Wykład 25
Witold Obłoza
3 kwietnia 2011
CAA
KA OZNACZONA
DEFINICJA 366
Niech funkcja f bedzie określona i ograniczona na przedziale zamknietym
[a, b], niech {"n}" bedzie normalnym ciagiem podziałów przedziału
n=1
n
zamknietego [a, b], gdzie "n = {x(n)}p i niech
j j=1
(n)
Mi = sup{f(x) : x " [x(n) , x(n)]} mi = inf{f(x) : x " [x(n) , x(n)]}
i-1 i i-1 i
pn
(n)
Niech ponadto Sn = Mj (x(n) - x(n) ),
j j-1
j=1
pn
Sn = m(n)(x(n) - x(n) ).
j j j-1
j=1
Całką górną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim Sn, zaś całką
n"
dolnÄ… funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim Sn.
n"
UWAGA 367
Dla funkcji ograniczonej określonej na przedziale ograniczonym istnieją
całka górna i dolna. Ponadto są one skończone.
CAA
KA OZNACZONA
DEFINICJA 366
Niech funkcja f bedzie określona i ograniczona na przedziale zamknietym
[a, b], niech {"n}" bedzie normalnym ciagiem podziałów przedziału
n=1
n
zamknietego [a, b], gdzie "n = {x(n)}p i niech
j j=1
(n)
Mi = sup{f(x) : x " [x(n) , x(n)]} mi = inf{f(x) : x " [x(n) , x(n)]}
i-1 i i-1 i
pn
(n)
Niech ponadto Sn = Mj (x(n) - x(n) ),
j j-1
j=1
pn
Sn = m(n)(x(n) - x(n) ).
j j j-1
j=1
Całką górną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim Sn, zaś całką
n"
dolnÄ… funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim Sn.
n"
UWAGA 367
Dla funkcji ograniczonej określonej na przedziale ograniczonym istnieją
całka górna i dolna. Ponadto są one skończone.
CAA
KA OZNACZONA
DEFINICJA 366
Niech funkcja f bedzie określona i ograniczona na przedziale zamknietym
[a, b], niech {"n}" bedzie normalnym ciagiem podziałów przedziału
n=1
n
zamknietego [a, b], gdzie "n = {x(n)}p i niech
j j=1
(n)
Mi = sup{f(x) : x " [x(n) , x(n)]} mi = inf{f(x) : x " [x(n) , x(n)]}
i-1 i i-1 i
pn
(n)
Niech ponadto Sn = Mj (x(n) - x(n) ),
j j-1
j=1
pn
Sn = m(n)(x(n) - x(n) ).
j j j-1
j=1
Całką górną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim Sn, zaś całką
n"
dolnÄ… funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim Sn.
n"
UWAGA 367
Dla funkcji ograniczonej określonej na przedziale ograniczonym istnieją
całka górna i dolna. Ponadto są one skończone.
CAA
KA OZNACZONA
DEFINICJA 366
Niech funkcja f bedzie określona i ograniczona na przedziale zamknietym
[a, b], niech {"n}" bedzie normalnym ciagiem podziałów przedziału
n=1
n
zamknietego [a, b], gdzie "n = {x(n)}p i niech
j j=1
(n)
Mi = sup{f(x) : x " [x(n) , x(n)]} mi = inf{f(x) : x " [x(n) , x(n)]}
i-1 i i-1 i
pn
(n)
Niech ponadto Sn = Mj (x(n) - x(n) ),
j j-1
j=1
pn
Sn = m(n)(x(n) - x(n) ).
j j j-1
j=1
Całką górną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim Sn, zaś całką
n"
dolnÄ… funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim Sn.
n"
UWAGA 367
Dla funkcji ograniczonej określonej na przedziale ograniczonym istnieją
całka górna i dolna. Ponadto są one skończone.
CAA
KA OZNACZONA
DOWÓD:
Niech będą dane dwa normalne ciągi podziałów przedziału [a, b] ciąg
n n
{"n}" oraz {" n}" . Niech "n = {x(n)}p oraz " n = {x(n) }p
n=1 n=1 j j=0 j j=0
Niech ponadto
pn pn
(n)
Sn = Mj (x(n) - x(n) ), Sn = m(n)(x(n) - x(n) )
j j-1 j j j-1
j=1 j=1
p n p n
(n)
oraz Sn = Mj (x(n) - x(n) ), Sn = m(n) (x(n) - x(n) ).
j j-1 j j j-1
j=1 j=1
Ustalmy n, k i rozważmy Sn oraz Sk.
Niech Z(n, k) = {j " Zp : "l " Zp (xn-1, xn) ‚" (x(k) , x(k) )}
n j j l-1 l
k
oraz U(n, k) = Zp \ Z(n, k). Wówczas
n
(n) (n)
Sn = Mj (x(n) - x(n) ) + Mj (x(n) - x(n) ).
j j-1 j j-1
j"Z(n,m) j"U(n,m)
CAA
KA OZNACZONA
DOWÓD:
Niech będą dane dwa normalne ciągi podziałów przedziału [a, b] ciąg
n n
{"n}" oraz {" n}" . Niech "n = {x(n)}p oraz " n = {x(n) }p
n=1 n=1 j j=0 j j=0
Niech ponadto
pn pn
(n)
Sn = Mj (x(n) - x(n) ), Sn = m(n)(x(n) - x(n) )
j j-1 j j j-1
j=1 j=1
p n p n
(n)
oraz Sn = Mj (x(n) - x(n) ), Sn = m(n) (x(n) - x(n) ).
j j-1 j j j-1
j=1 j=1
Ustalmy n, k i rozważmy Sn oraz Sk.
Niech Z(n, k) = {j " Zp : "l " Zp (xn-1, xn) ‚" (x(k) , x(k) )}
n j j l-1 l
k
oraz U(n, k) = Zp \ Z(n, k). Wówczas
n
(n) (n)
Sn = Mj (x(n) - x(n) ) + Mj (x(n) - x(n) ).
j j-1 j j-1
j"Z(n,m) j"U(n,m)
CAA
KA OZNACZONA
DOWÓD:
Niech będą dane dwa normalne ciągi podziałów przedziału [a, b] ciąg
n n
{"n}" oraz {" n}" . Niech "n = {x(n)}p oraz " n = {x(n) }p
n=1 n=1 j j=0 j j=0
Niech ponadto
pn pn
(n)
Sn = Mj (x(n) - x(n) ), Sn = m(n)(x(n) - x(n) )
j j-1 j j j-1
j=1 j=1
p n p n
(n)
oraz Sn = Mj (x(n) - x(n) ), Sn = m(n) (x(n) - x(n) ).
j j-1 j j j-1
j=1 j=1
Ustalmy n, k i rozważmy Sn oraz Sk.
Niech Z(n, k) = {j " Zp : "l " Zp (xn-1, xn) ‚" (x(k) , x(k) )}
n j j l-1 l
k
oraz U(n, k) = Zp \ Z(n, k). Wówczas
n
(n) (n)
Sn = Mj (x(n) - x(n) ) + Mj (x(n) - x(n) ).
j j-1 j j-1
j"Z(n,m) j"U(n,m)
CAA
KA OZNACZONA
DOWÓD:
Niech będą dane dwa normalne ciągi podziałów przedziału [a, b] ciąg
n n
{"n}" oraz {" n}" . Niech "n = {x(n)}p oraz " n = {x(n) }p
n=1 n=1 j j=0 j j=0
Niech ponadto
pn pn
(n)
Sn = Mj (x(n) - x(n) ), Sn = m(n)(x(n) - x(n) )
j j-1 j j j-1
j=1 j=1
p n p n
(n)
oraz Sn = Mj (x(n) - x(n) ), Sn = m(n) (x(n) - x(n) ).
j j-1 j j j-1
j=1 j=1
Ustalmy n, k i rozważmy Sn oraz Sk.
