Wykład 09
Witold Obłoza
20 stycznia 2011
POCHODNA
TWIERDZENIE 99
Niech beda dane funkcje f : X - Y, g : Y - Z, gdzie X, Y, Z sÄ…
przedziałami w R i niech f(x0) = y0.
Jeżeli istnieja pochodne f (x0), g (y0) to istnieje (g ć% f) (x0)
i ponadto (g ć% f) (x0) = g (y0) · f (x0).
DOWÓD: Jeżeli w każdym sąsiedztwie x0 istnieje x1 takie, że f(x1) = y0
to g(f(x1)) = g(y0) i f (x0) = 0.
Wówczas dla x takich, że f(x) = y0 mamy

g(f(x)) - g(f(x0)) g(f(x)) - g(f(x0)) f(x) - f(x0)
= .
x - x0 f(x) - f(x0) x - x0
POCHODNA
TWIERDZENIE 99
Niech beda dane funkcje f : X - Y, g : Y - Z, gdzie X, Y, Z sÄ…
przedziałami w R i niech f(x0) = y0.
Jeżeli istnieja pochodne f (x0), g (y0) to istnieje (g ć% f) (x0)
i ponadto (g ć% f) (x0) = g (y0) · f (x0).
DOWÓD: Jeżeli w każdym sąsiedztwie x0 istnieje x1 takie, że f(x1) = y0
to g(f(x1)) = g(y0) i f (x0) = 0.
Wówczas dla x takich, że f(x) = y0 mamy

g(f(x)) - g(f(x0)) g(f(x)) - g(f(x0)) f(x) - f(x0)
= .
x - x0 f(x) - f(x0) x - x0
POCHODNA
TWIERDZENIE 99
Niech beda dane funkcje f : X - Y, g : Y - Z, gdzie X, Y, Z sÄ…
przedziałami w R i niech f(x0) = y0.
Jeżeli istnieja pochodne f (x0), g (y0) to istnieje (g ć% f) (x0)
i ponadto (g ć% f) (x0) = g (y0) · f (x0).
DOWÓD: Jeżeli w każdym sąsiedztwie x0 istnieje x1 takie, że f(x1) = y0
to g(f(x1)) = g(y0) i f (x0) = 0.
Wówczas dla x takich, że f(x) = y0 mamy

g(f(x)) - g(f(x0)) g(f(x)) - g(f(x0)) f(x) - f(x0)
= .
x - x0 f(x) - f(x0) x - x0
POCHODNA
TWIERDZENIE 99
Niech beda dane funkcje f : X - Y, g : Y - Z, gdzie X, Y, Z sÄ…
przedziałami w R i niech f(x0) = y0.
Jeżeli istnieja pochodne f (x0), g (y0) to istnieje (g ć% f) (x0)
i ponadto (g ć% f) (x0) = g (y0) · f (x0).
DOWÓD: Jeżeli w każdym sąsiedztwie x0 istnieje x1 takie, że f(x1) = y0
to g(f(x1)) = g(y0) i f (x0) = 0.
Wówczas dla x takich, że f(x) = y0 mamy

g(f(x)) - g(f(x0)) g(f(x)) - g(f(x0)) f(x) - f(x0)
= .
x - x0 f(x) - f(x0) x - x0
POCHODNA
TWIERDZENIE 99
Niech beda dane funkcje f : X - Y, g : Y - Z, gdzie X, Y, Z sÄ…
przedziałami w R i niech f(x0) = y0.
Jeżeli istnieja pochodne f (x0), g (y0) to istnieje (g ć% f) (x0)
i ponadto (g ć% f) (x0) = g (y0) · f (x0).
DOWÓD: Jeżeli w każdym sąsiedztwie x0 istnieje x1 takie, że f(x1) = y0
to g(f(x1)) = g(y0) i f (x0) = 0.
Wówczas dla x takich, że f(x) = y0 mamy

g(f(x)) - g(f(x0)) g(f(x)) - g(f(x0)) f(x) - f(x0)
= .
x - x0 f(x) - f(x0) x - x0
POCHODNA
TWIERDZENIE 99
Niech beda dane funkcje f : X - Y, g : Y - Z, gdzie X, Y, Z sÄ…
przedziałami w R i niech f(x0) = y0.
Jeżeli istnieja pochodne f (x0), g (y0) to istnieje (g ć% f) (x0)
i ponadto (g ć% f) (x0) = g (y0) · f (x0).
DOWÓD: Jeżeli w każdym sąsiedztwie x0 istnieje x1 takie, że f(x1) = y0
to g(f(x1)) = g(y0) i f (x0) = 0.
Wówczas dla x takich, że f(x) = y0 mamy

g(f(x)) - g(f(x0)) g(f(x)) - g(f(x0)) f(x) - f(x0)
= .
x - x0 f(x) - f(x0) x - x0
POCHODNA
g(y) - g(y0)
Z ciągłości funkcji f w punkcie x0 i istnienia granicy lim
yy0 - y0
y
g(f(x)) - g(f(x0))
wnioskujemy, że lim = 0.
xx0
x - x0
Jeżeli teraz w pewnym sąsiedztwie punktu x0 funkcja f nie przyjmuje
g(f(x)) - g(f(x0))
wartości y0 to lim =
xx0
x - x0
g(f(x)) - g(f(x0)) f(x) - f(x0)
lim = g (y0) · f (x0).
xx0
f(x) - f(x0) x - x0
TWIERDZENIE 100
Jeżeli funkcje f, g określone w otoczeniu punktu x0 mają pochodne w
f
punkcie x0 oraz g(x0) = 0 to istnieje pochodna funkcji w punkcie x0

