2011 01 09 WIL Wyklad 17id 27521


Wykład 17
Witold Obłoza
21 stycznia 2011
WYZNACZNIKI
DEFINICJA 236
Minorem stopnia r dowolnej macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy
postaci A = {ai jl}k"{1,2...,r} l"{1,2...,r}.
k
DEFINICJA 237
Jeżeli macierz A jest macierza kwadratowa stopnia n to Mk l oznacza
wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie k-tego
wiersza i l-tej kolumny.
TWIERDZENIE 238
Suma wszystkich iloczynów w wyznaczniku macierzy A zawierajacych
aj k wynosi aj kAj k = (-1)j+kaj kMj k.
WYZNACZNIKI
DEFINICJA 236
Minorem stopnia r dowolnej macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy
postaci A = {ai jl}k"{1,2...,r} l"{1,2...,r}.
k
DEFINICJA 237
Jeżeli macierz A jest macierza kwadratowa stopnia n to Mk l oznacza
wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie k-tego
wiersza i l-tej kolumny.
TWIERDZENIE 238
Suma wszystkich iloczynów w wyznaczniku macierzy A zawierajacych
aj k wynosi aj kAj k = (-1)j+kaj kMj k.
WYZNACZNIKI
DEFINICJA 236
Minorem stopnia r dowolnej macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy
postaci A = {ai jl}k"{1,2...,r} l"{1,2...,r}.
k
DEFINICJA 237
Jeżeli macierz A jest macierza kwadratowa stopnia n to Mk l oznacza
wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie k-tego
wiersza i l-tej kolumny.
TWIERDZENIE 238
Suma wszystkich iloczynów w wyznaczniku macierzy A zawierajacych
aj k wynosi aj kAj k = (-1)j+kaj kMj k.
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
aj kAj, k = (-1)(p)a1 p(1)a2 p(2)a3 p(3) . . . an p(n) =
p"Sn p(j)=k
aj k s"Sn-1(-1)(p)b1 s(1)b2 s(2)b3 s(3) . . . bn-1 p(n-1) =
(-1)k+jaj k s"Sn-1(-1)(s)b1 s(1)b2 s(2)b3 s(3) . . . bn-1 s(n-1) =
(-1)k+jaj kMj k = aj kAj, k,
al p(l) l < j,
gdzie bl s(l) =
al+1 p(l+1) l e" j.
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
aj kAj, k = (-1)(p)a1 p(1)a2 p(2)a3 p(3) . . . an p(n) =
p"Sn p(j)=k
aj k s"Sn-1(-1)(p)b1 s(1)b2 s(2)b3 s(3) . . . bn-1 p(n-1) =
(-1)k+jaj k s"Sn-1(-1)(s)b1 s(1)b2 s(2)b3 s(3) . . . bn-1 s(n-1) =
(-1)k+jaj kMj k = aj kAj, k,
al p(l) l < j,
gdzie bl s(l) =
al+1 p(l+1) l e" j.
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
aj kAj, k = (-1)(p)a1 p(1)a2 p(2)a3 p(3) . . . an p(n) =
p"Sn p(j)=k
aj k s"Sn-1(-1)(p)b1 s(1)b2 s(2)b3 s(3) . . . bn-1 p(n-1) =
(-1)k+jaj k s"Sn-1(-1)(s)b1 s(1)b2 s(2)b3 s(3) . . . bn-1 s(n-1) =
(-1)k+jaj kMj k = aj kAj, k,
al p(l) l < j,
gdzie bl s(l) =
al+1 p(l+1) l e" j.
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
aj kAj, k = (-1)(p)a1 p(1)a2 p(2)a3 p(3) . . . an p(n) =
p"Sn p(j)=k
aj k s"Sn-1(-1)(p)b1 s(1)b2 s(2)b3 s(3) . . . bn-1 p(n-1) =
(-1)k+jaj k s"Sn-1(-1)(s)b1 s(1)b2 s(2)b3 s(3) . . . bn-1 s(n-1) =
(-1)k+jaj kMj k = aj kAj, k,
al p(l) l < j,
gdzie bl s(l) =
al+1 p(l+1) l e" j.
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
aj kAj, k = (-1)(p)a1 p(1)a2 p(2)a3 p(3) . . . an p(n) =
p"Sn p(j)=k
aj k s"Sn-1(-1)(p)b1 s(1)b2 s(2)b3 s(3) . . . bn-1 p(n-1) =
(-1)k+jaj k s"Sn-1(-1)(s)b1 s(1)b2 s(2)b3 s(3) . . . bn-1 s(n-1) =
(-1)k+jaj kMj k = aj kAj, k,
al p(l) l < j,
gdzie bl s(l) =
al+1 p(l+1) l e" j.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 239
Wyznacznik macierzy A oznaczamy det A lub |A|. Na mocy powyższego
twierdzenia |A| = Łn aj lAj l = Łn al kAl k.
l=1 l=1
TWIERDZENIE 240
Wyznacznik macierzy A i macierzy transponowanej AT sa równe.
Wyznacznik macierzy trójkatnej jest równy iloczynowi wyrazów na
przekatnej.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 239
Wyznacznik macierzy A oznaczamy det A lub |A|. Na mocy powyższego
twierdzenia |A| = Łn aj lAj l = Łn al kAl k.
l=1 l=1
TWIERDZENIE 240
Wyznacznik macierzy A i macierzy transponowanej AT sa równe.
Wyznacznik macierzy trójkatnej jest równy iloczynowi wyrazów na
przekatnej.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 239
Wyznacznik macierzy A oznaczamy det A lub |A|. Na mocy powyższego
twierdzenia |A| = Łn aj lAj l = Łn al kAl k.
l=1 l=1
TWIERDZENIE 240
Wyznacznik macierzy A i macierzy transponowanej AT sa równe.
Wyznacznik macierzy trójkatnej jest równy iloczynowi wyrazów na
przekatnej.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 241
Niech dane beda dwie macierze kwadratowe
A = {ai j}i,j"Z ,
n
B = {bi j}i,j"Z ,
n
stopnia n a liczba naturalna k " Zn. Załóżmy, że ai j = bi j dla j = k

wtedy |A| + |B| = |C|, gdzie
ai j dla j = k

ci j = .
ai k + bi k
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 241
Niech dane beda dwie macierze kwadratowe
A = {ai j}i,j"Z ,
n
B = {bi j}i,j"Z ,
n
stopnia n a liczba naturalna k " Zn. Załóżmy, że ai j = bi j dla j = k

wtedy |A| + |B| = |C|, gdzie
ai j dla j = k

ci j = .
ai k + bi k
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 241
Niech dane beda dwie macierze kwadratowe
A = {ai j}i,j"Z ,
n
B = {bi j}i,j"Z ,
n
stopnia n a liczba naturalna k " Zn. Załóżmy, że ai j = bi j dla j = k

