Wykład 20
Witold Obłoza
24 lutego 2011
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 279
- -
-
Iloczynem skalarnym wektorów AB oraz AC nazywamy
liczbe zero jeśli jeden z wektorów jest wektorem zerowym
- -
-
liczbe |AB| · |AC|cos Ä…, gdzie Ä… jest katem miÄ™dzy AB oraz AC.
DEFINICJA 280
- -
-
Iloczynem wektorowym wektorów AB oraz AC nazywamy
wektor zerowy jeśli A, B, C sa współlinowe
-
-
w przeciwnym wypadku wektor AD o dÅ‚ugoÅ›ci |AB| · |AC|sin Ä…, gdzie Ä…
- - - -
- -
jest katem miedzy AB oraz AC prostopadły do AB i do AC taki, że
- - -
- -
wektory AB, AC, AD tworzą trójkę dodatnio zorientowaną.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 279
- -
-
Iloczynem skalarnym wektorów AB oraz AC nazywamy
liczbe zero jeśli jeden z wektorów jest wektorem zerowym
- -
-
liczbe |AB| · |AC|cos Ä…, gdzie Ä… jest katem miÄ™dzy AB oraz AC.
DEFINICJA 280
- -
-
Iloczynem wektorowym wektorów AB oraz AC nazywamy
wektor zerowy jeśli A, B, C sa współlinowe
-
-
w przeciwnym wypadku wektor AD o dÅ‚ugoÅ›ci |AB| · |AC|sin Ä…, gdzie Ä…
- - - -
- -
jest katem miedzy AB oraz AC prostopadły do AB i do AC taki, że
- - -
- -
wektory AB, AC, AD tworzą trójkę dodatnio zorientowaną.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 279
- -
-
Iloczynem skalarnym wektorów AB oraz AC nazywamy
liczbe zero jeśli jeden z wektorów jest wektorem zerowym
- -
-
liczbe |AB| · |AC|cos Ä…, gdzie Ä… jest katem miÄ™dzy AB oraz AC.
DEFINICJA 280
- -
-
Iloczynem wektorowym wektorów AB oraz AC nazywamy
wektor zerowy jeśli A, B, C sa współlinowe
-
-
w przeciwnym wypadku wektor AD o dÅ‚ugoÅ›ci |AB| · |AC|sin Ä…, gdzie Ä…
- - - -
- -
jest katem miedzy AB oraz AC prostopadły do AB i do AC taki, że
- - -
- -
wektory AB, AC, AD tworzą trójkę dodatnio zorientowaną.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 279
- -
-
Iloczynem skalarnym wektorów AB oraz AC nazywamy
liczbe zero jeśli jeden z wektorów jest wektorem zerowym
- -
-
liczbe |AB| · |AC|cos Ä…, gdzie Ä… jest katem miÄ™dzy AB oraz AC.
DEFINICJA 280
- -
-
Iloczynem wektorowym wektorów AB oraz AC nazywamy
wektor zerowy jeśli A, B, C sa współlinowe
-
-
w przeciwnym wypadku wektor AD o dÅ‚ugoÅ›ci |AB| · |AC|sin Ä…, gdzie Ä…
- - - -
- -
jest katem miedzy AB oraz AC prostopadły do AB i do AC taki, że
- - -
- -
wektory AB, AC, AD tworzą trójkę dodatnio zorientowaną.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 281
Wersorem nazywamy wektor o długości 1.
DEFINICJA 282
Osia liczbowa nazywamy prosta z wyróżnionym punktem poczatkowym O
-
oraz wersorem OA wyznaczajacym zwrot osi.
DEFINICJA 283
Uporzadkowana trójke wzajemnie prostopadłych osi o wspólnym
poczatku nazywamy kartezjańskim układem współrzednych.
Jeżeli trzeci wersor jest równy iloczynowi wektorowemu pierwszego i
drugiego to układ nazywamy zorientowanym dodatnio.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 281
Wersorem nazywamy wektor o długości 1.
DEFINICJA 282
Osia liczbowa nazywamy prosta z wyróżnionym punktem poczatkowym O
-
oraz wersorem OA wyznaczajacym zwrot osi.
DEFINICJA 283
Uporzadkowana trójke wzajemnie prostopadłych osi o wspólnym
poczatku nazywamy kartezjańskim układem współrzednych.
Jeżeli trzeci wersor jest równy iloczynowi wektorowemu pierwszego i
drugiego to układ nazywamy zorientowanym dodatnio.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 281
Wersorem nazywamy wektor o długości 1.
DEFINICJA 282
Osia liczbowa nazywamy prosta z wyróżnionym punktem poczatkowym O
-
oraz wersorem OA wyznaczajacym zwrot osi.
DEFINICJA 283
Uporzadkowana trójke wzajemnie prostopadłych osi o wspólnym
poczatku nazywamy kartezjańskim układem współrzednych.
Jeżeli trzeci wersor jest równy iloczynowi wektorowemu pierwszego i
drugiego to układ nazywamy zorientowanym dodatnio.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 281
Wersorem nazywamy wektor o długości 1.
DEFINICJA 282
Osia liczbowa nazywamy prosta z wyróżnionym punktem poczatkowym O
-
oraz wersorem OA wyznaczajacym zwrot osi.
DEFINICJA 283
Uporzadkowana trójke wzajemnie prostopadłych osi o wspólnym
poczatku nazywamy kartezjańskim układem współrzednych.
Jeżeli trzeci wersor jest równy iloczynowi wektorowemu pierwszego i
drugiego to układ nazywamy zorientowanym dodatnio.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 284
-

