Wykład 15
Witold Obłoza
16 stycznia 2011
LICZBY ZESPOLONE
UWAGA 185
Liczby zespolone postaci (x, 0), (y, 0) możemy identyfikowac z liczbami
rzeczywistymi x, y.
Rzeczywiście (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) oraz (x, 0) � (y, 0) = (xy, 0).
Wykonywanie działań w podzbiorze {(a, 0) : a " R} zbioru liczb
zespolonych polega na wykonywaniu zwykłych działań na liczbach
rzeczywistych na pierwszych elementach par.
Dowolną liczbę zespoloną z = (a, b), gdzie a, b " R możemy przedstawić
w postaci z = (a, b) = (a, 0)(1, 0) + (b, 0)(0, 1).
Oznaczając Liczbę (0, 1) przez i i identyfikując liczbę postaci (x, 0) z
liczbą rzeczywistą x otrzymamy z = a + bi.
Mamy przy tym i2 = (0, 1) � (0, 1) = (-1, 0) = -1 czyli i2 = -1.
LICZBY ZESPOLONE
UWAGA 185
Liczby zespolone postaci (x, 0), (y, 0) możemy identyfikowac z liczbami
rzeczywistymi x, y.
Rzeczywiście (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) oraz (x, 0) � (y, 0) = (xy, 0).
Wykonywanie działań w podzbiorze {(a, 0) : a " R} zbioru liczb
zespolonych polega na wykonywaniu zwykłych działań na liczbach
rzeczywistych na pierwszych elementach par.
Dowolną liczbę zespoloną z = (a, b), gdzie a, b " R możemy przedstawić
w postaci z = (a, b) = (a, 0)(1, 0) + (b, 0)(0, 1).
Oznaczając Liczbę (0, 1) przez i i identyfikując liczbę postaci (x, 0) z
liczbą rzeczywistą x otrzymamy z = a + bi.
Mamy przy tym i2 = (0, 1) � (0, 1) = (-1, 0) = -1 czyli i2 = -1.
LICZBY ZESPOLONE
UWAGA 185
Liczby zespolone postaci (x, 0), (y, 0) możemy identyfikowac z liczbami
rzeczywistymi x, y.
Rzeczywiście (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) oraz (x, 0) � (y, 0) = (xy, 0).
Wykonywanie działań w podzbiorze {(a, 0) : a " R} zbioru liczb
zespolonych polega na wykonywaniu zwykłych działań na liczbach
rzeczywistych na pierwszych elementach par.
Dowolną liczbę zespoloną z = (a, b), gdzie a, b " R możemy przedstawić
w postaci z = (a, b) = (a, 0)(1, 0) + (b, 0)(0, 1).
Oznaczając Liczbę (0, 1) przez i i identyfikując liczbę postaci (x, 0) z
liczbą rzeczywistą x otrzymamy z = a + bi.
Mamy przy tym i2 = (0, 1) � (0, 1) = (-1, 0) = -1 czyli i2 = -1.
W. Obłoza 2012/13
LICZBY ZESPOLONE
WIEiK 304/14
czw. 12.45 13.30
K 16.15 17.00
UWAGA 185
K pt 9.10 9.55
Liczby zespolone postaci (x, 0), (y, 0) możemy identyfikowac z liczbami
rzeczywistymi x, y.
Rzeczywiście (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) oraz (x, 0) � (y, 0) = (xy, 0).
Wykonywanie działań w podzbiorze {(a, 0) : a " R} zbioru liczb
zespolonych polega na wykonywaniu zwykłych działań na liczbach
rzeczywistych na pierwszych elementach par.
Dowolną liczbę zespoloną z = (a, b), gdzie a, b " R możemy przedstawić
w postaci z = (a, b) = (a, 0)(1, 0) + (b, 0)(0, 1).
Oznaczając Liczbę (0, 1) przez i i identyfikując liczbę postaci (x, 0) z
liczbą rzeczywistą x otrzymamy z = a + bi.
Mamy przy tym i2 = (0, 1) � (0, 1) = (-1, 0) = -1 czyli i2 = -1.
LICZBY ZESPOLONE
UWAGA 185
Liczby zespolone postaci (x, 0), (y, 0) możemy identyfikowac z liczbami
rzeczywistymi x, y.
Rzeczywiście (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) oraz (x, 0) � (y, 0) = (xy, 0).
Wykonywanie działań w podzbiorze {(a, 0) : a " R} zbioru liczb
zespolonych polega na wykonywaniu zwykłych działań na liczbach
rzeczywistych na pierwszych elementach par.
Dowolną liczbę zespoloną z = (a, b), gdzie a, b " R możemy przedstawić
w postaci z = (a, b) = (a, 0)(1, 0) + (b, 0)(0, 1).
Oznaczając Liczbę (0, 1) przez i i identyfikując liczbę postaci (x, 0) z
liczbą rzeczywistą x otrzymamy z = a + bi.
Mamy przy tym i2 = (0, 1) � (0, 1) = (-1, 0) = -1 czyli i2 = -1.
LICZBY ZESPOLONE
UWAGA 185
Liczby zespolone postaci (x, 0), (y, 0) możemy identyfikowac z liczbami
rzeczywistymi x, y.
Rzeczywiście (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) oraz (x, 0) � (y, 0) = (xy, 0).
Wykonywanie działań w podzbiorze {(a, 0) : a " R} zbioru liczb
zespolonych polega na wykonywaniu zwykłych działań na liczbach
rzeczywistych na pierwszych elementach par.
Dowolną liczbę zespoloną z = (a, b), gdzie a, b " R możemy przedstawić
w postaci z = (a, b) = (a, 0)(1, 0) + (b, 0)(0, 1).