wtedy |A| + |B| = |C|, gdzie
ai j dla j = k

ci j = .
ai k + bi k
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 242
Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to
zmieni sie znak wyznacznika.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa sie z samych zer to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumne pomnożymy przez liczbe to
wyznacznik pomnoży sie przez te liczbe.
Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny sa proporcjonalne to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacje liniowa
pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni
sie.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 242
Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to
zmieni sie znak wyznacznika.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa sie z samych zer to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumne pomnożymy przez liczbe to
wyznacznik pomnoży sie przez te liczbe.
Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny sa proporcjonalne to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacje liniowa
pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni
sie.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 242
Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to
zmieni sie znak wyznacznika.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa sie z samych zer to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumne pomnożymy przez liczbe to
wyznacznik pomnoży sie przez te liczbe.
Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny sa proporcjonalne to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacje liniowa
pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni
sie.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 242
Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to
zmieni sie znak wyznacznika.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa sie z samych zer to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumne pomnożymy przez liczbe to
wyznacznik pomnoży sie przez te liczbe.
Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny sa proporcjonalne to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacje liniowa
pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni
sie.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 242
Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to
zmieni sie znak wyznacznika.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa sie z samych zer to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumne pomnożymy przez liczbe to
wyznacznik pomnoży sie przez te liczbe.
Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny sa proporcjonalne to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacje liniowa
pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni
sie.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 242
Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to
zmieni sie znak wyznacznika.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa sie z samych zer to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumne pomnożymy przez liczbe to
wyznacznik pomnoży sie przez te liczbe.
Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny sa proporcjonalne to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacje liniowa
pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni
sie.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 243
Niech beda dane macierze kwadratowe A = {ai j}i, j"{1,2...,p},
B = {bi j}i j"{1,2...,q}, C = {ci j}i j"{1,2...,(p+q)} takie, że
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , p},
cp+i p+j = bi j dla i, j " {1, 2 . . . , q},
ci p+j = 0 dla i " {1, 2 . . . , p}, j " {1, 2 . . . , q}
wtedy det C = det A det B.
TWIERDZENIE 244
Niech beda dane macierze kwadratowe A = {ai j}i, j"{1,2...,n},
B = {bi j}i j"{1,2...,n} wtedy det (A B) = det A det B.
DOWÓD:
Niech D = A B to jest di j = Łn ai l bl j.
l=1
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 243
Niech beda dane macierze kwadratowe A = {ai j}i, j"{1,2...,p},
B = {bi j}i j"{1,2...,q}, C = {ci j}i j"{1,2...,(p+q)} takie, że
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , p},
cp+i p+j = bi j dla i, j " {1, 2 . . . , q},
ci p+j = 0 dla i " {1, 2 . . . , p}, j " {1, 2 . . . , q}
wtedy det C = det A det B.
TWIERDZENIE 244
Niech beda dane macierze kwadratowe A = {ai j}i, j"{1,2...,n},
B = {bi j}i j"{1,2...,n} wtedy det (A B) = det A det B.
DOWÓD:
Niech D = A B to jest di j = Łn ai l bl j.
l=1
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 243
Niech beda dane macierze kwadratowe A = {ai j}i, j"{1,2...,p},
B = {bi j}i j"{1,2...,q}, C = {ci j}i j"{1,2...,(p+q)} takie, że
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , p},
cp+i p+j = bi j dla i, j " {1, 2 . . . , q},
ci p+j = 0 dla i " {1, 2 . . . , p}, j " {1, 2 . . . , q}
wtedy det C = det A det B.
TWIERDZENIE 244
Niech beda dane macierze kwadratowe A = {ai j}i, j"{1,2...,n},
B = {bi j}i j"{1,2...,n} wtedy det (A B) = det A det B.
DOWÓD:
Niech D = A B to jest di j = Łn ai l bl j.
l=1
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 243
Niech beda dane macierze kwadratowe A = {ai j}i, j"{1,2...,p},
B = {bi j}i j"{1,2...,q}, C = {ci j}i j"{1,2...,(p+q)} takie, że
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , p},
cp+i p+j = bi j dla i, j " {1, 2 . . . , q},
ci p+j = 0 dla i " {1, 2 . . . , p}, j " {1, 2 . . . , q}
wtedy det C = det A det B.
TWIERDZENIE 244
Niech beda dane macierze kwadratowe A = {ai j}i, j"{1,2...,n},
B = {bi j}i j"{1,2...,n} wtedy det (A B) = det A det B.
DOWÓD:
Niech D = A B to jest di j = Łn ai l bl j.
l=1
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 243
Niech beda dane macierze kwadratowe A = {ai j}i, j"{1,2...,p},
B = {bi j}i j"{1,2...,q}, C = {ci j}i j"{1,2...,(p+q)} takie, że
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , p},
cp+i p+j = bi j dla i, j " {1, 2 . . . , q},
ci p+j = 0 dla i " {1, 2 . . . , p}, j " {1, 2 . . . , q}
wtedy det C = det A det B.
TWIERDZENIE 244
Niech beda dane macierze kwadratowe A = {ai j}i, j"{1,2...,n},
B = {bi j}i j"{1,2...,n} wtedy det (A B) = det A det B.
DOWÓD:
Niech D = A B to jest di j = Łn ai l bl j.
l=1
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 243
Niech beda dane macierze kwadratowe A = {ai j}i, j"{1,2...,p},
B = {bi j}i j"{1,2...,q}, C = {ci j}i j"{1,2...,(p+q)} takie, że
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , p},
cp+i p+j = bi j dla i, j " {1, 2 . . . , q},
ci p+j = 0 dla i " {1, 2 . . . , p}, j " {1, 2 . . . , q}
wtedy det C = det A det B.
TWIERDZENIE 244
Niech beda dane macierze kwadratowe A = {ai j}i, j"{1,2...,n},
B = {bi j}i j"{1,2...,n} wtedy det (A B) = det A det B.
DOWÓD:
Niech D = A B to jest di j = Łn ai l bl j.
l=1
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 243
Niech beda dane macierze kwadratowe A = {ai j}i, j"{1,2...,p},
B = {bi j}i j"{1,2...,q}, C = {ci j}i j"{1,2...,(p+q)} takie, że
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , p},
cp+i p+j = bi j dla i, j " {1, 2 . . . , q},
ci p+j = 0 dla i " {1, 2 . . . , p}, j " {1, 2 . . . , q}
wtedy det C = det A det B.
TWIERDZENIE 244
Niech beda dane macierze kwadratowe A = {ai j}i, j"{1,2...,n},
B = {bi j}i j"{1,2...,n} wtedy det (A B) = det A det B.
DOWÓD:
Niech D = A B to jest di j = Łn ai l bl j.
l=1
WYZNACZNIKI
Utwórzmy macierz
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
cn+i n+j = bi j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
ci n+j = 0 dla i, j " {1, 2 . . . , n},
cn+i j = -i j dla i, j " {1, 2 . . . , n} j " {1, 2 . . . , p},
1 i=j,
gdzie i j =
0 i = j.

WYZNACZNIKI
Utwórzmy macierz
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
cn+i n+j = bi j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
ci n+j = 0 dla i, j " {1, 2 . . . , n},
cn+i j = -i j dla i, j " {1, 2 . . . , n} j " {1, 2 . . . , p},
1 i=j,
gdzie i j =
0 i = j.

WYZNACZNIKI
Utwórzmy macierz
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
cn+i n+j = bi j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
ci n+j = 0 dla i, j " {1, 2 . . . , n},
cn+i j = -i j dla i, j " {1, 2 . . . , n} j " {1, 2 . . . , p},
1 i=j,
gdzie i j =
0 i = j.

WYZNACZNIKI
Utwórzmy macierz
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
cn+i n+j = bi j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
ci n+j = 0 dla i, j " {1, 2 . . . , n},
cn+i j = -i j dla i, j " {1, 2 . . . , n} j " {1, 2 . . . , p},
1 i=j,
gdzie i j =
0 i = j.

WYZNACZNIKI
Utwórzmy macierz
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
cn+i n+j = bi j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
ci n+j = 0 dla i, j " {1, 2 . . . , n},
cn+i j = -i j dla i, j " {1, 2 . . . , n} j " {1, 2 . . . , p},
1 i=j,
gdzie i j =
0 i = j.

WYZNACZNIKI
Wtedy det C = det A det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnożac
I kolumne w macierzy C przez b1 1 , II kolumne przez b2 1 itd n-ta przez
bn 1 i dodajac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C(1) taka, że
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n}
cn+i n+j = bi j dla i " {1, 2 . . . , n} j " {2, 3 . . . , n},
ci n+j = 0 dla i, " {1, 2 . . . , n} j " {2, 3 . . . , n},
cn+i j = -i j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
ci n+1 = 0 dla i " {1, 2 . . . , n},
cn+i n+1 = di j dla i, " {1, 2 . . . , n},
WYZNACZNIKI
Wtedy det C = det A det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnożac
I kolumne w macierzy C przez b1 1 , II kolumne przez b2 1 itd n-ta przez
bn 1 i dodajac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C(1) taka, że
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n}
cn+i n+j = bi j dla i " {1, 2 . . . , n} j " {2, 3 . . . , n},
ci n+j = 0 dla i, " {1, 2 . . . , n} j " {2, 3 . . . , n},
cn+i j = -i j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
ci n+1 = 0 dla i " {1, 2 . . . , n},
cn+i n+1 = di j dla i, " {1, 2 . . . , n},
WYZNACZNIKI
Wtedy det C = det A det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnożac
I kolumne w macierzy C przez b1 1 , II kolumne przez b2 1 itd n-ta przez
bn 1 i dodajac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C(1) taka, że
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n}
cn+i n+j = bi j dla i " {1, 2 . . . , n} j " {2, 3 . . . , n},
ci n+j = 0 dla i, " {1, 2 . . . , n} j " {2, 3 . . . , n},
cn+i j = -i j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
ci n+1 = 0 dla i " {1, 2 . . . , n},
cn+i n+1 = di j dla i, " {1, 2 . . . , n},
WYZNACZNIKI
Wtedy det C = det A det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnożac
I kolumne w macierzy C przez b1 1 , II kolumne przez b2 1 itd n-ta przez
bn 1 i dodajac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C(1) taka, że
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n}
cn+i n+j = bi j dla i " {1, 2 . . . , n} j " {2, 3 . . . , n},
ci n+j = 0 dla i, " {1, 2 . . . , n} j " {2, 3 . . . , n},
cn+i j = -i j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
ci n+1 = 0 dla i " {1, 2 . . . , n},
cn+i n+1 = di j dla i, " {1, 2 . . . , n},
WYZNACZNIKI
Wtedy det C = det A det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnożac
I kolumne w macierzy C przez b1 1 , II kolumne przez b2 1 itd n-ta przez
bn 1 i dodajac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C(1) taka, że
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n}
cn+i n+j = bi j dla i " {1, 2 . . . , n} j " {2, 3 . . . , n},
ci n+j = 0 dla i, " {1, 2 . . . , n} j " {2, 3 . . . , n},
cn+i j = -i j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
ci n+1 = 0 dla i " {1, 2 . . . , n},
cn+i n+1 = di j dla i, " {1, 2 . . . , n},
WYZNACZNIKI
Wtedy det C = det A det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnożac
I kolumne w macierzy C przez b1 1 , II kolumne przez b2 1 itd n-ta przez
bn 1 i dodajac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C(1) taka, że
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n}
cn+i n+j = bi j dla i " {1, 2 . . . , n} j " {2, 3 . . . , n},
ci n+j = 0 dla i, " {1, 2 . . . , n} j " {2, 3 . . . , n},
cn+i j = -i j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
ci n+1 = 0 dla i " {1, 2 . . . , n},
cn+i n+1 = di j dla i, " {1, 2 . . . , n},
WYZNACZNIKI
Wtedy det C = det A det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnożac
I kolumne w macierzy C przez b1 1 , II kolumne przez b2 1 itd n-ta przez
bn 1 i dodajac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C(1) taka, że
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n}
cn+i n+j = bi j dla i " {1, 2 . . . , n} j " {2, 3 . . . , n},
ci n+j = 0 dla i, " {1, 2 . . . , n} j " {2, 3 . . . , n},
cn+i j = -i j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
ci n+1 = 0 dla i " {1, 2 . . . , n},
cn+i n+1 = di j dla i, " {1, 2 . . . , n},
WYZNACZNIKI
Mnożac I kolumne w macierzy C1 przez b1 2 , II kolumne przez b2 2 itd
n-ta przez bn 2 i dodajac do kolumny (n + 2)-drugiej otrzymujemy
macierz C(2).
Kontynuujac otrzymamy macierz C(n), taka że
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
cn+i n+j = 0 dla i, j " {1, 2 . . . , n},
ci n+j = di j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
cn+i j = -i j dla i, j " {1, 2 . . . , n}, j " {1, 2 . . . , p},
WYZNACZNIKI
Mnożac I kolumne w macierzy C1 przez b1 2 , II kolumne przez b2 2 itd
n-ta przez bn 2 i dodajac do kolumny (n + 2)-drugiej otrzymujemy
macierz C(2).
Kontynuujac otrzymamy macierz C(n), taka że
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
cn+i n+j = 0 dla i, j " {1, 2 . . . , n},
ci n+j = di j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
cn+i j = -i j dla i, j " {1, 2 . . . , n}, j " {1, 2 . . . , p},
WYZNACZNIKI
Mnożac I kolumne w macierzy C1 przez b1 2 , II kolumne przez b2 2 itd
n-ta przez bn 2 i dodajac do kolumny (n + 2)-drugiej otrzymujemy
macierz C(2).
Kontynuujac otrzymamy macierz C(n), taka że
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
cn+i n+j = 0 dla i, j " {1, 2 . . . , n},
ci n+j = di j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
cn+i j = -i j dla i, j " {1, 2 . . . , n}, j " {1, 2 . . . , p},
WYZNACZNIKI
Mnożac I kolumne w macierzy C1 przez b1 2 , II kolumne przez b2 2 itd
n-ta przez bn 2 i dodajac do kolumny (n + 2)-drugiej otrzymujemy
macierz C(2).
Kontynuujac otrzymamy macierz C(n), taka że
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
cn+i n+j = 0 dla i, j " {1, 2 . . . , n},
ci n+j = di j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
cn+i j = -i j dla i, j " {1, 2 . . . , n}, j " {1, 2 . . . , p},
WYZNACZNIKI
Mnożac I kolumne w macierzy C1 przez b1 2 , II kolumne przez b2 2 itd
n-ta przez bn 2 i dodajac do kolumny (n + 2)-drugiej otrzymujemy
macierz C(2).
Kontynuujac otrzymamy macierz C(n), taka że
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
cn+i n+j = 0 dla i, j " {1, 2 . . . , n},
ci n+j = di j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
cn+i j = -i j dla i, j " {1, 2 . . . , n}, j " {1, 2 . . . , p},
WYZNACZNIKI
Zmieniajac porzadek kolumn otrzymujemy
ł ł
d11 d12 . . . d1n a11 a12 . . . a1n
łd21 d22 . . . d2n a21 a22 . . . a2nł
ł ł
ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ł
ł ł
łdn1 dn2 . . . dnn an1 an2 . . . annł
ł ł
C(n) = .
ł ł
0 0 . . . 0 -1 0 . . . 0
ł ł
ł ł
0 0 . . . 0 0 -1 . . . 0
ł ł
ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . łł
0 0 . . . 0 0 0 . . . -1
Stad det C = (-1)ndet C(n) = (-1)2ndet D = det D, a to oznacza, że
|A B| = |A||B|.
WYZNACZNIKI
Zmieniajac porzadek kolumn otrzymujemy
ł ł
d11 d12 . . . d1n a11 a12 . . . a1n
łd21 d22 . . . d2n a21 a22 . . . a2nł
ł ł
ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ł
ł ł
łdn1 dn2 . . . dnn an1 an2 . . . annł
ł ł
C(n) = .
ł ł
0 0 . . . 0 -1 0 . . . 0
ł ł
ł ł
0 0 . . . 0 0 -1 . . . 0
ł ł
ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . łł
0 0 . . . 0 0 0 . . . -1
Stad det C = (-1)ndet C(n) = (-1)2ndet D = det D, a to oznacza, że
|A B| = |A||B|.
WYZNACZNIKI
Zmieniajac porzadek kolumn otrzymujemy
ł ł
d11 d12 . . . d1n a11 a12 . . . a1n
łd21 d22 . . . d2n a21 a22 . . . a2nł
ł ł
ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ł
ł ł
łdn1 dn2 . . . dnn an1 an2 . . . annł
ł ł
C(n) = .
ł ł
0 0 . . . 0 -1 0 . . . 0
ł ł
ł ł
0 0 . . . 0 0 -1 . . . 0
ł ł
ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . łł
0 0 . . . 0 0 0 . . . -1
Stad det C = (-1)ndet C(n) = (-1)2ndet D = det D, a to oznacza, że
|A B| = |A||B|.
WYZNACZNIKI
DEFINICJA 245
Macierza odwrotna do macierzy kwadratowej A nazywamy macierz
kwadratowa A-1 taka, że AA-1 = A-1A = I, gdzie I jest macierza
jednostkowa.
TWIERDZENIE 246
Jeżeli macierz kwadratowa A ma macierz odwrotna to det A = 0.