Współrzedna punktu A wzgledem osi o poczatku O i wersorze v
-
-

nazywamy iloczyn skalarny wektora OA i v wersora osi.
DEFINICJA 285
-
-
Współrzednymi wektora AB, gdzie A(xa, ya, za), B(xb, yb, zb)
nazywamy trójke liczb [xb - xa, yb - ya, zb - za].
UWAGA 286
Współrzedne sumy wektorów sa równe sumie współrzednych wektorów
składowych.
Współrzedne iloczynu wektora przez liczbe sa równe iloczynowi
współrzednych tego wektora przez te liczbe.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 284
-

Współrzedna punktu A wzgledem osi o poczatku O i wersorze v
-
-

nazywamy iloczyn skalarny wektora OA i v wersora osi.
DEFINICJA 285
-
-
Współrzednymi wektora AB, gdzie A(xa, ya, za), B(xb, yb, zb)
nazywamy trójke liczb [xb - xa, yb - ya, zb - za].
UWAGA 286
Współrzedne sumy wektorów sa równe sumie współrzednych wektorów
składowych.
Współrzedne iloczynu wektora przez liczbe sa równe iloczynowi
współrzednych tego wektora przez te liczbe.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 284
-

Współrzedna punktu A wzgledem osi o poczatku O i wersorze v
-
-

nazywamy iloczyn skalarny wektora OA i v wersora osi.
DEFINICJA 285
-
-
Współrzednymi wektora AB, gdzie A(xa, ya, za), B(xb, yb, zb)
nazywamy trójke liczb [xb - xa, yb - ya, zb - za].
UWAGA 286
Współrzedne sumy wektorów sa równe sumie współrzednych wektorów
składowych.
Współrzedne iloczynu wektora przez liczbe sa równe iloczynowi
współrzednych tego wektora przez te liczbe.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 284
-

Współrzedna punktu A wzgledem osi o poczatku O i wersorze v
-
-

nazywamy iloczyn skalarny wektora OA i v wersora osi.
DEFINICJA 285
-
-
Współrzednymi wektora AB, gdzie A(xa, ya, za), B(xb, yb, zb)
nazywamy trójke liczb [xb - xa, yb - ya, zb - za].
UWAGA 286
Współrzedne sumy wektorów sa równe sumie współrzednych wektorów
składowych.
Współrzedne iloczynu wektora przez liczbe sa równe iloczynowi
współrzednych tego wektora przez te liczbe.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 287
Wektorem swobodnym mazywamy zbiór wektorów złożony z wektorów
zaczepionych których wszystkie trzy współrzedne sa równe.
-
-
Wektor AB należacy do wektora swobodnego v nazywamy
Å»
-
.
reprezentantem wektora v
- -
- -
Suma wektorów swobodnych v oraz k
o reprezentantach AB, BC
Å»
-
nazywamy wektor swobodny do którego należy wektor AC.
-
-
Iloczynem wektora swobodnego v o reprezentancie AB przez liczbe 
Å»
-
-
nazywamy wektor swobodny do którego należy wektor  · AB.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 287
Wektorem swobodnym mazywamy zbiór wektorów złożony z wektorów
zaczepionych których wszystkie trzy współrzedne sa równe.
-
-
Wektor AB należacy do wektora swobodnego v nazywamy
Å»
-
.
reprezentantem wektora v
- -
- -
Suma wektorów swobodnych v oraz k
o reprezentantach AB, BC
Å»
-
nazywamy wektor swobodny do którego należy wektor AC.
-
-
Iloczynem wektora swobodnego v o reprezentancie AB przez liczbe 
Å»
-
-
nazywamy wektor swobodny do którego należy wektor  · AB.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 287
Wektorem swobodnym mazywamy zbiór wektorów złożony z wektorów
zaczepionych których wszystkie trzy współrzedne sa równe.
-
-
Wektor AB należacy do wektora swobodnego v nazywamy
Å»
-
.
reprezentantem wektora v
- -
- -
Suma wektorów swobodnych v oraz k
o reprezentantach AB, BC
Å»
-
nazywamy wektor swobodny do którego należy wektor AC.
-
-
Iloczynem wektora swobodnego v o reprezentancie AB przez liczbe 
Å»
-
-
nazywamy wektor swobodny do którego należy wektor  · AB.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 287
Wektorem swobodnym mazywamy zbiór wektorów złożony z wektorów
zaczepionych których wszystkie trzy współrzedne sa równe.
-
-
Wektor AB należacy do wektora swobodnego v nazywamy
Å»
-
.
reprezentantem wektora v
- -
- -
Suma wektorów swobodnych v oraz k
o reprezentantach AB, BC
Å»
-
nazywamy wektor swobodny do którego należy wektor AC.
-
-
Iloczynem wektora swobodnego v o reprezentancie AB przez liczbe 
Å»
-
-
nazywamy wektor swobodny do którego należy wektor  · AB.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 287
Wektorem swobodnym mazywamy zbiór wektorów złożony z wektorów
zaczepionych których wszystkie trzy współrzedne sa równe.
-
-
Wektor AB należacy do wektora swobodnego v nazywamy
Å»
-
.
reprezentantem wektora v
- -
- -
Suma wektorów swobodnych v oraz k
o reprezentantach AB, BC
Å»
-
nazywamy wektor swobodny do którego należy wektor AC.
-
-
Iloczynem wektora swobodnego v o reprezentancie AB przez liczbe 
Å»
-
-
nazywamy wektor swobodny do którego należy wektor  · AB.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
TWIERDZENIE 288
Dla dowolnych wektorów v[vx, vy, vz], k
[ux, uy, uz] wartość iloczynu
Å»
skalarnego wyraża sie wzorem v ć% k
= vxux + vyuy + vzuz.
Å»
TWIERDZENIE 289
Dla dowolnych wektorów v[vx, vy, vz], k
[ux, uy, uz] wektor swobodny o
Å»
współrzednych [vyuz - vzuy, uxvz - vxuz, vxuy - vyux] w dodatnio
zorientowanym układzie współrzednych jest iloczynem wektorowym k
× v.
Å»
DEFINICJA 290
- - -
, ,
Iloczynem mieszanym trójki wektorów u v w nazywamy liczbe
- , ] - ).
- - - -
[, v w = u ć% ( × w
u v
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
TWIERDZENIE 288
Dla dowolnych wektorów v[vx, vy, vz], k
[ux, uy, uz] wartość iloczynu
Å»
skalarnego wyraża sie wzorem v ć% k
= vxux + vyuy + vzuz.
Å»
TWIERDZENIE 289
Dla dowolnych wektorów v[vx, vy, vz], k
[ux, uy, uz] wektor swobodny o
Å»
współrzednych [vyuz - vzuy, uxvz - vxuz, vxuy - vyux] w dodatnio
zorientowanym układzie współrzednych jest iloczynem wektorowym k
× v.
Å»
DEFINICJA 290
- - -
, ,
Iloczynem mieszanym trójki wektorów u v w nazywamy liczbe
- , ] - ).
- - - -
[, v w = u ć% ( × w
u v
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
TWIERDZENIE 288
Dla dowolnych wektorów v[vx, vy, vz], k
[ux, uy, uz] wartość iloczynu
Å»
skalarnego wyraża sie wzorem v ć% k
= vxux + vyuy + vzuz.
Å»
TWIERDZENIE 289
Dla dowolnych wektorów v[vx, vy, vz], k
[ux, uy, uz] wektor swobodny o
Å»
współrzednych [vyuz - vzuy, uxvz - vxuz, vxuy - vyux] w dodatnio
zorientowanym układzie współrzednych jest iloczynem wektorowym k
× v.
Å»
DEFINICJA 290
- - -
, ,
Iloczynem mieszanym trójki wektorów u v w nazywamy liczbe
- , ] - ).
- - - -
[, v w = u ć% ( × w
u v
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
TWIERDZENIE 291
Niech v[vx, vy, vz], k
[ux, uy, uz], w[wx, wy, wz] wtedy
Å» Å»
ëÅ‚ öÅ‚
ux uy uz
íÅ‚vx
k
ć% (v × w) = det vy vz Å‚Å‚ .
Å» Å»
wx wy wz
TWIERDZENIE 292
Dla dowolnych wektorów v[vx, vy, vz], k
[ux, uy, uz], w[wx, wy, wz] i
Å» Å»
dowolnej liczby rzeczywistej , µ zachodza wzory
dla iloczynu skalarnego
k
ć% v = v ć% k

