Wykład 24
Witold Obłoza
3 kwietnia 2011
FUNKCJA UWIKA
ANA
TWIERDZENIE 356
Niech dana bedzie funkcja F : D - R, gdzie D ‚" R2 majaca ciagÅ‚e
pochodne czastkowe pierwszego rzedu.
"F
Jeżeli F (x0, y0) = 0 oraz (x0, y0) = 0 to istnieje U otoczenie punktu

"y
x0 i istnieje V otoczenie punktu y0 takie, że "a " U istnieje dokładnie
jedno b " V takie, że F (a, b) = 0.
Ponadto funkcja y : U - V określona przez równanie F (x, y(x)) = 0
ma pochodna
Fx
y = - .
Fy
FUNKCJA UWIKA
ANA
TWIERDZENIE 356
Niech dana bedzie funkcja F : D - R, gdzie D ‚" R2 majaca ciagÅ‚e
pochodne czastkowe pierwszego rzedu.
"F
Jeżeli F (x0, y0) = 0 oraz (x0, y0) = 0 to istnieje U otoczenie punktu

"y
x0 i istnieje V otoczenie punktu y0 takie, że "a " U istnieje dokładnie
jedno b " V takie, że F (a, b) = 0.
Ponadto funkcja y : U - V określona przez równanie F (x, y(x)) = 0
ma pochodna
Fx
y = - .
Fy
FUNKCJA UWIKA
ANA
TWIERDZENIE 356
Niech dana bedzie funkcja F : D - R, gdzie D ‚" R2 majaca ciagÅ‚e
pochodne czastkowe pierwszego rzedu.
"F
Jeżeli F (x0, y0) = 0 oraz (x0, y0) = 0 to istnieje U otoczenie punktu

"y
x0 i istnieje V otoczenie punktu y0 takie, że "a " U istnieje dokładnie
jedno b " V takie, że F (a, b) = 0.
Ponadto funkcja y : U - V określona przez równanie F (x, y(x)) = 0
ma pochodna
Fx
y = - .
Fy
FUNKCJA UWIKA
ANA
DOWÓD:
"F
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że dla (x0, y0) > 0.
"y
"F "F
Z ciÄ…gÅ‚oÅ›ci istnieje ´ > 0 taka, że (x, y) > 0 dla
"y "y
x " (x0 - 2´, x0 + 2´) y " (y0 - 2´, y0 + 2´).
Funkcja y - F (x0, y) jest rosnÄ…ca w (y0 - 2´, y0 + 2´).
Mamy zatem F (x0, y0 - ´) < 0 i F (x0, y0 + ´) > 0.
Z ciÄ…gÅ‚oÅ›ci F istnieje ´1 " (0, ´) taka, że dla x " (x0 - ´1, x0 + ´1)
mamy F (x, y0 - ´) < 0, F (x, y0 + ´) > 0.
Zatem "a " (x0 - ´1, x0 + ´1) funkcja y - F (a, y) jest rosnÄ…ca w
[y0 - ´, y0 + ´].
Mamy wiÄ™c "a " (x0 - ´1, x0 + ´1) istnieje dokÅ‚adnie jedno
b " (y0 - ´, y0 + ´) takie, że F (a, b) = 0.
FUNKCJA UWIKA
ANA
DOWÓD:
"F
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że dla (x0, y0) > 0.
"y
"F "F
Z ciÄ…gÅ‚oÅ›ci istnieje ´ > 0 taka, że (x, y) > 0 dla
"y "y
x " (x0 - 2´, x0 + 2´) y " (y0 - 2´, y0 + 2´).
Funkcja y - F (x0, y) jest rosnÄ…ca w (y0 - 2´, y0 + 2´).
Mamy zatem F (x0, y0 - ´) < 0 i F (x0, y0 + ´) > 0.
