plik


ÿþWykBad 01 Witold ObBoza 24 listopada 2010 KRESY DEFINICJA 1 Mówimy, |e liczba M ogranicza zbiór A z góry ( z doBu ) wtw, gdy "a " A M e" a ( odpowiednio M d" a ). DEFINICJA 2 Mówimy, |e zbiór A jest ograniczony z góry ( z doBu ) wtw, gdy istnieje liczba rzeczywista ograniczajaca ten zbiór z góry ( odpowiednio z doBu ). Je|eli zbiór A jest ograniczony i z góry i z doBu to mówimy, |e jest ograniczony. DEFINICJA 3 Kresem dolnym ( górnym ) zbioru A nazywamy -" ( odpowiednio +") je|eli ten zbiór nie jest ograniczony z doBu ( z góry ). Je|eli zbiór A jest ograniczony z doBu ( z góry ) to kresem dolnym ( górnym ) zbioru A nazywamy najwieksza ( odpowiednio najmniejsza ) liczbe ograniczajaca ten zbiór z doBu ( odpowiednio z góry ). Kres górny ( dolny ) zbioru A oznaczamy przez sup A ( odpowiednio inf A). KRESY TWIERDZENIE 4. W zbiorze liczb rzeczywistych ka|dy zbiór ograniczony z doBu ( z góry ) ma kres dolny ( odpowiednio górny ). TWIERDZENIE 5. K jest kresem górnym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy speBnione sa warunki 1) " a " A a d" K, 2) " µ > 0 "b " A taki, |e b e" K - µ. DOWÓD;(Ò!) K ogranicza zbiór A zatem jest speBniony warunek 1. Gdyby nie byB speBniony warunek 2 to istniaBoby µ > 0 takie, |e "b " A b d" K - µ. K nie byBoby najmniejsza liczba ograniczajaca zbiór A z góry. (Ð!) Z warunku 1 wynika, |e K ogranicza zbiór A z góry. Przypu[my, |e istnieje L < K takie, |e L ogranicza zbiór A z góry. Otrzymali[my, |e dla K - L µ = > 0 "b " A b < K - µ. Otrzymana sprzeczno[ z warunkiem 2 2 dowodzi, |e K jest najmniejsza liczba ograniczajaca zbiór A z góry. GRANICE CIGÓW DEFINICJA 6 Mówimy, |e ciag {an}" ma granice wBa[ciwa g " R przy n n=1 zmierzajacym do nieskoDczono[ci i zapisujemy lim an = g wtw, gdy n’!" "µ > 0 "n0 : "n > n0 |an - g| < µ. DEFINICJA 7 Mówimy, |e ciag {an}" ma granice niewBa[ciwa +" ( -" ) przy n n=1 zmierzajacym do nieskoDczono[ci i zapisujemy lim an = " n’!" ( odpowiednio lim an = -" ) wtw, gdy "M"n0 : "n > n0 an > M n’!" ( odpowiednio an < M ). TWIERDZENIE 8 lim an = 0 wtw, gdy lim |an| = 0. n’!" n’!" 1 lim an = 0 wtw, gdy lim = ". n’!" n’!" |an| (Przy zaBo|eniu, |e "n " N an = 0. ) GRANICE CIGÓW DEFINICJA 9 Ciag {an}" nazywamy ciagiem Cauchy ego wtw, gdy n=1 "µ > 0"n0 : "m, n > n0 |am - an| < µ. TWIERDZENIE 10 Ka|dy ciag zbie|ny do granicy wBa[ciwej jest ciagiem Cauchy ego. W zbiorze liczb rzeczywistych ka|dy ciag Cauchy ego ma granice wBa[ciwa. TWIERDZENIE 11 Ciag rosnacy ( malejacy ) i ograniczony z góry ( odpowiednio z doBu ) jest zbie|ny do granicy wBa[ciwej. DEFINICJA 12 Dla danego {an}" ciagu liczbowego i ciagu rosnacego {nk}" o n=1 k=1 wyrazach naturalnych ciag {an }" nazywamy podciagiem ciagu k k=1 {an}" . n=1 GRANICE CIGÓW DEFINICJA 13 Je|eli {an }" podciag ciagu {an}" ma granice wBa[ciwa g przy k n=1 k k=1 zmierzajacym do nieskoDczono[ci to liczbe g nazywamy punktem skupienia tego ciagu. Je|eli lim an = " ( lim an = -") to mówimy, |e " k k n’!" n’!" ( odpowiednio -" ) jest niewBa[ciwym punktem skupienia ciagu {an}" . n=1 TWIERDZENIE 14 Ka|dy ciag ograniczony posiada wBa[ciwy punkt skupienia nale|acy do [inf an, sup an]. TWIERDZENIE 15 Ciag {an}" ma granice g wtw, gdy g jest jedynym punktem skupienia n=1 tego ciagu. TWIERDZENIE 16 Ka|dy ciag majacy granice wBa[ciwa jest ograniczony. TWIUERDZENIA O GRANICACH TWIERDZENIE 17 ( o monotoni) Je|eli "n0 "n > n0 an e" bn