Oznaczając Liczbę (0, 1) przez i i identyfikując liczbę postaci (x, 0) z
liczbą rzeczywistą x otrzymamy z = a + bi.
Mamy przy tym i2 = (0, 1) � (0, 1) = (-1, 0) = -1 czyli i2 = -1.
LICZBY ZESPOLONE
DEFINICJA 186
Dla danej liczby zespolonej z = a + bi, gdzie a, b " R definiujemy
cześć rzeczywista Re z = a
cześć urojona Im z = b
sprzeżenie z = a - bi
"
moduł |z| = a2 + b2
b
oraz arg z jako dowola liczbe rzeczywista � dla; której sin � = "
a2 + b2
a
cos � = " . Jeżeli arg z " [0, 2Ą) to nazywamy go argumentem
a2 + b2
głównym i oznaczamy przez Arg z.
LICZBY ZESPOLONE
DEFINICJA 186
Dla danej liczby zespolonej z = a + bi, gdzie a, b " R definiujemy
cześć rzeczywista Re z = a
cześć urojona Im z = b
sprzeżenie z = a - bi
"
moduł |z| = a2 + b2
b
oraz arg z jako dowola liczbe rzeczywista � dla; której sin � = "
a2 + b2
a
cos � = " . Jeżeli arg z " [0, 2Ą) to nazywamy go argumentem
a2 + b2
głównym i oznaczamy przez Arg z.
LICZBY ZESPOLONE
DEFINICJA 186
Dla danej liczby zespolonej z = a + bi, gdzie a, b " R definiujemy
cześć rzeczywista Re z = a
cześć urojona Im z = b
sprzeżenie z = a - bi
"
moduł |z| = a2 + b2
b
oraz arg z jako dowola liczbe rzeczywista � dla; której sin � = "
a2 + b2
a
cos � = " . Jeżeli arg z " [0, 2Ą) to nazywamy go argumentem
a2 + b2
głównym i oznaczamy przez Arg z.
LICZBY ZESPOLONE
DEFINICJA 186
Dla danej liczby zespolonej z = a + bi, gdzie a, b " R definiujemy
cześć rzeczywista Re z = a
cześć urojona Im z = b
sprzeżenie z = a - bi
"
moduł |z| = a2 + b2
b
oraz arg z jako dowola liczbe rzeczywista � dla; której sin � = "
a2 + b2
a
cos � = " . Jeżeli arg z " [0, 2Ą) to nazywamy go argumentem
a2 + b2
głównym i oznaczamy przez Arg z.
LICZBY ZESPOLONE
DEFINICJA 186
Dla danej liczby zespolonej z = a + bi, gdzie a, b " R definiujemy
cześć rzeczywista Re z = a
cześć urojona Im z = b
sprzeżenie z = a - bi
"
moduł |z| = a2 + b2
b
oraz arg z jako dowola liczbe rzeczywista � dla; której sin � = "
a2 + b2
a
cos � = " . Jeżeli arg z " [0, 2Ą) to nazywamy go argumentem
a2 + b2
głównym i oznaczamy przez Arg z.
LICZBY ZESPOLONE
DEFINICJA 186
Dla danej liczby zespolonej z = a + bi, gdzie a, b " R definiujemy
cześć rzeczywista Re z = a
cześć urojona Im z = b
sprzeżenie z = a - bi
"
moduł |z| = a2 + b2
b
oraz arg z jako dowola liczbe rzeczywista � dla; której sin � = "
a2 + b2
a
cos � = " . Jeżeli arg z " [0, 2Ą) to nazywamy go argumentem
a2 + b2
głównym i oznaczamy przez Arg z.
LICZBY ZESPOLONE
DEFINICJA 186
Dla danej liczby zespolonej z = a + bi, gdzie a, b " R definiujemy
cześć rzeczywista Re z = a
cześć urojona Im z = b
sprzeżenie z = a - bi
"
moduł |z| = a2 + b2
b
oraz arg z jako dowola liczbe rzeczywista � dla; której sin � = "
a2 + b2
a
cos � = " . Jeżeli arg z " [0, 2Ą) to nazywamy go argumentem
a2 + b2
głównym i oznaczamy przez Arg z.
LICZBY ZESPOLONE
DEFINICJA 187
Dowolna liczbe zespolona z możemy przedstawić w postaci nazywanej
postacia trygonometryczna liczby zespolonej
z = |z|(cos� + i sin �), gdzie � = arg z.
TWIERDZENIE 188
Mnożac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej mnożymy moduły
i dodajemy argumenty.
DOWÓD:
Niech z1 = |z1|(cos�1 + isin �1) i z2 = |z2|(cos�2 + isin �2) wtedy
z1 � z2 = |z1|(cos�1 + i sin �1) � |z2|(cos�2 + i sin �2) =
|z1||z2| (cos�1cos�2 - sin �1sin �2 + i(cos�1sin �2 + sin�1cos �2)) =
|z1||z2|(cos(�1 + �2) + i sin (�1 + �2)).
LICZBY ZESPOLONE
DEFINICJA 187
Dowolna liczbe zespolona z możemy przedstawić w postaci nazywanej
postacia trygonometryczna liczby zespolonej
z = |z|(cos� + i sin �), gdzie � = arg z.
TWIERDZENIE 188
Mnożac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej mnożymy moduły
i dodajemy argumenty.
DOWÓD:
Niech z1 = |z1|(cos�1 + isin �1) i z2 = |z2|(cos�2 + isin �2) wtedy
z1 � z2 = |z1|(cos�1 + i sin �1) � |z2|(cos�2 + i sin �2) =
|z1||z2| (cos�1cos�2 - sin �1sin �2 + i(cos�1sin �2 + sin�1cos �2)) =
|z1||z2|(cos(�1 + �2) + i sin (�1 + �2)).