Z ciÄ…gÅ‚oÅ›ci F istnieje ´1 " (0, ´) taka, że dla x " (x0 - ´1, x0 + ´1)
mamy F (x, y0 - ´) < 0, F (x, y0 + ´) > 0.
Zatem "a " (x0 - ´1, x0 + ´1) funkcja y - F (a, y) jest rosnÄ…ca w
[y0 - ´, y0 + ´].
Mamy wiÄ™c "a " (x0 - ´1, x0 + ´1) istnieje dokÅ‚adnie jedno
b " (y0 - ´, y0 + ´) takie, że F (a, b) = 0.
FUNKCJA UWIKA
ANA
DOWÓD:
"F
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że dla (x0, y0) > 0.
"y
"F "F
Z ciÄ…gÅ‚oÅ›ci istnieje ´ > 0 taka, że (x, y) > 0 dla
"y "y
x " (x0 - 2´, x0 + 2´) y " (y0 - 2´, y0 + 2´).
Funkcja y - F (x0, y) jest rosnÄ…ca w (y0 - 2´, y0 + 2´).
Mamy zatem F (x0, y0 - ´) < 0 i F (x0, y0 + ´) > 0.
Z ciÄ…gÅ‚oÅ›ci F istnieje ´1 " (0, ´) taka, że dla x " (x0 - ´1, x0 + ´1)
mamy F (x, y0 - ´) < 0, F (x, y0 + ´) > 0.
Zatem "a " (x0 - ´1, x0 + ´1) funkcja y - F (a, y) jest rosnÄ…ca w
[y0 - ´, y0 + ´].
Mamy wiÄ™c "a " (x0 - ´1, x0 + ´1) istnieje dokÅ‚adnie jedno
b " (y0 - ´, y0 + ´) takie, że F (a, b) = 0.
FUNKCJA UWIKA
ANA
DOWÓD:
"F
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że dla (x0, y0) > 0.
"y
"F "F
Z ciÄ…gÅ‚oÅ›ci istnieje ´ > 0 taka, że (x, y) > 0 dla
"y "y
x " (x0 - 2´, x0 + 2´) y " (y0 - 2´, y0 + 2´).
Funkcja y - F (x0, y) jest rosnÄ…ca w (y0 - 2´, y0 + 2´).
Mamy zatem F (x0, y0 - ´) < 0 i F (x0, y0 + ´) > 0.
Z ciÄ…gÅ‚oÅ›ci F istnieje ´1 " (0, ´) taka, że dla x " (x0 - ´1, x0 + ´1)
mamy F (x, y0 - ´) < 0, F (x, y0 + ´) > 0.
Zatem "a " (x0 - ´1, x0 + ´1) funkcja y - F (a, y) jest rosnÄ…ca w
[y0 - ´, y0 + ´].
Mamy wiÄ™c "a " (x0 - ´1, x0 + ´1) istnieje dokÅ‚adnie jedno
b " (y0 - ´, y0 + ´) takie, że F (a, b) = 0.
FUNKCJA UWIKA
ANA
DOWÓD:
"F
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że dla (x0, y0) > 0.
"y
"F "F
Z ciÄ…gÅ‚oÅ›ci istnieje ´ > 0 taka, że (x, y) > 0 dla
"y "y
x " (x0 - 2´, x0 + 2´) y " (y0 - 2´, y0 + 2´).
Funkcja y - F (x0, y) jest rosnÄ…ca w (y0 - 2´, y0 + 2´).
Mamy zatem F (x0, y0 - ´) < 0 i F (x0, y0 + ´) > 0.
Z ciÄ…gÅ‚oÅ›ci F istnieje ´1 " (0, ´) taka, że dla x " (x0 - ´1, x0 + ´1)
mamy F (x, y0 - ´) < 0, F (x, y0 + ´) > 0.
Zatem "a " (x0 - ´1, x0 + ´1) funkcja y - F (a, y) jest rosnÄ…ca w
[y0 - ´, y0 + ´].
