Wykład 17
Witold Obłoza
25 stycznia 2011
WYZNACZNIKI
DEFINICJA 236
Minorem stopnia r dowolnej macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy
postaci A = {ai jl}k"{1,2...,r} l"{1,2...,r}.
k
DEFINICJA 237
Jeżeli macierz A jest macierza kwadratowa stopnia n to Mk l oznacza
wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie k-tego
wiersza i l-tej kolumny.
TWIERDZENIE 238
Suma wszystkich iloczynów w wyznaczniku macierzy A zawierajacych
aj k wynosi aj kAj k = (-1)j+kaj kMj k.
WYZNACZNIKI
DEFINICJA 236
Minorem stopnia r dowolnej macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy
postaci A = {ai jl}k"{1,2...,r} l"{1,2...,r}.
k
DEFINICJA 237
Jeżeli macierz A jest macierza kwadratowa stopnia n to Mk l oznacza
wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie k-tego
wiersza i l-tej kolumny.
TWIERDZENIE 238
Suma wszystkich iloczynów w wyznaczniku macierzy A zawierajacych
aj k wynosi aj kAj k = (-1)j+kaj kMj k.
WYZNACZNIKI
DEFINICJA 236
Minorem stopnia r dowolnej macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy
postaci A = {ai jl}k"{1,2...,r} l"{1,2...,r}.
k
DEFINICJA 237
Jeżeli macierz A jest macierza kwadratowa stopnia n to Mk l oznacza
wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie k-tego
wiersza i l-tej kolumny.
TWIERDZENIE 238
Suma wszystkich iloczynów w wyznaczniku macierzy A zawierajacych
aj k wynosi aj kAj k = (-1)j+kaj kMj k.
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
aj kAj, k = (-1)�(p)a1 p(1)a2 p(2)a3 p(3) . . . an p(n) =
p"Sn p(j)=k
aj k s"Sn-1(-1)�(p)b1 s(1)b2 s(2)b3 s(3) . . . bn-1 p(n-1) =
(-1)k+jaj k s"Sn-1(-1)�(s)b1 s(1)b2 s(2)b3 s(3) . . . bn-1 s(n-1) =
(-1)k+jaj kMj k = aj kAj, k,
al p(l) l < j,
gdzie bl s(l) =
al+1 p(l+1) l e" j.
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
aj kAj, k = (-1)�(p)a1 p(1)a2 p(2)a3 p(3) . . . an p(n) =
p"Sn p(j)=k
aj k s"Sn-1(-1)�(p)b1 s(1)b2 s(2)b3 s(3) . . . bn-1 p(n-1) =
(-1)k+jaj k s"Sn-1(-1)�(s)b1 s(1)b2 s(2)b3 s(3) . . . bn-1 s(n-1) =
(-1)k+jaj kMj k = aj kAj, k,
al p(l) l < j,
gdzie bl s(l) =
al+1 p(l+1) l e" j.
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
aj kAj, k = (-1)�(p)a1 p(1)a2 p(2)a3 p(3) . . . an p(n) =
p"Sn p(j)=k
aj k s"Sn-1(-1)�(p)b1 s(1)b2 s(2)b3 s(3) . . . bn-1 p(n-1) =
(-1)k+jaj k s"Sn-1(-1)�(s)b1 s(1)b2 s(2)b3 s(3) . . . bn-1 s(n-1) =
(-1)k+jaj kMj k = aj kAj, k,
al p(l) l < j,
gdzie bl s(l) =
al+1 p(l+1) l e" j.
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
aj kAj, k = (-1)�(p)a1 p(1)a2 p(2)a3 p(3) . . . an p(n) =
p"Sn p(j)=k
aj k s"Sn-1(-1)�(p)b1 s(1)b2 s(2)b3 s(3) . . . bn-1 p(n-1) =
(-1)k+jaj k s"Sn-1(-1)�(s)b1 s(1)b2 s(2)b3 s(3) . . . bn-1 s(n-1) =
(-1)k+jaj kMj k = aj kAj, k,
al p(l) l < j,
gdzie bl s(l) =
al+1 p(l+1) l e" j.