g
f f (x0) · g(x0) - f(x0) · g (x0)
i zachodzi wzór (x0) = .
g (g(x0)2)
POCHODNA
g(y) - g(y0)
Z ciągłości funkcji f w punkcie x0 i istnienia granicy lim
yy0 - y0
y
g(f(x)) - g(f(x0))
wnioskujemy, że lim = 0.
xx0
x - x0
Jeżeli teraz w pewnym sąsiedztwie punktu x0 funkcja f nie przyjmuje
g(f(x)) - g(f(x0))
wartości y0 to lim =
xx0
x - x0
g(f(x)) - g(f(x0)) f(x) - f(x0)
lim = g (y0) · f (x0).
xx0
f(x) - f(x0) x - x0
TWIERDZENIE 100
Jeżeli funkcje f, g określone w otoczeniu punktu x0 mają pochodne w
f
punkcie x0 oraz g(x0) = 0 to istnieje pochodna funkcji w punkcie x0

g
f f (x0) · g(x0) - f(x0) · g (x0)
i zachodzi wzór (x0) = .
g (g(x0)2)
POCHODNA
g(y) - g(y0)
Z ciągłości funkcji f w punkcie x0 i istnienia granicy lim
yy0 - y0
y
g(f(x)) - g(f(x0))
wnioskujemy, że lim = 0.
xx0
x - x0
Jeżeli teraz w pewnym sąsiedztwie punktu x0 funkcja f nie przyjmuje
g(f(x)) - g(f(x0))
wartości y0 to lim =
xx0
x - x0
g(f(x)) - g(f(x0)) f(x) - f(x0)
lim = g (y0) · f (x0).
xx0
f(x) - f(x0) x - x0
TWIERDZENIE 100
Jeżeli funkcje f, g określone w otoczeniu punktu x0 mają pochodne w
f
punkcie x0 oraz g(x0) = 0 to istnieje pochodna funkcji w punkcie x0

g
f f (x0) · g(x0) - f(x0) · g (x0)
i zachodzi wzór (x0) = .
g (g(x0)2)
POCHODNA
g(y) - g(y0)
Z ciągłości funkcji f w punkcie x0 i istnienia granicy lim
yy0 - y0
y
g(f(x)) - g(f(x0))
wnioskujemy, że lim = 0.
xx0
x - x0
Jeżeli teraz w pewnym sąsiedztwie punktu x0 funkcja f nie przyjmuje
g(f(x)) - g(f(x0))
wartości y0 to lim =
xx0
x - x0
g(f(x)) - g(f(x0)) f(x) - f(x0)
lim = g (y0) · f (x0).
xx0
f(x) - f(x0) x - x0
TWIERDZENIE 100
Jeżeli funkcje f, g określone w otoczeniu punktu x0 mają pochodne w
f
punkcie x0 oraz g(x0) = 0 to istnieje pochodna funkcji w punkcie x0

g
f f (x0) · g(x0) - f(x0) · g (x0)
i zachodzi wzór (x0) = .
g (g(x0)2)
POCHODNA
g(y) - g(y0)
Z ciągłości funkcji f w punkcie x0 i istnienia granicy lim
yy0 - y0
y
g(f(x)) - g(f(x0))
wnioskujemy, że lim = 0.
xx0
x - x0
Jeżeli teraz w pewnym sąsiedztwie punktu x0 funkcja f nie przyjmuje
g(f(x)) - g(f(x0))
wartości y0 to lim =
xx0
x - x0
g(f(x)) - g(f(x0)) f(x) - f(x0)
lim = g (y0) · f (x0).
xx0
f(x) - f(x0) x - x0
TWIERDZENIE 100
Jeżeli funkcje f, g określone w otoczeniu punktu x0 mają pochodne w
f
punkcie x0 oraz g(x0) = 0 to istnieje pochodna funkcji w punkcie x0

g
f f (x0) · g(x0) - f(x0) · g (x0)
i zachodzi wzór (x0) = .
g (g(x0)2)
POCHODNA
g(y) - g(y0)
Z ciągłości funkcji f w punkcie x0 i istnienia granicy lim
yy0 - y0
y
g(f(x)) - g(f(x0))
wnioskujemy, że lim = 0.
xx0
x - x0
Jeżeli teraz w pewnym sąsiedztwie punktu x0 funkcja f nie przyjmuje
g(f(x)) - g(f(x0))
wartości y0 to lim =
xx0
x - x0
g(f(x)) - g(f(x0)) f(x) - f(x0)
lim = g (y0) · f (x0).
xx0
f(x) - f(x0) x - x0
TWIERDZENIE 100
Jeżeli funkcje f, g określone w otoczeniu punktu x0 mają pochodne w
f
punkcie x0 oraz g(x0) = 0 to istnieje pochodna funkcji w punkcie x0

g
f f (x0) · g(x0) - f(x0) · g (x0)
i zachodzi wzór (x0) = .
g (g(x0)2)
POCHODNA
g(y) - g(y0)
Z ciągłości funkcji f w punkcie x0 i istnienia granicy lim
yy0 - y0
y
g(f(x)) - g(f(x0))
wnioskujemy, że lim = 0.
xx0
x - x0
Jeżeli teraz w pewnym sąsiedztwie punktu x0 funkcja f nie przyjmuje
g(f(x)) - g(f(x0))
wartości y0 to lim =
xx0
x - x0
g(f(x)) - g(f(x0)) f(x) - f(x0)
lim = g (y0) · f (x0).
xx0
f(x) - f(x0) x - x0
TWIERDZENIE 100
Jeżeli funkcje f, g określone w otoczeniu punktu x0 mają pochodne w
f
punkcie x0 oraz g(x0) = 0 to istnieje pochodna funkcji w punkcie x0

g
f f (x0) · g(x0) - f(x0) · g (x0)
i zachodzi wzór (x0) = .
g (g(x0)2)
POCHODNA
g(y) - g(y0)
Z ciągłości funkcji f w punkcie x0 i istnienia granicy lim
yy0 - y0
y
g(f(x)) - g(f(x0))
wnioskujemy, że lim = 0.
xx0
x - x0
Jeżeli teraz w pewnym sąsiedztwie punktu x0 funkcja f nie przyjmuje
g(f(x)) - g(f(x0))
wartości y0 to lim =
xx0
x - x0
g(f(x)) - g(f(x0)) f(x) - f(x0)
lim = g (y0) · f (x0).
xx0
f(x) - f(x0) x - x0
TWIERDZENIE 100
Jeżeli funkcje f, g określone w otoczeniu punktu x0 mają pochodne w
f
punkcie x0 oraz g(x0) = 0 to istnieje pochodna funkcji w punkcie x0

