Wykład 13
Witold Obłoza
11 stycznia 2011
CAA
KOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
TWIERDZENIE 170
Jeżeli P (x) jest wielomianem stopnia n to
"
P (x) dx
" dx = Q(x) ax2 + bx + c +  " ,
ax2 + bx + c ax2 + bx + c
gdzie Q(x) jest wielomianem stopnia n - 1 a  jest liczba rzeczywista.
PRZYKA
AD 171
6x3 + 26x2 + 39x + 21
" dx =
x2 + 4x + 5
"
dx
(Ax2 + Bx + C) x2 + 4x + 5 + K " =
x2 + 4x + 5
"
dx
(2x2 + 3x + 1) x2 + 4x + 5 + 4 " =
x2 + 4x 5
" "+
(2x2 + 3x + 1) x2 + 4x + 5 + 4ln(x + 2 + x2 + 4x + 5) + C
CAA
KOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
TWIERDZENIE 170
Jeżeli P (x) jest wielomianem stopnia n to
"
P (x) dx
" dx = Q(x) ax2 + bx + c +  " ,
ax2 + bx + c ax2 + bx + c
gdzie Q(x) jest wielomianem stopnia n - 1 a  jest liczba rzeczywista.
PRZYKA
AD 171
6x3 + 26x2 + 39x + 21
" dx =
x2 + 4x + 5
"
dx
(Ax2 + Bx + C) x2 + 4x + 5 + K " =
x2 + 4x + 5
"
dx
(2x2 + 3x + 1) x2 + 4x + 5 + 4 " =
x2 + 4x 5
" "+
(2x2 + 3x + 1) x2 + 4x + 5 + 4ln(x + 2 + x2 + 4x + 5) + C
CAA
KOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
TWIERDZENIE 170
Jeżeli P (x) jest wielomianem stopnia n to
"
P (x) dx
" dx = Q(x) ax2 + bx + c +  " ,
ax2 + bx + c ax2 + bx + c
gdzie Q(x) jest wielomianem stopnia n - 1 a  jest liczba rzeczywista.
PRZYKA
AD 171
6x3 + 26x2 + 39x + 21
" dx =
x2 + 4x + 5
"
dx
(Ax2 + Bx + C) x2 + 4x + 5 + K " =
x2 + 4x + 5
"
dx
(2x2 + 3x + 1) x2 + 4x + 5 + 4 " =
x2 + 4x 5
" "+
(2x2 + 3x + 1) x2 + 4x + 5 + 4ln(x + 2 + x2 + 4x + 5) + C
CAA
KOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
TWIERDZENIE 170
Jeżeli P (x) jest wielomianem stopnia n to
"
P (x) dx
" dx = Q(x) ax2 + bx + c +  " ,
ax2 + bx + c ax2 + bx + c
gdzie Q(x) jest wielomianem stopnia n - 1 a  jest liczba rzeczywista.
PRZYKA
AD 171
6x3 + 26x2 + 39x + 21
" dx =
x2 + 4x + 5
"
dx
(Ax2 + Bx + C) x2 + 4x + 5 + K " =
x2 + 4x + 5
"
dx
(2x2 + 3x + 1) x2 + 4x + 5 + 4 " =
x2 + 4x 5
" "+
(2x2 + 3x + 1) x2 + 4x + 5 + 4ln(x + 2 + x2 + 4x + 5) + C
CAA
KOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
TWIERDZENIE 170
Jeżeli P (x) jest wielomianem stopnia n to
"
P (x) dx
" dx = Q(x) ax2 + bx + c +  " ,
ax2 + bx + c ax2 + bx + c
gdzie Q(x) jest wielomianem stopnia n - 1 a  jest liczba rzeczywista.