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
aj kAj, k = (-1)�(p)a1 p(1)a2 p(2)a3 p(3) . . . an p(n) =
p"Sn p(j)=k
aj k s"Sn-1(-1)�(p)b1 s(1)b2 s(2)b3 s(3) . . . bn-1 p(n-1) =
(-1)k+jaj k s"Sn-1(-1)�(s)b1 s(1)b2 s(2)b3 s(3) . . . bn-1 s(n-1) =
(-1)k+jaj kMj k = aj kAj, k,
al p(l) l < j,
gdzie bl s(l) =
al+1 p(l+1) l e" j.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 239
Wyznacznik macierzy A oznaczamy det A lub |A|. Na mocy powyższego
twierdzenia |A| = Łn aj lAj l = Łn al kAl k.
l=1 l=1
TWIERDZENIE 240
Wyznacznik macierzy A i macierzy transponowanej AT sa równe.
Wyznacznik macierzy trójkatnej jest równy iloczynowi wyrazów na
przekatnej.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 239
Wyznacznik macierzy A oznaczamy det A lub |A|. Na mocy powyższego
twierdzenia |A| = Łn aj lAj l = Łn al kAl k.
l=1 l=1
TWIERDZENIE 240
Wyznacznik macierzy A i macierzy transponowanej AT sa równe.
Wyznacznik macierzy trójkatnej jest równy iloczynowi wyrazów na
przekatnej.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 239
Wyznacznik macierzy A oznaczamy det A lub |A|. Na mocy powyższego
twierdzenia |A| = Łn aj lAj l = Łn al kAl k.
l=1 l=1
TWIERDZENIE 240
Wyznacznik macierzy A i macierzy transponowanej AT sa równe.
Wyznacznik macierzy trójkatnej jest równy iloczynowi wyrazów na
przekatnej.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 241
Niech dane beda dwie macierze kwadratowe
A = {ai j}i,j"Z ,
n
B = {bi j}i,j"Z ,
n
stopnia n a liczba naturalna k " Zn. Załóżmy, że ai j = bi j dla j = k

wtedy |A| + |B| = |C|, gdzie
ai j dla j = k

ci j = .
ai k + bi k
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 241
Niech dane beda dwie macierze kwadratowe
A = {ai j}i,j"Z ,
n
B = {bi j}i,j"Z ,
n
stopnia n a liczba naturalna k " Zn. Załóżmy, że ai j = bi j dla j = k

wtedy |A| + |B| = |C|, gdzie
ai j dla j = k

ci j = .
ai k + bi k
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 241
Niech dane beda dwie macierze kwadratowe
A = {ai j}i,j"Z ,
n
B = {bi j}i,j"Z ,
n
stopnia n a liczba naturalna k " Zn. Załóżmy, że ai j = bi j dla j = k

wtedy |A| + |B| = |C|, gdzie
ai j dla j = k

ci j = .
ai k + bi k
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 242
Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to
zmieni sie znak wyznacznika.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa sie z samych zer to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumne pomnożymy przez liczbe to
wyznacznik pomnoży sie przez te liczbe.
Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny sa proporcjonalne to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacje liniowa
pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni
sie.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 242
Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to
zmieni sie znak wyznacznika.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa sie z samych zer to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumne pomnożymy przez liczbe to
wyznacznik pomnoży sie przez te liczbe.
Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny sa proporcjonalne to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacje liniowa
pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni
sie.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 242
Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to
zmieni sie znak wyznacznika.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa sie z samych zer to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumne pomnożymy przez liczbe to
wyznacznik pomnoży sie przez te liczbe.
Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny sa proporcjonalne to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacje liniowa
pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni
sie.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 242
Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to
zmieni sie znak wyznacznika.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa sie z samych zer to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumne pomnożymy przez liczbe to
wyznacznik pomnoży sie przez te liczbe.
Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny sa proporcjonalne to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacje liniowa
pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni
sie.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 242
Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to
zmieni sie znak wyznacznika.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa sie z samych zer to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumne pomnożymy przez liczbe to
wyznacznik pomnoży sie przez te liczbe.
Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny sa proporcjonalne to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacje liniowa
pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni
sie.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 242
Jeżeli w wyznaczniku zmienimy kolejność dwóch wierszy lub kolumn to
zmieni sie znak wyznacznika.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumna składa sie z samych zer to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku wiersz lub kolumne pomnożymy przez liczbe to
wyznacznik pomnoży sie przez te liczbe.
Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze lub dwie kolumny sa proporcjonalne to
wyznacznik jest równy zero.