g
f f (x0) · g(x0) - f(x0) · g (x0)
i zachodzi wzór (x0) = .
g (g(x0)2)
POCHODNA
DOWÓD:
1 -1
Z Twierdzenia 99 mamy (x0) = · g (x0).
g (g(x0))2
Z Twierdzenia 98 wynika, że
1 1 1
· f (x0) = (x0) · f(x0) + f (x0)
g g g(x0)
1 -g (x0) 1
· f (x0) = (x0) · f(x0) + f (x0) =
g (g(x0))2 g(x0)
f (x0) · g(x0) - f(x0) · g (x0)
= .
(g(x0))2
POCHODNA
DOWÓD:
1 -1
Z Twierdzenia 99 mamy (x0) = · g (x0).
g (g(x0))2
Z Twierdzenia 98 wynika, że
1 1 1
· f (x0) = (x0) · f(x0) + f (x0)
g g g(x0)
1 -g (x0) 1
· f (x0) = (x0) · f(x0) + f (x0) =
g (g(x0))2 g(x0)
f (x0) · g(x0) - f(x0) · g (x0)
= .
(g(x0))2
POCHODNA
DOWÓD:
1 -1
Z Twierdzenia 99 mamy (x0) = · g (x0).
g (g(x0))2
Z Twierdzenia 98 wynika, że
1 1 1
· f (x0) = (x0) · f(x0) + f (x0)
g g g(x0)
1 -g (x0) 1
· f (x0) = (x0) · f(x0) + f (x0) =
g (g(x0))2 g(x0)
f (x0) · g(x0) - f(x0) · g (x0)
= .
(g(x0))2
POCHODNA
DOWÓD:
1 -1
Z Twierdzenia 99 mamy (x0) = · g (x0).
g (g(x0))2
Z Twierdzenia 98 wynika, że
1 1 1
· f (x0) = (x0) · f(x0) + f (x0)
g g g(x0)
1 -g (x0) 1
· f (x0) = (x0) · f(x0) + f (x0) =
g (g(x0))2 g(x0)
f (x0) · g(x0) - f(x0) · g (x0)
= .
(g(x0))2
POCHODNA
DOWÓD:
1 -1
Z Twierdzenia 99 mamy (x0) = · g (x0).
g (g(x0))2
Z Twierdzenia 98 wynika, że
1 1 1
· f (x0) = (x0) · f(x0) + f (x0)
g g g(x0)
1 -g (x0) 1
· f (x0) = (x0) · f(x0) + f (x0) =
g (g(x0))2 g(x0)
f (x0) · g(x0) - f(x0) · g (x0)
= .
(g(x0))2
POCHODNA
DOWÓD:
1 -1
Z Twierdzenia 99 mamy (x0) = · g (x0).
g (g(x0))2
Z Twierdzenia 98 wynika, że
1 1 1
· f (x0) = (x0) · f(x0) + f (x0)
g g g(x0)
1 -g (x0) 1
· f (x0) = (x0) · f(x0) + f (x0) =
g (g(x0))2 g(x0)
f (x0) · g(x0) - f(x0) · g (x0)
= .
(g(x0))2
POCHODNA
TWIERDZENIE 101
Mamy następujące wzory
1 -1
(tg x) = , (ctg x) = ,
2 2
cos x sin x
oraz
1 -1
(arctg x) = , (arcctg x) = .
1 + x2 1 + x2
DOWÓD:
2
sin x cos - (sin x)(-sin x) 1
(tg x) = = =
2 2
cos x cos x cos x
POCHODNA
TWIERDZENIE 101
Mamy następujące wzory
1 -1
(tg x) = , (ctg x) = ,
2 2
cos x sin x
oraz
1 -1
(arctg x) = , (arcctg x) = .
1 + x2 1 + x2
DOWÓD:
2
sin x cos - (sin x)(-sin x) 1
(tg x) = = =
2 2
cos x cos x cos x
POCHODNA
TWIERDZENIE 101
Mamy następujące wzory
1 -1
(tg x) = , (ctg x) = ,
2 2
cos x sin x
oraz
1 -1
(arctg x) = , (arcctg x) = .
1 + x2 1 + x2
DOWÓD:
2
sin x cos - (sin x)(-sin x) 1
(tg x) = = =
2 2
cos x cos x cos x
POCHODNA
TWIERDZENIE 101
Mamy następujące wzory
1 -1
(tg x) = , (ctg x) = ,
2 2
cos x sin x
oraz
1 -1
(arctg x) = , (arcctg x) = .
1 + x2 1 + x2
DOWÓD:
2
sin x cos - (sin x)(-sin x) 1
(tg x) = = =
2 2
cos x cos x cos x
POCHODNA
TWIERDZENIE 101
Mamy następujące wzory
1 -1
(tg x) = , (ctg x) = ,
2 2
cos x sin x
oraz
1 -1
(arctg x) = , (arcctg x) = .
1 + x2 1 + x2
DOWÓD:
2
sin x cos - (sin x)(-sin x) 1
(tg x) = = =
2 2
cos x cos x cos x
POCHODNA
TWIERDZENIE 101
Mamy następujące wzory
1 -1
(tg x) = , (ctg x) = ,
2 2
cos x sin x
oraz
1 -1
(arctg x) = , (arcctg x) = .
1 + x2 1 + x2
DOWÓD:
2
sin x cos - (sin x)(-sin x) 1
(tg x) = = =
2 2
cos x cos x cos x
POCHODNA
TWIERDZENIE 101
Mamy następujące wzory
1 -1
(tg x) = , (ctg x) = ,
2 2
cos x sin x
oraz
1 -1
(arctg x) = , (arcctg x) = .
1 + x2 1 + x2
DOWÓD:
2
sin x cos - (sin x)(-sin x) 1
(tg x) = = =
2 2
cos x cos x cos x
POCHODNA
TWIERDZENIE 101
Mamy następujące wzory
1 -1
(tg x) = , (ctg x) = ,
2 2
cos x sin x
oraz
1 -1
(arctg x) = , (arcctg x) = .
1 + x2 1 + x2
DOWÓD:
2
sin x cos - (sin x)(-sin x) 1
(tg x) = = =
2 2
cos x cos x cos x
POCHODNA
Dowód dla kotangensa jest podobny.
-Ä„ Ä„
Niech x = tg y y " ( , ) czyli y = arc tg x.
2 2
2
1 cos y 1 1
2
(arctg x) = = cos y = = = ,
2 2 2
(tg y) cos y + sin y 1 + tg y 1 + x2
Dowód dla arkus kotangensa jest podobny.
POCHODNA
Dowód dla kotangensa jest podobny.
-Ä„ Ä„
Niech x = tg y y " ( , ) czyli y = arc tg x.
2 2
2