TWIERDZENIE 247
Niech A bedzie macierza kwadratowa stopnia n i det A = 0 wtedy
łniech łT
A11 . . . A1n
1
ł łł
istnieje macierz odwrotna A-1 oraz A-1 = . . . . . . . . . .
|A|
An1 . . . Ann
WYZNACZNIKI
DEFINICJA 245
Macierza odwrotna do macierzy kwadratowej A nazywamy macierz
kwadratowa A-1 taka, że AA-1 = A-1A = I, gdzie I jest macierza
jednostkowa.
TWIERDZENIE 246
Jeżeli macierz kwadratowa A ma macierz odwrotna to det A = 0.

TWIERDZENIE 247
Niech A bedzie macierza kwadratowa stopnia n i det A = 0 wtedy
łniech łT
A11 . . . A1n
1
ł łł
istnieje macierz odwrotna A-1 oraz A-1 = . . . . . . . . . .
|A|
An1 . . . Ann
WYZNACZNIKI
DEFINICJA 245
Macierza odwrotna do macierzy kwadratowej A nazywamy macierz
kwadratowa A-1 taka, że AA-1 = A-1A = I, gdzie I jest macierza
jednostkowa.
TWIERDZENIE 246
Jeżeli macierz kwadratowa A ma macierz odwrotna to det A = 0.