Jeżeli w wyznaczniku do wiersza lub kolumny dodamy kombinacje liniowa
pozostałych wierszy lub odpowiednio kolumn to wyznacznik nie zmieni
sie.
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 243
Niech beda dane macierze kwadratowe A = {ai j}i, j"{1,2...,p},
B = {bi j}i j"{1,2...,q}, C = {ci j}i j"{1,2...,(p+q)} takie, że
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , p},
cp+i p+j = bi j dla i, j " {1, 2 . . . , q},
ci p+j = 0 dla i, " {1, 2 . . . , p} j " {1, 2 . . . , q}
wtedy det C = det A � det B.
TWIERDZENIE 244
Niech beda dane macierze kwadratowe A = {ai j}i, j"{1,2...,n},
B = {bi j}i j"{1,2...,n} wtedy det (A B) = det A � det B.
DOWÓD:
Niech D = A B to jest di j = Łn ai l � bl j.
l=1
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 243
Niech beda dane macierze kwadratowe A = {ai j}i, j"{1,2...,p},
B = {bi j}i j"{1,2...,q}, C = {ci j}i j"{1,2...,(p+q)} takie, że
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , p},
cp+i p+j = bi j dla i, j " {1, 2 . . . , q},
ci p+j = 0 dla i, " {1, 2 . . . , p} j " {1, 2 . . . , q}
wtedy det C = det A � det B.
TWIERDZENIE 244
Niech beda dane macierze kwadratowe A = {ai j}i, j"{1,2...,n},
B = {bi j}i j"{1,2...,n} wtedy det (A B) = det A � det B.
DOWÓD:
Niech D = A B to jest di j = Łn ai l � bl j.
l=1
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 243
Niech beda dane macierze kwadratowe A = {ai j}i, j"{1,2...,p},
B = {bi j}i j"{1,2...,q}, C = {ci j}i j"{1,2...,(p+q)} takie, że
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , p},
cp+i p+j = bi j dla i, j " {1, 2 . . . , q},
ci p+j = 0 dla i, " {1, 2 . . . , p} j " {1, 2 . . . , q}
wtedy det C = det A � det B.
TWIERDZENIE 244
Niech beda dane macierze kwadratowe A = {ai j}i, j"{1,2...,n},
B = {bi j}i j"{1,2...,n} wtedy det (A B) = det A � det B.
DOWÓD:
Niech D = A B to jest di j = Łn ai l � bl j.
l=1
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 243
Niech beda dane macierze kwadratowe A = {ai j}i, j"{1,2...,p},
B = {bi j}i j"{1,2...,q}, C = {ci j}i j"{1,2...,(p+q)} takie, że
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , p},
cp+i p+j = bi j dla i, j " {1, 2 . . . , q},
ci p+j = 0 dla i, " {1, 2 . . . , p} j " {1, 2 . . . , q}
wtedy det C = det A � det B.
TWIERDZENIE 244
Niech beda dane macierze kwadratowe A = {ai j}i, j"{1,2...,n},
B = {bi j}i j"{1,2...,n} wtedy det (A B) = det A � det B.
DOWÓD:
Niech D = A B to jest di j = Łn ai l � bl j.
l=1
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 243
Niech beda dane macierze kwadratowe A = {ai j}i, j"{1,2...,p},
B = {bi j}i j"{1,2...,q}, C = {ci j}i j"{1,2...,(p+q)} takie, że
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , p},
cp+i p+j = bi j dla i, j " {1, 2 . . . , q},
ci p+j = 0 dla i, " {1, 2 . . . , p} j " {1, 2 . . . , q}
wtedy det C = det A � det B.
TWIERDZENIE 244
Niech beda dane macierze kwadratowe A = {ai j}i, j"{1,2...,n},
B = {bi j}i j"{1,2...,n} wtedy det (A B) = det A � det B.
DOWÓD:
Niech D = A B to jest di j = Łn ai l � bl j.
l=1
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 243
Niech beda dane macierze kwadratowe A = {ai j}i, j"{1,2...,p},
B = {bi j}i j"{1,2...,q}, C = {ci j}i j"{1,2...,(p+q)} takie, że
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , p},
cp+i p+j = bi j dla i, j " {1, 2 . . . , q},
ci p+j = 0 dla i, " {1, 2 . . . , p} j " {1, 2 . . . , q}
wtedy det C = det A � det B.