1 cos y 1 1
2
(arctg x) = = cos y = = = ,
2 2 2
(tg y) cos y + sin y 1 + tg y 1 + x2
Dowód dla arkus kotangensa jest podobny.
POCHODNA
Dowód dla kotangensa jest podobny.
-Ä„ Ä„
Niech x = tg y y " ( , ) czyli y = arc tg x.
2 2
2
1 cos y 1 1
2
(arctg x) = = cos y = = = ,
2 2 2
(tg y) cos y + sin y 1 + tg y 1 + x2
Dowód dla arkus kotangensa jest podobny.
POCHODNA
Dowód dla kotangensa jest podobny.
-Ä„ Ä„
Niech x = tg y y " ( , ) czyli y = arc tg x.
2 2
2
1 cos y 1 1
2
(arctg x) = = cos y = = = ,
2 2 2
(tg y) cos y + sin y 1 + tg y 1 + x2
Dowód dla arkus kotangensa jest podobny.
POCHODNA
Dowód dla kotangensa jest podobny.
-Ä„ Ä„
Niech x = tg y y " ( , ) czyli y = arc tg x.
2 2
2
1 cos y 1 1
2
(arctg x) = = cos y = = = ,
2 2 2
(tg y) cos y + sin y 1 + tg y 1 + x2
Dowód dla arkus kotangensa jest podobny.
POCHODNA
Dowód dla kotangensa jest podobny.
-Ä„ Ä„
Niech x = tg y y " ( , ) czyli y = arc tg x.
2 2
2
1 cos y 1 1
2
(arctg x) = = cos y = = = ,
2 2 2
(tg y) cos y + sin y 1 + tg y 1 + x2
Dowód dla arkus kotangensa jest podobny.
POCHODNA
Dowód dla kotangensa jest podobny.
-Ä„ Ä„
Niech x = tg y y " ( , ) czyli y = arc tg x.
2 2
2
1 cos y 1 1
2
(arctg x) = = cos y = = = ,
2 2 2
(tg y) cos y + sin y 1 + tg y 1 + x2
Dowód dla arkus kotangensa jest podobny.
POCHODNA
Dowód dla kotangensa jest podobny.
-Ä„ Ä„
Niech x = tg y y " ( , ) czyli y = arc tg x.
2 2
2
1 cos y 1 1
2
(arctg x) = = cos y = = = ,
2 2 2
(tg y) cos y + sin y 1 + tg y 1 + x2
Dowód dla arkus kotangensa jest podobny.
POCHODNA
TWIERDZENIE 102
Jeżeli funkcja f : R - (0, ") ma pochodna w punkcie x0 to funkcja
ln f ma pochodna w punkcie x0 oraz f (x0) = f(x0)[ln f] (x0).
DOWÓD:
f (x0)
Mamy [ln f] (x0) = .
f(x0)
Zatem [ln f] (x0) · f(x0) = f (x0).
DEFINICJA 103
Różniczka funkcji f w punkcie x0 nazywamy odwzorowanie liniowe
dx f : R h - f (x0) · h " R.
0
POCHODNA
TWIERDZENIE 102
Jeżeli funkcja f : R - (0, ") ma pochodna w punkcie x0 to funkcja
ln f ma pochodna w punkcie x0 oraz f (x0) = f(x0)[ln f] (x0).
DOWÓD:
f (x0)
Mamy [ln f] (x0) = .
f(x0)
Zatem [ln f] (x0) · f(x0) = f (x0).
DEFINICJA 103
Różniczka funkcji f w punkcie x0 nazywamy odwzorowanie liniowe
dx f : R h - f (x0) · h " R.
0
POCHODNA
TWIERDZENIE 102
Jeżeli funkcja f : R - (0, ") ma pochodna w punkcie x0 to funkcja
ln f ma pochodna w punkcie x0 oraz f (x0) = f(x0)[ln f] (x0).
DOWÓD:
f (x0)
Mamy [ln f] (x0) = .
f(x0)
Zatem [ln f] (x0) · f(x0) = f (x0).
DEFINICJA 103
Różniczka funkcji f w punkcie x0 nazywamy odwzorowanie liniowe
dx f : R h - f (x0) · h " R.
0
POCHODNA
TWIERDZENIE 102
Jeżeli funkcja f : R - (0, ") ma pochodna w punkcie x0 to funkcja
ln f ma pochodna w punkcie x0 oraz f (x0) = f(x0)[ln f] (x0).
DOWÓD:
f (x0)
Mamy [ln f] (x0) = .
f(x0)
Zatem [ln f] (x0) · f(x0) = f (x0).
DEFINICJA 103
Różniczka funkcji f w punkcie x0 nazywamy odwzorowanie liniowe
dx f : R h - f (x0) · h " R.
0
POCHODNA
TWIERDZENIE 104
Niech dx : R x - x " R wówczas dx f = f (x0) · dx,
0
dy f-1 = (dx f)-1 oraz dx (g ć% f) = dy g ć% dx f.
0 0 0 0 0
TWIERDZENIE 105
Jeżeli "x " (a, b) funkcja f : (a, b) - R ma pochodna w punkcie x
i funkcja f : (a, b) x - f (x) " R ma pochodna w punkcie x0 to
nazywamy jÄ… drugÄ… pochodnÄ… funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy
f (x0).
Jeżeli "x " (a, b) funkcja f : (a, b) - R ma pochodna w punkcie x to
funkcje f : (a, b) x - f (x) " R nazywamy pochodna drugiego
rzedu funkcji f.
POCHODNA
TWIERDZENIE 104
Niech dx : R x - x " R wówczas dx f = f (x0) · dx,
0
dy f-1 = (dx f)-1 oraz dx (g ć% f) = dy g ć% dx f.
0 0 0 0 0
TWIERDZENIE 105
Jeżeli "x " (a, b) funkcja f : (a, b) - R ma pochodna w punkcie x
i funkcja f : (a, b) x - f (x) " R ma pochodna w punkcie x0 to
nazywamy jÄ… drugÄ… pochodnÄ… funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy
f (x0).
Jeżeli "x " (a, b) funkcja f : (a, b) - R ma pochodna w punkcie x to
funkcje f : (a, b) x - f (x) " R nazywamy pochodna drugiego
rzedu funkcji f.
POCHODNA
TWIERDZENIE 104
Niech dx : R x - x " R wówczas dx f = f (x0) · dx,
0
dy f-1 = (dx f)-1 oraz dx (g ć% f) = dy g ć% dx f.
0 0 0 0 0
TWIERDZENIE 105
Jeżeli "x " (a, b) funkcja f : (a, b) - R ma pochodna w punkcie x
i funkcja f : (a, b) x - f (x) " R ma pochodna w punkcie x0 to
nazywamy jÄ… drugÄ… pochodnÄ… funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy
f (x0).
Jeżeli "x " (a, b) funkcja f : (a, b) - R ma pochodna w punkcie x to
funkcje f : (a, b) x - f (x) " R nazywamy pochodna drugiego
rzedu funkcji f.
POCHODNA
TWIERDZENIE 104
Niech dx : R x - x " R wówczas dx f = f (x0) · dx,
0
dy f-1 = (dx f)-1 oraz dx (g ć% f) = dy g ć% dx f.
0 0 0 0 0
TWIERDZENIE 105
Jeżeli "x " (a, b) funkcja f : (a, b) - R ma pochodna w punkcie x
i funkcja f : (a, b) x - f (x) " R ma pochodna w punkcie x0 to
nazywamy jÄ… drugÄ… pochodnÄ… funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy
f (x0).
Jeżeli "x " (a, b) funkcja f : (a, b) - R ma pochodna w punkcie x to
funkcje f : (a, b) x - f (x) " R nazywamy pochodna drugiego
rzedu funkcji f.
POCHODNA
TWIERDZENIE 104
Niech dx : R x - x " R wówczas dx f = f (x0) · dx,
0
dy f-1 = (dx f)-1 oraz dx (g ć% f) = dy g ć% dx f.
0 0 0 0 0
TWIERDZENIE 105
Jeżeli "x " (a, b) funkcja f : (a, b) - R ma pochodna w punkcie x
i funkcja f : (a, b) x - f (x) " R ma pochodna w punkcie x0 to
nazywamy jÄ… drugÄ… pochodnÄ… funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy
f (x0).
Jeżeli "x " (a, b) funkcja f : (a, b) - R ma pochodna w punkcie x to
funkcje f : (a, b) x - f (x) " R nazywamy pochodna drugiego
rzedu funkcji f.
POCHODNA
DEFINICJA 106
Pochodna rzedu n określamy rekurencyjnie
f(n)(x0) = (f(n-1)) (x0),
f(n) = (f(n-1)) .
TWIERDZENIE 107
Odwzorowanie f : X - R nazywamy klasy Cn na zbiorze X i zapisu-
jemy f " Cn(X), jeżeli funkcje f, f , . . . f(n) sa ciagłe na zbiorze X.
Mówimy, że f jest klasy C"(X) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego
naturalnego n f jest klasy Cn(X).
POCHODNA
DEFINICJA 106
Pochodna rzedu n określamy rekurencyjnie
f(n)(x0) = (f(n-1)) (x0),
f(n) = (f(n-1)) .
TWIERDZENIE 107
Odwzorowanie f : X - R nazywamy klasy Cn na zbiorze X i zapisu-
jemy f " Cn(X), jeżeli funkcje f, f , . . . f(n) sa ciagłe na zbiorze X.
Mówimy, że f jest klasy C"(X) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego
naturalnego n f jest klasy Cn(X).
POCHODNA
DEFINICJA 106
Pochodna rzedu n określamy rekurencyjnie
f(n)(x0) = (f(n-1)) (x0),
f(n) = (f(n-1)) .
TWIERDZENIE 107
Odwzorowanie f : X - R nazywamy klasy Cn na zbiorze X i zapisu-
jemy f " Cn(X), jeżeli funkcje f, f , . . . f(n) sa ciagłe na zbiorze X.
Mówimy, że f jest klasy C"(X) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego
naturalnego n f jest klasy Cn(X).
POCHODNA
DEFINICJA 108
Różniczke rzedu n definiujemy rekurencyjnie
(dn f)(h)n = dx (dn-1f(h)n-1)(h).
x0 0 x
UWAGA 109
Mamy (dn f).(h)n = fn(x0).hn
x0
dn f = fn(x0)dxn, gdzie dxn : R h - (h)n " Rn.
x0
POCHODNA
DEFINICJA 108
Różniczke rzedu n definiujemy rekurencyjnie
(dn f)(h)n = dx (dn-1f(h)n-1)(h).
x0 0 x
UWAGA 109
Mamy (dn f).(h)n = fn(x0).hn
x0
dn f = fn(x0)dxn, gdzie dxn : R h - (h)n " Rn.
x0
POCHODNA
TWIERDZENIE 110
Jeżeli funkcja ciagła f : (a, b) - R jest różniczkowalna w punkcie
c " (a, b) i osiaga w tym punkcie kres górny ( dolny ) to f (c) = 0.
DOWÓD:
Dla kresu górnego
f(x) - f(c)
lim e" 0,
xc- x - c
f(x) - f(c)
lim d" 0.
xc+ x - c
Z równości granic jednostronnych
f(x) - f(c)
lim = 0,
xc - c
x
POCHODNA
TWIERDZENIE 110
Jeżeli funkcja ciagła f : (a, b) - R jest różniczkowalna w punkcie