Niech Z(n, k) = {j " Zp : "l " Zp (xn-1, xn) ‚" (x(k) , x(k) )}
n j j l-1 l
k
oraz U(n, k) = Zp \ Z(n, k). Wówczas
n
(n) (n)
Sn = Mj (x(n) - x(n) ) + Mj (x(n) - x(n) ).
j j-1 j j-1
j"Z(n,m) j"U(n,m)
CAA
KA OZNACZONA
DOWÓD:
Niech będą dane dwa normalne ciągi podziałów przedziału [a, b] ciąg
n n
{"n}" oraz {" n}" . Niech "n = {x(n)}p oraz " n = {x(n) }p
n=1 n=1 j j=0 j j=0
Niech ponadto
pn pn
(n)
Sn = Mj (x(n) - x(n) ), Sn = m(n)(x(n) - x(n) )
j j-1 j j j-1
j=1 j=1
p n p n
(n)
oraz Sn = Mj (x(n) - x(n) ), Sn = m(n) (x(n) - x(n) ).
j j-1 j j j-1
j=1 j=1
Ustalmy n, k i rozważmy Sn oraz Sk.
Niech Z(n, k) = {j " Zp : "l " Zp (xn-1, xn) ‚" (x(k) , x(k) )}
n j j l-1 l
k
oraz U(n, k) = Zp \ Z(n, k). Wówczas
n
(n) (n)
Sn = Mj (x(n) - x(n) ) + Mj (x(n) - x(n) ).
j j-1 j j-1
j"Z(n,m) j"U(n,m)
CAA
KA OZNACZONA
DOWÓD:
Niech będą dane dwa normalne ciągi podziałów przedziału [a, b] ciąg
n n
{"n}" oraz {" n}" . Niech "n = {x(n)}p oraz " n = {x(n) }p
n=1 n=1 j j=0 j j=0
Niech ponadto
pn pn
(n)
Sn = Mj (x(n) - x(n) ), Sn = m(n)(x(n) - x(n) )
j j-1 j j j-1
j=1 j=1
p n p n
(n)
oraz Sn = Mj (x(n) - x(n) ), Sn = m(n) (x(n) - x(n) ).
j j-1 j j j-1
j=1 j=1
Ustalmy n, k i rozważmy Sn oraz Sk.
Niech Z(n, k) = {j " Zp : "l " Zp (xn-1, xn) ‚" (x(k) , x(k) )}
n j j l-1 l
k
oraz U(n, k) = Zp \ Z(n, k). Wówczas
n
(n) (n)
Sn = Mj (x(n) - x(n) ) + Mj (x(n) - x(n) ).
j j-1 j j-1
j"Z(n,m) j"U(n,m)
CAA
KA OZNACZONA
DOWÓD:
Niech będą dane dwa normalne ciągi podziałów przedziału [a, b] ciąg
n n
{"n}" oraz {" n}" . Niech "n = {x(n)}p oraz " n = {x(n) }p
n=1 n=1 j j=0 j j=0
Niech ponadto
pn pn
(n)
Sn = Mj (x(n) - x(n) ), Sn = m(n)(x(n) - x(n) )
j j-1 j j j-1
j=1 j=1
p n p n
(n)
oraz Sn = Mj (x(n) - x(n) ), Sn = m(n) (x(n) - x(n) ).
j j-1 j j j-1
j=1 j=1
Ustalmy n, k i rozważmy Sn oraz Sk.
Niech Z(n, k) = {j " Zp : "l " Zp (xn-1, xn) ‚" (x(k) , x(k) )}
n j j l-1 l
k
oraz U(n, k) = Zp \ Z(n, k). Wówczas
n
(n) (n)
Sn = Mj (x(n) - x(n) ) + Mj (x(n) - x(n) ).
j j-1 j j-1
j"Z(n,m) j"U(n,m)
CAA
KA OZNACZONA
(n) (n)
Sn = Mj (x(n) - x(n) ) + Mj (x(n) - x(n) ) +
j j-1 j j-1
j"Z(n,m) j"U(n,m)
(n)
(Mj - m(n))(x(n) - x(n) ) d"
j j j-1
j"U(n,m)
(n)
Sk + (Mj - m(n))(x(n) - x(n) )d" Sk + (M - m)p m´n
j j j-1
j"U(n,m)
Mamy stÄ…d lim sup Sn d" Sk,
n"
a także lim sup Sn d" lim inf Sk
k"
n"
Analogicznie dowodzimy, że lim inf Sn e" lim sup Sk
n"
k"
CAA
KA OZNACZONA
(n) (n)
Sn = Mj (x(n) - x(n) ) + Mj (x(n) - x(n) ) +
j j-1 j j-1
j"Z(n,m) j"U(n,m)
(n)
(Mj - m(n))(x(n) - x(n) ) d"
j j j-1
j"U(n,m)
(n)
Sk + (Mj - m(n))(x(n) - x(n) )d" Sk + (M - m)p m´n
j j j-1
j"U(n,m)
Mamy stÄ…d lim sup Sn d" Sk,
n"
a także lim sup Sn d" lim inf Sk
k"
n"
Analogicznie dowodzimy, że lim inf Sn e" lim sup Sk
n"
k"
CAA
KA OZNACZONA
(n) (n)
Sn = Mj (x(n) - x(n) ) + Mj (x(n) - x(n) ) +
j j-1 j j-1
j"Z(n,m) j"U(n,m)
(n)
(Mj - m(n))(x(n) - x(n) ) d"
j j j-1
j"U(n,m)
(n)
Sk + (Mj - m(n))(x(n) - x(n) )d" Sk + (M - m)p m´n
j j j-1
j"U(n,m)
Mamy stÄ…d lim sup Sn d" Sk,
n"
a także lim sup Sn d" lim inf Sk
k"
n"
Analogicznie dowodzimy, że lim inf Sn e" lim sup Sk
n"
k"
CAA
KA OZNACZONA
(n) (n)
Sn = Mj (x(n) - x(n) ) + Mj (x(n) - x(n) ) +
j j-1 j j-1
j"Z(n,m) j"U(n,m)
(n)
(Mj - m(n))(x(n) - x(n) ) d"
j j j-1
j"U(n,m)
(n)
Sk + (Mj - m(n))(x(n) - x(n) )d" Sk + (M - m)p m´n
j j j-1
j"U(n,m)
Mamy stÄ…d lim sup Sn d" Sk,
n"
a także lim sup Sn d" lim inf Sk
k"
n"
Analogicznie dowodzimy, że lim inf Sn e" lim sup Sk
n"
k"
CAA
KA OZNACZONA
(n) (n)
Sn = Mj (x(n) - x(n) ) + Mj (x(n) - x(n) ) +
j j-1 j j-1
j"Z(n,m) j"U(n,m)
(n)
(Mj - m(n))(x(n) - x(n) ) d"
j j j-1
j"U(n,m)
(n)
Sk + (Mj - m(n))(x(n) - x(n) )d" Sk + (M - m)p m´n
j j j-1
j"U(n,m)
Mamy stÄ…d lim sup Sn d" Sk,
n"
a także lim sup Sn d" lim inf Sk
k"
n"
Analogicznie dowodzimy, że lim inf Sn e" lim sup Sk
n"
k"
CAA
KA OZNACZONA
(n) (n)
Sn = Mj (x(n) - x(n) ) + Mj (x(n) - x(n) ) +
j j-1 j j-1
j"Z(n,m) j"U(n,m)
(n)
(Mj - m(n))(x(n) - x(n) ) d"
j j j-1
j"U(n,m)
(n)
Sk + (Mj - m(n))(x(n) - x(n) )d" Sk + (M - m)p m´n
j j j-1
j"U(n,m)
Mamy stÄ…d lim sup Sn d" Sk,
n"
a także lim sup Sn d" lim inf Sk
k"
n"
Analogicznie dowodzimy, że lim inf Sn e" lim sup Sk
n"
k"
CAA
KA OZNACZONA
Z ciągu nierówności lim sup Sn d" lim inf Sk d" lim sup Sk d" lim sup Sn
k"
n" n"
k"
wnioskujemy lim sup Sn = lim inf Sk = lim sup Sk = lim inf Sn
k" n"
n"
k"
bowiem zawsze lim sup Sn e" lim inf Sn
n"
n"
Czyli mamy istnienie granicy niezależnej od wyboru normalnego ciągu
przedziałów.