TWIERDZENIE 247
Niech A bedzie macierza kwadratowa stopnia n i det A = 0 wtedy
łniech łT
A11 . . . A1n
1
ł łł
istnieje macierz odwrotna A-1 oraz A-1 = . . . . . . . . . .
|A|
An1 . . . Ann
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
Niech C = {ci j}i, j"{1,2...,n} bedzie iloczynem AA-1 wtedy
n
ci j = ai lAj l = i j |A|.
l=1
DEFINICJA 248
Rzedem macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} nazywamy
maksymalny stopień jej niezerowego minora.
TWIERDZENIE 249
Rzad macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} nie zmieni sie jeżeli
a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacje liniowa pozostałych kolumn
( to samo dla wierszy ),
b) usuniemy kolumne złożona z samych zer ( to samo dla wierszy ),
c) usuniemy wszystkie z wyjatkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to
samo dla wierszy ),
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
Niech C = {ci j}i, j"{1,2...,n} bedzie iloczynem AA-1 wtedy
n
ci j = ai lAj l = i j |A|.
l=1
DEFINICJA 248
Rzedem macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} nazywamy
maksymalny stopień jej niezerowego minora.
TWIERDZENIE 249
Rzad macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} nie zmieni sie jeżeli
a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacje liniowa pozostałych kolumn
( to samo dla wierszy ),
b) usuniemy kolumne złożona z samych zer ( to samo dla wierszy ),
c) usuniemy wszystkie z wyjatkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to
samo dla wierszy ),
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
Niech C = {ci j}i, j"{1,2...,n} bedzie iloczynem AA-1 wtedy
n
ci j = ai lAj l = i j |A|.
l=1
DEFINICJA 248
Rzedem macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} nazywamy
maksymalny stopień jej niezerowego minora.
TWIERDZENIE 249
Rzad macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} nie zmieni sie jeżeli
a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacje liniowa pozostałych kolumn
( to samo dla wierszy ),
b) usuniemy kolumne złożona z samych zer ( to samo dla wierszy ),
c) usuniemy wszystkie z wyjatkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to
samo dla wierszy ),
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
Niech C = {ci j}i, j"{1,2...,n} bedzie iloczynem AA-1 wtedy
n
ci j = ai lAj l = i j |A|.
l=1
DEFINICJA 248
Rzedem macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} nazywamy
maksymalny stopień jej niezerowego minora.
TWIERDZENIE 249
Rzad macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} nie zmieni sie jeżeli
a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacje liniowa pozostałych kolumn
( to samo dla wierszy ),
b) usuniemy kolumne złożona z samych zer ( to samo dla wierszy ),
c) usuniemy wszystkie z wyjatkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to
samo dla wierszy ),
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
Niech C = {ci j}i, j"{1,2...,n} bedzie iloczynem AA-1 wtedy
n
ci j = ai lAj l = i j |A|.
l=1
DEFINICJA 248
Rzedem macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} nazywamy
maksymalny stopień jej niezerowego minora.
TWIERDZENIE 249
Rzad macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} nie zmieni sie jeżeli
a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacje liniowa pozostałych kolumn
( to samo dla wierszy ),
b) usuniemy kolumne złożona z samych zer ( to samo dla wierszy ),
c) usuniemy wszystkie z wyjatkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to
samo dla wierszy ),
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
Niech C = {ci j}i, j"{1,2...,n} bedzie iloczynem AA-1 wtedy
n
ci j = ai lAj l = i j |A|.
l=1
DEFINICJA 248
Rzedem macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} nazywamy
maksymalny stopień jej niezerowego minora.
TWIERDZENIE 249
Rzad macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} nie zmieni sie jeżeli
a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacje liniowa pozostałych kolumn
( to samo dla wierszy ),
b) usuniemy kolumne złożona z samych zer ( to samo dla wierszy ),
c) usuniemy wszystkie z wyjatkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to
samo dla wierszy ),
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
Niech C = {ci j}i, j"{1,2...,n} bedzie iloczynem AA-1 wtedy
n
ci j = ai lAj l = i j |A|.
l=1
DEFINICJA 248
Rzedem macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} nazywamy
maksymalny stopień jej niezerowego minora.
TWIERDZENIE 249
Rzad macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} nie zmieni sie jeżeli
a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacje liniowa pozostałych kolumn
( to samo dla wierszy ),
b) usuniemy kolumne złożona z samych zer ( to samo dla wierszy ),
c) usuniemy wszystkie z wyjatkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to
samo dla wierszy ),
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
d) zmienimy kolejność kolumn ( to samo dla wierszy ).
UWAGA 250
Odwzorowanie liniowe jest wyznaczone jednoznacznie jeżeli znane sa jego
wartości na elementach pewnej bazy.
TWIERDZENIE 251
Niech A : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym z przestrzeni
wektorowej V w przestrzeń wektorowa W. Niech ciag wektorów
(v1, v2, . . . , vn) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej V zaś
(w1, w2, . . . , wm) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej W.
Macierza odwzorowania A w bazach (v1, v2, . . . , vn), (w1, w2, . . . , wm)
m
nazywamy macierz MA = {ai j}i"Z j"Zn, gdzie Avk = ai kwi dla
m i=1
k " Zn.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
d) zmienimy kolejność kolumn ( to samo dla wierszy ).
UWAGA 250
Odwzorowanie liniowe jest wyznaczone jednoznacznie jeżeli znane sa jego
wartości na elementach pewnej bazy.
TWIERDZENIE 251
Niech A : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym z przestrzeni
wektorowej V w przestrzeń wektorowa W. Niech ciag wektorów
(v1, v2, . . . , vn) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej V zaś
(w1, w2, . . . , wm) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej W.
Macierza odwzorowania A w bazach (v1, v2, . . . , vn), (w1, w2, . . . , wm)
m
nazywamy macierz MA = {ai j}i"Z j"Zn, gdzie Avk = ai kwi dla
m i=1
k " Zn.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
d) zmienimy kolejność kolumn ( to samo dla wierszy ).
UWAGA 250
Odwzorowanie liniowe jest wyznaczone jednoznacznie jeżeli znane sa jego
wartości na elementach pewnej bazy.
TWIERDZENIE 251
Niech A : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym z przestrzeni
wektorowej V w przestrzeń wektorowa W. Niech ciag wektorów
(v1, v2, . . . , vn) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej V zaś
(w1, w2, . . . , wm) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej W.
Macierza odwzorowania A w bazach (v1, v2, . . . , vn), (w1, w2, . . . , wm)
m
nazywamy macierz MA = {ai j}i"Z j"Zn, gdzie Avk = ai kwi dla
m i=1
k " Zn.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
d) zmienimy kolejność kolumn ( to samo dla wierszy ).
UWAGA 250
Odwzorowanie liniowe jest wyznaczone jednoznacznie jeżeli znane sa jego
wartości na elementach pewnej bazy.
TWIERDZENIE 251
Niech A : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym z przestrzeni
wektorowej V w przestrzeń wektorowa W. Niech ciag wektorów
(v1, v2, . . . , vn) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej V zaś
(w1, w2, . . . , wm) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej W.
Macierza odwzorowania A w bazach (v1, v2, . . . , vn), (w1, w2, . . . , wm)
m
nazywamy macierz MA = {ai j}i"Z j"Zn, gdzie Avk = ai kwi dla
m i=1
k " Zn.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
d) zmienimy kolejność kolumn ( to samo dla wierszy ).
UWAGA 250
Odwzorowanie liniowe jest wyznaczone jednoznacznie jeżeli znane sa jego
wartości na elementach pewnej bazy.
TWIERDZENIE 251
Niech A : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym z przestrzeni
wektorowej V w przestrzeń wektorowa W. Niech ciag wektorów
(v1, v2, . . . , vn) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej V zaś
(w1, w2, . . . , wm) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej W.
Macierza odwzorowania A w bazach (v1, v2, . . . , vn), (w1, w2, . . . , wm)
m
nazywamy macierz MA = {ai j}i"Z j"Zn, gdzie Avk = ai kwi dla
m i=1
k " Zn.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
TWIERDZENIE 252
Niech A : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym
z przestrzeni wektorowej V w przestrzeń wektorowa W.
Niech ciag wektorów (v1, v2, . . . , vn) bedzie baza uporzadkowana
przestrzeni wektorowej V zaś
(w1, w2, . . . , wm) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej W.
Niech macierz odwzorowania A w bazach (v1, v2, . . . , vn),
(w1, w2, . . . , wm) ma postać MA = {ai j}i"Z j"Zm i niech
n
x = Łn ąivi.
i=1
Wtedy Ax = Łm łkwk, gdzie łk = Łn ak iąi.
k=1 i=1
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
TWIERDZENIE 252
Niech A : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym
z przestrzeni wektorowej V w przestrzeń wektorowa W.
Niech ciag wektorów (v1, v2, . . . , vn) bedzie baza uporzadkowana
przestrzeni wektorowej V zaś
(w1, w2, . . . , wm) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej W.
Niech macierz odwzorowania A w bazach (v1, v2, . . . , vn),
(w1, w2, . . . , wm) ma postać MA = {ai j}i"Z j"Zm i niech
n
x = Łn ąivi.
i=1
Wtedy Ax = Łm łkwk, gdzie łk = Łn ak iąi.
k=1 i=1
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
TWIERDZENIE 252
Niech A : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym
z przestrzeni wektorowej V w przestrzeń wektorowa W.
Niech ciag wektorów (v1, v2, . . . , vn) bedzie baza uporzadkowana
przestrzeni wektorowej V zaś
(w1, w2, . . . , wm) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej W.
Niech macierz odwzorowania A w bazach (v1, v2, . . . , vn),
(w1, w2, . . . , wm) ma postać MA = {ai j}i"Z j"Zm i niech
n
x = Łn ąivi.
i=1
Wtedy Ax = Łm łkwk, gdzie łk = Łn ak iąi.
k=1 i=1
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
TWIERDZENIE 252
Niech A : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym
z przestrzeni wektorowej V w przestrzeń wektorowa W.
Niech ciag wektorów (v1, v2, . . . , vn) bedzie baza uporzadkowana
przestrzeni wektorowej V zaś
(w1, w2, . . . , wm) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej W.
Niech macierz odwzorowania A w bazach (v1, v2, . . . , vn),
(w1, w2, . . . , wm) ma postać MA = {ai j}i"Z j"Zm i niech
n
x = Łn ąivi.
i=1
Wtedy Ax = Łm łkwk, gdzie łk = Łn ak iąi.
k=1 i=1
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
TWIERDZENIE 252