Å» Å»
k
ć% (v + w) = k
ć% v + k
ć% w
Å» Å» Å» Å»
(k
) ć% v = (k
ć% v) = k
ć% (Ż
Å» Å» v)
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
TWIERDZENIE 291
Niech v[vx, vy, vz], k
[ux, uy, uz], w[wx, wy, wz] wtedy
Å» Å»
ëÅ‚ öÅ‚
ux uy uz
íÅ‚vx
k
ć% (v × w) = det vy vz Å‚Å‚ .
Å» Å»
wx wy wz
TWIERDZENIE 292
Dla dowolnych wektorów v[vx, vy, vz], k
[ux, uy, uz], w[wx, wy, wz] i
Å» Å»
dowolnej liczby rzeczywistej , µ zachodza wzory
dla iloczynu skalarnego
k
ć% v = v ć% k

Å» Å»
k
ć% (v + w) = k
ć% v + k
ć% w
Å» Å» Å» Å»
(k
) ć% v = (k
ć% v) = k
ć% (Ż
Å» Å» v)
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
TWIERDZENIE 291
Niech v[vx, vy, vz], k
[ux, uy, uz], w[wx, wy, wz] wtedy
Å» Å»
ëÅ‚ öÅ‚
ux uy uz
íÅ‚vx
k
ć% (v × w) = det vy vz Å‚Å‚ .
Å» Å»
wx wy wz
TWIERDZENIE 292
Dla dowolnych wektorów v[vx, vy, vz], k
[ux, uy, uz], w[wx, wy, wz] i
Å» Å»
dowolnej liczby rzeczywistej , µ zachodza wzory
dla iloczynu skalarnego
k
ć% v = v ć% k