Dowód dla całki dolnej jest analogiczny.
TWIERDZENIE 368
Funkcja f jest całkowalna na przedziale [a, b] wtedy i tylko wtedy, gdy
całka dolna równa jest całce dolnej.
CAA
KA OZNACZONA
Z ciągu nierówności lim sup Sn d" lim inf Sk d" lim sup Sk d" lim sup Sn
k"
n" n"
k"
wnioskujemy lim sup Sn = lim inf Sk = lim sup Sk = lim inf Sn
k" n"
n"
k"
bowiem zawsze lim sup Sn e" lim inf Sn
n"
n"
Czyli mamy istnienie granicy niezależnej od wyboru normalnego ciągu
przedziałów.
Dowód dla całki dolnej jest analogiczny.
TWIERDZENIE 368
Funkcja f jest całkowalna na przedziale [a, b] wtedy i tylko wtedy, gdy
całka dolna równa jest całce dolnej.
CAA
KA OZNACZONA
Z ciągu nierówności lim sup Sn d" lim inf Sk d" lim sup Sk d" lim sup Sn
k"
n" n"
k"
wnioskujemy lim sup Sn = lim inf Sk = lim sup Sk = lim inf Sn
k" n"
n"
k"
bowiem zawsze lim sup Sn e" lim inf Sn
n"
n"
Czyli mamy istnienie granicy niezależnej od wyboru normalnego ciągu
przedziałów.
Dowód dla całki dolnej jest analogiczny.
TWIERDZENIE 368
Funkcja f jest całkowalna na przedziale [a, b] wtedy i tylko wtedy, gdy
całka dolna równa jest całce dolnej.
CAA
KA OZNACZONA
Z ciągu nierówności lim sup Sn d" lim inf Sk d" lim sup Sk d" lim sup Sn
k"
n" n"
k"
wnioskujemy lim sup Sn = lim inf Sk = lim sup Sk = lim inf Sn
k" n"
n"
k"
bowiem zawsze lim sup Sn e" lim inf Sn
n"
n"
Czyli mamy istnienie granicy niezależnej od wyboru normalnego ciągu
przedziałów.
Dowód dla całki dolnej jest analogiczny.
TWIERDZENIE 368
Funkcja f jest całkowalna na przedziale [a, b] wtedy i tylko wtedy, gdy
całka dolna równa jest całce dolnej.
CAA
KA OZNACZONA
Z ciągu nierówności lim sup Sn d" lim inf Sk d" lim sup Sk d" lim sup Sn
k"
n" n"
k"
wnioskujemy lim sup Sn = lim inf Sk = lim sup Sk = lim inf Sn
k" n"
n"
k"
bowiem zawsze lim sup Sn e" lim inf Sn
n"
n"
Czyli mamy istnienie granicy niezależnej od wyboru normalnego ciągu
przedziałów.
Dowód dla całki dolnej jest analogiczny.
TWIERDZENIE 368
Funkcja f jest całkowalna na przedziale [a, b] wtedy i tylko wtedy, gdy
całka dolna równa jest całce dolnej.
CAA
KA OZNACZONA
Z ciągu nierówności lim sup Sn d" lim inf Sk d" lim sup Sk d" lim sup Sn
k"
n" n"
k"
wnioskujemy lim sup Sn = lim inf Sk = lim sup Sk = lim inf Sn
k" n"
n"
k"
bowiem zawsze lim sup Sn e" lim inf Sn
n"
n"
Czyli mamy istnienie granicy niezależnej od wyboru normalnego ciągu
przedziałów.
Dowód dla całki dolnej jest analogiczny.
TWIERDZENIE 368
Funkcja f jest całkowalna na przedziale [a, b] wtedy i tylko wtedy, gdy
całka dolna równa jest całce dolnej.
CAA
KA OZNACZONA
DOWÓD:
Z równości całki górnej i dolnej oraz oczywistej nierówności
Sn d" Sn d" Sn
wnioskujemy istnienie granicy lim Sn niezaleznej od wyboru normalnego
n"
ciągu podziałów.
Załóżmy teraz istnienie caki i dla dowodu niewprost przypuśćmy, że
lim Sn - lim Sn > 6µ.
n" n"
Wówczas istnieje n0 takie, że dla n > n0 mamy Sn - Sn > 4µ.
(n) (n)
n n
Możemy wybrać ciÄ…gi punktów poÅ›rednich {¾j }p oraz {·j }p tak
j=1 j=1
(n) (n) (n)
µ µ
aby f(¾j ) < m(n) + oraz f(·j ) > Mj -
j
b-a b-a
pn pn
(n) (n)
Wówczas f(¾j )(x(n) , x(n)) - f(·j )(x(n) , x(n)) > 2µ
j-1 j j-1 j
j=1 j=1
CAA
KA OZNACZONA
DOWÓD:
Z równości całki górnej i dolnej oraz oczywistej nierówności
Sn d" Sn d" Sn
wnioskujemy istnienie granicy lim Sn niezaleznej od wyboru normalnego
n"
ciągu podziałów.
Załóżmy teraz istnienie caki i dla dowodu niewprost przypuśćmy, że
lim Sn - lim Sn > 6µ.
n" n"
Wówczas istnieje n0 takie, że dla n > n0 mamy Sn - Sn > 4µ.
(n) (n)
n n
Możemy wybrać ciÄ…gi punktów poÅ›rednich {¾j }p oraz {·j }p tak
j=1 j=1
(n) (n) (n)
µ µ
aby f(¾j ) < m(n) + oraz f(·j ) > Mj -
j
b-a b-a
pn pn
(n) (n)
Wówczas f(¾j )(x(n) , x(n)) - f(·j )(x(n) , x(n)) > 2µ
j-1 j j-1 j
j=1 j=1
CAA
KA OZNACZONA
DOWÓD:
Z równości całki górnej i dolnej oraz oczywistej nierówności
Sn d" Sn d" Sn
wnioskujemy istnienie granicy lim Sn niezaleznej od wyboru normalnego
n"
ciągu podziałów.