Niech A : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym
z przestrzeni wektorowej V w przestrzeń wektorowa W.
Niech ciag wektorów (v1, v2, . . . , vn) bedzie baza uporzadkowana
przestrzeni wektorowej V zaś
(w1, w2, . . . , wm) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej W.
Niech macierz odwzorowania A w bazach (v1, v2, . . . , vn),
(w1, w2, . . . , wm) ma postać MA = {ai j}i"Z j"Zm i niech
n
x = Łn ąivi.
i=1
Wtedy Ax = Łm łkwk, gdzie łk = Łn ak iąi.
k=1 i=1
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
TWIERDZENIE 253
Składaniu odwzorowań liniowych odpowiada mnożenie macierzy. Możemy
napisać MAć%B = MA MB. Mamy także MA+B = MA + MB oraz
MA =  MA.
DEFINICJA 254
Niech ciag wektorów (v1, v2, . . . , vn) oraz (v1, v2, . . . , vn) beda bazami
uporzadkowanymi przestrzeni wektorowej V.
Macierza przejścia od bazy (v1, v2, . . . , vn) do bazy (v1, v2, . . . , vn)
n
nazywamy macierz Pv v = {pi j}i"Z j"Zn, gdzie vk = pi kvi dla
n i=1
k " Zn.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
TWIERDZENIE 253
Składaniu odwzorowań liniowych odpowiada mnożenie macierzy. Możemy
napisać MAć%B = MA MB. Mamy także MA+B = MA + MB oraz
MA =  MA.
DEFINICJA 254
Niech ciag wektorów (v1, v2, . . . , vn) oraz (v1, v2, . . . , vn) beda bazami
uporzadkowanymi przestrzeni wektorowej V.
Macierza przejścia od bazy (v1, v2, . . . , vn) do bazy (v1, v2, . . . , vn)
n
nazywamy macierz Pv v = {pi j}i"Z j"Zn, gdzie vk = pi kvi dla
n i=1
k " Zn.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
TWIERDZENIE 253
Składaniu odwzorowań liniowych odpowiada mnożenie macierzy. Możemy
napisać MAć%B = MA MB. Mamy także MA+B = MA + MB oraz
MA =  MA.
DEFINICJA 254
Niech ciag wektorów (v1, v2, . . . , vn) oraz (v1, v2, . . . , vn) beda bazami
uporzadkowanymi przestrzeni wektorowej V.
Macierza przejścia od bazy (v1, v2, . . . , vn) do bazy (v1, v2, . . . , vn)
n
nazywamy macierz Pv v = {pi j}i"Z j"Zn, gdzie vk = pi kvi dla
n i=1
k " Zn.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
UWAGA 255
Możemy powiedzieć, że macierz przejścia od bazy (v1, v2, . . . , vn) do bazy
(v1, v2, . . . , vn) jest macierza odzorowania identycznościowego przestrzeni
V z baza (v1, v2, . . . , vn) w przestrzeń V z baza (v1, v2, . . . , vn).
Macierz przejścia od bazy (v1, v2, . . . , vn) do bazy (v1, v2, . . . , vn) jest
macierza odwrotna do macierzy przejścia od bazy(v1, v2, . . . , vn) do bazy
(v1, v2, . . . , vn).
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
UWAGA 255
Możemy powiedzieć, że macierz przejścia od bazy (v1, v2, . . . , vn) do bazy
(v1, v2, . . . , vn) jest macierza odzorowania identycznościowego przestrzeni
V z baza (v1, v2, . . . , vn) w przestrzeń V z baza (v1, v2, . . . , vn).
Macierz przejścia od bazy (v1, v2, . . . , vn) do bazy (v1, v2, . . . , vn) jest
macierza odwrotna do macierzy przejścia od bazy(v1, v2, . . . , vn) do bazy
(v1, v2, . . . , vn).
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
TWIERDZENIE 256
Jeżeli v = (v1, v2, . . . , vn), v = (v1, v2, . . . , vn) sa bazami przestrzeni V,
n n
oraz x = ąivi = ąivi to
i=1 i=1
ąk = Łn pk iąi, gdzie {pi j}i, j"{1,2...,n} jest macierza przejścia od bazy
i=1
v do bazy v .
TWIERDZENIE 257
Niech v = (v1, v2, . . . , vn), v = (v1, v2, . . . , vn) sa bazami przestrzeni V,
a w = (w1, w2, . . . , wm), w = (w1, w2, . . . , wm) sa bazami przestrzeni
W
Niech odwzorowanie liniowe A : V - W w bazach v, w, ma macierz
MA w v to macierz MA w v = Pw wMA w vPv v jest macierza
odwzorowania A w bazach v , w .
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
TWIERDZENIE 256
Jeżeli v = (v1, v2, . . . , vn), v = (v1, v2, . . . , vn) sa bazami przestrzeni V,
n n
oraz x = ąivi = ąivi to
i=1 i=1
ąk = Łn pk iąi, gdzie {pi j}i, j"{1,2...,n} jest macierza przejścia od bazy
i=1
v do bazy v .
TWIERDZENIE 257
Niech v = (v1, v2, . . . , vn), v = (v1, v2, . . . , vn) sa bazami przestrzeni V,
a w = (w1, w2, . . . , wm), w = (w1, w2, . . . , wm) sa bazami przestrzeni
W
Niech odwzorowanie liniowe A : V - W w bazach v, w, ma macierz
MA w v to macierz MA w v = Pw wMA w vPv v jest macierza
odwzorowania A w bazach v , w .
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
TWIERDZENIE 256
Jeżeli v = (v1, v2, . . . , vn), v = (v1, v2, . . . , vn) sa bazami przestrzeni V,
n n
oraz x = ąivi = ąivi to
i=1 i=1
ąk = Łn pk iąi, gdzie {pi j}i, j"{1,2...,n} jest macierza przejścia od bazy
i=1
v do bazy v .
TWIERDZENIE 257
Niech v = (v1, v2, . . . , vn), v = (v1, v2, . . . , vn) sa bazami przestrzeni V,
a w = (w1, w2, . . . , wm), w = (w1, w2, . . . , wm) sa bazami przestrzeni
W
Niech odwzorowanie liniowe A : V - W w bazach v, w, ma macierz
MA w v to macierz MA w v = Pw wMA w vPv v jest macierza
odwzorowania A w bazach v , w .
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
TWIERDZENIE 256
Jeżeli v = (v1, v2, . . . , vn), v = (v1, v2, . . . , vn) sa bazami przestrzeni V,
n n
oraz x = ąivi = ąivi to
i=1 i=1
ąk = Łn pk iąi, gdzie {pi j}i, j"{1,2...,n} jest macierza przejścia od bazy
i=1
v do bazy v .
TWIERDZENIE 257
Niech v = (v1, v2, . . . , vn), v = (v1, v2, . . . , vn) sa bazami przestrzeni V,
a w = (w1, w2, . . . , wm), w = (w1, w2, . . . , wm) sa bazami przestrzeni
W
Niech odwzorowanie liniowe A : V - W w bazach v, w, ma macierz
MA w v to macierz MA w v = Pw wMA w vPv v jest macierza
odwzorowania A w bazach v , w .
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
TWIERDZENIE 258
Jeżeli v = (v1, v2, . . . , vn), v = (v1, v2, . . . , vn) sa bazami przes-trzeni V,
a w = (w1, w2, . . . , wm), w = (w1, w2, . . . , wm) sa bazami przestrzeni
W i jeśli odwzorowanie liniowe A : V - W w bazach v, w, ma macierz
MA w v
to macierz MA w v = Q-1MA w vP, gdzie P jest macierza przejścia od
bazy v do v , a Q jest macierza przejścia od bazy w do w jest macierza
odwzorowania A w bazach v , w .
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
TWIERDZENIE 258
Jeżeli v = (v1, v2, . . . , vn), v = (v1, v2, . . . , vn) sa bazami przes-trzeni V,
a w = (w1, w2, . . . , wm), w = (w1, w2, . . . , wm) sa bazami przestrzeni
W i jeśli odwzorowanie liniowe A : V - W w bazach v, w, ma macierz
MA w v
to macierz MA w v = Q-1MA w vP, gdzie P jest macierza przejścia od
bazy v do v , a Q jest macierza przejścia od bazy w do w jest macierza
odwzorowania A w bazach v , w .
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
DEFINICJA 259
Niech f : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym. Jadrem
odwzorowania liniowego f nazywamy podprzestrzeń przestrzeni V,
złożona z elementów, które odwzorowanie f przekształca w 0 p.w. W.
DEFINICJA 260
Niech f : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym. Obrazem
odwzorowania liniowego f nazywamy podprzestrzeń przestrzeni W,
złożona z elementów bedacych wartościami odwzorowania f.
TWIERDZENIE 261
Niech f : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym wtedy
dimker f + dimim f = dim V.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
DEFINICJA 259
Niech f : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym. Jadrem
odwzorowania liniowego f nazywamy podprzestrzeń przestrzeni V,
złożona z elementów, które odwzorowanie f przekształca w 0 p.w. W.
DEFINICJA 260
Niech f : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym. Obrazem
odwzorowania liniowego f nazywamy podprzestrzeń przestrzeni W,
złożona z elementów bedacych wartościami odwzorowania f.
TWIERDZENIE 261
Niech f : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym wtedy
dimker f + dimim f = dim V.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
DEFINICJA 259
Niech f : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym. Jadrem
odwzorowania liniowego f nazywamy podprzestrzeń przestrzeni V,
złożona z elementów, które odwzorowanie f przekształca w 0 p.w. W.
DEFINICJA 260
Niech f : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym. Obrazem
odwzorowania liniowego f nazywamy podprzestrzeń przestrzeni W,
złożona z elementów bedacych wartościami odwzorowania f.
TWIERDZENIE 261
Niech f : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym wtedy
dimker f + dimim f = dim V.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
DOWÓD:
Niech v1, v2, . . . , vr stanowia baze ker f. Możemy ja uzpełnić do bazy
p.w. V. Niech v1, v2, . . . , vn bedzie ta baza. Pokażemy, że wektory
f(vr+1), f(vr+2), . . . , f(vn) stanowia baze im f.
Jeżeli 1f(vr+1) + 2f(vr+2) + + n-rf(vn) = 0 to
f(1vr+1 + 2vr+2 + + n-rvn) = 0 czyli
1vr+1 + 2vr+2 + + n-rvn " kerf jeżeli nie wszystkie i sa równe
0 otrzymujemy sprzeczność z liniowa niezależnościa wektorów
v1, v2, . . . , vn.
Niech y " im f wtedy y = f(1v1 + 2v2 + + nvn) =
f(r+1vr+1 + r+2vr+2 + + nvn) = f(r+1vr+1) + f(r+2vr+2) +
+ f(nvn) = r+1f(vr+1) + r+2f(vr+2) + + nf(vn).
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
DOWÓD:
Niech v1, v2, . . . , vr stanowia baze ker f. Możemy ja uzpełnić do bazy
p.w. V. Niech v1, v2, . . . , vn bedzie ta baza. Pokażemy, że wektory
f(vr+1), f(vr+2), . . . , f(vn) stanowia baze im f.
Jeżeli 1f(vr+1) + 2f(vr+2) + + n-rf(vn) = 0 to
f(1vr+1 + 2vr+2 + + n-rvn) = 0 czyli
1vr+1 + 2vr+2 + + n-rvn " kerf jeżeli nie wszystkie i sa równe
0 otrzymujemy sprzeczność z liniowa niezależnościa wektorów
v1, v2, . . . , vn.
Niech y " im f wtedy y = f(1v1 + 2v2 + + nvn) =
f(r+1vr+1 + r+2vr+2 + + nvn) = f(r+1vr+1) + f(r+2vr+2) +
+ f(nvn) = r+1f(vr+1) + r+2f(vr+2) + + nf(vn).
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
DOWÓD:
Niech v1, v2, . . . , vr stanowia baze ker f. Możemy ja uzpełnić do bazy
p.w. V. Niech v1, v2, . . . , vn bedzie ta baza. Pokażemy, że wektory
f(vr+1), f(vr+2), . . . , f(vn) stanowia baze im f.
Jeżeli 1f(vr+1) + 2f(vr+2) + + n-rf(vn) = 0 to
f(1vr+1 + 2vr+2 + + n-rvn) = 0 czyli
1vr+1 + 2vr+2 + + n-rvn " kerf jeżeli nie wszystkie i sa równe
0 otrzymujemy sprzeczność z liniowa niezależnościa wektorów
v1, v2, . . . , vn.
Niech y " im f wtedy y = f(1v1 + 2v2 + + nvn) =
f(r+1vr+1 + r+2vr+2 + + nvn) = f(r+1vr+1) + f(r+2vr+2) +
+ f(nvn) = r+1f(vr+1) + r+2f(vr+2) + + nf(vn).
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
DEFINICJA 262
Niech f : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym. Odwzorowanie f
jest
a) monomorfizmem wtw, gdy ker f = {0},
b) epimorfizmem wtw, gdy im f = W,
c) izomorfizmem wtw, gdy ker f = {0} i im f = W.
TWIERDZENIE 263
n
Niech v1, v2, . . . , vn bedzie baza p.w. V, a wi = aj ivj, dla i " Zr
j=1
wtedy w1, w2, . . . , wr sa liniowo niezależne wtw, gdy rzad macierzy
{aj i}i "Zr, j"Zn jest równy r.
DOWÓD:
Jeżeli rz = r to zmieniajac kolejność wektorów bazy możemy założyć,
łA ł
a11 . . . a1r
ł.
że det . . . . . . . .łł = 0.