PRZYKA
AD 171
6x3 + 26x2 + 39x + 21
" dx =
x2 + 4x + 5
"
dx
(Ax2 + Bx + C) x2 + 4x + 5 + K " =
x2 + 4x + 5
"
dx
(2x2 + 3x + 1) x2 + 4x + 5 + 4 " =
x2 + 4x 5
" "+
(2x2 + 3x + 1) x2 + 4x + 5 + 4ln(x + 2 + x2 + 4x + 5) + C
CAA
KOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
TWIERDZENIE 172 ( PODSTAWIENIA EULERA )
Jeżeli R jest funkcja wymierna dwóch zmiennych to podstawienia
"
"
2
"ax + bx + c = ax + t, gdy a > 0,
"
2
"ax + bx + c = xt + c, gdy c > 0,
ax2 + bx + c = t(x - x1), gdy c" 0, a < 0 gdzie x1 jest pierwiastkiem
<
ax2 + bx + c sprowadzaja R(x, ax2 + bx + c) dx do całkowania
funkcji wymiernej.
PRZYKA
AD 173
"
x2 + 2x + 2 - x - 2
" dx
(1 + x) x2 + 2x + 2
"
1 t2 - 2 1 t2 + 2t + 2
x2 + 2x + 2 = x - t, x = · , dx = · dt,
2 1 + t 2 (1 + t)2
"
-1 t2 + 2t + 2
x2 + 2x + 2 = · .
2 1 + t
CAA
KOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
TWIERDZENIE 172 ( PODSTAWIENIA EULERA )
Jeżeli R jest funkcja wymierna dwóch zmiennych to podstawienia
"
"
2
"ax + bx + c = ax + t, gdy a > 0,
"
2
"ax + bx + c = xt + c, gdy c > 0,
ax2 + bx + c = t(x - x1), gdy c" 0, a < 0 gdzie x1 jest pierwiastkiem
<
ax2 + bx + c sprowadzaja R(x, ax2 + bx + c) dx do całkowania
funkcji wymiernej.
PRZYKA
AD 173
"
x2 + 2x + 2 - x - 2
" dx
(1 + x) x2 + 2x + 2
"
1 t2 - 2 1 t2 + 2t + 2
x2 + 2x + 2 = x - t, x = · , dx = · dt,
2 1 + t 2 (1 + t)2
"
-1 t2 + 2t + 2
x2 + 2x + 2 = · .
2 1 + t
CAA
KOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
TWIERDZENIE 172 ( PODSTAWIENIA EULERA )
Jeżeli R jest funkcja wymierna dwóch zmiennych to podstawienia
"
"
2
"ax + bx + c = ax + t, gdy a > 0,
"
2
"ax + bx + c = xt + c, gdy c > 0,
ax2 + bx + c = t(x - x1), gdy c" 0, a < 0 gdzie x1 jest pierwiastkiem
<
ax2 + bx + c sprowadzaja R(x, ax2 + bx + c) dx do całkowania
funkcji wymiernej.
PRZYKA
AD 173
"
x2 + 2x + 2 - x - 2
" dx
(1 + x) x2 + 2x + 2
"
1 t2 - 2 1 t2 + 2t + 2
x2 + 2x + 2 = x - t, x = · , dx = · dt,
2 1 + t 2 (1 + t)2
"
-1 t2 + 2t + 2
x2 + 2x + 2 = · .
2 1 + t
CAA
KOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
TWIERDZENIE 172 ( PODSTAWIENIA EULERA )
Jeżeli R jest funkcja wymierna dwóch zmiennych to podstawienia
"
"
2
"ax + bx + c = ax + t, gdy a > 0,
"
2
"ax + bx + c = xt + c, gdy c > 0,
ax2 + bx + c = t(x - x1), gdy c" 0, a < 0 gdzie x1 jest pierwiastkiem
<
ax2 + bx + c sprowadzaja R(x, ax2 + bx + c) dx do całkowania
funkcji wymiernej.
PRZYKA
AD 173
"
x2 + 2x + 2 - x - 2
" dx
(1 + x) x2 + 2x + 2
"
1 t2 - 2 1 t2 + 2t + 2
x2 + 2x + 2 = x - t, x = · , dx = · dt,
2 1 + t 2 (1 + t)2
"
-1 t2 + 2t + 2
x2 + 2x + 2 = · .