Załóżmy teraz istnienie caki i dla dowodu niewprost przypuśćmy, że
lim Sn - lim Sn > 6µ.
n" n"
Wówczas istnieje n0 takie, że dla n > n0 mamy Sn - Sn > 4µ.
(n) (n)
n n
Możemy wybrać ciÄ…gi punktów poÅ›rednich {¾j }p oraz {·j }p tak
j=1 j=1
(n) (n) (n)
µ µ
aby f(¾j ) < m(n) + oraz f(·j ) > Mj -
j
b-a b-a
pn pn
(n) (n)
Wówczas f(¾j )(x(n) , x(n)) - f(·j )(x(n) , x(n)) > 2µ
j-1 j j-1 j
j=1 j=1
CAA
KA OZNACZONA
DOWÓD:
Z równości całki górnej i dolnej oraz oczywistej nierówności
Sn d" Sn d" Sn
wnioskujemy istnienie granicy lim Sn niezaleznej od wyboru normalnego
n"
ciągu podziałów.
Załóżmy teraz istnienie caki i dla dowodu niewprost przypuśćmy, że
lim Sn - lim Sn > 6µ.
n" n"
Wówczas istnieje n0 takie, że dla n > n0 mamy Sn - Sn > 4µ.
(n) (n)
n n
Możemy wybrać ciÄ…gi punktów poÅ›rednich {¾j }p oraz {·j }p tak
j=1 j=1
(n) (n) (n)
µ µ
aby f(¾j ) < m(n) + oraz f(·j ) > Mj -
j
b-a b-a
pn pn
(n) (n)
Wówczas f(¾j )(x(n) , x(n)) - f(·j )(x(n) , x(n)) > 2µ
j-1 j j-1 j
j=1 j=1
CAA
KA OZNACZONA
DOWÓD:
Z równości całki górnej i dolnej oraz oczywistej nierówności
Sn d" Sn d" Sn
wnioskujemy istnienie granicy lim Sn niezaleznej od wyboru normalnego
n"
ciągu podziałów.
Załóżmy teraz istnienie caki i dla dowodu niewprost przypuśćmy, że
lim Sn - lim Sn > 6µ.
n" n"
Wówczas istnieje n0 takie, że dla n > n0 mamy Sn - Sn > 4µ.
(n) (n)
n n
Możemy wybrać ciÄ…gi punktów poÅ›rednich {¾j }p oraz {·j }p tak
j=1 j=1
(n) (n) (n)
µ µ
aby f(¾j ) < m(n) + oraz f(·j ) > Mj -
j
b-a b-a
pn pn
(n) (n)
Wówczas f(¾j )(x(n) , x(n)) - f(·j )(x(n) , x(n)) > 2µ
j-1 j j-1 j
j=1 j=1
CAA
KA OZNACZONA
DOWÓD:
Z równości całki górnej i dolnej oraz oczywistej nierówności
Sn d" Sn d" Sn
wnioskujemy istnienie granicy lim Sn niezaleznej od wyboru normalnego
n"
ciągu podziałów.
Załóżmy teraz istnienie caki i dla dowodu niewprost przypuśćmy, że
lim Sn - lim Sn > 6µ.
n" n"
Wówczas istnieje n0 takie, że dla n > n0 mamy Sn - Sn > 4µ.
(n) (n)
n n
Możemy wybrać ciÄ…gi punktów poÅ›rednich {¾j }p oraz {·j }p tak
j=1 j=1
(n) (n) (n)
µ µ
aby f(¾j ) < m(n) + oraz f(·j ) > Mj -
j
b-a b-a
pn pn
(n) (n)
Wówczas f(¾j )(x(n) , x(n)) - f(·j )(x(n) , x(n)) > 2µ
j-1 j j-1 j
j=1 j=1
CAA
KA OZNACZONA
DOWÓD:
Z równości całki górnej i dolnej oraz oczywistej nierówności
Sn d" Sn d" Sn
wnioskujemy istnienie granicy lim Sn niezaleznej od wyboru normalnego
n"
ciągu podziałów.
Załóżmy teraz istnienie caki i dla dowodu niewprost przypuśćmy, że
lim Sn - lim Sn > 6µ.
n" n"
Wówczas istnieje n0 takie, że dla n > n0 mamy Sn - Sn > 4µ.
(n) (n)
n n
Możemy wybrać ciÄ…gi punktów poÅ›rednich {¾j }p oraz {·j }p tak
j=1 j=1
(n) (n) (n)
µ µ
aby f(¾j ) < m(n) + oraz f(·j ) > Mj -
j
b-a b-a
pn pn
(n) (n)
Wówczas f(¾j )(x(n) , x(n)) - f(·j )(x(n) , x(n)) > 2µ
j-1 j j-1 j
j=1 j=1
CAA
KA OZNACZONA
PrzechodzÄ…c do granicy otrzymamy
pn pn
(n) (n)
lim f(¾j )(x(n) , x(n))- lim f(·j )(x(n) , x(n)) e" 2µ > µ > 0.
j-1 j j-1 j
n" n"
j=1 j=1
Zatem granica sum całkowych zależy od wyboru punktów posrednich.
Otrzymana sprzeczność kończy dowód twierdzenia.
WNIOSEK 369
Jeżeli dla funkcji f : [a, b] - R i pewnego normalnego ciągu podziałów
przedziaÅ‚u [a, b] dla każdego µ > 0 istnieje n takie, że Sn - Sn < µ to f
jest całkowalna na [a, b].
DOWÓD:
Granica ciągu sum aproksymacyjnych całki górnej i dolnej nie zależy od
wyboru normalnego ciÄ…gu podziałów. Jeżeli dla każdego µ > 0 istnieje n
takie, że Sn - Sn < µ to lim Sn = lim Sn.
n" n"
CAA
KA OZNACZONA
PrzechodzÄ…c do granicy otrzymamy
pn pn
(n) (n)
lim f(¾j )(x(n) , x(n))- lim f(·j )(x(n) , x(n)) e" 2µ > µ > 0.
j-1 j j-1 j
n" n"
j=1 j=1
Zatem granica sum całkowych zależy od wyboru punktów posrednich.
Otrzymana sprzeczność kończy dowód twierdzenia.
WNIOSEK 369
Jeżeli dla funkcji f : [a, b] - R i pewnego normalnego ciągu podziałów
przedziaÅ‚u [a, b] dla każdego µ > 0 istnieje n takie, że Sn - Sn < µ to f
jest całkowalna na [a, b].
DOWÓD:
Granica ciągu sum aproksymacyjnych całki górnej i dolnej nie zależy od
wyboru normalnego ciÄ…gu podziałów. Jeżeli dla każdego µ > 0 istnieje n
takie, że Sn - Sn < µ to lim Sn = lim Sn.
n" n"
CAA
KA OZNACZONA
PrzechodzÄ…c do granicy otrzymamy
pn pn
(n) (n)
lim f(¾j )(x(n) , x(n))- lim f(·j )(x(n) , x(n)) e" 2µ > µ > 0.
j-1 j j-1 j
n" n"
j=1 j=1
Zatem granica sum całkowych zależy od wyboru punktów posrednich.
Otrzymana sprzeczność kończy dowód twierdzenia.
WNIOSEK 369
Jeżeli dla funkcji f : [a, b] - R i pewnego normalnego ciągu podziałów
przedziaÅ‚u [a, b] dla każdego µ > 0 istnieje n takie, że Sn - Sn < µ to f
jest całkowalna na [a, b].
