wtedy, gdy istniejÄ… granice lim f(x), lim f(x) oraz
xx- xx+
0 0
lim f(x) = lim f(x).
xx- xx+
0 0
DOWÓD:
Jeżeli granica istnieje to oczywiście istnieją granice jednostronne i są
sobie równe.
Z istnienia i równości granic jednostronnych mamy:
"µ "´1 takie, że "x " (x0 - ´1, x0) |f(x) - g| < µ
"µ "´2 takie, że "x " (x0, x0 + ´2) |f(x) - g| < µ
Wówczas dla ´ = min{´1, ´2} mamy "x " Df zachodzi implikacja
0 < |x - x0| < ´ =Ò! |f(x) - g| < µ.
Wówczas dla ´ = min{´1, ´2} mamy "x " Df zachodzi implikacja
0 < |x - x0| < ´ =Ò! |f(x) - g| < µ.
TWIERDZENIA O GRANICACH
TWIERDZENIE 75
Jeżeli funkcje f, g określone w sasiedztwie punktu x0 maja w tym
punkcie granice właściwe to istnieja granice
lim [f(x) Ä… g(x)],
xx0
lim [f(x) · g(x)]
xx0
i
lim [f(x) Ä… g(x)] = lim f(x) Ä… lim g(x)],
xx0 xx0 xx0
lim [f(x) · g(x)] = lim f(x) · lim g(x).
xx0 xx0 xx0
Jeżeli ponadto g(x) = 0 w sasiedztwie x0 i lim g(x) = 0 to istnieje

xx0
granica
lim f(x)
f(x) f(x)
xx0
lim , i lim = .
xx0 xx0
g(x) g(x) lim g(x)
xx0
TWIERDZENIA O GRANICACH
TWIERDZENIE 76
Jeżeli funkcje f, g określone w sasiedztwie punktu x0 maja w tym
punkcie granice właściwe oraz w tym sasiedztwie f(x) d" g(x) to
lim f(x) d" lim g(x)
xx0 xx0
TWIERDZENIE 77
Niech funkcje f, g, h beda określone w sasiedztwie punktu x0 i funkcje
f, h maja w tym punkcie granice właściwa równa a oraz w tym
sasiedztwie f(x) d" g(x) d" h(x) to funkcje g ma w tym punkcie granice
właściwa równa a.
TWIERDZENIA O GRANICACH
TWIERDZENIE 76
Jeżeli funkcje f, g określone w sasiedztwie punktu x0 maja w tym
punkcie granice właściwe oraz w tym sasiedztwie f(x) d" g(x) to
lim f(x) d" lim g(x)
xx0 xx0
TWIERDZENIE 77
Niech funkcje f, g, h beda określone w sasiedztwie punktu x0 i funkcje
f, h maja w tym punkcie granice właściwa równa a oraz w tym
sasiedztwie f(x) d" g(x) d" h(x) to funkcje g ma w tym punkcie granice
właściwa równa a.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
DEFINICJA 78
Niech funkcja f bedzie określone w O(x0) otoczeniu punktu x0
( odpowiednio w O-(x0) otoczeniu lewostronnym punktu x0, w O+(x0)
otoczeniu prawostronnym punktu x0,)
Mówimy, że funkcja f jest ciagła ( odpowiednio ciagła lewostronnie,
ciagła prawostronnie) jeżeli
lim f(x) = f(x0)
x-x0
( odpowiednio lim f(x) = f(x0), lim f(x) = f(x0) ).
x-x- x-x+
0 0
DEFINICJA 79
Funkcje określona w danym przedziale nazywamy ciagła w tym przedziale
wtw, gdy jest ciagła w każdym punkcie tego przedziału.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
DEFINICJA 78
Niech funkcja f bedzie określone w O(x0) otoczeniu punktu x0
( odpowiednio w O-(x0) otoczeniu lewostronnym punktu x0, w O+(x0)
otoczeniu prawostronnym punktu x0,)
Mówimy, że funkcja f jest ciagła ( odpowiednio ciagła lewostronnie,
ciagła prawostronnie) jeżeli
lim f(x) = f(x0)
x-x0
( odpowiednio lim f(x) = f(x0), lim f(x) = f(x0) ).
x-x- x-x+
0 0
DEFINICJA 79
Funkcje określona w danym przedziale nazywamy ciagła w tym przedziale
wtw, gdy jest ciagła w każdym punkcie tego przedziału.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
DEFINICJA 78
Niech funkcja f bedzie określone w O(x0) otoczeniu punktu x0
( odpowiednio w O-(x0) otoczeniu lewostronnym punktu x0, w O+(x0)
otoczeniu prawostronnym punktu x0,)
Mówimy, że funkcja f jest ciagła ( odpowiednio ciagła lewostronnie,
ciagła prawostronnie) jeżeli
lim f(x) = f(x0)
x-x0
( odpowiednio lim f(x) = f(x0), lim f(x) = f(x0) ).
x-x- x-x+
0 0
DEFINICJA 79
Funkcje określona w danym przedziale nazywamy ciagła w tym przedziale
wtw, gdy jest ciagła w każdym punkcie tego przedziału.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
DEFINICJA 80
Niech funkcja f bedzie określone w O(x0) otoczeniu punktu x0. Mówimy,
że funkcja f ma w punkcie x0 nieciagłość pierwszego rodzaju jeżeli
istnieja właściwe granice jednostronne i
lim f(x) = f(x0) lub lim f(x) = f(x0).

x-x- x-x+
0 0
Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0 nieciagłość drugiego rodzaju
jeżeli któraś z granic jednostronnych nie istnieje lub jest niewłaściwa.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
DEFINICJA 80
Niech funkcja f bedzie określone w O(x0) otoczeniu punktu x0. Mówimy,
że funkcja f ma w punkcie x0 nieciagłość pierwszego rodzaju jeżeli
istnieja właściwe granice jednostronne i
lim f(x) = f(x0) lub lim f(x) = f(x0).

x-x- x-x+
0 0
Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0 nieciagłość drugiego rodzaju
jeżeli któraś z granic jednostronnych nie istnieje lub jest niewłaściwa.