LICZBY ZESPOLONE
DEFINICJA 187
Dowolna liczbe zespolona z możemy przedstawić w postaci nazywanej
postacia trygonometryczna liczby zespolonej
z = |z|(cos� + i sin �), gdzie � = arg z.
TWIERDZENIE 188
Mnożac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej mnożymy moduły
i dodajemy argumenty.
DOWÓD:
Niech z1 = |z1|(cos�1 + isin �1) i z2 = |z2|(cos�2 + isin �2) wtedy
z1 � z2 = |z1|(cos�1 + i sin �1) � |z2|(cos�2 + i sin �2) =
|z1||z2| (cos�1cos�2 - sin �1sin �2 + i(cos�1sin �2 + sin�1cos �2)) =
|z1||z2|(cos(�1 + �2) + i sin (�1 + �2)).
LICZBY ZESPOLONE
DEFINICJA 187
Dowolna liczbe zespolona z możemy przedstawić w postaci nazywanej
postacia trygonometryczna liczby zespolonej
z = |z|(cos� + i sin �), gdzie � = arg z.
TWIERDZENIE 188
Mnożac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej mnożymy moduły
i dodajemy argumenty.
DOWÓD:
Niech z1 = |z1|(cos�1 + isin �1) i z2 = |z2|(cos�2 + isin �2) wtedy
z1 � z2 = |z1|(cos�1 + i sin �1) � |z2|(cos�2 + i sin �2) =
|z1||z2| (cos�1cos�2 - sin �1sin �2 + i(cos�1sin �2 + sin�1cos �2)) =
|z1||z2|(cos(�1 + �2) + i sin (�1 + �2)).
LICZBY ZESPOLONE
DEFINICJA 187
Dowolna liczbe zespolona z możemy przedstawić w postaci nazywanej
postacia trygonometryczna liczby zespolonej
z = |z|(cos� + i sin �), gdzie � = arg z.
TWIERDZENIE 188
Mnożac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej mnożymy moduły
i dodajemy argumenty.
DOWÓD:
Niech z1 = |z1|(cos�1 + isin �1) i z2 = |z2|(cos�2 + isin �2) wtedy
z1 � z2 = |z1|(cos�1 + i sin �1) � |z2|(cos�2 + i sin �2) =
|z1||z2| (cos�1cos�2 - sin �1sin �2 + i(cos�1sin �2 + sin�1cos �2)) =
|z1||z2|(cos(�1 + �2) + i sin (�1 + �2)).
LICZBY ZESPOLONE
DEFINICJA 187
Dowolna liczbe zespolona z możemy przedstawić w postaci nazywanej
postacia trygonometryczna liczby zespolonej
z = |z|(cos� + i sin �), gdzie � = arg z.
TWIERDZENIE 188
Mnożac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej mnożymy moduły
i dodajemy argumenty.
DOWÓD:
Niech z1 = |z1|(cos�1 + isin �1) i z2 = |z2|(cos�2 + isin �2) wtedy
z1 � z2 = |z1|(cos�1 + i sin �1) � |z2|(cos�2 + i sin �2) =
|z1||z2| (cos�1cos�2 - sin �1sin �2 + i(cos�1sin �2 + sin�1cos �2)) =
|z1||z2|(cos(�1 + �2) + i sin (�1 + �2)).
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 189
Dzielac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej dzielimy moduły i
odejmujemy argumenty.
TWIERDZENIE 190
Podnoszac liczbe zespolona w postaci trygonometrycznej do potegi n
podnosimy moduł do potegi n i mnożymy argument oprzez n.
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 189
Dzielac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej dzielimy moduły i
odejmujemy argumenty.
TWIERDZENIE 190
Podnoszac liczbe zespolona w postaci trygonometrycznej do potegi n
podnosimy moduł do potegi n i mnożymy argument oprzez n.
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 191
Wszystkie pierwiastki stopnia n liczby zespolonej
� + 2kĄ � + 2kĄ
n
|z|(cos� + i sin �), sa postaci �k = |z|(cos + i sin ),
n n
gdzie k " {0, 1, 2, 3, . . . , n - 1}.
TWIERDZENIE 192
Niech z1, z2 " C wtedy
z1 ą z2 = z1 ą z2
z1 � z2 = z1 � z2
i jeśli z2 = 0 to

z1 z1
= .
z2 z2
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 191
Wszystkie pierwiastki stopnia n liczby zespolonej
� + 2kĄ � + 2kĄ
n
|z|(cos� + i sin �), sa postaci �k = |z|(cos + i sin ),
n n
gdzie k " {0, 1, 2, 3, . . . , n - 1}.
TWIERDZENIE 192
Niech z1, z2 " C wtedy
z1 ą z2 = z1 ą z2
z1 � z2 = z1 � z2
i jeśli z2 = 0 to

z1 z1
= .
z2 z2
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 191
Wszystkie pierwiastki stopnia n liczby zespolonej
� + 2kĄ � + 2kĄ
n
|z|(cos� + i sin �), sa postaci �k = |z|(cos + i sin ),
n n
gdzie k " {0, 1, 2, 3, . . . , n - 1}.
TWIERDZENIE 192
Niech z1, z2 " C wtedy
z1 ą z2 = z1 ą z2
z1 � z2 = z1 � z2
i jeśli z2 = 0 to

z1 z1
= .
z2 z2
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 191
Wszystkie pierwiastki stopnia n liczby zespolonej
� + 2kĄ � + 2kĄ
n
|z|(cos� + i sin �), sa postaci �k = |z|(cos + i sin ),
n n
gdzie k " {0, 1, 2, 3, . . . , n - 1}.