Mamy wiÄ™c "a " (x0 - ´1, x0 + ´1) istnieje dokÅ‚adnie jedno
b " (y0 - ´, y0 + ´) takie, że F (a, b) = 0.
FUNKCJA UWIKA
ANA
DOWÓD:
"F
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że dla (x0, y0) > 0.
"y
"F "F
Z ciÄ…gÅ‚oÅ›ci istnieje ´ > 0 taka, że (x, y) > 0 dla
"y "y
x " (x0 - 2´, x0 + 2´) y " (y0 - 2´, y0 + 2´).
Funkcja y - F (x0, y) jest rosnÄ…ca w (y0 - 2´, y0 + 2´).
Mamy zatem F (x0, y0 - ´) < 0 i F (x0, y0 + ´) > 0.
Z ciÄ…gÅ‚oÅ›ci F istnieje ´1 " (0, ´) taka, że dla x " (x0 - ´1, x0 + ´1)
mamy F (x, y0 - ´) < 0, F (x, y0 + ´) > 0.
Zatem "a " (x0 - ´1, x0 + ´1) funkcja y - F (a, y) jest rosnÄ…ca w
[y0 - ´, y0 + ´].
Mamy wiÄ™c "a " (x0 - ´1, x0 + ´1) istnieje dokÅ‚adnie jedno
b " (y0 - ´, y0 + ´) takie, że F (a, b) = 0.
FUNKCJA UWIKA
ANA
DOWÓD:
"F
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że dla (x0, y0) > 0.
"y
"F "F
Z ciÄ…gÅ‚oÅ›ci istnieje ´ > 0 taka, że (x, y) > 0 dla
"y "y
x " (x0 - 2´, x0 + 2´) y " (y0 - 2´, y0 + 2´).
Funkcja y - F (x0, y) jest rosnÄ…ca w (y0 - 2´, y0 + 2´).
Mamy zatem F (x0, y0 - ´) < 0 i F (x0, y0 + ´) > 0.
Z ciÄ…gÅ‚oÅ›ci F istnieje ´1 " (0, ´) taka, że dla x " (x0 - ´1, x0 + ´1)
mamy F (x, y0 - ´) < 0, F (x, y0 + ´) > 0.
Zatem "a " (x0 - ´1, x0 + ´1) funkcja y - F (a, y) jest rosnÄ…ca w
[y0 - ´, y0 + ´].
Mamy wiÄ™c "a " (x0 - ´1, x0 + ´1) istnieje dokÅ‚adnie jedno
b " (y0 - ´, y0 + ´) takie, że F (a, b) = 0.
FUNKCJA UWIKA
ANA
Dla wybranego ´ > 0 możemy wybrać ´1 > 0 takie, że dla
"x " (x0 - ´1, x0 + ´1) mamy |y(x) - y0| < ´ czyli y jest ciÄ…gÅ‚a w x0.
0 = F (x0 + h, y(x0 + h)) - F (x0, y0) =
F (x0 + h, y(x0 + h)) - F (x0, y(x0 + h)) + F (x0, y(x0 + h)) - F (x0, y0) =
= Fx(x0 + ¸h, y(x0 + h))h+
+Fy(x0, b + ·(y(x0 + h) - y(x0)))(y(x0 + h) - y(x0)).
Mamy stÄ…d
y(x0 + h) - y(x0) Fx(x0 + ¸h, y(x0 + h))
= - .
h Fy(x0, b + ·(y(x0 + h) - y(x0)))
Z ciągłości Fx, Fy, oraz y mamy istnienie granicy prawej strony więc
Fx(x0, y0)
y (x0) = .
Fy(x0, y0)
FUNKCJA UWIKA
ANA
Dla wybranego ´ > 0 możemy wybrać ´1 > 0 takie, że dla
"x " (x0 - ´1, x0 + ´1) mamy |y(x) - y0| < ´ czyli y jest ciÄ…gÅ‚a w x0.