c " (a, b) i osiaga w tym punkcie kres górny ( dolny ) to f (c) = 0.
DOWÓD:
Dla kresu górnego
f(x) - f(c)
lim e" 0,
xc- x - c
f(x) - f(c)
lim d" 0.
xc+ x - c
Z równości granic jednostronnych
f(x) - f(c)
lim = 0,
xc - c
x
POCHODNA
TWIERDZENIE 110
Jeżeli funkcja ciagła f : (a, b) - R jest różniczkowalna w punkcie
c " (a, b) i osiaga w tym punkcie kres górny ( dolny ) to f (c) = 0.
DOWÓD:
Dla kresu górnego
f(x) - f(c)
lim e" 0,
xc- x - c
f(x) - f(c)
lim d" 0.
xc+ x - c
Z równości granic jednostronnych
f(x) - f(c)
lim = 0,
xc - c
x
POCHODNA
TWIERDZENIE 110
Jeżeli funkcja ciagła f : (a, b) - R jest różniczkowalna w punkcie
c " (a, b) i osiaga w tym punkcie kres górny ( dolny ) to f (c) = 0.
DOWÓD:
Dla kresu górnego
f(x) - f(c)
lim e" 0,
xc- x - c
f(x) - f(c)
lim d" 0.
xc+ x - c
Z równości granic jednostronnych
f(x) - f(c)
lim = 0,
xc - c
x
POCHODNA
TWIERDZENIE 110
Jeżeli funkcja ciagła f : (a, b) - R jest różniczkowalna w punkcie
c " (a, b) i osiaga w tym punkcie kres górny ( dolny ) to f (c) = 0.
DOWÓD:
Dla kresu górnego
f(x) - f(c)
lim e" 0,
xc- x - c
f(x) - f(c)
lim d" 0.
xc+ x - c
Z równości granic jednostronnych
f(x) - f(c)
lim = 0,
xc - c
x
POCHODNA
TWIERDZENIE 111 ( Rolle a )
Jeżeli funkcja ciagła f : [a, b] - R jest różniczkowalna w przedziale
(a, b) i f(a) = f(b) to "c " (a, b) taki, że f (c) = 0.
DOWÓD:
Jeżeli f jest stała to "x " [a, b] mamy f (x) = 0.
Załóżmy wiec, że f nie jest stała. W takim razie
inf {f(x) : x " [a, b]} < f(a) lub sup {f(x) : x " [a, b]} > f(b).
Załóżmy, że spełniona jest druga z tych nierówności.
Z ciagłości f wynika, że "c " [a, b] takie, że
f(c) = sup {f(x) : x " [a, b]}.
Ponieważ f(a) = f(b) wiec c " (a, b).
Dla tego c mamy f (c) = 0.
POCHODNA
TWIERDZENIE 111 ( Rolle a )
Jeżeli funkcja ciagła f : [a, b] - R jest różniczkowalna w przedziale
(a, b) i f(a) = f(b) to "c " (a, b) taki, że f (c) = 0.
DOWÓD:
Jeżeli f jest stała to "x " [a, b] mamy f (x) = 0.
Załóżmy wiec, że f nie jest stała. W takim razie
inf {f(x) : x " [a, b]} < f(a) lub sup {f(x) : x " [a, b]} > f(b).
Załóżmy, że spełniona jest druga z tych nierówności.
Z ciagłości f wynika, że "c " [a, b] takie, że
f(c) = sup {f(x) : x " [a, b]}.
Ponieważ f(a) = f(b) wiec c " (a, b).
Dla tego c mamy f (c) = 0.
POCHODNA
TWIERDZENIE 111 ( Rolle a )
Jeżeli funkcja ciagła f : [a, b] - R jest różniczkowalna w przedziale
(a, b) i f(a) = f(b) to "c " (a, b) taki, że f (c) = 0.
DOWÓD:
Jeżeli f jest stała to "x " [a, b] mamy f (x) = 0.
Załóżmy wiec, że f nie jest stała. W takim razie
inf {f(x) : x " [a, b]} < f(a) lub sup {f(x) : x " [a, b]} > f(b).
Załóżmy, że spełniona jest druga z tych nierówności.
Z ciagłości f wynika, że "c " [a, b] takie, że
f(c) = sup {f(x) : x " [a, b]}.
Ponieważ f(a) = f(b) wiec c " (a, b).
Dla tego c mamy f (c) = 0.
POCHODNA
TWIERDZENIE 111 ( Rolle a )
Jeżeli funkcja ciagła f : [a, b] - R jest różniczkowalna w przedziale
(a, b) i f(a) = f(b) to "c " (a, b) taki, że f (c) = 0.
DOWÓD:
Jeżeli f jest stała to "x " [a, b] mamy f (x) = 0.
Załóżmy wiec, że f nie jest stała. W takim razie
inf {f(x) : x " [a, b]} < f(a) lub sup {f(x) : x " [a, b]} > f(b).
Załóżmy, że spełniona jest druga z tych nierówności.
Z ciagłości f wynika, że "c " [a, b] takie, że
f(c) = sup {f(x) : x " [a, b]}.
Ponieważ f(a) = f(b) wiec c " (a, b).
Dla tego c mamy f (c) = 0.
POCHODNA
TWIERDZENIE 111 ( Rolle a )
Jeżeli funkcja ciagła f : [a, b] - R jest różniczkowalna w przedziale
(a, b) i f(a) = f(b) to "c " (a, b) taki, że f (c) = 0.
DOWÓD:
Jeżeli f jest stała to "x " [a, b] mamy f (x) = 0.
Załóżmy wiec, że f nie jest stała. W takim razie
inf {f(x) : x " [a, b]} < f(a) lub sup {f(x) : x " [a, b]} > f(b).
Załóżmy, że spełniona jest druga z tych nierówności.