TWIERDZENIE 244
Niech beda dane macierze kwadratowe A = {ai j}i, j"{1,2...,n},
B = {bi j}i j"{1,2...,n} wtedy det (A B) = det A � det B.
DOWÓD:
Niech D = A B to jest di j = Łn ai l � bl j.
l=1
WYZNACZNIKI
TWIERDZENIE 243
Niech beda dane macierze kwadratowe A = {ai j}i, j"{1,2...,p},
B = {bi j}i j"{1,2...,q}, C = {ci j}i j"{1,2...,(p+q)} takie, że
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , p},
cp+i p+j = bi j dla i, j " {1, 2 . . . , q},
ci p+j = 0 dla i, " {1, 2 . . . , p} j " {1, 2 . . . , q}
wtedy det C = det A � det B.
TWIERDZENIE 244
Niech beda dane macierze kwadratowe A = {ai j}i, j"{1,2...,n},
B = {bi j}i j"{1,2...,n} wtedy det (A B) = det A � det B.
DOWÓD:
Niech D = A B to jest di j = Łn ai l � bl j.
l=1
WYZNACZNIKI
Utwórzmy macierz
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
cn+i n+j = bi j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
ci n+j = 0 dla i, j " {1, 2 . . . , n},
cn+i j = -�i j dla i, j " {1, 2 . . . , n} j " {1, 2 . . . , p},
1 i=j,
gdzie �i j =
0 i = j.

WYZNACZNIKI
Utwórzmy macierz
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
cn+i n+j = bi j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
ci n+j = 0 dla i, j " {1, 2 . . . , n},
cn+i j = -�i j dla i, j " {1, 2 . . . , n} j " {1, 2 . . . , p},
1 i=j,
gdzie �i j =
0 i = j.

WYZNACZNIKI
Utwórzmy macierz
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
cn+i n+j = bi j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
ci n+j = 0 dla i, j " {1, 2 . . . , n},
cn+i j = -�i j dla i, j " {1, 2 . . . , n} j " {1, 2 . . . , p},
1 i=j,
gdzie �i j =
0 i = j.

WYZNACZNIKI
Utwórzmy macierz
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
cn+i n+j = bi j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
ci n+j = 0 dla i, j " {1, 2 . . . , n},
cn+i j = -�i j dla i, j " {1, 2 . . . , n} j " {1, 2 . . . , p},
1 i=j,
gdzie �i j =
0 i = j.

WYZNACZNIKI
Utwórzmy macierz
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
cn+i n+j = bi j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
ci n+j = 0 dla i, j " {1, 2 . . . , n},
cn+i j = -�i j dla i, j " {1, 2 . . . , n} j " {1, 2 . . . , p},
1 i=j,
gdzie �i j =
0 i = j.

WYZNACZNIKI
Wtedy det C = det A � det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnożac
I kolumne w macierzy C przez b1 1 , II kolumne przez b2 1 itd n-ta przez
bn 1 i dodajac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C(1) taka, że
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n}
cn+i n+j = bi j dla i " {1, 2 . . . , n} j " {2, 3 . . . , n},
ci n+j = 0 dla i, " {1, 2 . . . , n} j " {2, 3 . . . , n},
cn+i j = -�i j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
ci n+1 = 0 dla i " {1, 2 . . . , n},
cn+i n+1 = di j dla i, " {1, 2 . . . , n},
WYZNACZNIKI
Wtedy det C = det A � det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnożac
I kolumne w macierzy C przez b1 1 , II kolumne przez b2 1 itd n-ta przez
bn 1 i dodajac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C(1) taka, że
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n}
cn+i n+j = bi j dla i " {1, 2 . . . , n} j " {2, 3 . . . , n},
ci n+j = 0 dla i, " {1, 2 . . . , n} j " {2, 3 . . . , n},
cn+i j = -�i j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
ci n+1 = 0 dla i " {1, 2 . . . , n},
cn+i n+1 = di j dla i, " {1, 2 . . . , n},
WYZNACZNIKI
Wtedy det C = det A � det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnożac
I kolumne w macierzy C przez b1 1 , II kolumne przez b2 1 itd n-ta przez
bn 1 i dodajac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C(1) taka, że
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n}