2 1 + t
CAA
KOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
TWIERDZENIE 172 ( PODSTAWIENIA EULERA )
Jeżeli R jest funkcja wymierna dwóch zmiennych to podstawienia
"
"
2
"ax + bx + c = ax + t, gdy a > 0,
"
2
"ax + bx + c = xt + c, gdy c > 0,
ax2 + bx + c = t(x - x1), gdy c" 0, a < 0 gdzie x1 jest pierwiastkiem
<
ax2 + bx + c sprowadzaja R(x, ax2 + bx + c) dx do całkowania
funkcji wymiernej.
PRZYKA
AD 173
"
x2 + 2x + 2 - x - 2
" dx
(1 + x) x2 + 2x + 2
"
1 t2 - 2 1 t2 + 2t + 2
x2 + 2x + 2 = x - t, x = · , dx = · dt,
2 1 + t 2 (1 + t)2
"
-1 t2 + 2t + 2
x2 + 2x + 2 = · .
2 1 + t
CAA
KOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
TWIERDZENIE 172 ( PODSTAWIENIA EULERA )
Jeżeli R jest funkcja wymierna dwóch zmiennych to podstawienia
"
"
2
"ax + bx + c = ax + t, gdy a > 0,
"
2
"ax + bx + c = xt + c, gdy c > 0,
ax2 + bx + c = t(x - x1), gdy c" 0, a < 0 gdzie x1 jest pierwiastkiem
<
ax2 + bx + c sprowadzaja R(x, ax2 + bx + c) dx do całkowania
funkcji wymiernej.
PRZYKA
AD 173
"
x2 + 2x + 2 - x - 2
" dx
(1 + x) x2 + 2x + 2
"
1 t2 - 2 1 t2 + 2t + 2
x2 + 2x + 2 = x - t, x = · , dx = · dt,
2 1 + t 2 (1 + t)2
"
-1 t2 + 2t + 2
x2 + 2x + 2 = · .
2 1 + t
CAA
KOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
"
x2 + 2x + 2 - x - 2
" dx =
(1 + x) x2 + 2x + 2
-(t + 2) 1 t2 + 2t + 2
· dt =
-1 t2+2t+2 1 t2-2
2 (1 + t)2
· (1 + · )
2 1+t 2 1+t
"
dt
2 = 2ln |t| + C = 2ln |x - x2 + 2x + 2| + C.
t
CAA
KOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
"
x2 + 2x + 2 - x - 2
" dx =
(1 + x) x2 + 2x + 2
-(t + 2) 1 t2 + 2t + 2
· dt =
-1 t2+2t+2 1 t2-2
2 (1 + t)2
· (1 + · )
2 1+t 2 1+t
"
dt
2 = 2ln |t| + C = 2ln |x - x2 + 2x + 2| + C.
t
CAA
KOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
"
x2 + 2x + 2 - x - 2
" dx =
(1 + x) x2 + 2x + 2
-(t + 2) 1 t2 + 2t + 2
· dt =
-1 t2+2t+2 1 t2-2
2 (1 + t)2
· (1 + · )
2 1+t 2 1+t
"
dt
2 = 2ln |t| + C = 2ln |x - x2 + 2x + 2| + C.
t
CAA
KOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
PRZYKA
AD 174
dx
"
4 + 3x - x2
"
4 - t2 -10 t
4 + 3x - x2 = (x + 1)t, x = , dx = dt,
1 + t2 (1 + t2)2
"
5t
x2 + 2x + 2 = .
1 + t2
-10t
dx dt
(1+t2)2
" = dt = - 2 = -2arc tg t + C =
5t
1 + t2
4 + 3x - x2 1+t2
"
4 + 3x - x2
-2arc tg + C.
x + 1
CAA
KOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
PRZYKA
AD 174
dx
"
4 + 3x - x2
"
4 - t2 -10 t
4 + 3x - x2 = (x + 1)t, x = , dx = dt,
1 + t2 (1 + t2)2
"
5t
x2 + 2x + 2 = .