ar1 . . . arr
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
DEFINICJA 262
Niech f : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym. Odwzorowanie f
jest
a) monomorfizmem wtw, gdy ker f = {0},
b) epimorfizmem wtw, gdy im f = W,
c) izomorfizmem wtw, gdy ker f = {0} i im f = W.
TWIERDZENIE 263
n
Niech v1, v2, . . . , vn bedzie baza p.w. V, a wi = aj ivj, dla i " Zr
j=1
wtedy w1, w2, . . . , wr sa liniowo niezależne wtw, gdy rzad macierzy
{aj i}i "Zr, j"Zn jest równy r.
DOWÓD:
Jeżeli rz = r to zmieniajac kolejność wektorów bazy możemy założyć,
łA ł
a11 . . . a1r
ł.
że det . . . . . . . .łł = 0.

ar1 . . . arr
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
DEFINICJA 262
Niech f : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym. Odwzorowanie f
jest
a) monomorfizmem wtw, gdy ker f = {0},
b) epimorfizmem wtw, gdy im f = W,
c) izomorfizmem wtw, gdy ker f = {0} i im f = W.
TWIERDZENIE 263
n
Niech v1, v2, . . . , vn bedzie baza p.w. V, a wi = aj ivj, dla i " Zr
j=1
wtedy w1, w2, . . . , wr sa liniowo niezależne wtw, gdy rzad macierzy
{aj i}i "Zr, j"Zn jest równy r.
DOWÓD:
Jeżeli rz = r to zmieniajac kolejność wektorów bazy możemy założyć,
łA ł
a11 . . . a1r
ł.
że det . . . . . . . .łł = 0.

ar1 . . . arr
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
Równość 1w1 + 2w2 + 3w3 + + rwr = 0 oznacza równość
Łr Łn ai jjvi = 0.
j=1 i=1
Stad, że v1, v2, . . , jest baza mamy
ł ł.łvn ł ł ł
a11 . . . a1r 1 0
ł. . . . . . . . .łł ł. . .łł = ł. . .łł .
ar1 . . . arr r 0
ł ł
a11 . . . a1r
ł.
Macierz . . . . . . . .łł ma odwrotna, a zatem
ar1 . . . arr
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
Równość 1w1 + 2w2 + 3w3 + + rwr = 0 oznacza równość
Łr Łn ai jjvi = 0.
j=1 i=1
Stad, że v1, v2, . . , jest baza mamy
ł ł.łvn ł ł ł
a11 . . . a1r 1 0
ł. . . . . . . . .łł ł. . .łł = ł. . .łł .
ar1 . . . arr r 0
ł ł
a11 . . . a1r
ł.
Macierz . . . . . . . .łł ma odwrotna, a zatem
ar1 . . . arr
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
Równość 1w1 + 2w2 + 3w3 + + rwr = 0 oznacza równość
Łr Łn ai jjvi = 0.
j=1 i=1
Stad, że v1, v2, . . , jest baza mamy
ł ł.łvn ł ł ł
a11 . . . a1r 1 0
ł. . . . . . . . .łł ł. . .łł = ł. . .łł .
ar1 . . . arr r 0
ł ł
a11 . . . a1r
ł.
Macierz . . . . . . . .łł ma odwrotna, a zatem
ar1 . . . arr
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
ł ł ł ł-1 ł ł ł ł
1 a11 . . . a1r 0 0
ł. . .łł = ł. . . . . . . . .łł ł. . .łł = ł. . .łł .
r ar1 . . . arr 0 0
Czyli wektory w1, w2, . . . , wr sa liniowo niezależne.
ł ł
a11 . . . a1r
ł. łł
Załóżmy teraz, że rz . . . . . . . . = p < r.
an1 . . . anr
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
ł ł ł ł-1 ł ł ł ł
1 a11 . . . a1r 0 0
ł. . .łł = ł. . . . . . . . .łł ł. . .łł = ł. . .łł .
r ar1 . . . arr 0 0
Czyli wektory w1, w2, . . . , wr sa liniowo niezależne.
ł ł
a11 . . . a1r
ł. łł
Załóżmy teraz, że rz . . . . . . . . = p < r.
an1 . . . anr
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
ł ł ł ł-1 ł ł ł ł
1 a11 . . . a1r 0 0
ł. . .łł = ł. . . . . . . . .łł ł. . .łł = ł. . .łł .
r ar1 . . . arr 0 0
Czyli wektory w1, w2, . . . , wr sa liniowo niezależne.
ł ł
a11 . . . a1r
ł. łł
Załóżmy teraz, że rz . . . . . . . . = p < r.
an1 . . . anr
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
Zmieniajac kolejność wektorów bazy i wektorów w1, w2, , wr możemy
ł ł
a11 . . . a1p
ł. łł
założyć, że det . . . . . . . . = 0.

ap1 . . . app
Pokażemy, że wektory w1, w2, . . . , wp, wp+k dla k " Zr-p sa liniowo
zależne. w tym celu pokażemy, że kombinacja liniowa
1w1 + 2w2 + 3w3 + +  wp + wp+k, gdzie
ł ł ł ł-1p
ł ł
1 a11 . . . a1p -a1 p+1
ł. . .łł = ł. . . . . . . . .łł ł łł
. . . zeruje sie, mimo
r ap1 . . . app -ap p+1
niezerowego współczynnika przy wp+k.
Rzeczywiście dla dowolnego l " Zn-p mamy
ł ł
a11 . . . a1p a1 p+k
ł ł
. . . . . . . . . . . .
ł ł
0 = det =
ł
ap1 . . . app ap p+k łł
ap+l1 . . . ap+l p ap+l p+k
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
Zmieniajac kolejność wektorów bazy i wektorów w1, w2, , wr możemy
ł ł
a11 . . . a1p
ł. łł
założyć, że det . . . . . . . . = 0.

ap1 . . . app
Pokażemy, że wektory w1, w2, . . . , wp, wp+k dla k " Zr-p sa liniowo
zależne. w tym celu pokażemy, że kombinacja liniowa
1w1 + 2w2 + 3w3 + +  wp + wp+k, gdzie
ł ł ł ł-1p
ł ł
1 a11 . . . a1p -a1 p+1
ł. . .łł = ł. . . . . . . . .łł ł łł
. . . zeruje sie, mimo
r ap1 . . . app -ap p+1
niezerowego współczynnika przy wp+k.
Rzeczywiście dla dowolnego l " Zn-p mamy
ł ł
a11 . . . a1p a1 p+k
ł ł
. . . . . . . . . . . .
ł ł
0 = det =
ł
ap1 . . . app ap p+k łł
ap+l1 . . . ap+l p ap+l p+k
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
Zmieniajac kolejność wektorów bazy i wektorów w1, w2, , wr możemy
ł ł
a11 . . . a1p
ł. łł
założyć, że det . . . . . . . . = 0.