cn+i n+j = bi j dla i " {1, 2 . . . , n} j " {2, 3 . . . , n},
ci n+j = 0 dla i, " {1, 2 . . . , n} j " {2, 3 . . . , n},
cn+i j = -�i j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
ci n+1 = 0 dla i " {1, 2 . . . , n},
cn+i n+1 = di j dla i, " {1, 2 . . . , n},
WYZNACZNIKI
Wtedy det C = det A � det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnożac
I kolumne w macierzy C przez b1 1 , II kolumne przez b2 1 itd n-ta przez
bn 1 i dodajac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C(1) taka, że
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n}
cn+i n+j = bi j dla i " {1, 2 . . . , n} j " {2, 3 . . . , n},
ci n+j = 0 dla i, " {1, 2 . . . , n} j " {2, 3 . . . , n},
cn+i j = -�i j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
ci n+1 = 0 dla i " {1, 2 . . . , n},
cn+i n+1 = di j dla i, " {1, 2 . . . , n},
WYZNACZNIKI
Wtedy det C = det A � det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnożac
I kolumne w macierzy C przez b1 1 , II kolumne przez b2 1 itd n-ta przez
bn 1 i dodajac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C(1) taka, że
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n}
cn+i n+j = bi j dla i " {1, 2 . . . , n} j " {2, 3 . . . , n},
ci n+j = 0 dla i, " {1, 2 . . . , n} j " {2, 3 . . . , n},
cn+i j = -�i j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
ci n+1 = 0 dla i " {1, 2 . . . , n},
cn+i n+1 = di j dla i, " {1, 2 . . . , n},
WYZNACZNIKI
Wtedy det C = det A � det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnożac
I kolumne w macierzy C przez b1 1 , II kolumne przez b2 1 itd n-ta przez
bn 1 i dodajac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C(1) taka, że
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n}
cn+i n+j = bi j dla i " {1, 2 . . . , n} j " {2, 3 . . . , n},
ci n+j = 0 dla i, " {1, 2 . . . , n} j " {2, 3 . . . , n},
cn+i j = -�i j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
ci n+1 = 0 dla i " {1, 2 . . . , n},
cn+i n+1 = di j dla i, " {1, 2 . . . , n},
WYZNACZNIKI
Wtedy det C = det A � det B na mocy poprzedniego twierdzenia. Mnożac
I kolumne w macierzy C przez b1 1 , II kolumne przez b2 1 itd n-ta przez
bn 1 i dodajac do kolumny (n + 1) otrzymujemy macierz C(1) taka, że
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n}
cn+i n+j = bi j dla i " {1, 2 . . . , n} j " {2, 3 . . . , n},
ci n+j = 0 dla i, " {1, 2 . . . , n} j " {2, 3 . . . , n},
cn+i j = -�i j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
ci n+1 = 0 dla i " {1, 2 . . . , n},
cn+i n+1 = di j dla i, " {1, 2 . . . , n},
WYZNACZNIKI
Mnożac I kolumne w macierzy C1 przez b1 2 , II kolumne przez b2 2 itd
n-ta przez bn 2 i dodajac do kolumny (n + 2)-drugiej otrzymujemy
macierz C(2).
Kontynuujac otrzymamy macierz C(n), taka że
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
cn+i n+j = 0 dla i, j " {1, 2 . . . , n},
ci n+j = di j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
cn+i j = -�i j dla i, j " {1, 2 . . . , n} j " {1, 2 . . . , p},
WYZNACZNIKI
Mnożac I kolumne w macierzy C1 przez b1 2 , II kolumne przez b2 2 itd
n-ta przez bn 2 i dodajac do kolumny (n + 2)-drugiej otrzymujemy
macierz C(2).
Kontynuujac otrzymamy macierz C(n), taka że
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
cn+i n+j = 0 dla i, j " {1, 2 . . . , n},
ci n+j = di j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
cn+i j = -�i j dla i, j " {1, 2 . . . , n} j " {1, 2 . . . , p},
WYZNACZNIKI
Mnożac I kolumne w macierzy C1 przez b1 2 , II kolumne przez b2 2 itd
n-ta przez bn 2 i dodajac do kolumny (n + 2)-drugiej otrzymujemy
macierz C(2).