1 + t2
-10t
dx dt
(1+t2)2
" = dt = - 2 = -2arc tg t + C =
5t
1 + t2
4 + 3x - x2 1+t2
"
4 + 3x - x2
-2arc tg + C.
x + 1
CAA
KOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
PRZYKA
AD 174
dx
"
4 + 3x - x2
"
4 - t2 -10 t
4 + 3x - x2 = (x + 1)t, x = , dx = dt,
1 + t2 (1 + t2)2
"
5t
x2 + 2x + 2 = .
1 + t2
-10t
dx dt
(1+t2)2
" = dt = - 2 = -2arc tg t + C =
5t
1 + t2
4 + 3x - x2 1+t2
"
4 + 3x - x2
-2arc tg + C.
x + 1
CAA
KOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
PRZYKA
AD 174
dx
"
4 + 3x - x2
"
4 - t2 -10 t
4 + 3x - x2 = (x + 1)t, x = , dx = dt,
1 + t2 (1 + t2)2
"
5t
x2 + 2x + 2 = .
1 + t2
-10t
dx dt
(1+t2)2
" = dt = - 2 = -2arc tg t + C =
5t
1 + t2
4 + 3x - x2 1+t2
"
4 + 3x - x2
-2arc tg + C.
x + 1
CAA
KOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
PRZYKA
AD 174
dx
"
4 + 3x - x2
"
4 - t2 -10 t
4 + 3x - x2 = (x + 1)t, x = , dx = dt,
1 + t2 (1 + t2)2
"
5t
x2 + 2x + 2 = .
1 + t2
-10t
dx dt
(1+t2)2
" = dt = - 2 = -2arc tg t + C =
5t
1 + t2
4 + 3x - x2 1+t2
"
4 + 3x - x2
-2arc tg + C.
x + 1
CAA
KOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
PRZYKA
AD 174
dx
"
4 + 3x - x2
"
4 - t2 -10 t
4 + 3x - x2 = (x + 1)t, x = , dx = dt,
1 + t2 (1 + t2)2
"
5t
x2 + 2x + 2 = .
1 + t2
-10t
dx dt
(1+t2)2
" = dt = - 2 = -2arc tg t + C =
5t
1 + t2
4 + 3x - x2 1+t2
"
4 + 3x - x2
-2arc tg + C.
x + 1
CAA
KOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
PRZYKA
AD 174
dx
"
4 + 3x - x2
"
4 - t2 -10 t
4 + 3x - x2 = (x + 1)t, x = , dx = dt,
1 + t2 (1 + t2)2
"
5t
x2 + 2x + 2 = .
1 + t2
-10t
dx dt
(1+t2)2
" = dt = - 2 = -2arc tg t + C =
5t
1 + t2
4 + 3x - x2 1+t2
"
4 + 3x - x2
-2arc tg + C.
x + 1
CAA
KOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
PRZYKA
AD 174
dx
"
4 + 3x - x2
"
4 - t2 -10 t
4 + 3x - x2 = (x + 1)t, x = , dx = dt,
1 + t2 (1 + t2)2
"
5t
x2 + 2x + 2 = .
1 + t2
-10t
dx dt
(1+t2)2
" = dt = - 2 = -2arc tg t + C =
5t
1 + t2
4 + 3x - x2 1+t2
"
4 + 3x - x2
-2arc tg + C.
x + 1
CAA
KOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
PRZYKA
AD 174
dx
"
4 + 3x - x2
"
4 - t2 -10 t
4 + 3x - x2 = (x + 1)t, x = , dx = dt,
1 + t2 (1 + t2)2
"
5t
x2 + 2x + 2 = .