TWIERDZENIE 192
Niech z1, z2 " C wtedy
z1 ą z2 = z1 ą z2
z1 � z2 = z1 � z2
i jeśli z2 = 0 to

z1 z1
= .
z2 z2
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 193
Niech z1, z2 " C wtedy
|z1 � z2| = |z1| � |z2|,
|z1 + z2| d" |z1| + |z2|,
i jeśli z2 = 0 to

z1 |z1|
| | = .
z2 |z2|
PRZYKA
AD 194
Obliczyć (1 + i)10.
"
Ą
Niech z = 1 + i wówczs |z| = 2 zaś Arg z = .
4
"
10
10Ą 10Ą Ą Ą
z10 = 2 (cos + isin ) = 25(cos + isin ) = 32i
4 4 2 2
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 193
Niech z1, z2 " C wtedy
|z1 � z2| = |z1| � |z2|,
|z1 + z2| d" |z1| + |z2|,
i jeśli z2 = 0 to

z1 |z1|
| | = .
z2 |z2|
PRZYKA
AD 194
Obliczyć (1 + i)10.
"
Ą
Niech z = 1 + i wówczs |z| = 2 zaś Arg z = .
4
"
10
10Ą 10Ą Ą Ą
z10 = 2 (cos + isin ) = 25(cos + isin ) = 32i
4 4 2 2
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 193
Niech z1, z2 " C wtedy
|z1 � z2| = |z1| � |z2|,
|z1 + z2| d" |z1| + |z2|,
i jeśli z2 = 0 to

z1 |z1|
| | = .
z2 |z2|
PRZYKA
AD 194
Obliczyć (1 + i)10.
"
Ą
Niech z = 1 + i wówczs |z| = 2 zaś Arg z = .
4
"
10
10Ą 10Ą Ą Ą
z10 = 2 (cos + isin ) = 25(cos + isin ) = 32i
4 4 2 2
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 193
Niech z1, z2 " C wtedy
|z1 � z2| = |z1| � |z2|,
|z1 + z2| d" |z1| + |z2|,
i jeśli z2 = 0 to

z1 |z1|
| | = .
z2 |z2|
PRZYKA
AD 194
Obliczyć (1 + i)10.
"
Ą
Niech z = 1 + i wówczs |z| = 2 zaś Arg z = .
4
"
10
10Ą 10Ą Ą Ą
z10 = 2 (cos + isin ) = 25(cos + isin ) = 32i
4 4 2 2
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 193
Niech z1, z2 " C wtedy
|z1 � z2| = |z1| � |z2|,
|z1 + z2| d" |z1| + |z2|,
i jeśli z2 = 0 to

z1 |z1|
| | = .
z2 |z2|
PRZYKA
AD 194
Obliczyć (1 + i)10.
"
Ą
Niech z = 1 + i wówczs |z| = 2 zaś Arg z = .
4
"
10
10Ą 10Ą Ą Ą
z10 = 2 (cos + isin ) = 25(cos + isin ) = 32i
4 4 2 2
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 193
Niech z1, z2 " C wtedy
|z1 � z2| = |z1| � |z2|,
|z1 + z2| d" |z1| + |z2|,
i jeśli z2 = 0 to

z1 |z1|
| | = .
z2 |z2|
PRZYKA
AD 194
Obliczyć (1 + i)10.
"
Ą
Niech z = 1 + i wówczs |z| = 2 zaś Arg z = .
4
"
10
10Ą 10Ą Ą Ą
z10 = 2 (cos + isin ) = 25(cos + isin ) = 32i
4 4 2 2
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 193
Niech z1, z2 " C wtedy
|z1 � z2| = |z1| � |z2|,
|z1 + z2| d" |z1| + |z2|,
i jeśli z2 = 0 to

z1 |z1|
| | = .
z2 |z2|
PRZYKA
AD 194
Obliczyć (1 + i)10.
"
Ą
Niech z = 1 + i wówczs |z| = 2 zaś Arg z = .
4
"
10
10Ą 10Ą Ą Ą
z10 = 2 (cos + isin ) = 25(cos + isin ) = 32i
4 4 2 2
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 193
Niech z1, z2 " C wtedy
|z1 � z2| = |z1| � |z2|,
|z1 + z2| d" |z1| + |z2|,
i jeśli z2 = 0 to

z1 |z1|
| | = .
z2 |z2|
PRZYKA
AD 194
Obliczyć (1 + i)10.
"
Ą
Niech z = 1 + i wówczs |z| = 2 zaś Arg z = .
4
"
10
10Ą 10Ą Ą Ą
z10 = 2 (cos + isin ) = 25(cos + isin ) = 32i
4 4 2 2
LICZBY ZESPOLONE
PRZYKA
AD 195
"
3
Obliczyć -1 + i.
"
3Ą
Niech z = -1 + i wówczs |z| = 2 zaś Arg z = .
4
" "
" "
6 6
Ą Ą 2 2
�1 = 2(cos + i � sin )) = 2( + i ),
4 4 2 2
" "
6 6
2Ą 2Ą 11Ą 11Ą
�2 = 2(cos (Ą + ) + i � sin (Ą + )) = 2(cos + i � sin ),
4 3 4 3 12 12
" "
6 6
4Ą 4Ą 19Ą 19Ą
�3 = 2(cos (Ą + ) + i � sin (Ą + )) = 2(cos + i � sin ).
4 3 4 3 12 12
LICZBY ZESPOLONE
PRZYKA
AD 195
"
3
Obliczyć -1 + i.
"
3Ą
Niech z = -1 + i wówczs |z| = 2 zaś Arg z = .