DOWÓD:
Granica ciągu sum aproksymacyjnych całki górnej i dolnej nie zależy od
wyboru normalnego ciÄ…gu podziałów. Jeżeli dla każdego µ > 0 istnieje n
takie, że Sn - Sn < µ to lim Sn = lim Sn.
n" n"
CAA
KA OZNACZONA
PrzechodzÄ…c do granicy otrzymamy
pn pn
(n) (n)
lim f(¾j )(x(n) , x(n))- lim f(·j )(x(n) , x(n)) e" 2µ > µ > 0.
j-1 j j-1 j
n" n"
j=1 j=1
Zatem granica sum całkowych zależy od wyboru punktów posrednich.
Otrzymana sprzeczność kończy dowód twierdzenia.
WNIOSEK 369
Jeżeli dla funkcji f : [a, b] - R i pewnego normalnego ciągu podziałów
przedziaÅ‚u [a, b] dla każdego µ > 0 istnieje n takie, że Sn - Sn < µ to f
jest całkowalna na [a, b].
DOWÓD:
Granica ciągu sum aproksymacyjnych całki górnej i dolnej nie zależy od
wyboru normalnego ciÄ…gu podziałów. Jeżeli dla każdego µ > 0 istnieje n
takie, że Sn - Sn < µ to lim Sn = lim Sn.
n" n"
CAA
KA OZNACZONA
TWIERDZENIE 370
Niech funkcja f bedzie określona na przedziale zamknietym [a, b] i ciagła
wtedy istnieje całka Riemanna funkcji f na przedziale [a, b].
DOWÓD:
Funkcja f jest jednostajnie ciÄ…gÅ‚a. Dla dowolnego dodatniego µ istnieje
µ
´ > 0 taka, że zachodzi implikacja |x - y| < ´ Ò! |f(x) - f(y)| < .
2(b-a)
Niech {"n}" bedzie normalnym ciagiem podziałów przedziału [a, b]
n=1
Istnieje n0 takie, że dla wszystkich n > n0 mamy ´n = ´("n) < ´.
CAA
KA OZNACZONA
TWIERDZENIE 370
Niech funkcja f bedzie określona na przedziale zamknietym [a, b] i ciagła
wtedy istnieje całka Riemanna funkcji f na przedziale [a, b].
DOWÓD:
Funkcja f jest jednostajnie ciÄ…gÅ‚a. Dla dowolnego dodatniego µ istnieje
µ
´ > 0 taka, że zachodzi implikacja |x - y| < ´ Ò! |f(x) - f(y)| < .
2(b-a)
Niech {"n}" bedzie normalnym ciagiem podziałów przedziału [a, b]
n=1
Istnieje n0 takie, że dla wszystkich n > n0 mamy ´n = ´("n) < ´.
CAA
KA OZNACZONA
TWIERDZENIE 370
Niech funkcja f bedzie określona na przedziale zamknietym [a, b] i ciagła
wtedy istnieje całka Riemanna funkcji f na przedziale [a, b].
DOWÓD:
Funkcja f jest jednostajnie ciÄ…gÅ‚a. Dla dowolnego dodatniego µ istnieje
µ
´ > 0 taka, że zachodzi implikacja |x - y| < ´ Ò! |f(x) - f(y)| < .
2(b-a)
Niech {"n}" bedzie normalnym ciagiem podziałów przedziału [a, b]
n=1
Istnieje n0 takie, że dla wszystkich n > n0 mamy ´n = ´("n) < ´.
CAA
KA OZNACZONA
TWIERDZENIE 370
Niech funkcja f bedzie określona na przedziale zamknietym [a, b] i ciagła
wtedy istnieje całka Riemanna funkcji f na przedziale [a, b].
DOWÓD:
Funkcja f jest jednostajnie ciÄ…gÅ‚a. Dla dowolnego dodatniego µ istnieje
µ
´ > 0 taka, że zachodzi implikacja |x - y| < ´ Ò! |f(x) - f(y)| < .
2(b-a)
Niech {"n}" bedzie normalnym ciagiem podziałów przedziału [a, b]
n=1
Istnieje n0 takie, że dla wszystkich n > n0 mamy ´n = ´("n) < ´.
CAA
KA OZNACZONA
Dla takich n zachodzi nierówność
pn pn
(n)
µ
Sn - Sn = (Mk - m(n))(x(n) - x(n) ) d" (x(n) - x(n) ) = µ.
k k k-1 b-a k k-1
k=1 k=1
Wynika stąd, że lim Sn - Sn = 0.
n"
Z istnienia granic lim Sn oraz lim Sn wynika ich równość i istnienie
n" n"
całki.
TWIERDZENIE 371
Jeżeli f jest całkowalna na przedziale [a, b] to dla dowolnego c " (a, b)
istnieją całki f na przedziale [a, c] oraz na przedziale [c, b]. Na odwrót
jeżeli istnieją całki f na przedziale [a, c] oraz na przedziale [c, b] to f jest
całkowalna na [a, b].
CAA
KA OZNACZONA
Dla takich n zachodzi nierówność
pn pn
(n)
µ
Sn - Sn = (Mk - m(n))(x(n) - x(n) ) d" (x(n) - x(n) ) = µ.
k k k-1 b-a k k-1
k=1 k=1
Wynika stąd, że lim Sn - Sn = 0.
n"
Z istnienia granic lim Sn oraz lim Sn wynika ich równość i istnienie
n" n"
całki.
TWIERDZENIE 371
Jeżeli f jest całkowalna na przedziale [a, b] to dla dowolnego c " (a, b)
istnieją całki f na przedziale [a, c] oraz na przedziale [c, b]. Na odwrót
jeżeli istnieją całki f na przedziale [a, c] oraz na przedziale [c, b] to f jest
całkowalna na [a, b].
CAA
KA OZNACZONA
Dla takich n zachodzi nierówność
pn pn
(n)
µ
Sn - Sn = (Mk - m(n))(x(n) - x(n) ) d" (x(n) - x(n) ) = µ.
k k k-1 b-a k k-1
k=1 k=1
Wynika stąd, że lim Sn - Sn = 0.
n"
Z istnienia granic lim Sn oraz lim Sn wynika ich równość i istnienie
n" n"
całki.
TWIERDZENIE 371
Jeżeli f jest całkowalna na przedziale [a, b] to dla dowolnego c " (a, b)
istnieją całki f na przedziale [a, c] oraz na przedziale [c, b]. Na odwrót
jeżeli istnieją całki f na przedziale [a, c] oraz na przedziale [c, b] to f jest
całkowalna na [a, b].
CAA
KA OZNACZONA
Dla takich n zachodzi nierówność
pn pn
(n)
µ
Sn - Sn = (Mk - m(n))(x(n) - x(n) ) d" (x(n) - x(n) ) = µ.
k k k-1 b-a k k-1
k=1 k=1
Wynika stąd, że lim Sn - Sn = 0.
n"
Z istnienia granic lim Sn oraz lim Sn wynika ich równość i istnienie
n" n"
całki.
TWIERDZENIE 371
Jeżeli f jest całkowalna na przedziale [a, b] to dla dowolnego c " (a, b)
istnieją całki f na przedziale [a, c] oraz na przedziale [c, b]. Na odwrót
jeżeli istnieją całki f na przedziale [a, c] oraz na przedziale [c, b] to f jest
całkowalna na [a, b].