0 = F (x0 + h, y(x0 + h)) - F (x0, y0) =
F (x0 + h, y(x0 + h)) - F (x0, y(x0 + h)) + F (x0, y(x0 + h)) - F (x0, y0) =
= Fx(x0 + ¸h, y(x0 + h))h+
+Fy(x0, b + ·(y(x0 + h) - y(x0)))(y(x0 + h) - y(x0)).
Mamy stÄ…d
y(x0 + h) - y(x0) Fx(x0 + ¸h, y(x0 + h))
= - .
h Fy(x0, b + ·(y(x0 + h) - y(x0)))
Z ciągłości Fx, Fy, oraz y mamy istnienie granicy prawej strony więc
Fx(x0, y0)
y (x0) = .
Fy(x0, y0)
FUNKCJA UWIKA
ANA
Dla wybranego ´ > 0 możemy wybrać ´1 > 0 takie, że dla
"x " (x0 - ´1, x0 + ´1) mamy |y(x) - y0| < ´ czyli y jest ciÄ…gÅ‚a w x0.
0 = F (x0 + h, y(x0 + h)) - F (x0, y0) =
F (x0 + h, y(x0 + h)) - F (x0, y(x0 + h)) + F (x0, y(x0 + h)) - F (x0, y0) =
= Fx(x0 + ¸h, y(x0 + h))h+
+Fy(x0, b + ·(y(x0 + h) - y(x0)))(y(x0 + h) - y(x0)).
Mamy stÄ…d
y(x0 + h) - y(x0) Fx(x0 + ¸h, y(x0 + h))
= - .
h Fy(x0, b + ·(y(x0 + h) - y(x0)))
Z ciągłości Fx, Fy, oraz y mamy istnienie granicy prawej strony więc
Fx(x0, y0)
y (x0) = .
Fy(x0, y0)
FUNKCJA UWIKA
ANA
Dla wybranego ´ > 0 możemy wybrać ´1 > 0 takie, że dla
"x " (x0 - ´1, x0 + ´1) mamy |y(x) - y0| < ´ czyli y jest ciÄ…gÅ‚a w x0.
0 = F (x0 + h, y(x0 + h)) - F (x0, y0) =
F (x0 + h, y(x0 + h)) - F (x0, y(x0 + h)) + F (x0, y(x0 + h)) - F (x0, y0) =
= Fx(x0 + ¸h, y(x0 + h))h+
+Fy(x0, b + ·(y(x0 + h) - y(x0)))(y(x0 + h) - y(x0)).
Mamy stÄ…d
y(x0 + h) - y(x0) Fx(x0 + ¸h, y(x0 + h))
= - .
h Fy(x0, b + ·(y(x0 + h) - y(x0)))
Z ciągłości Fx, Fy, oraz y mamy istnienie granicy prawej strony więc
Fx(x0, y0)
y (x0) = .
Fy(x0, y0)
FUNKCJA UWIKA
ANA
Dla wybranego ´ > 0 możemy wybrać ´1 > 0 takie, że dla
"x " (x0 - ´1, x0 + ´1) mamy |y(x) - y0| < ´ czyli y jest ciÄ…gÅ‚a w x0.
0 = F (x0 + h, y(x0 + h)) - F (x0, y0) =
F (x0 + h, y(x0 + h)) - F (x0, y(x0 + h)) + F (x0, y(x0 + h)) - F (x0, y0) =
= Fx(x0 + ¸h, y(x0 + h))h+
+Fy(x0, b + ·(y(x0 + h) - y(x0)))(y(x0 + h) - y(x0)).
Mamy stÄ…d
y(x0 + h) - y(x0) Fx(x0 + ¸h, y(x0 + h))
= - .
h Fy(x0, b + ·(y(x0 + h) - y(x0)))
Z ciągłości Fx, Fy, oraz y mamy istnienie granicy prawej strony więc
Fx(x0, y0)
y (x0) = .