1 + t2
-10t
dx dt
(1+t2)2
" = dt = - 2 = -2arc tg t + C =
5t
1 + t2
4 + 3x - x2 1+t2
"
4 + 3x - x2
-2arc tg + C.
x + 1
CAA
KOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
TWIERDZENIE 175
Jeżeli R jest funkcja wymierna dwóch zmiennych to podstawienie
x = a sint
"
sprowadza R(x, a2 - x2) dx do całkowania funkcji wymiernej,
podstawienie
x = a tgt
"
sprowadza R(x, a2 + x2) dx do całkowania funkcji wymiernej, zaś
podstawienie
1
x =
a cost
"
sprowadza R(x, x2 - a2) dx do całkowania funkcji wymiernej.
CAA
KOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
TWIERDZENIE 176
CaÅ‚ka postaci xm · (a + bxn)pdx gdzie m, n, p " Q
sprowadza sie do całki z funkcji wymiernejnastepujacych trzech
porzypadkach:
p jest liczba całkowita (korzystamy z dwumianu Newtona),
m + 1
jest liczba całkowita przez podstawienie a + bxn = t,
n
m + 1
+ p jest liczba całkowita przez podstawienie a + bxn = xntr,
n
gdzie r jest mianownikiem p.
CAA
KOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
TWIERDZENIE 176
CaÅ‚ka postaci xm · (a + bxn)pdx gdzie m, n, p " Q
sprowadza sie do całki z funkcji wymiernejnastepujacych trzech
porzypadkach:
p jest liczba całkowita (korzystamy z dwumianu Newtona),
m + 1
jest liczba całkowita przez podstawienie a + bxn = t,
n
m + 1
+ p jest liczba całkowita przez podstawienie a + bxn = xntr,
n
gdzie r jest mianownikiem p.
CAA
KOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
TWIERDZENIE 176
CaÅ‚ka postaci xm · (a + bxn)pdx gdzie m, n, p " Q
sprowadza sie do całki z funkcji wymiernejnastepujacych trzech
porzypadkach:
p jest liczba całkowita (korzystamy z dwumianu Newtona),
m + 1
jest liczba całkowita przez podstawienie a + bxn = t,
n
m + 1
+ p jest liczba całkowita przez podstawienie a + bxn = xntr,
n
gdzie r jest mianownikiem p.
ELEMENTY ALGEBRY
DEFINICJA 177
Działaniem wewnetrznym w zbiorze A nazywamy dowolna funkcje
•" : A × A - A.
DEFINICJA 178
DziaÅ‚anie •" : A × A - A nazywamy
a) łacznym wtw gdy "a, b, c " A spełniony jest warunek
(a •" b) •" c = a •" (b •" c),
b) przemiennym wtw gdy "a, b " A spełniony jest warunek
a •" b = b •" a.
DEFINICJA 179
Mówimy, że dziaÅ‚anie wewnetrzne •" : A × A - A ma element
neutralny wtw gdy "e " A : "A " A a •" e = e •" a = a.
ELEMENTY ALGEBRY
DEFINICJA 177
Działaniem wewnetrznym w zbiorze A nazywamy dowolna funkcje
•" : A × A - A.
DEFINICJA 178
DziaÅ‚anie •" : A × A - A nazywamy
a) łacznym wtw gdy "a, b, c " A spełniony jest warunek
(a •" b) •" c = a •" (b •" c),
b) przemiennym wtw gdy "a, b " A spełniony jest warunek
a •" b = b •" a.
DEFINICJA 179
Mówimy, że dziaÅ‚anie wewnetrzne •" : A × A - A ma element
neutralny wtw gdy "e " A : "A " A a •" e = e •" a = a.
ELEMENTY ALGEBRY
DEFINICJA 177
Działaniem wewnetrznym w zbiorze A nazywamy dowolna funkcje
•" : A × A - A.
DEFINICJA 178
DziaÅ‚anie •" : A × A - A nazywamy
a) łacznym wtw gdy "a, b, c " A spełniony jest warunek
(a •" b) •" c = a •" (b •" c),
b) przemiennym wtw gdy "a, b " A spełniony jest warunek
a •" b = b •" a.
DEFINICJA 179
Mówimy, że dziaÅ‚anie wewnetrzne •" : A × A - A ma element
neutralny wtw gdy "e " A : "A " A a •" e = e •" a = a.