CAA
KA OZNACZONA
Dla takich n zachodzi nierówność
pn pn
(n)
µ
Sn - Sn = (Mk - m(n))(x(n) - x(n) ) d" (x(n) - x(n) ) = µ.
k k k-1 b-a k k-1
k=1 k=1
Wynika stąd, że lim Sn - Sn = 0.
n"
Z istnienia granic lim Sn oraz lim Sn wynika ich równość i istnienie
n" n"
całki.
TWIERDZENIE 371
Jeżeli f jest całkowalna na przedziale [a, b] to dla dowolnego c " (a, b)
istnieją całki f na przedziale [a, c] oraz na przedziale [c, b]. Na odwrót
jeżeli istnieją całki f na przedziale [a, c] oraz na przedziale [c, b] to f jest
całkowalna na [a, b].
CAA
KA OZNACZONA
DOWÓD:
Niech {" n}" jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [a, c], zaś
n=1
{" n}" jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [c, b].
n=1
n n
Określamy {"n}" jako "n = {yk }p +p n,
n=1
k=0
x(n) gdy k d" p n
k
gdzie yk =
x(n) gdy k > p n
k-p n
jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [a, b].
Wówczas S("n, f) = S(" n, f) + S(" n, f)
oraz
S("n, f) = S(" n, f) + S(" n, f)
StÄ…d
S("n, f) - S("n, f) = S(" n, f) - S(" n, f) + S(" n, f) - S(" n, f)
CAA
KA OZNACZONA
DOWÓD:
Niech {" n}" jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [a, c], zaś
n=1
{" n}" jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [c, b].
n=1
n n
Określamy {"n}" jako "n = {yk }p +p n,
n=1
k=0
x(n) gdy k d" p n
k
gdzie yk =
x(n) gdy k > p n
k-p n
jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [a, b].
Wówczas S("n, f) = S(" n, f) + S(" n, f)
oraz
S("n, f) = S(" n, f) + S(" n, f)
StÄ…d
S("n, f) - S("n, f) = S(" n, f) - S(" n, f) + S(" n, f) - S(" n, f)
CAA
KA OZNACZONA
DOWÓD:
Niech {" n}" jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [a, c], zaś
n=1
{" n}" jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [c, b].
n=1
n n
Określamy {"n}" jako "n = {yk }p +p n,
n=1
k=0
x(n) gdy k d" p n
k
gdzie yk =
x(n) gdy k > p n
k-p n
jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [a, b].
Wówczas S("n, f) = S(" n, f) + S(" n, f)
oraz
S("n, f) = S(" n, f) + S(" n, f)
StÄ…d
S("n, f) - S("n, f) = S(" n, f) - S(" n, f) + S(" n, f) - S(" n, f)
CAA
KA OZNACZONA
DOWÓD:
Niech {" n}" jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [a, c], zaś
n=1
{" n}" jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [c, b].
n=1
n n
Określamy {"n}" jako "n = {yk }p +p n,
n=1
k=0
x(n) gdy k d" p n
k
gdzie yk =
x(n) gdy k > p n
k-p n
jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [a, b].
Wówczas S("n, f) = S(" n, f) + S(" n, f)
oraz
S("n, f) = S(" n, f) + S(" n, f)
StÄ…d
S("n, f) - S("n, f) = S(" n, f) - S(" n, f) + S(" n, f) - S(" n, f)
CAA
KA OZNACZONA
DOWÓD:
Niech {" n}" jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [a, c], zaś
n=1
{" n}" jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [c, b].
n=1
n n
Określamy {"n}" jako "n = {yk }p +p n,
n=1
k=0
x(n) gdy k d" p n
k
gdzie yk =
x(n) gdy k > p n
k-p n
jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [a, b].
Wówczas S("n, f) = S(" n, f) + S(" n, f)
oraz
S("n, f) = S(" n, f) + S(" n, f)
StÄ…d
S("n, f) - S("n, f) = S(" n, f) - S(" n, f) + S(" n, f) - S(" n, f)
CAA
KA OZNACZONA
DOWÓD:
Niech {" n}" jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [a, c], zaś
n=1
{" n}" jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [c, b].
n=1
n n
Określamy {"n}" jako "n = {yk }p +p n,
n=1
k=0
x(n) gdy k d" p n
k
gdzie yk =
x(n) gdy k > p n
k-p n
jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [a, b].
Wówczas S("n, f) = S(" n, f) + S(" n, f)
oraz
S("n, f) = S(" n, f) + S(" n, f)
StÄ…d
S("n, f) - S("n, f) = S(" n, f) - S(" n, f) + S(" n, f) - S(" n, f)
CAA
KA OZNACZONA
DOWÓD:
Niech {" n}" jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [a, c], zaś
n=1
{" n}" jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [c, b].
n=1
n n
Określamy {"n}" jako "n = {yk }p +p n,
n=1
k=0
x(n) gdy k d" p n
k
gdzie yk =
x(n) gdy k > p n
k-p n
jest normalnym ciągiem podziałów przedziału [a, b].
Wówczas S("n, f) = S(" n, f) + S(" n, f)
oraz
S("n, f) = S(" n, f) + S(" n, f)
StÄ…d
S("n, f) - S("n, f) = S(" n, f) - S(" n, f) + S(" n, f) - S(" n, f)
CAA
KA OZNACZONA
Jeżeli f jest całkowalna na [a, b] to istnieje granica lewej strony równa
zero zatem istnieją granice obu nieujemnych składników po prawej stronie
i są równe zero.
Z istnienia granic składników wynika istnienie granicy sumy.
Ale dowolna suma aproksymacyjna całki górnej dla podziału "
przedziału [a, b] różni się od sumy aproksymacyjnej całki górnej dla
podziału z dodatkowym punktem podziału w punkcie c o nie więcej niż
2´ M.
Podobnie dla sumy aproksymacyjnej całki dolnej.
Mamy dla dowolnego {" n } normalnego ciągu podziałów przedziału [a, b]
0 d" S(" n ) - S(" n ) d"
d" S(" n, f) - S(" n, f) + S(" n, f) - S(" n, f) + 4´n M
CAA
KA OZNACZONA
Jeżeli f jest całkowalna na [a, b] to istnieje granica lewej strony równa
zero zatem istnieją granice obu nieujemnych składników po prawej stronie
i są równe zero.
Z istnienia granic składników wynika istnienie granicy sumy.
Ale dowolna suma aproksymacyjna całki górnej dla podziału "
przedziału [a, b] różni się od sumy aproksymacyjnej całki górnej dla
podziału z dodatkowym punktem podziału w punkcie c o nie więcej niż
2´ M.
Podobnie dla sumy aproksymacyjnej całki dolnej.
Mamy dla dowolnego {" n } normalnego ciągu podziałów przedziału [a, b]
0 d" S(" n ) - S(" n ) d"
d" S(" n, f) - S(" n, f) + S(" n, f) - S(" n, f) + 4´n M
CAA
KA OZNACZONA
Jeżeli f jest całkowalna na [a, b] to istnieje granica lewej strony równa
zero zatem istnieją granice obu nieujemnych składników po prawej stronie
i są równe zero.
Z istnienia granic składników wynika istnienie granicy sumy.
Ale dowolna suma aproksymacyjna całki górnej dla podziału "
przedziału [a, b] różni się od sumy aproksymacyjnej całki górnej dla
podziału z dodatkowym punktem podziału w punkcie c o nie więcej niż
2´ M.
Podobnie dla sumy aproksymacyjnej całki dolnej.