Å» Å»
k
ć% (v + w) = k
ć% v + k
ć% w
Å» Å» Å» Å»
(k
) ć% v = (k
ć% v) = k
ć% (Ż
Å» Å» v)
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
TWIERDZENIE 291
Niech v[vx, vy, vz], k
[ux, uy, uz], w[wx, wy, wz] wtedy
Å» Å»
ëÅ‚ öÅ‚
ux uy uz
íÅ‚vx
k
ć% (v × w) = det vy vz Å‚Å‚ .
Å» Å»
wx wy wz
TWIERDZENIE 292
Dla dowolnych wektorów v[vx, vy, vz], k
[ux, uy, uz], w[wx, wy, wz] i
Å» Å»
dowolnej liczby rzeczywistej , µ zachodza wzory
dla iloczynu skalarnego
k
ć% v = v ć% k

Å» Å»
k
ć% (v + w) = k
ć% v + k
ć% w
Å» Å» Å» Å»
(k
) ć% v = (k
ć% v) = k
ć% (Ż
Å» Å» v)
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
TWIERDZENIE 291
Niech v[vx, vy, vz], k
[ux, uy, uz], w[wx, wy, wz] wtedy
Å» Å»
ëÅ‚ öÅ‚
ux uy uz
íÅ‚vx
k
ć% (v × w) = det vy vz Å‚Å‚ .
Å» Å»
wx wy wz
TWIERDZENIE 292
Dla dowolnych wektorów v[vx, vy, vz], k
[ux, uy, uz], w[wx, wy, wz] i
Å» Å»
dowolnej liczby rzeczywistej , µ zachodza wzory
dla iloczynu skalarnego
k
ć% v = v ć% k

Å» Å»
k
ć% (v + w) = k
ć% v + k
ć% w
Å» Å» Å» Å»
(k
) ć% v = (k
ć% v) = k
ć% (Ż
Å» Å» v)
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
TWIERDZENIE 291
Niech v[vx, vy, vz], k
[ux, uy, uz], w[wx, wy, wz] wtedy
Å» Å»
ëÅ‚ öÅ‚
ux uy uz
íÅ‚vx
k
ć% (v × w) = det vy vz Å‚Å‚ .
Å» Å»
wx wy wz
TWIERDZENIE 292
Dla dowolnych wektorów v[vx, vy, vz], k
[ux, uy, uz], w[wx, wy, wz] i
Å» Å»
dowolnej liczby rzeczywistej , µ zachodza wzory
dla iloczynu skalarnego
k
ć% v = v ć% k

Å» Å»
k
ć% (v + w) = k
ć% v + k
ć% w
Å» Å» Å» Å»
(k
) ć% v = (k
ć% v) = k
ć% (Ż
Å» Å» v)
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
dla iloczynu wektorowego
k
× v = -Å» × k

Å» v
k
× (v + w) = k
× v + k
× w
Å» Å» Å» Å»
(k
) × v = (k
× v) = k
× (Å»
Å» Å» v)
dla iloczynu mieszanego
[k
, v, w] = [w, k
, v] = [v, w, k
]
Å» Å» Å» Å» Å» Å»
[k
, v, w] = -[v, k
, w]
Å» Å» Å» Å»
UWAGA 293
Końce wektorów zaczepionych o poczatku w punkcie A prostopadłych do
-
-
ustalonego wektora AB wypełniaja pewna płaszczyzne.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
dla iloczynu wektorowego
k
× v = -Å» × k

Å» v
k
× (v + w) = k
× v + k
× w
Å» Å» Å» Å»
(k
) × v = (k
× v) = k
× (Å»
Å» Å» v)
dla iloczynu mieszanego
[k
, v, w] = [w, k
, v] = [v, w, k
]
Å» Å» Å» Å» Å» Å»
[k
, v, w] = -[v, k
, w]
Å» Å» Å» Å»
UWAGA 293
Końce wektorów zaczepionych o poczatku w punkcie A prostopadłych do
-
-
ustalonego wektora AB wypełniaja pewna płaszczyzne.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
dla iloczynu wektorowego
k
× v = -Å» × k

Å» v
k
× (v + w) = k
× v + k
× w
Å» Å» Å» Å»
(k
) × v = (k
× v) = k
× (Å»
Å» Å» v)
dla iloczynu mieszanego
[k
, v, w] = [w, k
, v] = [v, w, k
]
Å» Å» Å» Å» Å» Å»
[k
, v, w] = -[v, k
, w]
Å» Å» Å» Å»
UWAGA 293
Końce wektorów zaczepionych o poczatku w punkcie A prostopadłych do
-
-
ustalonego wektora AB wypełniaja pewna płaszczyzne.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
dla iloczynu wektorowego
k
× v = -Å» × k

Å» v
k
× (v + w) = k
× v + k
× w
Å» Å» Å» Å»
(k
) × v = (k
× v) = k
× (Å»
Å» Å» v)
dla iloczynu mieszanego
[k
, v, w] = [w, k
, v] = [v, w, k
]
Å» Å» Å» Å» Å» Å»
[k
, v, w] = -[v, k
, w]
Å» Å» Å» Å»
UWAGA 293
Końce wektorów zaczepionych o poczatku w punkcie A prostopadłych do
-
-
ustalonego wektora AB wypełniaja pewna płaszczyzne.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
dla iloczynu wektorowego
k
× v = -Å» × k

Å» v
k
× (v + w) = k
× v + k
× w
Å» Å» Å» Å»
(k
) × v = (k
× v) = k
× (Å»
Å» Å» v)
dla iloczynu mieszanego
[k
, v, w] = [w, k
, v] = [v, w, k
]
Å» Å» Å» Å» Å» Å»
[k
, v, w] = -[v, k
, w]
Å» Å» Å» Å»
UWAGA 293
Końce wektorów zaczepionych o poczatku w punkcie A prostopadłych do
-
-
ustalonego wektora AB wypełniaja pewna płaszczyzne.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
dla iloczynu wektorowego
k
× v = -Å» × k