ELEMENTY ALGEBRY
DEFINICJA 180
Jeżeli dziaÅ‚anie •" ma element neutralny e to elementem przeciwnym do
elementu a " A nazywamy taki element u " A, że a •" u = u •" a = e.
DEFINICJA 181
Zbiór A z dziaÅ‚aniem Å‚acznym •" z elementem neutralnym speÅ‚niajacy
warunek dla każdego a " A istnieje element przeciwny do a nazywamy
grupa. Jeżeli ponadto •" jest dziaÅ‚aniem przemiennym to grupe (A, •")
nazywamy grupa przemienna lub grupa abelowa lub grupa Abela.
DEFINICJA 182
Jeżeli w zbiorze A okreÅ›lone sa dwa dziaÅ‚ania wewnetrzne •", " to
mówimy, że dziaÅ‚anie " jest rozdzielne wzgledem dziaÅ‚ania •" wtw gdy
"a, b, c spełniony jest warunek
a " (b •" c) = (a " b) •" (a " c) oraz (a •" b) " c = (a " c) •" (b " c).
ELEMENTY ALGEBRY
DEFINICJA 180
Jeżeli dziaÅ‚anie •" ma element neutralny e to elementem przeciwnym do
elementu a " A nazywamy taki element u " A, że a •" u = u •" a = e.
DEFINICJA 181
Zbiór A z dziaÅ‚aniem Å‚acznym •" z elementem neutralnym speÅ‚niajacy
warunek dla każdego a " A istnieje element przeciwny do a nazywamy
grupa. Jeżeli ponadto •" jest dziaÅ‚aniem przemiennym to grupe (A, •")
nazywamy grupa przemienna lub grupa abelowa lub grupa Abela.
DEFINICJA 182
Jeżeli w zbiorze A okreÅ›lone sa dwa dziaÅ‚ania wewnetrzne •", " to
mówimy, że dziaÅ‚anie " jest rozdzielne wzgledem dziaÅ‚ania •" wtw gdy
"a, b, c spełniony jest warunek
a " (b •" c) = (a " b) •" (a " c) oraz (a •" b) " c = (a " c) •" (b " c).
ELEMENTY ALGEBRY
DEFINICJA 180
Jeżeli dziaÅ‚anie •" ma element neutralny e to elementem przeciwnym do
elementu a " A nazywamy taki element u " A, że a •" u = u •" a = e.
DEFINICJA 181
Zbiór A z dziaÅ‚aniem Å‚acznym •" z elementem neutralnym speÅ‚niajacy
warunek dla każdego a " A istnieje element przeciwny do a nazywamy
grupa. Jeżeli ponadto •" jest dziaÅ‚aniem przemiennym to grupe (A, •")
nazywamy grupa przemienna lub grupa abelowa lub grupa Abela.
DEFINICJA 182
Jeżeli w zbiorze A okreÅ›lone sa dwa dziaÅ‚ania wewnetrzne •", " to
mówimy, że dziaÅ‚anie " jest rozdzielne wzgledem dziaÅ‚ania •" wtw gdy
"a, b, c spełniony jest warunek
a " (b •" c) = (a " b) •" (a " c) oraz (a •" b) " c = (a " c) •" (b " c).
ELEMENTY ALGEBRY
DEFINICJA 183
Jeżeli w zbiorze A okreÅ›lone sa dwa dziaÅ‚ania wewnetrzne •", " takie, że
spełnione sa warunki
1) (A, •") jest grupa przemienna z elementem neutralnym e0,
2) (A \ {e0}, ") jest grupa przemienna z elementem neutralnym e1 = e0,

3) dziaÅ‚anie " jest rozdzielne wzgledem dziaÅ‚ania •"
to (A, •", ") nazywamy ciaÅ‚em.
ELEMENTY ALGEBRY
TWIERDZENIE 184
W zbiorze R2 = R × R okreÅ›lamy dwa dziaÅ‚ania •", " "(a, b), (c, d) " R2
wzorami
(a, b) •" (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) " (c, d) = (a · c - b · d, a · d + b · c),
gdzie + i · oznaczaja zwyczajne dodawanie i mnożenie w zbiorze liczb
rzeczywistych.