Z ciagłości f wynika, że "c " [a, b] takie, że
f(c) = sup {f(x) : x " [a, b]}.
Ponieważ f(a) = f(b) wiec c " (a, b).
Dla tego c mamy f (c) = 0.
POCHODNA
TWIERDZENIE 111 ( Rolle a )
Jeżeli funkcja ciagła f : [a, b] - R jest różniczkowalna w przedziale
(a, b) i f(a) = f(b) to "c " (a, b) taki, że f (c) = 0.
DOWÓD:
Jeżeli f jest stała to "x " [a, b] mamy f (x) = 0.
Załóżmy wiec, że f nie jest stała. W takim razie
inf {f(x) : x " [a, b]} < f(a) lub sup {f(x) : x " [a, b]} > f(b).
Załóżmy, że spełniona jest druga z tych nierówności.
Z ciagłości f wynika, że "c " [a, b] takie, że
f(c) = sup {f(x) : x " [a, b]}.
Ponieważ f(a) = f(b) wiec c " (a, b).
Dla tego c mamy f (c) = 0.
POCHODNA
TWIERDZENIE 111 ( Rolle a )
Jeżeli funkcja ciagła f : [a, b] - R jest różniczkowalna w przedziale
(a, b) i f(a) = f(b) to "c " (a, b) taki, że f (c) = 0.
DOWÓD:
Jeżeli f jest stała to "x " [a, b] mamy f (x) = 0.
Załóżmy wiec, że f nie jest stała. W takim razie
inf {f(x) : x " [a, b]} < f(a) lub sup {f(x) : x " [a, b]} > f(b).
Załóżmy, że spełniona jest druga z tych nierówności.
Z ciagłości f wynika, że "c " [a, b] takie, że
f(c) = sup {f(x) : x " [a, b]}.
Ponieważ f(a) = f(b) wiec c " (a, b).
Dla tego c mamy f (c) = 0.
POCHODNA
TWIERDZENIE 111 ( Rolle a )
Jeżeli funkcja ciagła f : [a, b] - R jest różniczkowalna w przedziale
(a, b) i f(a) = f(b) to "c " (a, b) taki, że f (c) = 0.
DOWÓD:
Jeżeli f jest stała to "x " [a, b] mamy f (x) = 0.
Załóżmy wiec, że f nie jest stała. W takim razie
inf {f(x) : x " [a, b]} < f(a) lub sup {f(x) : x " [a, b]} > f(b).
Załóżmy, że spełniona jest druga z tych nierówności.
Z ciagłości f wynika, że "c " [a, b] takie, że
f(c) = sup {f(x) : x " [a, b]}.
Ponieważ f(a) = f(b) wiec c " (a, b).
Dla tego c mamy f (c) = 0.
POCHODNE
TWIERDZENIE 112 ( Lagrange a )
Jeżeli funkcja ciagła f : [a, b] - R jest różniczkowalna w przedziale
f(b) - f(a)
(a, b) to "c " (a, b) taki, że f (c) = .
b - a
DOWÓD:
f(b) - f(a)
Funkcja g(x) = f(x) - f(a) - (x - a) spełnia założenia
b - a
Twierdzenia Rolle a.
f(b) - f(a)
Istnieje c " (a, b) taki że 0 = g (c) = f (c) - .
b - a
f(b) - f(a)
Stad = f (c).
b - a
POCHODNE
TWIERDZENIE 112 ( Lagrange a )
Jeżeli funkcja ciagła f : [a, b] - R jest różniczkowalna w przedziale
f(b) - f(a)
(a, b) to "c " (a, b) taki, że f (c) = .
b - a
DOWÓD:
f(b) - f(a)
Funkcja g(x) = f(x) - f(a) - (x - a) spełnia założenia
b - a
Twierdzenia Rolle a.
f(b) - f(a)
Istnieje c " (a, b) taki że 0 = g (c) = f (c) - .
b - a
f(b) - f(a)
Stad = f (c).
b - a
POCHODNE
TWIERDZENIE 112 ( Lagrange a )
Jeżeli funkcja ciagła f : [a, b] - R jest różniczkowalna w przedziale
f(b) - f(a)
(a, b) to "c " (a, b) taki, że f (c) = .
b - a
DOWÓD:
f(b) - f(a)
Funkcja g(x) = f(x) - f(a) - (x - a) spełnia założenia
b - a
Twierdzenia Rolle a.
f(b) - f(a)
Istnieje c " (a, b) taki że 0 = g (c) = f (c) - .
b - a
f(b) - f(a)
Stad = f (c).
b - a
POCHODNE
TWIERDZENIE 112 ( Lagrange a )
Jeżeli funkcja ciagła f : [a, b] - R jest różniczkowalna w przedziale
f(b) - f(a)
(a, b) to "c " (a, b) taki, że f (c) = .
b - a
DOWÓD:
f(b) - f(a)
Funkcja g(x) = f(x) - f(a) - (x - a) spełnia założenia
b - a
Twierdzenia Rolle a.
f(b) - f(a)
Istnieje c " (a, b) taki że 0 = g (c) = f (c) - .
b - a
f(b) - f(a)
Stad = f (c).
b - a
POCHODNE
TWIERDZENIE 113 ( Wniosek z Twierdzenia Lagrange a )
Jeżeli funkcja ciagła f : [a, b] - R jest różniczkowalna w przedziale
(a, b) i "x " (a, b) f (x) = 0 to funkcja f jest stała w przedziale [a, b].
Jeżeli funkcja ciagła f : [a, b] - R jest różniczkowalna w przedziale
(a, b) i "x " (a, b) f (x) > 0 ( f (x) > 0 ) to funkcja f jest rosnaca
( malejaca ) w przedziale [a, b].
DOWÓD:
Przypuśćmy, że "x " (a, b) f (x) = 0 oraz f(d) = f(a) lub f(d) = f(b)