4
" "
" "
6 6
Ą Ą 2 2
�1 = 2(cos + i � sin )) = 2( + i ),
4 4 2 2
" "
6 6
2Ą 2Ą 11Ą 11Ą
�2 = 2(cos (Ą + ) + i � sin (Ą + )) = 2(cos + i � sin ),
4 3 4 3 12 12
" "
6 6
4Ą 4Ą 19Ą 19Ą
�3 = 2(cos (Ą + ) + i � sin (Ą + )) = 2(cos + i � sin ).
4 3 4 3 12 12
LICZBY ZESPOLONE
PRZYKA
AD 195
"
3
Obliczyć -1 + i.
"
3Ą
Niech z = -1 + i wówczs |z| = 2 zaś Arg z = .
4
" "
" "
6 6
Ą Ą 2 2
�1 = 2(cos + i � sin )) = 2( + i ),
4 4 2 2
" "
6 6
2Ą 2Ą 11Ą 11Ą
�2 = 2(cos (Ą + ) + i � sin (Ą + )) = 2(cos + i � sin ),
4 3 4 3 12 12
" "
6 6
4Ą 4Ą 19Ą 19Ą
�3 = 2(cos (Ą + ) + i � sin (Ą + )) = 2(cos + i � sin ).
4 3 4 3 12 12
LICZBY ZESPOLONE
PRZYKA
AD 195
"
3
Obliczyć -1 + i.
"
3Ą
Niech z = -1 + i wówczs |z| = 2 zaś Arg z = .
4
" "
" "
6 6
Ą Ą 2 2
�1 = 2(cos + i � sin )) = 2( + i ),
4 4 2 2
" "
6 6
2Ą 2Ą 11Ą 11Ą
�2 = 2(cos (Ą + ) + i � sin (Ą + )) = 2(cos + i � sin ),
4 3 4 3 12 12
" "
6 6
4Ą 4Ą 19Ą 19Ą
�3 = 2(cos (Ą + ) + i � sin (Ą + )) = 2(cos + i � sin ).
4 3 4 3 12 12
LICZBY ZESPOLONE
PRZYKA
AD 195
"
3
Obliczyć -1 + i.
"
3Ą
Niech z = -1 + i wówczs |z| = 2 zaś Arg z = .
4
" "
" "
6 6
Ą Ą 2 2
�1 = 2(cos + i � sin )) = 2( + i ),
4 4 2 2
" "
6 6
2Ą 2Ą 11Ą 11Ą
�2 = 2(cos (Ą + ) + i � sin (Ą + )) = 2(cos + i � sin ),
4 3 4 3 12 12
" "
6 6
4Ą 4Ą 19Ą 19Ą
�3 = 2(cos (Ą + ) + i � sin (Ą + )) = 2(cos + i � sin ).
4 3 4 3 12 12
LICZBY ZESPOLONE
PRZYKA
AD 195
"
3
Obliczyć -1 + i.
"
3Ą
Niech z = -1 + i wówczs |z| = 2 zaś Arg z = .
4
" "
" "
6 6
Ą Ą 2 2
�1 = 2(cos + i � sin )) = 2( + i ),
4 4 2 2
" "
6 6
2Ą 2Ą 11Ą 11Ą
�2 = 2(cos (Ą + ) + i � sin (Ą + )) = 2(cos + i � sin ),
4 3 4 3 12 12
" "
6 6
4Ą 4Ą 19Ą 19Ą
�3 = 2(cos (Ą + ) + i � sin (Ą + )) = 2(cos + i � sin ).
4 3 4 3 12 12
LICZBY ZESPOLONE
PRZYKA
AD 195
"
3
Obliczyć -1 + i.
"
3Ą
Niech z = -1 + i wówczs |z| = 2 zaś Arg z = .
4
" "
" "
6 6
Ą Ą 2 2
�1 = 2(cos + i � sin )) = 2( + i ),
4 4 2 2
" "
6 6
2Ą 2Ą 11Ą 11Ą
�2 = 2(cos (Ą + ) + i � sin (Ą + )) = 2(cos + i � sin ),
4 3 4 3 12 12
" "
6 6
4Ą 4Ą 19Ą 19Ą
�3 = 2(cos (Ą + ) + i � sin (Ą + )) = 2(cos + i � sin ).
4 3 4 3 12 12
LICZBY ZESPOLONE
PRZYKA
AD 195
"
3
Obliczyć -1 + i.
"
3Ą
Niech z = -1 + i wówczs |z| = 2 zaś Arg z = .
4
" "
" "
6 6
Ą Ą 2 2
�1 = 2(cos + i � sin )) = 2( + i ),
4 4 2 2
" "
6 6
2Ą 2Ą 11Ą 11Ą
�2 = 2(cos (Ą + ) + i � sin (Ą + )) = 2(cos + i � sin ),
4 3 4 3 12 12
" "
6 6
4Ą 4Ą 19Ą 19Ą
�3 = 2(cos (Ą + ) + i � sin (Ą + )) = 2(cos + i � sin ).
4 3 4 3 12 12
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA 196
Niech K i V beda dowolnymi zbioremi każda funkcje postaci
: K � V - V nazywamy działaniem zewnetrnym w zbiorze V.
DEFINICJA 197
Czwórke (V, K, +, �), gdzie (V, +) jest grupa przemienna, K ciałem,
� : K � V - V działaniem zewnetrznym w V nazywamy przestrzenia
wektorowa ( liniowa ) nad ciałem K wtw, gdy spełnione sa warunki
1)", � " K "x, y " V ( + �) � x =  � x + � � x,
 � (x + y) =  � x +  � y,
2)", � " K "x " V (�) � x = (� � x),
3)"x " V e � x = x, gdzie e jest elementem neutralnym mnożenia w ciele
K.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA 196
Niech K i V beda dowolnymi zbioremi każda funkcje postaci
: K � V - V nazywamy działaniem zewnetrnym w zbiorze V.