Kontynuujac otrzymamy macierz C(n), taka że
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
cn+i n+j = 0 dla i, j " {1, 2 . . . , n},
ci n+j = di j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
cn+i j = -�i j dla i, j " {1, 2 . . . , n} j " {1, 2 . . . , p},
WYZNACZNIKI
Mnożac I kolumne w macierzy C1 przez b1 2 , II kolumne przez b2 2 itd
n-ta przez bn 2 i dodajac do kolumny (n + 2)-drugiej otrzymujemy
macierz C(2).
Kontynuujac otrzymamy macierz C(n), taka że
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
cn+i n+j = 0 dla i, j " {1, 2 . . . , n},
ci n+j = di j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
cn+i j = -�i j dla i, j " {1, 2 . . . , n} j " {1, 2 . . . , p},
WYZNACZNIKI
Mnożac I kolumne w macierzy C1 przez b1 2 , II kolumne przez b2 2 itd
n-ta przez bn 2 i dodajac do kolumny (n + 2)-drugiej otrzymujemy
macierz C(2).
Kontynuujac otrzymamy macierz C(n), taka że
ci j = ai j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
cn+i n+j = 0 dla i, j " {1, 2 . . . , n},
ci n+j = di j dla i, j " {1, 2 . . . , n},
cn+i j = -�i j dla i, j " {1, 2 . . . , n} j " {1, 2 . . . , p},
WYZNACZNIKI
Zmieniajac porzadek kolumn otrzymujemy
�ł �ł
d11 d12 . . . d1n a11 a12 . . . a1n
�łd21 d22 . . . d2n a21 a22 . . . a2n�ł
�ł �ł
�ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . �ł
�ł �ł
�łdn1 dn2 . . . dnn an1 an2 . . . ann�ł
�ł �ł
C(n) = .
�ł �ł
0 0 . . . 0 -1 0 . . . 0
�ł �ł
�ł �ł
0 0 . . . 0 0 -1 . . . 0
�ł �ł
�ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . łł
0 0 . . . 0 0 0 . . . -1
Stad det C = (-1)ndet C(n) = (-1)2ndet D = det D, a to oznacza, że
|A B| = |A||B|.
WYZNACZNIKI
Zmieniajac porzadek kolumn otrzymujemy
�ł �ł
d11 d12 . . . d1n a11 a12 . . . a1n
�łd21 d22 . . . d2n a21 a22 . . . a2n�ł
�ł �ł
�ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . �ł
�ł �ł
�łdn1 dn2 . . . dnn an1 an2 . . . ann�ł
�ł �ł
C(n) = .
�ł �ł
0 0 . . . 0 -1 0 . . . 0
�ł �ł
�ł �ł
0 0 . . . 0 0 -1 . . . 0
�ł �ł
�ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . łł
0 0 . . . 0 0 0 . . . -1
Stad det C = (-1)ndet C(n) = (-1)2ndet D = det D, a to oznacza, że
|A B| = |A||B|.
WYZNACZNIKI
Zmieniajac porzadek kolumn otrzymujemy
�ł �ł
d11 d12 . . . d1n a11 a12 . . . a1n
�łd21 d22 . . . d2n a21 a22 . . . a2n�ł
�ł �ł
�ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . �ł
�ł �ł
�łdn1 dn2 . . . dnn an1 an2 . . . ann�ł
�ł �ł
C(n) = .
�ł �ł
0 0 . . . 0 -1 0 . . . 0
�ł �ł
�ł �ł
0 0 . . . 0 0 -1 . . . 0
�ł �ł
�ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . łł
0 0 . . . 0 0 0 . . . -1
Stad det C = (-1)ndet C(n) = (-1)2ndet D = det D, a to oznacza, że
|A B| = |A||B|.
WYZNACZNIKI
DEFINICJA 245
Macierza odwrotna do macierzy kwadratowej A nazywamy macierz
kwadratowa A-1 taka, że AA-1 = A-1A = I, gdzie I jest macierza
jednostkowa.
TWIERDZENIE 246
Jeżeli macierz kwadratowa A ma macierz odwrotna to det A = 0.

TWIERDZENIE 247
Niech A bedzie macierza kwadratowa stopnia n i det A = 0 wtedy
�łniech �łT
A11 . . . A1n
1
�ł łł
istnieje macierz odwrotna A-1 oraz A-1 = . . . . . . . . . .
|A|
An1 . . . Ann
WYZNACZNIKI
DEFINICJA 245
Macierza odwrotna do macierzy kwadratowej A nazywamy macierz
kwadratowa A-1 taka, że AA-1 = A-1A = I, gdzie I jest macierza
jednostkowa.