Mamy dla dowolnego {" n } normalnego ciągu podziałów przedziału [a, b]
0 d" S(" n ) - S(" n ) d"
d" S(" n, f) - S(" n, f) + S(" n, f) - S(" n, f) + 4´n M
CAA
KA OZNACZONA
Jeżeli f jest całkowalna na [a, b] to istnieje granica lewej strony równa
zero zatem istnieją granice obu nieujemnych składników po prawej stronie
i są równe zero.
Z istnienia granic składników wynika istnienie granicy sumy.
Ale dowolna suma aproksymacyjna całki górnej dla podziału "
przedziału [a, b] różni się od sumy aproksymacyjnej całki górnej dla
podziału z dodatkowym punktem podziału w punkcie c o nie więcej niż
2´ M.
Podobnie dla sumy aproksymacyjnej całki dolnej.
Mamy dla dowolnego {" n } normalnego ciągu podziałów przedziału [a, b]
0 d" S(" n ) - S(" n ) d"
d" S(" n, f) - S(" n, f) + S(" n, f) - S(" n, f) + 4´n M
CAA
KA OZNACZONA
Jeżeli f jest całkowalna na [a, b] to istnieje granica lewej strony równa
zero zatem istnieją granice obu nieujemnych składników po prawej stronie
i są równe zero.
Z istnienia granic składników wynika istnienie granicy sumy.
Ale dowolna suma aproksymacyjna całki górnej dla podziału "
przedziału [a, b] różni się od sumy aproksymacyjnej całki górnej dla
podziału z dodatkowym punktem podziału w punkcie c o nie więcej niż
2´ M.
Podobnie dla sumy aproksymacyjnej całki dolnej.
Mamy dla dowolnego {" n } normalnego ciągu podziałów przedziału [a, b]
0 d" S(" n ) - S(" n ) d"
d" S(" n, f) - S(" n, f) + S(" n, f) - S(" n, f) + 4´n M
CAA
KA OZNACZONA
Z istnienia całki na przedziałach [a, c] oraz [c, d] powyższa nierówność
implikuje istnienie granicy {S(" n ) - S(" n )}
i to, że jest ona równa zero skąd wynika całkowalność f na [a, b].
WNIOSEK 372
Niech funkcja ograniczona f bedzie określona na przedziale zamknietym
[a, b] i ciagła poza skończona ilościa punktów wtedy istnieje całka
Riemanna funkcji f na przedziale [a, b].
DOWÓD:
Bez straty ogólności możemy założyć, że funkcja jest nieciągła w jednym
punkcie i że jest to punkt końcowy przedzialu ( dla początkowego
analogicznie ).
CAA
KA OZNACZONA
Z istnienia całki na przedziałach [a, c] oraz [c, d] powyższa nierówność
implikuje istnienie granicy {S(" n ) - S(" n )}
i to, że jest ona równa zero skąd wynika całkowalność f na [a, b].
WNIOSEK 372
Niech funkcja ograniczona f bedzie określona na przedziale zamknietym
[a, b] i ciagła poza skończona ilościa punktów wtedy istnieje całka
Riemanna funkcji f na przedziale [a, b].
DOWÓD:
Bez straty ogólności możemy założyć, że funkcja jest nieciągła w jednym
punkcie i że jest to punkt końcowy przedzialu ( dla początkowego
analogicznie ).
CAA
KA OZNACZONA
Z istnienia całki na przedziałach [a, c] oraz [c, d] powyższa nierówność
implikuje istnienie granicy {S(" n ) - S(" n )}
i to, że jest ona równa zero skąd wynika całkowalność f na [a, b].
WNIOSEK 372
Niech funkcja ograniczona f bedzie określona na przedziale zamknietym
[a, b] i ciagła poza skończona ilościa punktów wtedy istnieje całka
Riemanna funkcji f na przedziale [a, b].
DOWÓD:
Bez straty ogólności możemy założyć, że funkcja jest nieciągła w jednym
punkcie i że jest to punkt końcowy przedzialu ( dla początkowego
analogicznie ).
CAA
KA OZNACZONA
Z istnienia całki na przedziałach [a, c] oraz [c, d] powyższa nierówność
implikuje istnienie granicy {S(" n ) - S(" n )}
i to, że jest ona równa zero skąd wynika całkowalność f na [a, b].
WNIOSEK 372
Niech funkcja ograniczona f bedzie określona na przedziale zamknietym
[a, b] i ciagła poza skończona ilościa punktów wtedy istnieje całka
Riemanna funkcji f na przedziale [a, b].
DOWÓD:
Bez straty ogólności możemy założyć, że funkcja jest nieciągła w jednym
punkcie i że jest to punkt końcowy przedzialu ( dla początkowego
analogicznie ).
CAA
KA OZNACZONA
Z istnienia całki na przedziałach [a, c] oraz [c, d] powyższa nierówność
implikuje istnienie granicy {S(" n ) - S(" n )}
i to, że jest ona równa zero skąd wynika całkowalność f na [a, b].
WNIOSEK 372
Niech funkcja ograniczona f bedzie określona na przedziale zamknietym
[a, b] i ciagła poza skończona ilościa punktów wtedy istnieje całka
Riemanna funkcji f na przedziale [a, b].
DOWÓD:
Bez straty ogólności możemy założyć, że funkcja jest nieciągła w jednym
punkcie i że jest to punkt końcowy przedzialu ( dla początkowego
analogicznie ).
CAA
KA OZNACZONA
µ
Dla dowolnego µ > 0 dla 0 < · < i dowolnego {"n} normalnego ciÄ…gu
2
podziałów [a, b] mamy
qn
(n)
µ
S("n, f) - S("n, f) d" (Mj - m(n))(x(n) - x(n) ) + 2´nM + ,
j j j-1
4
j=1
gdzie xn d" b - · < xn .
qn qn+1
Z ciÄ…gÅ‚oÅ›ci funkcji f na [a, b - ·] istnieje n0 dla n > n0
qn
(n)
µ
(Mj - m(n))(x(n) - x(n) ) <
j j j-1
4
j=1
oraz
µ
´n <
8M
ReasumujÄ…c S("n, f) - S("n, f) < µ.
Zatem f jest całkowalna na [a, b].
CAA
KA OZNACZONA
µ
Dla dowolnego µ > 0 dla 0 < · < i dowolnego {"n} normalnego ciÄ…gu
2
podziałów [a, b] mamy
qn
(n)
µ
S("n, f) - S("n, f) d" (Mj - m(n))(x(n) - x(n) ) + 2´nM + ,
j j j-1
4
j=1
gdzie xn d" b - · < xn .
qn qn+1
Z ciÄ…gÅ‚oÅ›ci funkcji f na [a, b - ·] istnieje n0 dla n > n0
qn
(n)
µ
(Mj - m(n))(x(n) - x(n) ) <
j j j-1
4
j=1
oraz
µ
´n <
8M
ReasumujÄ…c S("n, f) - S("n, f) < µ.
Zatem f jest całkowalna na [a, b].
CAA
KA OZNACZONA
µ
Dla dowolnego µ > 0 dla 0 < · < i dowolnego {"n} normalnego ciÄ…gu
2
podziałów [a, b] mamy
qn
(n)
µ
S("n, f) - S("n, f) d" (Mj - m(n))(x(n) - x(n) ) + 2´nM + ,
j j j-1
4
j=1
gdzie xn d" b - · < xn .
qn qn+1
Z ciÄ…gÅ‚oÅ›ci funkcji f na [a, b - ·] istnieje n0 dla n > n0
qn
(n)
µ
(Mj - m(n))(x(n) - x(n) ) <
j j j-1
4
j=1
oraz
µ
´n <
8M
ReasumujÄ…c S("n, f) - S("n, f) < µ.