DEFINICJA 197
Czwórke (V, K, +, �), gdzie (V, +) jest grupa przemienna, K ciałem,
� : K � V - V działaniem zewnetrznym w V nazywamy przestrzenia
wektorowa ( liniowa ) nad ciałem K wtw, gdy spełnione sa warunki
1)", � " K "x, y " V ( + �) � x =  � x + � � x,
 � (x + y) =  � x +  � y,
2)", � " K "x " V (�) � x = (� � x),
3)"x " V e � x = x, gdzie e jest elementem neutralnym mnożenia w ciele
K.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA 196
Niech K i V beda dowolnymi zbioremi każda funkcje postaci
: K � V - V nazywamy działaniem zewnetrnym w zbiorze V.
DEFINICJA 197
Czwórke (V, K, +, �), gdzie (V, +) jest grupa przemienna, K ciałem,
� : K � V - V działaniem zewnetrznym w V nazywamy przestrzenia
wektorowa ( liniowa ) nad ciałem K wtw, gdy spełnione sa warunki
1)", � " K "x, y " V ( + �) � x =  � x + � � x,
 � (x + y) =  � x +  � y,
2)", � " K "x " V (�) � x = (� � x),
3)"x " V e � x = x, gdzie e jest elementem neutralnym mnożenia w ciele
K.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA 196
Niech K i V beda dowolnymi zbioremi każda funkcje postaci
: K � V - V nazywamy działaniem zewnetrnym w zbiorze V.
DEFINICJA 197
Czwórke (V, K, +, �), gdzie (V, +) jest grupa przemienna, K ciałem,
� : K � V - V działaniem zewnetrznym w V nazywamy przestrzenia
wektorowa ( liniowa ) nad ciałem K wtw, gdy spełnione sa warunki
1)", � " K "x, y " V ( + �) � x =  � x + � � x,
 � (x + y) =  � x +  � y,
2)", � " K "x " V (�) � x = (� � x),
3)"x " V e � x = x, gdzie e jest elementem neutralnym mnożenia w ciele
K.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA 196
Niech K i V beda dowolnymi zbioremi każda funkcje postaci
: K � V - V nazywamy działaniem zewnetrnym w zbiorze V.
DEFINICJA 197
Czwórke (V, K, +, �), gdzie (V, +) jest grupa przemienna, K ciałem,
� : K � V - V działaniem zewnetrznym w V nazywamy przestrzenia
wektorowa ( liniowa ) nad ciałem K wtw, gdy spełnione sa warunki
1)", � " K "x, y " V ( + �) � x =  � x + � � x,
 � (x + y) =  � x +  � y,
2)", � " K "x " V (�) � x = (� � x),
3)"x " V e � x = x, gdzie e jest elementem neutralnym mnożenia w ciele
K.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
PRZYKA
AD 198
Przestrzeń Rn nad R.
W Rn definiujemy dodawanie wzorem
(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)
oraz mnożenie przez liczby rzeczywiste wzorem
 � (x1, x2, . . . , xn) = ( � x1,  � x2, . . . ,  � xn).
W poniższych przykładach działania definiujemy analogicznie jak wyżej.
Przestrzeń Cn nad C.
Przestrzeń Cn nad R.
Przestrzeń Rn nad Q.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
PRZYKA
AD 198
Przestrzeń Rn nad R.
W Rn definiujemy dodawanie wzorem
(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)
oraz mnożenie przez liczby rzeczywiste wzorem
 � (x1, x2, . . . , xn) = ( � x1,  � x2, . . . ,  � xn).
W poniższych przykładach działania definiujemy analogicznie jak wyżej.
Przestrzeń Cn nad C.
Przestrzeń Cn nad R.
Przestrzeń Rn nad Q.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
PRZYKA
AD 198
Przestrzeń Rn nad R.
W Rn definiujemy dodawanie wzorem
(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)
oraz mnożenie przez liczby rzeczywiste wzorem
 � (x1, x2, . . . , xn) = ( � x1,  � x2, . . . ,  � xn).
W poniższych przykładach działania definiujemy analogicznie jak wyżej.
Przestrzeń Cn nad C.
Przestrzeń Cn nad R.
Przestrzeń Rn nad Q.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
PRZYKA
AD 198
Przestrzeń Rn nad R.
W Rn definiujemy dodawanie wzorem
(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)
oraz mnożenie przez liczby rzeczywiste wzorem
 � (x1, x2, . . . , xn) = ( � x1,  � x2, . . . ,  � xn).
W poniższych przykładach działania definiujemy analogicznie jak wyżej.
Przestrzeń Cn nad C.
Przestrzeń Cn nad R.
Przestrzeń Rn nad Q.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
PRZYKA
AD 198
Przestrzeń Rn nad R.
W Rn definiujemy dodawanie wzorem
(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)
oraz mnożenie przez liczby rzeczywiste wzorem
 � (x1, x2, . . . , xn) = ( � x1,  � x2, . . . ,  � xn).
W poniższych przykładach działania definiujemy analogicznie jak wyżej.
Przestrzeń Cn nad C.
Przestrzeń Cn nad R.
Przestrzeń Rn nad Q.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
PRZYKA
AD 198
Przestrzeń Rn nad R.
W Rn definiujemy dodawanie wzorem
(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)
oraz mnożenie przez liczby rzeczywiste wzorem
 � (x1, x2, . . . , xn) = ( � x1,  � x2, . . . ,  � xn).
W poniższych przykładach działania definiujemy analogicznie jak wyżej.
Przestrzeń Cn nad C.
Przestrzeń Cn nad R.