TWIERDZENIE 246
Jeżeli macierz kwadratowa A ma macierz odwrotna to det A = 0.

TWIERDZENIE 247
Niech A bedzie macierza kwadratowa stopnia n i det A = 0 wtedy
�łniech �łT
A11 . . . A1n
1
�ł łł
istnieje macierz odwrotna A-1 oraz A-1 = . . . . . . . . . .
|A|
An1 . . . Ann
WYZNACZNIKI
DEFINICJA 245
Macierza odwrotna do macierzy kwadratowej A nazywamy macierz
kwadratowa A-1 taka, że AA-1 = A-1A = I, gdzie I jest macierza
jednostkowa.
TWIERDZENIE 246
Jeżeli macierz kwadratowa A ma macierz odwrotna to det A = 0.

TWIERDZENIE 247
Niech A bedzie macierza kwadratowa stopnia n i det A = 0 wtedy
�łniech �łT
A11 . . . A1n
1
�ł łł
istnieje macierz odwrotna A-1 oraz A-1 = . . . . . . . . . .
|A|
An1 . . . Ann
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
Niech C = {ci j}i, j"{1,2...,n} bedzie iloczynem AA-1 wtedy
n
ci j = ai lAj l = �i j � |A|.
l=1
DEFINICJA 248
Rzedem macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} nazywamy
maksymalny stopień jej niezerowego minora.
TWIERDZENIE 249
Rzad macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} nie zmieni sie jeżeli
a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacje liniowa pozostałych kolumn (
to samo dla wierszy ),
b) usuniemy kolumne złożona z samych zer ( to samo dla wierszy ),
c) usuniemy wszystkie z wyjatkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to
samo dla wierszy ),
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
Niech C = {ci j}i, j"{1,2...,n} bedzie iloczynem AA-1 wtedy
n
ci j = ai lAj l = �i j � |A|.
l=1
DEFINICJA 248
Rzedem macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} nazywamy
maksymalny stopień jej niezerowego minora.
TWIERDZENIE 249
Rzad macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} nie zmieni sie jeżeli
a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacje liniowa pozostałych kolumn (
to samo dla wierszy ),
b) usuniemy kolumne złożona z samych zer ( to samo dla wierszy ),
c) usuniemy wszystkie z wyjatkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to
samo dla wierszy ),
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
Niech C = {ci j}i, j"{1,2...,n} bedzie iloczynem AA-1 wtedy
n
ci j = ai lAj l = �i j � |A|.
l=1
DEFINICJA 248
Rzedem macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} nazywamy
maksymalny stopień jej niezerowego minora.
TWIERDZENIE 249
Rzad macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} nie zmieni sie jeżeli
a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacje liniowa pozostałych kolumn (
to samo dla wierszy ),
b) usuniemy kolumne złożona z samych zer ( to samo dla wierszy ),
c) usuniemy wszystkie z wyjatkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to
samo dla wierszy ),
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
Niech C = {ci j}i, j"{1,2...,n} bedzie iloczynem AA-1 wtedy
n
ci j = ai lAj l = �i j � |A|.
l=1
DEFINICJA 248
Rzedem macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} nazywamy
maksymalny stopień jej niezerowego minora.
TWIERDZENIE 249
Rzad macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} nie zmieni sie jeżeli
a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacje liniowa pozostałych kolumn (
to samo dla wierszy ),
b) usuniemy kolumne złożona z samych zer ( to samo dla wierszy ),
c) usuniemy wszystkie z wyjatkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to
samo dla wierszy ),
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
Niech C = {ci j}i, j"{1,2...,n} bedzie iloczynem AA-1 wtedy
n
ci j = ai lAj l = �i j � |A|.
l=1
DEFINICJA 248
Rzedem macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} nazywamy
maksymalny stopień jej niezerowego minora.
TWIERDZENIE 249
Rzad macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} nie zmieni sie jeżeli
a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacje liniowa pozostałych kolumn (
to samo dla wierszy ),
b) usuniemy kolumne złożona z samych zer ( to samo dla wierszy ),
c) usuniemy wszystkie z wyjatkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to
samo dla wierszy ),
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
Niech C = {ci j}i, j"{1,2...,n} bedzie iloczynem AA-1 wtedy
n
ci j = ai lAj l = �i j � |A|.
l=1
DEFINICJA 248
Rzedem macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} nazywamy
maksymalny stopień jej niezerowego minora.