R2 z powyżej określonymi działaniami jest ciałem z elementami
neutralnymi (0, 0) i (1, 0) odpowiednio dla •" i ".
ELEMENTY ALGEBRY
TWIERDZENIE 184
W zbiorze R2 = R × R okreÅ›lamy dwa dziaÅ‚ania •", " "(a, b), (c, d) " R2
wzorami
(a, b) •" (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) " (c, d) = (a · c - b · d, a · d + b · c),
gdzie + i · oznaczaja zwyczajne dodawanie i mnożenie w zbiorze liczb
rzeczywistych.
R2 z powyżej określonymi działaniami jest ciałem z elementami
neutralnymi (0, 0) i (1, 0) odpowiednio dla •" i ".
ELEMENTY ALGEBRY
Wykażemy, że (R2, •") jest grupa przemienna.
Wewnetrzność dziaÅ‚ania •" wynika w oczywisty sposób z wewnetrznoÅ›ci
dziaÅ‚aÅ„ + i · w zbiorze liczb rzeczywistych.
A
aczność. Pokażemy, że "(a, b), (c, d)(p, q) " R2
((a, b) •" (c, d)) •" (p, q) = (a, b) •" ((c, d) •" (p, q)).
L = ((a, b) •" (c, d)) •" (p, q) = (a + c, b + d) •" (p, q) = (a + c + p, b + d + q)
Z drugiej strony
P = (a, b)•"((c, d)•"(p, q)) = (a, b)•"(c+p, d+q) = (a+c+p, b+d+q).
Zatem L = P.
ELEMENTY ALGEBRY
Wykażemy, że (R2, •") jest grupa przemienna.
Wewnetrzność dziaÅ‚ania •" wynika w oczywisty sposób z wewnetrznoÅ›ci
dziaÅ‚aÅ„ + i · w zbiorze liczb rzeczywistych.
A
aczność. Pokażemy, że "(a, b), (c, d)(p, q) " R2
((a, b) •" (c, d)) •" (p, q) = (a, b) •" ((c, d) •" (p, q)).
L = ((a, b) •" (c, d)) •" (p, q) = (a + c, b + d) •" (p, q) = (a + c + p, b + d + q)
Z drugiej strony
P = (a, b)•"((c, d)•"(p, q)) = (a, b)•"(c+p, d+q) = (a+c+p, b+d+q).
Zatem L = P.
ELEMENTY ALGEBRY
Wykażemy, że (R2, •") jest grupa przemienna.
Wewnetrzność dziaÅ‚ania •" wynika w oczywisty sposób z wewnetrznoÅ›ci
dziaÅ‚aÅ„ + i · w zbiorze liczb rzeczywistych.
A
aczność. Pokażemy, że "(a, b), (c, d)(p, q) " R2
((a, b) •" (c, d)) •" (p, q) = (a, b) •" ((c, d) •" (p, q)).
L = ((a, b) •" (c, d)) •" (p, q) = (a + c, b + d) •" (p, q) = (a + c + p, b + d + q)
Z drugiej strony
P = (a, b)•"((c, d)•"(p, q)) = (a, b)•"(c+p, d+q) = (a+c+p, b+d+q).
Zatem L = P.
ELEMENTY ALGEBRY
Wykażemy, że (R2, •") jest grupa przemienna.
Wewnetrzność dziaÅ‚ania •" wynika w oczywisty sposób z wewnetrznoÅ›ci
dziaÅ‚aÅ„ + i · w zbiorze liczb rzeczywistych.
A
aczność. Pokażemy, że "(a, b), (c, d)(p, q) " R2
((a, b) •" (c, d)) •" (p, q) = (a, b) •" ((c, d) •" (p, q)).
L = ((a, b) •" (c, d)) •" (p, q) = (a + c, b + d) •" (p, q) = (a + c + p, b + d + q)
Z drugiej strony
P = (a, b)•"((c, d)•"(p, q)) = (a, b)•"(c+p, d+q) = (a+c+p, b+d+q).