Å» v
k
× (v + w) = k
× v + k
× w
Å» Å» Å» Å»
(k
) × v = (k
× v) = k
× (Å»
Å» Å» v)
dla iloczynu mieszanego
[k
, v, w] = [w, k
, v] = [v, w, k
]
Å» Å» Å» Å» Å» Å»
[k
, v, w] = -[v, k
, w]
Å» Å» Å» Å»
UWAGA 293
Końce wektorów zaczepionych o poczatku w punkcie A prostopadłych do
-
-
ustalonego wektora AB wypełniaja pewna płaszczyzne.
RÓWNANIE PA
ASZCZYZNY
TWIERDZENIE 294
Niech A(xa, ya, za) bedzie ustalonym punktem a v[vx, vy, vz] bedzie
Å»
ustalonym wektorem wtedy punkty P płaszczyzny przechodzacej przez
punkt A i prostopadłej do wektora v wyznaczone sa przez równanie
Å»
AP ć% v = 0
Å»
czyli jeśli P (x, y, z) to równanie vx(x - ax) + vy(y - ay) + vz(z - az) = 0
wyznacza punkty tej płaszczyzny.
UWAGA 295
Równanie płaszczyzny możemy zapisać w postaci
Ax + By + Cz + D = 0. powyższa postać równania płaszczyzny
nazywamy ogólnym równaniem płaszczyzny. Wektor o współrzednych
[A, B, C] jest prostopadły do płaszczyzny.
RÓWNANIE PA
ASZCZYZNY
TWIERDZENIE 294
Niech A(xa, ya, za) bedzie ustalonym punktem a v[vx, vy, vz] bedzie
Å»
ustalonym wektorem wtedy punkty P płaszczyzny przechodzacej przez
punkt A i prostopadłej do wektora v wyznaczone sa przez równanie
Å»
AP ć% v = 0
Å»
czyli jeśli P (x, y, z) to równanie vx(x - ax) + vy(y - ay) + vz(z - az) = 0
wyznacza punkty tej płaszczyzny.
UWAGA 295
Równanie płaszczyzny możemy zapisać w postaci
Ax + By + Cz + D = 0. powyższa postać równania płaszczyzny
nazywamy ogólnym równaniem płaszczyzny. Wektor o współrzednych
[A, B, C] jest prostopadły do płaszczyzny.
RÓWNANIE PA
ASZCZYZNY
TWIERDZENIE 294
Niech A(xa, ya, za) bedzie ustalonym punktem a v[vx, vy, vz] bedzie
Å»
ustalonym wektorem wtedy punkty P płaszczyzny przechodzacej przez
punkt A i prostopadłej do wektora v wyznaczone sa przez równanie
Å»
AP ć% v = 0
Å»
czyli jeśli P (x, y, z) to równanie vx(x - ax) + vy(y - ay) + vz(z - az) = 0
wyznacza punkty tej płaszczyzny.
UWAGA 295
Równanie płaszczyzny możemy zapisać w postaci
Ax + By + Cz + D = 0. powyższa postać równania płaszczyzny
nazywamy ogólnym równaniem płaszczyzny. Wektor o współrzednych
[A, B, C] jest prostopadły do płaszczyzny.
RÓWNANIE PA
ASZCZYZNY
UWAGA 296
Końce wektorów zaczepionych o poczatku w punkcie A bedacych
- -
-
kombinacjami liniowymi pary liniowo niezależnych wektorów AB, AC
wypełniaja pewna płaszczyzne.
UWAGA 297
Niech A(xa, ya, za) bedzie ustalonym punktem a v[vx, vy, vz],
Å»
k
[ux, uy, uz] beda ustalonymi wektorami wtedy punkty P płaszczyzny
przechodzacej przez punkt A i równoległej do wektorów v, k
wyznaczone
Å»
sa przez równanie AP = tv + sk
, t, s " R czyli jeśli P (x, y, z) to
Å»
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x = xa + tvx + sux
równanie parametryczne y = ya + tvy + suy wyznacza punkty tej
ôÅ‚
ółz = za + tvz + suz
płaszczyzny.
RÓWNANIE PA
ASZCZYZNY
UWAGA 296
Końce wektorów zaczepionych o poczatku w punkcie A bedacych
- -
-
kombinacjami liniowymi pary liniowo niezależnych wektorów AB, AC
wypełniaja pewna płaszczyzne.
UWAGA 297
Niech A(xa, ya, za) bedzie ustalonym punktem a v[vx, vy, vz],
Å»
k
[ux, uy, uz] beda ustalonymi wektorami wtedy punkty P płaszczyzny
przechodzacej przez punkt A i równoległej do wektorów v, k
wyznaczone
Å»
sa przez równanie AP = tv + sk
, t, s " R czyli jeśli P (x, y, z) to
Å»
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x = xa + tvx + sux
równanie parametryczne y = ya + tvy + suy wyznacza punkty tej
ôÅ‚
ółz = za + tvz + suz
płaszczyzny.
RÓWNANIE PA
ASZCZYZNY
UWAGA 296
Końce wektorów zaczepionych o poczatku w punkcie A bedacych
- -
-
kombinacjami liniowymi pary liniowo niezależnych wektorów AB, AC
wypełniaja pewna płaszczyzne.
UWAGA 297
Niech A(xa, ya, za) bedzie ustalonym punktem a v[vx, vy, vz],
Å»
k
[ux, uy, uz] beda ustalonymi wektorami wtedy punkty P płaszczyzny
przechodzacej przez punkt A i równoległej do wektorów v, k
wyznaczone
Å»
sa przez równanie AP = tv + sk
, t, s " R czyli jeśli P (x, y, z) to
Å»
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x = xa + tvx + sux
równanie parametryczne y = ya + tvy + suy wyznacza punkty tej
ôÅ‚
ółz = za + tvz + suz
płaszczyzny.
RÓWNANIE PA
ASZCZYZNY
DEFINICJA 298
Dwie płaszczyzny nazywamy równoległymi jeżeli sa równe lub nie maja
punktów wspólnych.
UWAGA 299
Jeżeli płaszczyzny nie sa równoległe to przecinaja sie wzdłuż pewnej
prostej.
DEFINICJA 300
Równaniem prostej w postaci krawedziowej nazywamy układ równań
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
,
A2x + B2y + C2z + D2 = 0
jeżeli [A1, B1, C1] × [A2, B2, C2] = O.