Zatem f jest całkowalna na [a, b].
CAA
KA OZNACZONA
µ
Dla dowolnego µ > 0 dla 0 < · < i dowolnego {"n} normalnego ciÄ…gu
2
podziałów [a, b] mamy
qn
(n)
µ
S("n, f) - S("n, f) d" (Mj - m(n))(x(n) - x(n) ) + 2´nM + ,
j j j-1
4
j=1
gdzie xn d" b - · < xn .
qn qn+1
Z ciÄ…gÅ‚oÅ›ci funkcji f na [a, b - ·] istnieje n0 dla n > n0
qn
(n)
µ
(Mj - m(n))(x(n) - x(n) ) <
j j j-1
4
j=1
oraz
µ
´n <
8M
ReasumujÄ…c S("n, f) - S("n, f) < µ.
Zatem f jest całkowalna na [a, b].
CAA
KA OZNACZONA
µ
Dla dowolnego µ > 0 dla 0 < · < i dowolnego {"n} normalnego ciÄ…gu
2
podziałów [a, b] mamy
qn
(n)
µ
S("n, f) - S("n, f) d" (Mj - m(n))(x(n) - x(n) ) + 2´nM + ,
j j j-1
4
j=1
gdzie xn d" b - · < xn .
qn qn+1
Z ciÄ…gÅ‚oÅ›ci funkcji f na [a, b - ·] istnieje n0 dla n > n0
qn
(n)
µ
(Mj - m(n))(x(n) - x(n) ) <
j j j-1
4
j=1
oraz
µ
´n <
8M
ReasumujÄ…c S("n, f) - S("n, f) < µ.
Zatem f jest całkowalna na [a, b].
CAA
KA OZNACZONA
µ
Dla dowolnego µ > 0 dla 0 < · < i dowolnego {"n} normalnego ciÄ…gu
2
podziałów [a, b] mamy
qn
(n)
µ
S("n, f) - S("n, f) d" (Mj - m(n))(x(n) - x(n) ) + 2´nM + ,
j j j-1
4
j=1
gdzie xn d" b - · < xn .
qn qn+1
Z ciÄ…gÅ‚oÅ›ci funkcji f na [a, b - ·] istnieje n0 dla n > n0
qn
(n)
µ
(Mj - m(n))(x(n) - x(n) ) <
j j j-1
4
j=1
oraz
µ
´n <
8M
ReasumujÄ…c S("n, f) - S("n, f) < µ.
Zatem f jest całkowalna na [a, b].
CAA
KA OZNACZONA
TWIERDZENIE 373
Jeżeli f : [a, b] - R monotoniczna to f całkowalna na [a, b].
DOWÓD:
Rozważmy normalny ciąg podziałów {x(n)}n określony wzorem
j j=0
b-a
x(n) = a + j .
j
n
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że funkcja f jest niemalejąca.
n n
(n)
b-a b-a
Mamy Sn - Sn = Mj - m(n) = f(x(n)) - f(x(n) =
j j j-1
n n
j=1 j=1
b-a
(f(b) - f(a)).
n
Z Wniosku 369 mamy całkowalność funkcji niemalejącej. Dla funkcji
nierosnącej dowód analogiczny.
CAA
KA OZNACZONA
TWIERDZENIE 373
Jeżeli f : [a, b] - R monotoniczna to f całkowalna na [a, b].
DOWÓD:
Rozważmy normalny ciąg podziałów {x(n)}n określony wzorem
j j=0
b-a
x(n) = a + j .
j
n
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że funkcja f jest niemalejąca.
n n
(n)
b-a b-a
Mamy Sn - Sn = Mj - m(n) = f(x(n)) - f(x(n) =
j j j-1
n n
j=1 j=1
b-a
(f(b) - f(a)).
n
Z Wniosku 369 mamy całkowalność funkcji niemalejącej. Dla funkcji
nierosnącej dowód analogiczny.
CAA
KA OZNACZONA
TWIERDZENIE 373
Jeżeli f : [a, b] - R monotoniczna to f całkowalna na [a, b].
DOWÓD:
Rozważmy normalny ciąg podziałów {x(n)}n określony wzorem
j j=0
b-a
x(n) = a + j .
j
n
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że funkcja f jest niemalejąca.
n n
(n)
b-a b-a
Mamy Sn - Sn = Mj - m(n) = f(x(n)) - f(x(n) =
j j j-1
n n
j=1 j=1
b-a
(f(b) - f(a)).
n
Z Wniosku 369 mamy całkowalność funkcji niemalejącej. Dla funkcji
nierosnącej dowód analogiczny.
CAA
KA OZNACZONA
TWIERDZENIE 373
Jeżeli f : [a, b] - R monotoniczna to f całkowalna na [a, b].
DOWÓD:
Rozważmy normalny ciąg podziałów {x(n)}n określony wzorem
j j=0
b-a
x(n) = a + j .
j
n
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że funkcja f jest niemalejąca.
n n
(n)
b-a b-a
Mamy Sn - Sn = Mj - m(n) = f(x(n)) - f(x(n) =
j j j-1
n n
j=1 j=1
b-a
(f(b) - f(a)).
n
Z Wniosku 369 mamy całkowalność funkcji niemalejącej. Dla funkcji
nierosnącej dowód analogiczny.
CAA
KA OZNACZONA
TWIERDZENIE 373
Jeżeli f : [a, b] - R monotoniczna to f całkowalna na [a, b].
DOWÓD:
Rozważmy normalny ciąg podziałów {x(n)}n określony wzorem
j j=0
b-a
x(n) = a + j .
j
n
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że funkcja f jest niemalejąca.
n n
(n)
b-a b-a
Mamy Sn - Sn = Mj - m(n) = f(x(n)) - f(x(n) =
j j j-1
n n
j=1 j=1
b-a
(f(b) - f(a)).
n
Z Wniosku 369 mamy całkowalność funkcji niemalejącej. Dla funkcji
nierosnącej dowód analogiczny.
CAA
KA OZNACZONA
TWIERDZENIE 373
Jeżeli f : [a, b] - R monotoniczna to f całkowalna na [a, b].
DOWÓD:
Rozważmy normalny ciąg podziałów {x(n)}n określony wzorem
j j=0
b-a
x(n) = a + j .
j
n
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że funkcja f jest niemalejąca.
n n
(n)
b-a b-a
Mamy Sn - Sn = Mj - m(n) = f(x(n)) - f(x(n) =
j j j-1
n n
j=1 j=1
b-a
(f(b) - f(a)).
n
Z Wniosku 369 mamy całkowalność funkcji niemalejącej. Dla funkcji
nierosnącej dowód analogiczny.
CAA
KA OZNACZONA
TWIERDZENIE 373
Jeżeli f : [a, b] - R monotoniczna to f całkowalna na [a, b].
DOWÓD:
Rozważmy normalny ciąg podziałów {x(n)}n określony wzorem
j j=0
b-a
x(n) = a + j .
j
n
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że funkcja f jest niemalejąca.
n n
(n)
b-a b-a
Mamy Sn - Sn = Mj - m(n) = f(x(n)) - f(x(n) =
j j j-1
n n
j=1 j=1
b-a
(f(b) - f(a)).
n
Z Wniosku 369 mamy całkowalność funkcji niemalejącej. Dla funkcji
nierosnącej dowód analogiczny.