Przestrzeń Rn nad Q.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA 199
Niech V bedzie przestrzenia wektorowa nad ciałem K. Elementy V
nazywamy wektorami, a elementy K nazywamy skalarami.
DEFINICJA 200
Jeżeli (V, K, +, �) jest przestrzenia wektorowa i (U, K, +|U�U , �|K�U ),
gdzie U �" V jest p.w. to U nazywamy podprzestrzenia p.w. V.
TWIERDZENIE 201
U �" V jest podprzestrzenia p.w. (V, K, +, �) wtw, gdy
"u, v " U "ą " K u + v " U, ąv " U.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA 199
Niech V bedzie przestrzenia wektorowa nad ciałem K. Elementy V
nazywamy wektorami, a elementy K nazywamy skalarami.
DEFINICJA 200
Jeżeli (V, K, +, �) jest przestrzenia wektorowa i (U, K, +|U�U , �|K�U ),
gdzie U �" V jest p.w. to U nazywamy podprzestrzenia p.w. V.
TWIERDZENIE 201
U �" V jest podprzestrzenia p.w. (V, K, +, �) wtw, gdy
"u, v " U "ą " K u + v " U, ąv " U.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA 199
Niech V bedzie przestrzenia wektorowa nad ciałem K. Elementy V
nazywamy wektorami, a elementy K nazywamy skalarami.
DEFINICJA 200
Jeżeli (V, K, +, �) jest przestrzenia wektorowa i (U, K, +|U�U , �|K�U ),
gdzie U �" V jest p.w. to U nazywamy podprzestrzenia p.w. V.
TWIERDZENIE 201
U �" V jest podprzestrzenia p.w. (V, K, +, �) wtw, gdy
"u, v " U "ą " K u + v " U, ąv " U.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA 202
Niech v1, v2, v3, . . . , vn beda wektorami, a 1, 2, 3, . . . , n beda
skalarami wtedy wyrażenie 1 � v1 + 2 � v2 + 3 � v3 + � � � + n � vn
nazywamy kombinacja liniowa wektorów v1, v2, v3, . . . , vn o
współczynnikach 1, 2, 3, . . . , n.
DEFINICJA 203
Niech (V, K, +, �) bedzie p.w. i niech v1, v2, v3, . . . , vn " V. Przestrzenia
generowana przez v1, v2, v3, . . . , vn nazywam podprzestrzeń liniowa V
złożona z wszystkich kombinacji liniowych wektorów v1, v2, v3, . . . , vn.
DEFINICJA 204
Niech O oznacza element neutralny przestrzeni wektorowej V. Układ
wektorów v1, v2, v3, . . . , vn nazywamy liniowo niezależnym wtw, gdy
"1, 2, 3, . . . , n " K (1 � v1 + 2 � v2 + 3 � v3 + � � � + n � vn =
O =�! 1 = 2 = 3 = � � � = n = 0).
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA 202
Niech v1, v2, v3, . . . , vn beda wektorami, a 1, 2, 3, . . . , n beda
skalarami wtedy wyrażenie 1 � v1 + 2 � v2 + 3 � v3 + � � � + n � vn
nazywamy kombinacja liniowa wektorów v1, v2, v3, . . . , vn o
współczynnikach 1, 2, 3, . . . , n.
DEFINICJA 203
Niech (V, K, +, �) bedzie p.w. i niech v1, v2, v3, . . . , vn " V. Przestrzenia
generowana przez v1, v2, v3, . . . , vn nazywam podprzestrzeń liniowa V
złożona z wszystkich kombinacji liniowych wektorów v1, v2, v3, . . . , vn.
DEFINICJA 204
Niech O oznacza element neutralny przestrzeni wektorowej V. Układ
wektorów v1, v2, v3, . . . , vn nazywamy liniowo niezależnym wtw, gdy
"1, 2, 3, . . . , n " K (1 � v1 + 2 � v2 + 3 � v3 + � � � + n � vn =
O =�! 1 = 2 = 3 = � � � = n = 0).
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA 202
Niech v1, v2, v3, . . . , vn beda wektorami, a 1, 2, 3, . . . , n beda
skalarami wtedy wyrażenie 1 � v1 + 2 � v2 + 3 � v3 + � � � + n � vn
nazywamy kombinacja liniowa wektorów v1, v2, v3, . . . , vn o
współczynnikach 1, 2, 3, . . . , n.
DEFINICJA 203
Niech (V, K, +, �) bedzie p.w. i niech v1, v2, v3, . . . , vn " V. Przestrzenia
generowana przez v1, v2, v3, . . . , vn nazywam podprzestrzeń liniowa V
złożona z wszystkich kombinacji liniowych wektorów v1, v2, v3, . . . , vn.
DEFINICJA 204
Niech O oznacza element neutralny przestrzeni wektorowej V. Układ
wektorów v1, v2, v3, . . . , vn nazywamy liniowo niezależnym wtw, gdy
"1, 2, 3, . . . , n " K (1 � v1 + 2 � v2 + 3 � v3 + � � � + n � vn =
O =�! 1 = 2 = 3 = � � � = n = 0).
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA 205
Jeżeli wektory nie sa liniowo niezależne to mówimy, że sa liniowo zależne.
TWIERDZENIE 206
Warunkiem koniecznym i wystarczajacym na to aby wektory
v1, v2, v3, . . . , vn były liniowo zależne jest by jeden z nich był kombinacja
liniowa pozostałych.
DEFINICJA 207
Mówimy, że wektory e1, e2, e3, . . . , en tworza baze w przestrzeni
wektorowej V, jeżeli
1)e1, e2, e3, . . . , en sa liniowo niezależne,
2)"a " V wektory e1, e2, e3, . . . , en, a sa liniowo zależne.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA 205
Jeżeli wektory nie sa liniowo niezależne to mówimy, że sa liniowo zależne.