Wektory o współrzednych [A1, B1, C1], [A2, B2, C2] sa prostopadłe do
prostej.
RÓWNANIE PA
ASZCZYZNY
DEFINICJA 298
Dwie płaszczyzny nazywamy równoległymi jeżeli sa równe lub nie maja
punktów wspólnych.
UWAGA 299
Jeżeli płaszczyzny nie sa równoległe to przecinaja sie wzdłuż pewnej
prostej.
DEFINICJA 300
Równaniem prostej w postaci krawedziowej nazywamy układ równań
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
,
A2x + B2y + C2z + D2 = 0
jeżeli [A1, B1, C1] × [A2, B2, C2] = O.

Wektory o współrzednych [A1, B1, C1], [A2, B2, C2] sa prostopadłe do
prostej.
RÓWNANIE PA
ASZCZYZNY
DEFINICJA 298
Dwie płaszczyzny nazywamy równoległymi jeżeli sa równe lub nie maja
punktów wspólnych.
UWAGA 299
Jeżeli płaszczyzny nie sa równoległe to przecinaja sie wzdłuż pewnej
prostej.
DEFINICJA 300
Równaniem prostej w postaci krawedziowej nazywamy układ równań
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
,
A2x + B2y + C2z + D2 = 0
jeżeli [A1, B1, C1] × [A2, B2, C2] = O.

Wektory o współrzednych [A1, B1, C1], [A2, B2, C2] sa prostopadłe do
prostej.
RÓWNANIE PA
ASZCZYZNY
DEFINICJA 298
Dwie płaszczyzny nazywamy równoległymi jeżeli sa równe lub nie maja
punktów wspólnych.
UWAGA 299
Jeżeli płaszczyzny nie sa równoległe to przecinaja sie wzdłuż pewnej
prostej.
DEFINICJA 300
Równaniem prostej w postaci krawedziowej nazywamy układ równań
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
,
A2x + B2y + C2z + D2 = 0
jeżeli [A1, B1, C1] × [A2, B2, C2] = O.

Wektory o współrzednych [A1, B1, C1], [A2, B2, C2] sa prostopadłe do
prostej.
RÓWNANIE PA
ASZCZYZNY
DEFINICJA 298
Dwie płaszczyzny nazywamy równoległymi jeżeli sa równe lub nie maja
punktów wspólnych.
UWAGA 299
Jeżeli płaszczyzny nie sa równoległe to przecinaja sie wzdłuż pewnej
prostej.
DEFINICJA 300
Równaniem prostej w postaci krawedziowej nazywamy układ równań
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
,
A2x + B2y + C2z + D2 = 0
jeżeli [A1, B1, C1] × [A2, B2, C2] = O.