oraz istniej granice lim an = a oraz n’!" lim bn = b to a e" b. n’!" TWIERDZENIE 18 ( o trzech cigach ) Je|eli "n0 "n > n0 an e" bn e" cn oraz istniej granice lim an = lim cn = a to istnieje lim bn oraz lim bn = a. n’!" n’!" n’!" n’!" DOWÓD: Z definicji granicy "µ > 0 "n1 "n > n1 a + µ > an oraz "µ > 0 "n2 "n > n2 a - µ < cn. Wówczas dla n > n3 = max{n0, n1, n2} a - µ < cn d" bn d" an d" a + µ. Std istnieje lim bn oraz lim bn = a. n’!" n’!" TWIUERDZENIA O GRANICACH TWIERDZENIE 19 Je|eli istniej granice lim an = a oraz lim bn = b to istniej granice n’!" n’!" lim (an + bn), n’!" lim (an - bn), n’!" lim (an · bn). n’!" Ponadto lim (an + bn) = a + b, n’!" lim (an - bn) = a - b, n’!" lim (an · bn) = a · b. n’!" Je|eli b = 0 i "n " N bn = 0 istnieje te| an an a lim oraz lim = . n’!" n’!" bn bn b GRANICE SPECJALNE TWIERDZENIE 20 Zachodza nastepujace równo[ci ñø ôø òø" gdy ± > 0, 1) lim n± = 1 gdy ± = 0, n’!" ôø óø0 gdy ± < 0 " n 2) lim A = 1, gdzie A > 0. n’!" " n 3) lim n = 1. n’!" ñø gdy q > 1, ôø ôø+" ôø òø1 gdy q = 1, 4) lim qn = n’!" ôø0 gdy |q| < 1, ôø ôø óø nie istnieje gdy |q| d" -1. 1 5) Istnieje granica lim (1 + )n = e. n’!" n GRANICE SPECJALNE Ponadto 6) je|eli ciag {an}" wyrazach dodatnich jest ograniczony przez liczby o n dodatnie to lim an = 1, n’!" " n w szczególno[ci, je|eli lim an = g " (0, "), to lim an = 1, n’!" n’!" 7) je|eli "n an = 0 i lim |an| = " to n’!" 1 n lim (1 + )a = e. n’!" an GRANICE SPECJALNE DOWÓD: 1) ByBo na zajciach wyrównawczych. " n 2) ZaBó|my najpierw, |e A e" 1. Wtedy A = 1 + ´n, gdzie ´n e" 0. Mamy A = (1 + ´n)n e" 1 + n´n (z nierówno[ci Bernoulliego). A-1 Stad e" ´n e" 0 i z twierdzenia o trzech ciagach lim ´n = 0. Zatem n n’!" " n lim A = lim (1 + ´n) = 1. n’!" n’!" 1 Je|eli teraz A " (0, 1) to > 1 i stad A " 1 1 n lim A = lim = = 1 n’!" n’!" n 1 n 1 lim A A n’!" GRANICE SPECJALNE DOWÓD:" n 3) Niech n = 1 + ´n, gdzie ´n e" 0. Mamy ze wzoru dwumianowego Newtona: n n(n-1) n k 2 n = (1 + ´n)n = 1n-k´n e" 1 + ´n. k=0 k 2 n-1 2 1 " Stad e" ´n e" 0, a zatem e" ´n e" 0 n(n-1) n i z twierdzenia o trzech ciagach lim ´n = 0. n’!" " n Mamy wiec lim n = lim (1 + ´n) = 1. n’!" n’!" 4) ByBo na zajciach wyrównawczych. GRANICE SPECJALNE 1 5) Poka|emy, |e ciag o wyrazach an = (1 + )n jest rosnacy i n ograniczony z góry. 1 1 Z nierówno[ci Bernoulliego mamy (1 - )n e" 1 - , a stad n2 n 1 1 1 (1 + )n(1 - )n e" 1 - . n n n Aatwo stad wida, |e 1 1 1 an = (1 + )n e" (1 - )1-n = (1 + )n-1 = an-1. n n n - 1 GRANICE SPECJALNE Teraz wyka|emy, |e "n an d" 3. Dla n e" 2 mamy ze wzoru dwumianowego Newtona: 1 1 n n an = (1 + )n = 1 + 1 + 1n-k = k=2 k n nk n(n - 1) . . . (n + 1 - k) n 2 + = k=2 k!nk 1 (n - 1) (n - 1) (n - 2) (n + 1 - k) 1 n n 2 + . . . d" 2 + d" k=2 k=2 k! n n n n k! 1 1 1 1 - ( )n-1 n 2 2 + d" 2 + d" 3. k=2 1 2k-1 2 - 1 2 1 Ciag (1 + )n ma wiec granice oznaczamy ja litera e. n

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
2010 11 WIL Wyklad 04
2010 11 WIL Wyklad 08
2010 11 WIL Wyklad 02
2010 11 06 WIL Wyklad 06
2010 11 07 WIL Wyklad 07
2010 11 04 WIL Wyklad 04id 174
2010 11 08 WIL Wyklad 08id 175
2010 11 05 WIL Wyklad 05
1 292011 01 07 WIL Wyklad 14id?34
2015 01 11 ZUSO Wykład 07id(571
2011 01 09 WIL Wyklad 17(1)
1 232011 01 09 WIL Wyklad 17
2011 01 09 WIL Wyklad 17id 521
2011 01 09 WIL Wyklad 15 (1)
2011 01 09 WIL Wyklad 16
2011 02 21 WIL Wyklad 19id 523

więcej podobnych podstron