TWIERDZENIE 249
Rzad macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} nie zmieni sie jeżeli
a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacje liniowa pozostałych kolumn (
to samo dla wierszy ),
b) usuniemy kolumne złożona z samych zer ( to samo dla wierszy ),
c) usuniemy wszystkie z wyjatkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to
samo dla wierszy ),
WYZNACZNIKI
DOWÓD:
Niech C = {ci j}i, j"{1,2...,n} bedzie iloczynem AA-1 wtedy
n
ci j = ai lAj l = �i j � |A|.
l=1
DEFINICJA 248
Rzedem macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} nazywamy
maksymalny stopień jej niezerowego minora.
TWIERDZENIE 249
Rzad macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} nie zmieni sie jeżeli
a) dodowolnej kolumny dodamy kombinacje liniowa pozostałych kolumn (
to samo dla wierszy ),
b) usuniemy kolumne złożona z samych zer ( to samo dla wierszy ),
c) usuniemy wszystkie z wyjatkiem jednej kolumny proporcjonalne ( to
samo dla wierszy ),
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
d) zmienimy kolejność kolumn ( to samo dla wierszy ).
UWAGA 250
Odwzorowanie liniowe jest wyznaczone jednoznacznie jeżeli znane sa jego
wartości na elementach pewnej bazy.
TWIERDZENIE 251
Niech A : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym z przestrzeni
wektorowej V w przestrzeń wektorowa W. Niech ciag wektorów
(v1, v2, . . . , vn) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej V a
(w1, w2, . . . , wm) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej W.
Macierza odwzorowania A w bazach (v1, v2, . . . , vn), (w1, w2, . . . , wm)
m
nazywamy macierz MA = {ai j}i"Z j"Zn, gdzie Avk = ai kwi dla
m i=1
k " Zn.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
d) zmienimy kolejność kolumn ( to samo dla wierszy ).
UWAGA 250
Odwzorowanie liniowe jest wyznaczone jednoznacznie jeżeli znane sa jego
wartości na elementach pewnej bazy.
TWIERDZENIE 251
Niech A : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym z przestrzeni
wektorowej V w przestrzeń wektorowa W. Niech ciag wektorów
(v1, v2, . . . , vn) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej V a
(w1, w2, . . . , wm) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej W.
Macierza odwzorowania A w bazach (v1, v2, . . . , vn), (w1, w2, . . . , wm)
m
nazywamy macierz MA = {ai j}i"Z j"Zn, gdzie Avk = ai kwi dla
m i=1
k " Zn.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
d) zmienimy kolejność kolumn ( to samo dla wierszy ).
UWAGA 250
Odwzorowanie liniowe jest wyznaczone jednoznacznie jeżeli znane sa jego
wartości na elementach pewnej bazy.
TWIERDZENIE 251
Niech A : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym z przestrzeni
wektorowej V w przestrzeń wektorowa W. Niech ciag wektorów
(v1, v2, . . . , vn) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej V a
(w1, w2, . . . , wm) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej W.
Macierza odwzorowania A w bazach (v1, v2, . . . , vn), (w1, w2, . . . , wm)
m
nazywamy macierz MA = {ai j}i"Z j"Zn, gdzie Avk = ai kwi dla
m i=1
k " Zn.
MACIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO
d) zmienimy kolejność kolumn ( to samo dla wierszy ).
UWAGA 250
Odwzorowanie liniowe jest wyznaczone jednoznacznie jeżeli znane sa jego
wartości na elementach pewnej bazy.
TWIERDZENIE 251
Niech A : V - W bedzie odwzorowaniem liniowym z przestrzeni
wektorowej V w przestrzeń wektorowa W. Niech ciag wektorów
(v1, v2, . . . , vn) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej V a
(w1, w2, . . . , wm) bedzie baza uporzadkowana przestrzeni wektorowej W.
Macierza odwzorowania A w bazach (v1, v2, . . . , vn), (w1, w2, . . . , wm)
m
nazywamy macierz MA = {ai j}i"Z j"Zn, gdzie Avk = ai kwi dla
m i=1
k " Zn.