Wektory o współrzednych [A1, B1, C1], [A2, B2, C2] sa prostopadłe do
prostej.
RÓWNANIE PROSTEJ
UWAGA 301
Wektor i punkt wyznaczaja prosta.
TWIERDZENIE 302
Niech A(xA, yA, zA) bedzie ustalonym punktem a v[vx, vy, vz] bedzie
Å»
ustalonym wektorem wtedy punkty prostej przechodzacej przez punkt A i
równoległej do wektora v wyznaczone sa przez Ż
Å»
ńłrównanie AP = tv = 0,
ôÅ‚
òÅ‚x = xA + tvx
gdzie t " R czyli jeśli P (x, y, z) to równania y = yA + tvy
ôÅ‚
ółz = zA + tvz
wyznaczaja punkty tej prostej.
UWAGA 303
Prosta nazywamy równoległa do płaszczyzny jeżeli zawiera sie w niej lub
nie maja punktów wspólnych.
RÓWNANIE PROSTEJ
UWAGA 301
Wektor i punkt wyznaczaja prosta.
TWIERDZENIE 302
Niech A(xA, yA, zA) bedzie ustalonym punktem a v[vx, vy, vz] bedzie
Å»
ustalonym wektorem wtedy punkty prostej przechodzacej przez punkt A i
równoległej do wektora v wyznaczone sa przez Ż
Å»
ńłrównanie AP = tv = 0,
ôÅ‚
òÅ‚x = xA + tvx
gdzie t " R czyli jeśli P (x, y, z) to równania y = yA + tvy
ôÅ‚
ółz = zA + tvz
wyznaczaja punkty tej prostej.
UWAGA 303
Prosta nazywamy równoległa do płaszczyzny jeżeli zawiera sie w niej lub
nie maja punktów wspólnych.
RÓWNANIE PROSTEJ
UWAGA 301
Wektor i punkt wyznaczaja prosta.
TWIERDZENIE 302
Niech A(xA, yA, zA) bedzie ustalonym punktem a v[vx, vy, vz] bedzie
Å»
ustalonym wektorem wtedy punkty prostej przechodzacej przez punkt A i
równoległej do wektora v wyznaczone sa przez Ż
Å»
ńłrównanie AP = tv = 0,
ôÅ‚
òÅ‚x = xA + tvx
gdzie t " R czyli jeśli P (x, y, z) to równania y = yA + tvy
ôÅ‚
ółz = zA + tvz
wyznaczaja punkty tej prostej.
UWAGA 303
Prosta nazywamy równoległa do płaszczyzny jeżeli zawiera sie w niej lub
nie maja punktów wspólnych.
PROSTE I PA
ASZCZYZNY
TWIERDZENIE 304
Niech dane beda prosta i płaszczyzna równaniami
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x = a + ut
k : y = b + vt Ä„ : Ax + By + Cz + D = 0
ôÅ‚
ółz = c + wt
wtedy prosta k jest równoległa do płaszczyzny Ą wtw, gdy
Au + Bv + Cw = 0.
Jeżeli [A, B, C] × [u, v, w] = O to prosta k jest prostopadÅ‚a do
płaszczyzny Ą.
DEFINICJA 305
Dwie proste nazywamy równoległymi jeżeli leża w jednej płaszczyz
nie i
pokrywaja sie badz
nie maja punktów wspólnych
Mówimy, że dwie proste przecinaja sie wtw gdy maja dokładnie jeden
punkt wspólny.
PROSTE I PA
ASZCZYZNY
TWIERDZENIE 304
Niech dane beda prosta i płaszczyzna równaniami
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x = a + ut
k : y = b + vt Ä„ : Ax + By + Cz + D = 0
ôÅ‚
ółz = c + wt
wtedy prosta k jest równoległa do płaszczyzny Ą wtw, gdy
Au + Bv + Cw = 0.
Jeżeli [A, B, C] × [u, v, w] = O to prosta k jest prostopadÅ‚a do
płaszczyzny Ą.
DEFINICJA 305
Dwie proste nazywamy równoległymi jeżeli leża w jednej płaszczyz
nie i
pokrywaja sie badz
nie maja punktów wspólnych
Mówimy, że dwie proste przecinaja sie wtw gdy maja dokładnie jeden
punkt wspólny.
PROSTE I PA
ASZCZYZNY
TWIERDZENIE 304
Niech dane beda prosta i płaszczyzna równaniami
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x = a + ut
k : y = b + vt Ä„ : Ax + By + Cz + D = 0
ôÅ‚
ółz = c + wt
wtedy prosta k jest równoległa do płaszczyzny Ą wtw, gdy
Au + Bv + Cw = 0.
Jeżeli [A, B, C] × [u, v, w] = O to prosta k jest prostopadÅ‚a do
płaszczyzny Ą.
DEFINICJA 305
Dwie proste nazywamy równoległymi jeżeli leża w jednej płaszczyz
nie i
pokrywaja sie badz
nie maja punktów wspólnych
Mówimy, że dwie proste przecinaja sie wtw gdy maja dokładnie jeden
punkt wspólny.
PROSTE I PA
ASZCZYZNY
TWIERDZENIE 304
Niech dane beda prosta i płaszczyzna równaniami
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x = a + ut
k : y = b + vt Ä„ : Ax + By + Cz + D = 0
ôÅ‚
ółz = c + wt
wtedy prosta k jest równoległa do płaszczyzny Ą wtw, gdy
Au + Bv + Cw = 0.
Jeżeli [A, B, C] × [u, v, w] = O to prosta k jest prostopadÅ‚a do
płaszczyzny Ą.
DEFINICJA 305
Dwie proste nazywamy równoległymi jeżeli leża w jednej płaszczyz
nie i
pokrywaja sie badz
nie maja punktów wspólnych
Mówimy, że dwie proste przecinaja sie wtw gdy maja dokładnie jeden
punkt wspólny.
PROSTA I PA
ASZCZYZNA
UWAGA 306
Dwie proste
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x = a1 + u1t ôÅ‚ = a2 + u2t
òÅ‚x
k : y = b1 + v1t l : y = b2 + v2t
ôÅ‚
ółz = c1 + w1t ôÅ‚ = c2 + w2t
ółz
sa równoległe jeżeli wektory [u1, v1, w1] oraz [u2, v2, w2] sa równoległe.
DEFINICJA 307
Mówimy, że dwie proste sa skośne wtw gdy nie maja punktów wspólnych
i nie leża w jednej płaszczyz
nie.
PROSTA I PA
ASZCZYZNA
UWAGA 306
Dwie proste
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x = a1 + u1t ôÅ‚ = a2 + u2t
òÅ‚x
k : y = b1 + v1t l : y = b2 + v2t
ôÅ‚
ółz = c1 + w1t ôÅ‚ = c2 + w2t
ółz
sa równoległe jeżeli wektory [u1, v1, w1] oraz [u2, v2, w2] sa równoległe.
DEFINICJA 307
Mówimy, że dwie proste sa skośne wtw gdy nie maja punktów wspólnych
i nie leża w jednej płaszczyz
nie.
ODLEGA
OÅšCI
TWIERDZENIE 308
Odległość punktu P (x0, y0, z0) od płaszczyzny
Ą : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża sie wzorem
|Ax0 + By0 + Cz0 + D|
d(P, Ä„) = " .
A2 + B2 + C2
TWIERDZENIE 309
Odległość punktu P0(x0, y0, z0) od prostej l przechodzacej przez punkt P
-
-
-
| × P P0|
v
-