dla pewnego d " [a, b].
Załóżmy, że zachodzi nierówność f(d) = f(a) wówczas z twierdzenia

f(d) - f(a)
Lagrange a istnieje takie c " (a, d) ‚" (a, b), że f (c) = = 0.

d - a
Otrzymana sprzeczność dowodzi pierwszej części Twierdzenia.
POCHODNE
TWIERDZENIE 113 ( Wniosek z Twierdzenia Lagrange a )
Jeżeli funkcja ciagła f : [a, b] - R jest różniczkowalna w przedziale
(a, b) i "x " (a, b) f (x) = 0 to funkcja f jest stała w przedziale [a, b].
Jeżeli funkcja ciagła f : [a, b] - R jest różniczkowalna w przedziale
(a, b) i "x " (a, b) f (x) > 0 ( f (x) > 0 ) to funkcja f jest rosnaca
( malejaca ) w przedziale [a, b].
DOWÓD:
Przypuśćmy, że "x " (a, b) f (x) = 0 oraz f(d) = f(a) lub f(d) = f(b)

dla pewnego d " [a, b].
Załóżmy, że zachodzi nierówność f(d) = f(a) wówczas z twierdzenia

f(d) - f(a)
Lagrange a istnieje takie c " (a, d) ‚" (a, b), że f (c) = = 0.

d - a
Otrzymana sprzeczność dowodzi pierwszej części Twierdzenia.
POCHODNE
TWIERDZENIE 113 ( Wniosek z Twierdzenia Lagrange a )
Jeżeli funkcja ciagła f : [a, b] - R jest różniczkowalna w przedziale
(a, b) i "x " (a, b) f (x) = 0 to funkcja f jest stała w przedziale [a, b].
Jeżeli funkcja ciagła f : [a, b] - R jest różniczkowalna w przedziale
(a, b) i "x " (a, b) f (x) > 0 ( f (x) > 0 ) to funkcja f jest rosnaca
( malejaca ) w przedziale [a, b].
DOWÓD:
Przypuśćmy, że "x " (a, b) f (x) = 0 oraz f(d) = f(a) lub f(d) = f(b)

dla pewnego d " [a, b].
Załóżmy, że zachodzi nierówność f(d) = f(a) wówczas z twierdzenia

f(d) - f(a)
Lagrange a istnieje takie c " (a, d) ‚" (a, b), że f (c) = = 0.

d - a
Otrzymana sprzeczność dowodzi pierwszej części Twierdzenia.
POCHODNE
TWIERDZENIE 113 ( Wniosek z Twierdzenia Lagrange a )
Jeżeli funkcja ciagła f : [a, b] - R jest różniczkowalna w przedziale
(a, b) i "x " (a, b) f (x) = 0 to funkcja f jest stała w przedziale [a, b].
Jeżeli funkcja ciagła f : [a, b] - R jest różniczkowalna w przedziale
(a, b) i "x " (a, b) f (x) > 0 ( f (x) > 0 ) to funkcja f jest rosnaca
( malejaca ) w przedziale [a, b].
DOWÓD:
Przypuśćmy, że "x " (a, b) f (x) = 0 oraz f(d) = f(a) lub f(d) = f(b)

dla pewnego d " [a, b].
Załóżmy, że zachodzi nierówność f(d) = f(a) wówczas z twierdzenia

f(d) - f(a)
Lagrange a istnieje takie c " (a, d) ‚" (a, b), że f (c) = = 0.

d - a
Otrzymana sprzeczność dowodzi pierwszej części Twierdzenia.
POCHODNE
TWIERDZENIE 113 ( Wniosek z Twierdzenia Lagrange a )
Jeżeli funkcja ciagła f : [a, b] - R jest różniczkowalna w przedziale
(a, b) i "x " (a, b) f (x) = 0 to funkcja f jest stała w przedziale [a, b].
Jeżeli funkcja ciagła f : [a, b] - R jest różniczkowalna w przedziale
(a, b) i "x " (a, b) f (x) > 0 ( f (x) > 0 ) to funkcja f jest rosnaca
( malejaca ) w przedziale [a, b].
DOWÓD:
Przypuśćmy, że "x " (a, b) f (x) = 0 oraz f(d) = f(a) lub f(d) = f(b)

dla pewnego d " [a, b].
Załóżmy, że zachodzi nierówność f(d) = f(a) wówczas z twierdzenia

f(d) - f(a)
Lagrange a istnieje takie c " (a, d) ‚" (a, b), że f (c) = = 0.

d - a
Otrzymana sprzeczność dowodzi pierwszej części Twierdzenia.
POCHODNE
Przypuśćmy, że "x " (a, b) f (x) e" 0 i istnieją x1, x2 " [a, b] takie, że
x1 < x2 i f(x1 e" f(x2).
f(x2) - f(x1)
Wówczas istnieje x0 " (x1, x2), takie, że f (x0) = d" 0.
x2 - x1
Sprzeczność dowodzi, że f jest rosnąca. Dowód dla f < 0 jest
analogiczny.
POCHODNE
Przypuśćmy, że "x " (a, b) f (x) e" 0 i istnieją x1, x2 " [a, b] takie, że
x1 < x2 i f(x1 e" f(x2).
f(x2) - f(x1)
Wówczas istnieje x0 " (x1, x2), takie, że f (x0) = d" 0.
x2 - x1
Sprzeczność dowodzi, że f jest rosnąca. Dowód dla f < 0 jest
analogiczny.
POCHODNE
Przypuśćmy, że "x " (a, b) f (x) e" 0 i istnieją x1, x2 " [a, b] takie, że
x1 < x2 i f(x1 e" f(x2).
f(x2) - f(x1)
Wówczas istnieje x0 " (x1, x2), takie, że f (x0) = d" 0.
x2 - x1
Sprzeczność dowodzi, że f jest rosnąca. Dowód dla f < 0 jest
analogiczny.