TWIERDZENIE 206
Warunkiem koniecznym i wystarczajacym na to aby wektory
v1, v2, v3, . . . , vn były liniowo zależne jest by jeden z nich był kombinacja
liniowa pozostałych.
DEFINICJA 207
Mówimy, że wektory e1, e2, e3, . . . , en tworza baze w przestrzeni
wektorowej V, jeżeli
1)e1, e2, e3, . . . , en sa liniowo niezależne,
2)"a " V wektory e1, e2, e3, . . . , en, a sa liniowo zależne.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA 205
Jeżeli wektory nie sa liniowo niezależne to mówimy, że sa liniowo zależne.
TWIERDZENIE 206
Warunkiem koniecznym i wystarczajacym na to aby wektory
v1, v2, v3, . . . , vn były liniowo zależne jest by jeden z nich był kombinacja
liniowa pozostałych.
DEFINICJA 207
Mówimy, że wektory e1, e2, e3, . . . , en tworza baze w przestrzeni
wektorowej V, jeżeli
1)e1, e2, e3, . . . , en sa liniowo niezależne,
2)"a " V wektory e1, e2, e3, . . . , en, a sa liniowo zależne.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
TWIERDZENIE 208
Jeżeli e1, e2, e3, . . . , en tworza baze p.w. V to każdy wektor V można
jednoznacznie przedstawić w postaci kombinacji elementów bazy.
TWIERDZENIE 209
Każda baza danej p.w. ma tyle samo elementów to znaczy dla dowolnych
baz danej przestrzeni wektorowej istnieje bijekcja miedzy nimi.
DEFINICJA 210
Liczbe elementów bazy nazywamy wymiarem przestrzeni.
DEFINICJA 211
Jeżeli e1, e2, e3, . . . , en tworza baze p.w. V i
x = 1 � e1 + 2 � e2 + 3 � e3 + � � � + n � en to 1, 2, 3, . . . , n
nazywamy współrzednymi wektora x w bazie e1, e2, e3, . . . , en.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
TWIERDZENIE 208
Jeżeli e1, e2, e3, . . . , en tworza baze p.w. V to każdy wektor V można
jednoznacznie przedstawić w postaci kombinacji elementów bazy.
TWIERDZENIE 209
Każda baza danej p.w. ma tyle samo elementów to znaczy dla dowolnych
baz danej przestrzeni wektorowej istnieje bijekcja miedzy nimi.
DEFINICJA 210
Liczbe elementów bazy nazywamy wymiarem przestrzeni.
DEFINICJA 211
Jeżeli e1, e2, e3, . . . , en tworza baze p.w. V i
x = 1 � e1 + 2 � e2 + 3 � e3 + � � � + n � en to 1, 2, 3, . . . , n
nazywamy współrzednymi wektora x w bazie e1, e2, e3, . . . , en.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
TWIERDZENIE 208
Jeżeli e1, e2, e3, . . . , en tworza baze p.w. V to każdy wektor V można
jednoznacznie przedstawić w postaci kombinacji elementów bazy.
TWIERDZENIE 209
Każda baza danej p.w. ma tyle samo elementów to znaczy dla dowolnych
baz danej przestrzeni wektorowej istnieje bijekcja miedzy nimi.
DEFINICJA 210
Liczbe elementów bazy nazywamy wymiarem przestrzeni.
DEFINICJA 211
Jeżeli e1, e2, e3, . . . , en tworza baze p.w. V i
x = 1 � e1 + 2 � e2 + 3 � e3 + � � � + n � en to 1, 2, 3, . . . , n
nazywamy współrzednymi wektora x w bazie e1, e2, e3, . . . , en.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
TWIERDZENIE 208
Jeżeli e1, e2, e3, . . . , en tworza baze p.w. V to każdy wektor V można
jednoznacznie przedstawić w postaci kombinacji elementów bazy.
TWIERDZENIE 209
Każda baza danej p.w. ma tyle samo elementów to znaczy dla dowolnych
baz danej przestrzeni wektorowej istnieje bijekcja miedzy nimi.
DEFINICJA 210
Liczbe elementów bazy nazywamy wymiarem przestrzeni.
DEFINICJA 211
Jeżeli e1, e2, e3, . . . , en tworza baze p.w. V i
x = 1 � e1 + 2 � e2 + 3 � e3 + � � � + n � en to 1, 2, 3, . . . , n
nazywamy współrzednymi wektora x w bazie e1, e2, e3, . . . , en.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA 212
Niech V, W beda p.w. nad ciałem K wtedy odwzorowanie A : V - W
nazywamy odwzorowaniem liniowym ( homomorfizmem p.w. ) wtw, gdy
"x, y " V "ą, � " K A(ąx + �y) = ąA(x) + �A(y).
TWIERDZENIE 213
Zbiór L(V, W ) przekształceń liniowych z p.w. V w p.w. W z działaniami
"T, S " L(V, W ) "v " V "ą " K (T + S)(v) = T (v) + S(v)
(ąT )(v) = ą(T (v)) jest przestrzenia liniowa.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA 212
Niech V, W beda p.w. nad ciałem K wtedy odwzorowanie A : V - W
nazywamy odwzorowaniem liniowym ( homomorfizmem p.w. ) wtw, gdy
"x, y " V "ą, � " K A(ąx + �y) = ąA(x) + �A(y).
TWIERDZENIE 213
Zbiór L(V, W ) przekształceń liniowych z p.w. V w p.w. W z działaniami
"T, S " L(V, W ) "v " V "ą " K (T + S)(v) = T (v) + S(v)
(ąT )(v) = ą(T (v)) jest przestrzenia liniowa.