i równoległej do wektora v wyraża sie wzorem d(P, l) = .
-
||
v
UWAGA 310
Niech beda dane proste skośne k przechodzaca przez punkt K i
-

równoległa do wektora nk oraz l przechodzaca przez punkt L i równoległa
-
.
do wektora nl Odległość prostych k i l można wyliczyć jako odległość
punktu K od płaszczyzny równoległej do prostej k i zawierajacej prosta l.
ODLEGA
OÅšCI
TWIERDZENIE 308
Odległość punktu P (x0, y0, z0) od płaszczyzny
Ą : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża sie wzorem
|Ax0 + By0 + Cz0 + D|
d(P, Ä„) = " .
A2 + B2 + C2
TWIERDZENIE 309
Odległość punktu P0(x0, y0, z0) od prostej l przechodzacej przez punkt P
-
-
-
| × P P0|
v
-

i równoległej do wektora v wyraża sie wzorem d(P, l) = .
-
||
v
UWAGA 310
Niech beda dane proste skośne k przechodzaca przez punkt K i
-

równoległa do wektora nk oraz l przechodzaca przez punkt L i równoległa
-
.
do wektora nl Odległość prostych k i l można wyliczyć jako odległość
punktu K od płaszczyzny równoległej do prostej k i zawierajacej prosta l.
ODLEGA
OÅšCI
TWIERDZENIE 308
Odległość punktu P (x0, y0, z0) od płaszczyzny
Ą : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża sie wzorem
|Ax0 + By0 + Cz0 + D|
d(P, Ä„) = " .
A2 + B2 + C2
TWIERDZENIE 309
Odległość punktu P0(x0, y0, z0) od prostej l przechodzacej przez punkt P
-
-
-
| × P P0|
v
-

i równoległej do wektora v wyraża sie wzorem d(P, l) = .
-
||
v
UWAGA 310
Niech beda dane proste skośne k przechodzaca przez punkt K i
-

równoległa do wektora nk oraz l przechodzaca przez punkt L i równoległa
-
.
do wektora nl Odległość prostych k i l można wyliczyć jako odległość
punktu K od płaszczyzny równoległej do prostej k i zawierajacej prosta l.
ODLEGA
OÅšCI
TWIERDZENIE 308
Odległość punktu P (x0, y0, z0) od płaszczyzny
Ą : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża sie wzorem
|Ax0 + By0 + Cz0 + D|
d(P, Ä„) = " .
A2 + B2 + C2
TWIERDZENIE 309
Odległość punktu P0(x0, y0, z0) od prostej l przechodzacej przez punkt P
-
-
-
| × P P0|
v
-

i równoległej do wektora v wyraża sie wzorem d(P, l) = .
-
||
v
UWAGA 310
Niech beda dane proste skośne k przechodzaca przez punkt K i
-

równoległa do wektora nk oraz l przechodzaca przez punkt L i równoległa
-
.
do wektora nl Odległość prostych k i l można wyliczyć jako odległość
punktu K od płaszczyzny równoległej do prostej k i zawierajacej prosta l.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
TWIERDZENIE 311
Niech beda dane proste skośne k przechodzaca przez punkt K i
-

równoległa do wektora nk oraz l przechodzaca przez punkt L i
-
.
równoległa do wektora nl Odległość prostych k i l wyraża sie wzorem
-
, -
-
[-k, nl KL]
n
d(k, l) =
| .
-
|-k × nl
n
TWIERDZENIE 312
Jeżeli dwie proste
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x = a1 + u1t ôÅ‚ = a2 + u2t
òÅ‚x
k : y = b1 + v1t l : y = b2 + v2t przecinają się to kąt ą między
ôÅ‚
ółz = c1 + w1t ôÅ‚ = c2 + w2t
ółz
|[u1, v1, w1] ć% [u2, v2, w2]|
nimi spełnia równanie cos ą =
|[u1, v1, w1]||[u2, v2, w2]|
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
TWIERDZENIE 311
Niech beda dane proste skośne k przechodzaca przez punkt K i
-

równoległa do wektora nk oraz l przechodzaca przez punkt L i
-
.
równoległa do wektora nl Odległość prostych k i l wyraża sie wzorem
-
, -
-
[-k, nl KL]
n
d(k, l) =
| .
-
|-k × nl
n
TWIERDZENIE 312
Jeżeli dwie proste
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x = a1 + u1t ôÅ‚ = a2 + u2t
òÅ‚x
k : y = b1 + v1t l : y = b2 + v2t przecinają się to kąt ą między
ôÅ‚
ółz = c1 + w1t ôÅ‚ = c2 + w2t
ółz
|[u1, v1, w1] ć% [u2, v2, w2]|
nimi spełnia równanie cos ą =
|[u1, v1, w1]||[u2, v2, w2]|