Fy(x0, y0)
FUNKCJA UWIKA
ANA
TWIERDZENIE 357
Niech dana bedzie funkcja F : D - R, gdzie D ‚" R2 majaca ciagÅ‚e
pochodne czastkowe drugiego rzedu.
"F
Jeżeli F (x0, y0) = 0 oraz (x0, y0) = 0 to istnieje U otoczenie punktu

"y
x0 i istnieje V otoczenie punktu y0 takie, że "a " U istnieje dokładnie
jedno b " V takie, że F (a, b) = 0.
Ponadto funkcja y : U - V określona przez równanie F (x, y(x)) = 0
ma druga pochodna
Fxx(Fy)2 - 2FxyFxFy + Fyy(Fx)2
y = - .
(Fx)3
FUNKCJA UWIKA
ANA
TWIERDZENIE 357
Niech dana bedzie funkcja F : D - R, gdzie D ‚" R2 majaca ciagÅ‚e
pochodne czastkowe drugiego rzedu.
"F
Jeżeli F (x0, y0) = 0 oraz (x0, y0) = 0 to istnieje U otoczenie punktu

"y
x0 i istnieje V otoczenie punktu y0 takie, że "a " U istnieje dokładnie
jedno b " V takie, że F (a, b) = 0.
Ponadto funkcja y : U - V określona przez równanie F (x, y(x)) = 0
ma druga pochodna
Fxx(Fy)2 - 2FxyFxFy + Fyy(Fx)2
y = - .
(Fx)3
FUNKCJA UWIKA
ANA
TWIERDZENIE 357
Niech dana bedzie funkcja F : D - R, gdzie D ‚" R2 majaca ciagÅ‚e
pochodne czastkowe drugiego rzedu.
"F
Jeżeli F (x0, y0) = 0 oraz (x0, y0) = 0 to istnieje U otoczenie punktu

"y
x0 i istnieje V otoczenie punktu y0 takie, że "a " U istnieje dokładnie
jedno b " V takie, że F (a, b) = 0.
Ponadto funkcja y : U - V określona przez równanie F (x, y(x)) = 0
ma druga pochodna
Fxx(Fy)2 - 2FxyFxFy + Fyy(Fx)2
y = - .
(Fx)3
CAA
KA OZNACZONA
DEFINICJA 358
Podziałem przedziału zamknietego [a, b] nazywamy dowolny ciag
" = {xi}n taki, że
i=0
xi < xj jeśli i < j
x0 = a, xn = b.
DEFINICJA 359
Średnica podziału " = {xi}n przedziału zamknietego [a, b] nazywamy
i=0
´(") = max{|xi - xi-1| : i " {1, 2, 3, . . . , n}}.
DEFINICJA 360
Ciag {"n}" podziałów przedziału zamknietego [a, b] nazywamy
n=1
normalnym ciagiem podziałów jeżeli ´n Å›rednica podziaÅ‚u "n zmierza do
zera, gdy n zmierza do nieskończoności.
CAA
KA OZNACZONA
DEFINICJA 358
Podziałem przedziału zamknietego [a, b] nazywamy dowolny ciag
" = {xi}n taki, że
i=0
xi < xj jeśli i < j
x0 = a, xn = b.
DEFINICJA 359
Średnica podziału " = {xi}n przedziału zamknietego [a, b] nazywamy
i=0
´(") = max{|xi - xi-1| : i " {1, 2, 3, . . . , n}}.
DEFINICJA 360
Ciag {"n}" podziałów przedziału zamknietego [a, b] nazywamy
n=1
normalnym ciagiem podziałów jeżeli ´n Å›rednica podziaÅ‚u "n zmierza do
zera, gdy n zmierza do nieskończoności.