ap1 . . . app
Pokażemy, że wektory w1, w2, . . . , wp, wp+k dla k " Zr-p sa liniowo
zależne. w tym celu pokażemy, że kombinacja liniowa
1w1 + 2w2 + 3w3 + +  wp + wp+k, gdzie
ł ł ł ł-1p
ł ł
1 a11 . . . a1p -a1 p+1
ł. . .łł = ł. . . . . . . . .łł ł łł
. . . zeruje sie, mimo
r ap1 . . . app -ap p+1
niezerowego współczynnika przy wp+k.
Rzeczywiście dla dowolnego l " Zn-p mamy
ł ł
a11 . . . a1p a1 p+k
ł ł
. . . . . . . . . . . .
ł ł
0 = det =
ł
ap1 . . . app ap p+k łł
ap+l1 . . . ap+l p ap+l p+k
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
ł ł
a11 . . . a1p 0
ł ł
. . . . . . . . . . . .
ł ł
det =
ł łł
ap1 . . . app a0
ap+l1 . . . ap+l p Łp jap+lj + ap+l p+k
j=1
ł ł
a11 . . . a1p
ł. łł
det . . . . . . . . Łp jap+l j + ap+l p+k .
j=1
ap1 . . . app a0
Zatem Łp jap+l j + ap+l p+k co oznacza, że dla l " Zn-p p + l-ta
j=1
współrzedna kombinacji 1w1 + 2w2 + 3w3 + + pwp + wp+k jest
równa 0.
Z wyboru j dla j " Zp jasne jest, że dla l " Zp l-ta współrzedna
kombinacji 1w1 + 2w2 + 3w3 + + pwp + wp+k jest równa 0.
Stad wektory w1, w2, . . . , wr sa liniowo zależne.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
ł ł
a11 . . . a1p 0
ł ł
. . . . . . . . . . . .
ł ł
det =
ł łł
ap1 . . . app a0
ap+l1 . . . ap+l p Łp jap+lj + ap+l p+k
j=1
ł ł
a11 . . . a1p
ł. łł
det . . . . . . . . Łp jap+l j + ap+l p+k .
j=1
ap1 . . . app a0
Zatem Łp jap+l j + ap+l p+k co oznacza, że dla l " Zn-p p + l-ta
j=1
współrzedna kombinacji 1w1 + 2w2 + 3w3 + + pwp + wp+k jest
równa 0.
Z wyboru j dla j " Zp jasne jest, że dla l " Zp l-ta współrzedna
kombinacji 1w1 + 2w2 + 3w3 + + pwp + wp+k jest równa 0.
Stad wektory w1, w2, . . . , wr sa liniowo zależne.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
ł ł
a11 . . . a1p 0
ł ł
. . . . . . . . . . . .
ł ł
det =
ł łł
ap1 . . . app a0
ap+l1 . . . ap+l p Łp jap+lj + ap+l p+k
j=1
ł ł
a11 . . . a1p
ł. łł
det . . . . . . . . Łp jap+l j + ap+l p+k .
j=1
ap1 . . . app a0
Zatem Łp jap+l j + ap+l p+k co oznacza, że dla l " Zn-p p + l-ta
j=1
współrzedna kombinacji 1w1 + 2w2 + 3w3 + + pwp + wp+k jest
równa 0.
Z wyboru j dla j " Zp jasne jest, że dla l " Zp l-ta współrzedna
kombinacji 1w1 + 2w2 + 3w3 + + pwp + wp+k jest równa 0.
Stad wektory w1, w2, . . . , wr sa liniowo zależne.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
ł ł
a11 . . . a1p 0
ł ł
. . . . . . . . . . . .
ł ł
det =
ł łł
ap1 . . . app a0
ap+l1 . . . ap+l p Łp jap+lj + ap+l p+k
j=1
ł ł
a11 . . . a1p
ł. łł
det . . . . . . . . Łp jap+l j + ap+l p+k .
j=1
ap1 . . . app a0
Zatem Łp jap+l j + ap+l p+k co oznacza, że dla l " Zn-p p + l-ta
j=1
współrzedna kombinacji 1w1 + 2w2 + 3w3 + + pwp + wp+k jest
równa 0.
Z wyboru j dla j " Zp jasne jest, że dla l " Zp l-ta współrzedna
kombinacji 1w1 + 2w2 + 3w3 + + pwp + wp+k jest równa 0.
Stad wektory w1, w2, . . . , wr sa liniowo zależne.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
UWAGA 264
Rzad macierzy odwzorowania liniowego jest równy wymiarowi obrazu tego
odwzorowania zatem nie zależy od wyboru baz.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
UWAGA 264
Rzad macierzy odwzorowania liniowego jest równy wymiarowi obrazu tego
odwzorowania zatem nie zależy od wyboru baz.
UKAADY RÓWNAC
DEFINICJA 265
Macierza układu równań liniowych ( układu równań pierwszego stopnia )
ńł
ł
ła1 1x1 + a1 2x2 + + a1 nxn = b1
ł
ła x1 + a2 x2 + + a2 xn = b2
2 1 2 n
( )
ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ł
ł
ół
am 1x1 + am 2x2 + + am nxn = bm
nazywamy macierz
A = {ai j}i"{1,2...,m} j"{1,2...,n},
a macierza uzupełniona tego układu nazywamy macierz
ł ł
a11 a12 . . . a1n b1
ł łł
( ) . . . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn bm
UKAADY RÓWNAC
DEFINICJA 265
Macierza układu równań liniowych ( układu równań pierwszego stopnia )
ńł
ł
ła1 1x1 + a1 2x2 + + a1 nxn = b1
ł
ła x1 + a2 x2 + + a2 xn = b2
2 1 2 n
( )
ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ł
ł
ół
am 1x1 + am 2x2 + + am nxn = bm
nazywamy macierz
A = {ai j}i"{1,2...,m} j"{1,2...,n},
a macierza uzupełniona tego układu nazywamy macierz
ł ł
a11 a12 . . . a1n b1
ł łł
( ) . . . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn bm
UKAADY RÓWNAC
DEFINICJA 265
Macierza układu równań liniowych ( układu równań pierwszego stopnia )
ńł
ł
ła1 1x1 + a1 2x2 + + a1 nxn = b1
ł
ła x1 + a2 x2 + + a2 xn = b2
2 1 2 n
( )
ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ł
ł
ół
am 1x1 + am 2x2 + + am nxn = bm
nazywamy macierz
A = {ai j}i"{1,2...,m} j"{1,2...,n},
a macierza uzupełniona tego układu nazywamy macierz
ł ł
a11 a12 . . . a1n b1
ł łł
( ) . . . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn bm
UKAADY RÓWNAC
DEFINICJA 265
Macierza układu równań liniowych ( układu równań pierwszego stopnia )
ńł
ł
ła1 1x1 + a1 2x2 + + a1 nxn = b1
ł
ła x1 + a2 x2 + + a2 xn = b2
2 1 2 n
( )
ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ł
ł
ół
am 1x1 + am 2x2 + + am nxn = bm
nazywamy macierz
A = {ai j}i"{1,2...,m} j"{1,2...,n},
a macierza uzupełniona tego układu nazywamy macierz
ł ł
a11 a12 . . . a1n b1
ł łł
( ) . . . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn bm
UKAADY RÓWNAC
DEFINICJA 266
Dwa układy równań nazywamy równoważnymi wtw gdy mają te same
zbory rozwiązań.
TWIERDZENIE 267
Układ równań ( ) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy
tego układu jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej.
DOWÓD:
Układ ( ) równoważny równaniu macierzowemu
ł łjest ł ł ł ł ł ł
a11 a12 a1n b1
ł ł ł ł ł ł ł ł
a21 a22 a2n b2
ł ł
x1 ł ł + x2 ł ł + + xn ł ł =
ł łł ł łł ł łł ł. . .łł
. . . . . . . . .
am1 am2 amn bm
UKAADY RÓWNAC
DEFINICJA 266
Dwa układy równań nazywamy równoważnymi wtw gdy mają te same
zbory rozwiązań.
TWIERDZENIE 267
Układ równań ( ) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy
tego układu jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej.
DOWÓD:
Układ ( ) równoważny równaniu macierzowemu
ł łjest ł ł ł ł ł ł
a11 a12 a1n b1
ł ł ł ł ł ł ł ł
a21 a22 a2n b2
ł ł
x1 ł ł + x2 ł ł + + xn ł ł =
ł łł ł łł ł łł ł. . .łł
. . . . . . . . .
am1 am2 amn bm
UKAADY RÓWNAC
DEFINICJA 266
Dwa układy równań nazywamy równoważnymi wtw gdy mają te same
zbory rozwiązań.
TWIERDZENIE 267
Układ równań ( ) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy
tego układu jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej.
DOWÓD:
Układ ( ) równoważny równaniu macierzowemu
ł łjest ł ł ł ł ł ł
a11 a12 a1n b1
ł ł ł ł ł ł ł ł
a21 a22 a2n b2
ł ł
x1 ł ł + x2 ł ł + + xn ł ł =
ł łł ł łł ł łł ł. . .łł
. . . . . . . . .
am1 am2 amn bm
UKAADY RÓWNAC
powyższy układ ma rozwiazanie wtw, gdy wektor
ł ł
b1
ł ł
b2
ł ł
ł. . .łł jest kombinacja liniowa wektorów
łbm ł ł ł ł ł
a11 a12 a1n
ł ł ł ł ł ł
a21 a22 a2n
ł ł ł ł ł ł
, , . . .
ł łł ł łł ł łł
. . . . . . . . .
am1 am2 amn
czyli, gdy rzad macierzy tego układu jest równy rzedowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Bowiem rząd macierzy układu jest równy maksymalnej ilości kolumn
liniowo niezależnych tej macierzy
zaś rząd macierzy uzupełnionej układu jest równy maksymalnej ilości
kolumn liniowo niezależnych macierzy uzupełnionej.
UKAADY RÓWNAC
powyższy układ ma rozwiazanie wtw, gdy wektor
ł ł
b1
ł ł
b2
ł ł
ł. . .łł jest kombinacja liniowa wektorów
łbm ł ł ł ł ł
a11 a12 a1n
ł ł ł ł ł ł
a21 a22 a2n
ł ł ł ł ł ł
, , . . .
ł łł ł łł ł łł
. . . . . . . . .
am1 am2 amn
czyli, gdy rzad macierzy tego układu jest równy rzedowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Bowiem rząd macierzy układu jest równy maksymalnej ilości kolumn
liniowo niezależnych tej macierzy
zaś rząd macierzy uzupełnionej układu jest równy maksymalnej ilości
kolumn liniowo niezależnych macierzy uzupełnionej.
UKAADY RÓWNAC
powyższy układ ma rozwiazanie wtw, gdy wektor
ł ł
b1
ł ł
b2
ł ł
ł. . .łł jest kombinacja liniowa wektorów
łbm ł ł ł ł ł
a11 a12 a1n
ł ł ł ł ł ł
a21 a22 a2n
ł ł ł ł ł ł
, , . . .
ł łł ł łł ł łł
. . . . . . . . .
am1 am2 amn
czyli, gdy rzad macierzy tego układu jest równy rzedowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Bowiem rząd macierzy układu jest równy maksymalnej ilości kolumn
liniowo niezależnych tej macierzy
zaś rząd macierzy uzupełnionej układu jest równy maksymalnej ilości
kolumn liniowo niezależnych macierzy uzupełnionej.
UKAADY RÓWNAC
powyższy układ ma rozwiazanie wtw, gdy wektor
ł ł
b1
ł ł
b2
ł ł
ł. . .łł jest kombinacja liniowa wektorów
łbm ł ł ł ł ł
a11 a12 a1n
ł ł ł ł ł ł
a21 a22 a2n
ł ł ł ł ł ł
, , . . .
ł łł ł łł ł łł
. . . . . . . . .
am1 am2 amn
czyli, gdy rzad macierzy tego układu jest równy rzedowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Bowiem rząd macierzy układu jest równy maksymalnej ilości kolumn
liniowo niezależnych tej macierzy
zaś rząd macierzy uzupełnionej układu jest równy maksymalnej ilości
kolumn liniowo niezależnych macierzy uzupełnionej.
UKAADY RÓWNAC
powyższy układ ma rozwiazanie wtw, gdy wektor
ł ł
b1
ł ł
b2
ł ł
ł. . .łł jest kombinacja liniowa wektorów
łbm ł ł ł ł ł
a11 a12 a1n
ł ł ł ł ł ł
a21 a22 a2n
ł ł ł ł ł ł
, , . . .
ł łł ł łł ł łł
. . . . . . . . .
am1 am2 amn
czyli, gdy rzad macierzy tego układu jest równy rzedowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Bowiem rząd macierzy układu jest równy maksymalnej ilości kolumn
liniowo niezależnych tej macierzy
zaś rząd macierzy uzupełnionej układu jest równy maksymalnej ilości
kolumn liniowo niezależnych macierzy uzupełnionej.
UKAADY RÓWNAC
TWIERDZENIE 268
Niech dany bedzie układ równań liniowych
ńł
ł
ła1 1x1 + a1 2x2 + + a1 nxn = b1
ł
ła x1 + a2 x2 + + a2 xn = b2
2 1 2 n
( )
ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ł
ł
ół
an 1x1 + an 2x2 + + an nxn = bn
i niech rzad macierzy tego układu jest równy n.
Wi
Wtedy ma on dokładnie jedno rozwiazanie dane wzorami xi = ,
W
gdzie W = det{a}i j, a
ł ł
a11 . . . a1 i-1 b1 a1 i+1 . . . a1n
ł.
Wi = det . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . .łł
an1 . . . a3 i-1 an a3 i+1 . . . ann
UKAADY RÓWNAC
TWIERDZENIE 268
Niech dany bedzie układ równań liniowych
ńł
ł
ła1 1x1 + a1 2x2 + + a1 nxn = b1
ł
ła x1 + a2 x2 + + a2 xn = b2
2 1 2 n
( )
ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ł
ł
ół
an 1x1 + an 2x2 + + an nxn = bn
i niech rzad macierzy tego układu jest równy n.
Wi
Wtedy ma on dokładnie jedno rozwiazanie dane wzorami xi = ,
W
gdzie W = det{a}i j, a
ł ł
a11 . . . a1 i-1 b1 a1 i+1 . . . a1n
ł.
Wi = det . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . .łł
an1 . . . a3 i-1 an a3 i+1 . . . ann
UKAADY RÓWNAC
TWIERDZENIE 268
Niech dany bedzie układ równań liniowych
ńł
ł
ła1 1x1 + a1 2x2 + + a1 nxn = b1
ł
ła x1 + a2 x2 + + a2 xn = b2
2 1 2 n
( )
ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ł
ł
ół
an 1x1 + an 2x2 + + an nxn = bn
i niech rzad macierzy tego układu jest równy n.
Wi
Wtedy ma on dokładnie jedno rozwiazanie dane wzorami xi = ,
W
gdzie W = det{a}i j, a
ł ł
a11 . . . a1 i-1 b1 a1 i+1 . . . a1n
ł.
Wi = det . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . .łł
an1 . . . a3 i-1 an a3 i+1 . . . ann
UKAADY RÓWNAC
TWIERDZENIE 268
Niech dany bedzie układ równań liniowych
ńł
ł
ła1 1x1 + a1 2x2 + + a1 nxn = b1
ł
ła x1 + a2 x2 + + a2 xn = b2
2 1 2 n
( )
ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ł
ł
ół
an 1x1 + an 2x2 + + an nxn = bn
i niech rzad macierzy tego układu jest równy n.
Wi
Wtedy ma on dokładnie jedno rozwiazanie dane wzorami xi = ,
W
gdzie W = det{a}i j, a
ł ł
a11 . . . a1 i-1 b1 a1 i+1 . . . a1n
ł.
Wi = det . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . .łł
an1 . . . a3 i-1 an a3 i+1 . . . ann
UKAADY RÓWNAC
TWIERDZENIE 268
Niech dany bedzie układ równań liniowych
ńł
ł
ła1 1x1 + a1 2x2 + + a1 nxn = b1
ł
ła x1 + a2 x2 + + a2 xn = b2
2 1 2 n
( )
ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ł
ł
ół
an 1x1 + an 2x2 + + an nxn = bn
i niech rzad macierzy tego układu jest równy n.
Wi
Wtedy ma on dokładnie jedno rozwiazanie dane wzorami xi = ,
W
gdzie W = det{a}i j, a
ł ł
a11 . . . a1 i-1 b1 a1 i+1 . . . a1n
ł.
Wi = det . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . .łł
an1 . . . a3 i-1 an a3 i+1 . . . ann
UKAADY RÓWNAC
DOWÓD:
( ) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą
ł ł ł ł
x1 b1
ł ł ł ł
x2 b2
ł ł ł ł
układu,X = , B =
ł. . .łł ł. . .łł
xm bm
Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz
odwrotną A-1.
Mamy zatem
ł ł ł ł
b1 x1
n
ł ł ł ł
1 Wi
b2 x2
ł ł
A-1 ł ł = . Czyli xj = bl Ml j = .
ł. . .łł ł. . .łł
detA W
l=1
bm xm
Co kończy dowód.
UKAADY RÓWNAC
DOWÓD:
( ) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą
ł ł ł ł
x1 b1
ł ł ł ł
x2 b2
ł ł ł ł
układu,X = , B =
ł. . .łł ł. . .łł
xm bm
Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz
odwrotną A-1.
Mamy zatem
ł ł ł ł
b1 x1
n
ł ł ł ł
1 Wi
b2 x2
ł ł
A-1 ł ł = . Czyli xj = bl Ml j = .
ł. . .łł ł. . .łł
detA W
l=1
bm xm
Co kończy dowód.
UKAADY RÓWNAC
DOWÓD:
( ) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą
ł ł ł ł
x1 b1
ł ł ł ł
x2 b2
ł ł ł ł
układu,X = , B =
ł. . .łł ł. . .łł
xm bm
Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz
odwrotną A-1.
Mamy zatem
ł ł ł ł
b1 x1
n
ł ł ł ł
1 Wi
b2 x2
ł ł
A-1 ł ł = . Czyli xj = bl Ml j = .
ł. . .łł ł. . .łł
detA W
l=1
bm xm
Co kończy dowód.
UKAADY RÓWNAC
DOWÓD:
( ) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą
ł ł ł ł
x1 b1
ł ł ł ł
x2 b2
ł ł ł ł
układu,X = , B =
ł. . .łł ł. . .łł
xm bm
Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz
odwrotną A-1.
Mamy zatem
ł ł ł ł
b1 x1
n
ł ł ł ł
1 Wi
b2 x2
ł ł
A-1 ł ł = . Czyli xj = bl Ml j = .
ł. . .łł ł. . .łł
detA W
l=1
bm xm
Co kończy dowód.
UKAADY RÓWNAC
DOWÓD:
( ) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą
ł ł ł ł
x1 b1
ł ł ł ł
x2 b2
ł ł ł ł
układu,X = , B =
ł. . .łł ł. . .łł
xm bm
Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz
odwrotną A-1.
Mamy zatem
ł ł ł ł
b1 x1
n
ł ł ł ł
1 Wi
b2 x2
ł ł
A-1 ł ł = . Czyli xj = bl Ml j = .
ł. . .łł ł. . .łł
detA W
l=1
bm xm
Co kończy dowód.
UKAADY RÓWNAC
TWIERDZENIE 269
Niech dany bedzie układ równań liniowych
ńł
ł
ła1 1x1 + a1 2x2 + + a1 nxn = b1
ł
ła x1 + a2 x2 + + a2 xn = b2
2 1 2 n
(")
ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ł
ł
ół
am 1x1 + am 2x2 + + am nxn = bm
i niech r rzad macierzy tego układu jest równy rzedowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Niech det {ai jl}k, l"Zr = 0 wtedy układ (*) jest równoważny układowi