CAA
KA OZNACZONA
DEFINICJA 358
Podziałem przedziału zamknietego [a, b] nazywamy dowolny ciag
" = {xi}n taki, że
i=0
xi < xj jeśli i < j
x0 = a, xn = b.
DEFINICJA 359
Średnica podziału " = {xi}n przedziału zamknietego [a, b] nazywamy
i=0
´(") = max{|xi - xi-1| : i " {1, 2, 3, . . . , n}}.
DEFINICJA 360
Ciag {"n}" podziałów przedziału zamknietego [a, b] nazywamy
n=1
normalnym ciagiem podziałów jeżeli ´n Å›rednica podziaÅ‚u "n zmierza do
zera, gdy n zmierza do nieskończoności.
CAA
KA OZNACZONA
DEFINICJA 361
Niech funkcja f bedzie określona na przedziale zamknietym [a, b] i niech
" = {xi}n bedzie podziałem przedziału zamknietego [a, b] zaś
i=0
¾ = {¾i}n bedzie ciagiem punktów poÅ›rednich tj. ¾i " [xi-1, xi].
i=1
n
Wyrażenie S(f, ", ¾) = f(¾i)(xi - xi-1) nazywamy suma
i=1
aproksymacyjna całki Riemanna funkcji f przy podziale " i punktach
poÅ›rednich ¾.
DEFINICJA 362
Niech funkcja f bedzie określona i ograniczona na przedziale zamknietym
[a, b], niech {"n}" bedzie normalnym ciagiem podziałów przedziału
n=1
(n)
n
zamknietego [a, b] i niech ¾(n) = {¾j }p bedzie ciagiem punktów
j=1
pośrednich dla "n.
Niech ponadto Sn bedzie suma aproksymacyjna całki funkcji f przy
podziale "n i punktach poÅ›rednich ¾(n).
CAA
KA OZNACZONA
DEFINICJA 361
Niech funkcja f bedzie określona na przedziale zamknietym [a, b] i niech
" = {xi}n bedzie podziałem przedziału zamknietego [a, b] zaś
i=0
¾ = {¾i}n bedzie ciagiem punktów poÅ›rednich tj. ¾i " [xi-1, xi].
i=1
n
Wyrażenie S(f, ", ¾) = f(¾i)(xi - xi-1) nazywamy suma
i=1
aproksymacyjna całki Riemanna funkcji f przy podziale " i punktach
poÅ›rednich ¾.
DEFINICJA 362
Niech funkcja f bedzie określona i ograniczona na przedziale zamknietym
[a, b], niech {"n}" bedzie normalnym ciagiem podziałów przedziału
n=1
(n)
n
zamknietego [a, b] i niech ¾(n) = {¾j }p bedzie ciagiem punktów
j=1
pośrednich dla "n.
Niech ponadto Sn bedzie suma aproksymacyjna całki funkcji f przy
podziale "n i punktach poÅ›rednich ¾(n).
CAA
KA OZNACZONA
DEFINICJA 361
Niech funkcja f bedzie określona na przedziale zamknietym [a, b] i niech
" = {xi}n bedzie podziałem przedziału zamknietego [a, b] zaś
i=0
¾ = {¾i}n bedzie ciagiem punktów poÅ›rednich tj. ¾i " [xi-1, xi].
i=1
n
Wyrażenie S(f, ", ¾) = f(¾i)(xi - xi-1) nazywamy suma
i=1
aproksymacyjna całki Riemanna funkcji f przy podziale " i punktach
poÅ›rednich ¾.
DEFINICJA 362
Niech funkcja f bedzie określona i ograniczona na przedziale zamknietym
[a, b], niech {"n}" bedzie normalnym ciagiem podziałów przedziału
n=1
(n)
n
zamknietego [a, b] i niech ¾(n) = {¾j }p bedzie ciagiem punktów
j=1
pośrednich dla "n.
Niech ponadto Sn bedzie suma aproksymacyjna całki funkcji f przy
podziale "n i punktach poÅ›rednich ¾(n).
CAA
KA OZNACZONA
DEFINICJA 361
Niech funkcja f bedzie określona na przedziale zamknietym [a, b] i niech
" = {xi}n bedzie podziałem przedziału zamknietego [a, b] zaś
i=0
¾ = {¾i}n bedzie ciagiem punktów poÅ›rednich tj. ¾i " [xi-1, xi].
i=1
n
Wyrażenie S(f, ", ¾) = f(¾i)(xi - xi-1) nazywamy suma
i=1
aproksymacyjna całki Riemanna funkcji f przy podziale " i punktach
poÅ›rednich ¾.
DEFINICJA 362
Niech funkcja f bedzie określona i ograniczona na przedziale zamknietym
[a, b], niech {"n}" bedzie normalnym ciagiem podziałów przedziału
n=1
(n)
n
zamknietego [a, b] i niech ¾(n) = {¾j }p bedzie ciagiem punktów
j=1
pośrednich dla "n.
Niech ponadto Sn bedzie suma aproksymacyjna całki funkcji f przy
podziale "n i punktach poÅ›rednich ¾(n).
CAA
KA OZNACZONA
Jeżeli istnieje granica lim Sn niezależna od wyboru normalnego ciagu
n"
podziałów i ciagu punktów pośrednich to granice te nazywamy całka
b
Riemanna funkcji f na przedziale [a, b] i oznaczamy f(x) dx.
a
DEFINICJA 363
FunkcjÄ™ f : Rn ƒ" D - R nazywamy jednostajnie ciÄ…gÅ‚Ä… w D wtedy i
tylko wtedy, gdy "µ > 0 "´ > 0 takie, że nierówność x1 - x2 < ´
implikuje nierówność |f(x1) - f(x2)| < µ.
TWIERDZENIE 364
Jeżeli G jest zbiorem zwartym i f : Rn ƒ" G - R jest ciÄ…gÅ‚a to f jest
jednostajnie ciągła na G.
UWAGA 365
Funkcja ciągła na przedziale domkniętym jest jednostajnie ciągła.
CAA
KA OZNACZONA
Jeżeli istnieje granica lim Sn niezależna od wyboru normalnego ciagu
n"
podziałów i ciagu punktów pośrednich to granice te nazywamy całka
b
Riemanna funkcji f na przedziale [a, b] i oznaczamy f(x) dx.
a
DEFINICJA 363
FunkcjÄ™ f : Rn ƒ" D - R nazywamy jednostajnie ciÄ…gÅ‚Ä… w D wtedy i
tylko wtedy, gdy "µ > 0 "´ > 0 takie, że nierówność x1 - x2 < ´
implikuje nierówność |f(x1) - f(x2)| < µ.
TWIERDZENIE 364
Jeżeli G jest zbiorem zwartym i f : Rn ƒ" G - R jest ciÄ…gÅ‚a to f jest
jednostajnie ciągła na G.
UWAGA 365
Funkcja ciągła na przedziale domkniętym jest jednostajnie ciągła.
CAA
KA OZNACZONA
Jeżeli istnieje granica lim Sn niezależna od wyboru normalnego ciagu
n"
podziałów i ciagu punktów pośrednich to granice te nazywamy całka
b
Riemanna funkcji f na przedziale [a, b] i oznaczamy f(x) dx.
a
DEFINICJA 363
FunkcjÄ™ f : Rn ƒ" D - R nazywamy jednostajnie ciÄ…gÅ‚Ä… w D wtedy i
tylko wtedy, gdy "µ > 0 "´ > 0 takie, że nierówność x1 - x2 < ´
implikuje nierówność |f(x1) - f(x2)| < µ.
TWIERDZENIE 364
Jeżeli G jest zbiorem zwartym i f : Rn ƒ" G - R jest ciÄ…gÅ‚a to f jest
jednostajnie ciągła na G.