k
ńł
xj + ai xj + + ai jrxj = bi - ai lxl
łai1 j1 1 1 j2 2
1 r 1 l"{j1,j2,...jr} 1
/
ł
ł
ła xj + ai xj + + ai xj = bi -
ai lxl
i2 j1 1 2 j2 2 jr
2 r 2 l"{j1,j2,...jr} 2
/
ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ł
ł
ół
ai j1xj + ai j2xj + + ai jr xj = bi - ai lxl
r 1 r 2 r r r l"{j1,j2,...jr} r
/
UKAADY RÓWNAC
TWIERDZENIE 269
Niech dany bedzie układ równań liniowych
ńł
ł
ła1 1x1 + a1 2x2 + + a1 nxn = b1
ł
ła x1 + a2 x2 + + a2 xn = b2
2 1 2 n
(")
ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ł
ł
ół
am 1x1 + am 2x2 + + am nxn = bm
i niech r rzad macierzy tego układu jest równy rzedowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Niech det {ai jl}k, l"Zr = 0 wtedy układ (*) jest równoważny układowi

k
ńł
xj + ai xj + + ai jrxj = bi - ai lxl
łai1 j1 1 1 j2 2
1 r 1 l"{j1,j2,...jr} 1
/
ł
ł
ła xj + ai xj + + ai xj = bi -
ai lxl
i2 j1 1 2 j2 2 jr
2 r 2 l"{j1,j2,...jr} 2
/
ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ł
ł
ół
ai j1xj + ai j2xj + + ai jr xj = bi - ai lxl
r 1 r 2 r r r l"{j1,j2,...jr} r
/
UKAADY RÓWNAC
TWIERDZENIE 269
Niech dany bedzie układ równań liniowych
ńł
ł
ła1 1x1 + a1 2x2 + + a1 nxn = b1
ł
ła x1 + a2 x2 + + a2 xn = b2
2 1 2 n
(")
ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ł
ł
ół
am 1x1 + am 2x2 + + am nxn = bm
i niech r rzad macierzy tego układu jest równy rzedowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Niech det {ai jl}k, l"Zr = 0 wtedy układ (*) jest równoważny układowi

k
ńł
xj + ai xj + + ai jrxj = bi - ai lxl
łai1 j1 1 1 j2 2
1 r 1 l"{j1,j2,...jr} 1
/
ł
ł
ła xj + ai xj + + ai xj = bi -
ai lxl
i2 j1 1 2 j2 2 jr
2 r 2 l"{j1,j2,...jr} 2
/
ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ł
ł
ół
ai j1xj + ai j2xj + + ai jr xj = bi - ai lxl
r 1 r 2 r r r l"{j1,j2,...jr} r
/
UKAADY RÓWNAC
TWIERDZENIE 269
Niech dany bedzie układ równań liniowych
ńł
ł
ła1 1x1 + a1 2x2 + + a1 nxn = b1
ł
ła x1 + a2 x2 + + a2 xn = b2
2 1 2 n
(")
ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ł
ł
ół
am 1x1 + am 2x2 + + am nxn = bm
i niech r rzad macierzy tego układu jest równy rzedowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Niech det {ai jl}k, l"Zr = 0 wtedy układ (*) jest równoważny układowi

k
ńł
xj + ai xj + + ai jrxj = bi - ai lxl
łai1 j1 1 1 j2 2
1 r 1 l"{j1,j2,...jr} 1
/
ł
ł
ła xj + ai xj + + ai xj = bi -
ai lxl
i2 j1 1 2 j2 2 jr
2 r 2 l"{j1,j2,...jr} 2
/
ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ł
ł
ół
ai j1xj + ai j2xj + + ai jr xj = bi - ai lxl
r 1 r 2 r r r l"{j1,j2,...jr} r
/


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
2011 01 09 WIL Wyklad 17(1)
2011 01 09 WIL Wyklad 15 (1)
2011 01 09 WIL Wyklad 16
1 232011 01 09 WIL Wyklad 17
2011 02 21 WIL Wyklad 19id 523
1 292011 01 07 WIL Wyklad 14id?34
2011 02 21 WIL Wyklad 20(1)
2011 04 04 WIL Wyklad 26
2011 03 08 WIL Wyklad 24
2011 02 21 WIL Wyklad 18
2011 03 24 WIL Wyklad 25id 526
1 252010 12 09 WIL Wyklad 09id?28
2011 02 21 WIL Wyklad 19(1)
2011 02 21 WIL Wyklad 18(1)
2010 11 WIL Wyklad 01
Środowa Audiencja Generalna Radio Maryja, 2011 03 09
TI 01 09 21 T pl(1)
TI 01 09 06 T pl(2)

więcej podobnych podstron