UWAGA 365
Funkcja ciągła na przedziale domkniętym jest jednostajnie ciągła.
CAA
KA OZNACZONA
DEFINICJA 366
Niech funkcja f bedzie określona i ograniczona na przedziale zamknietym
[a, b], niech {"n}" bedzie normalnym ciagiem podziałów przedziału
n=1
n
zamknietego [a, b], gdzie "n = {x(n)}p i niech
j j=0
(n)
Mi = sup{f(x) : x " [x(n) , x(n)]} mi = inf{f(x) : x " [x(n) , x(n)]}
i-1 i i-1 i
pn
(n)
Niech ponadto Sn = Mj (x(n) - x(n) ),
j j-1
j=1
pn
Sn = m(n)(x(n) - x(n) ).
j j j-1
j=1
Całką górną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim Sn, zaś całką
n"
dolnÄ… funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim Sn.
n"
UWAGA 367
Dla funkcji ograniczonej określonej na przedziale ograniczonym istnieją
całka górna i dolna. Ponadto są one skończone.
CAA
KA OZNACZONA
DEFINICJA 366
Niech funkcja f bedzie określona i ograniczona na przedziale zamknietym
[a, b], niech {"n}" bedzie normalnym ciagiem podziałów przedziału
n=1
n
zamknietego [a, b], gdzie "n = {x(n)}p i niech
j j=0
(n)
Mi = sup{f(x) : x " [x(n) , x(n)]} mi = inf{f(x) : x " [x(n) , x(n)]}
i-1 i i-1 i
pn
(n)
Niech ponadto Sn = Mj (x(n) - x(n) ),
j j-1
j=1
pn
Sn = m(n)(x(n) - x(n) ).
j j j-1
j=1
Całką górną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim Sn, zaś całką
n"
dolnÄ… funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim Sn.
n"
UWAGA 367
Dla funkcji ograniczonej określonej na przedziale ograniczonym istnieją
całka górna i dolna. Ponadto są one skończone.
CAA
KA OZNACZONA
DEFINICJA 366
Niech funkcja f bedzie określona i ograniczona na przedziale zamknietym
[a, b], niech {"n}" bedzie normalnym ciagiem podziałów przedziału
n=1
n
zamknietego [a, b], gdzie "n = {x(n)}p i niech
j j=0
(n)
Mi = sup{f(x) : x " [x(n) , x(n)]} mi = inf{f(x) : x " [x(n) , x(n)]}
i-1 i i-1 i
pn
(n)
Niech ponadto Sn = Mj (x(n) - x(n) ),
j j-1
j=1
pn
Sn = m(n)(x(n) - x(n) ).
j j j-1
j=1
Całką górną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim Sn, zaś całką
n"
dolnÄ… funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim Sn.
n"
UWAGA 367
Dla funkcji ograniczonej określonej na przedziale ograniczonym istnieją
całka górna i dolna. Ponadto są one skończone.
CAA
KA OZNACZONA
DEFINICJA 366
Niech funkcja f bedzie określona i ograniczona na przedziale zamknietym
[a, b], niech {"n}" bedzie normalnym ciagiem podziałów przedziału
n=1
n
zamknietego [a, b], gdzie "n = {x(n)}p i niech
j j=0
(n)
Mi = sup{f(x) : x " [x(n) , x(n)]} mi = inf{f(x) : x " [x(n) , x(n)]}
i-1 i i-1 i
pn
(n)
Niech ponadto Sn = Mj (x(n) - x(n) ),
j j-1
j=1
pn
Sn = m(n)(x(n) - x(n) ).
j j j-1
j=1
Całką górną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim Sn, zaś całką
n"
dolnÄ… funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim Sn.
n"
UWAGA 367
Dla funkcji ograniczonej określonej na przedziale ograniczonym istnieją
całka górna i dolna. Ponadto są one skończone.