Zatem L = P.
ELEMENTY ALGEBRY
Wykażemy, że (R2, •") jest grupa przemienna.
Wewnetrzność dziaÅ‚ania •" wynika w oczywisty sposób z wewnetrznoÅ›ci
dziaÅ‚aÅ„ + i · w zbiorze liczb rzeczywistych.
A
aczność. Pokażemy, że "(a, b), (c, d)(p, q) " R2
((a, b) •" (c, d)) •" (p, q) = (a, b) •" ((c, d) •" (p, q)).
L = ((a, b) •" (c, d)) •" (p, q) = (a + c, b + d) •" (p, q) = (a + c + p, b + d + q)
Z drugiej strony
P = (a, b)•"((c, d)•"(p, q)) = (a, b)•"(c+p, d+q) = (a+c+p, b+d+q).
Zatem L = P.
ELEMENTY ALGEBRY
Element neutralny. Mamy "(a, b)
(a, b) •" (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)
oraz
(0, 0) •" (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b).
Zatem (0, 0) jest elementem neutralnym dla •".
Element przeciwny. "(a, b)
(a, b) •" (-a, -b) = (a + (-a), b + (-b)) = (a - a, b - b) = (0, 0).
podobnie
(-a, -b) •" (a, b) = ((-a) + a, (-b) + b) = (0, 0).
Zatem każdy element postaci (a, b) " R2 ma element przeciwny postaci
(-a, -b) " R2.
ELEMENTY ALGEBRY
Element neutralny. Mamy "(a, b)
(a, b) •" (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)
oraz
(0, 0) •" (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b).
Zatem (0, 0) jest elementem neutralnym dla •".
Element przeciwny. "(a, b)
(a, b) •" (-a, -b) = (a + (-a), b + (-b)) = (a - a, b - b) = (0, 0).
podobnie
(-a, -b) •" (a, b) = ((-a) + a, (-b) + b) = (0, 0).
Zatem każdy element postaci (a, b) " R2 ma element przeciwny postaci
(-a, -b) " R2.
ELEMENTY ALGEBRY
Element neutralny. Mamy "(a, b)
(a, b) •" (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)
oraz
(0, 0) •" (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b).
Zatem (0, 0) jest elementem neutralnym dla •".
Element przeciwny. "(a, b)
(a, b) •" (-a, -b) = (a + (-a), b + (-b)) = (a - a, b - b) = (0, 0).
podobnie
(-a, -b) •" (a, b) = ((-a) + a, (-b) + b) = (0, 0).
Zatem każdy element postaci (a, b) " R2 ma element przeciwny postaci
(-a, -b) " R2.
ELEMENTY ALGEBRY
Element neutralny. Mamy "(a, b)
(a, b) •" (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)
oraz
(0, 0) •" (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b).
Zatem (0, 0) jest elementem neutralnym dla •".
Element przeciwny. "(a, b)
(a, b) •" (-a, -b) = (a + (-a), b + (-b)) = (a - a, b - b) = (0, 0).
podobnie
(-a, -b) •" (a, b) = ((-a) + a, (-b) + b) = (0, 0).
Zatem każdy element postaci (a, b) " R2 ma element przeciwny postaci
(-a, -b) " R2.
ELEMENTY ALGEBRY
Element neutralny. Mamy "(a, b)
(a, b) •" (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)
oraz
(0, 0) •" (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b).
Zatem (0, 0) jest elementem neutralnym dla •".
Element przeciwny. "(a, b)
(a, b) •" (-a, -b) = (a + (-a), b + (-b)) = (a - a, b - b) = (0, 0).
podobnie
(-a, -b) •" (a, b) = ((-a) + a, (-b) + b) = (0, 0).
Zatem każdy element postaci (a, b) " R2 ma element przeciwny postaci
(-a, -b) " R2.
ELEMENTY ALGEBRY
Element neutralny. Mamy "(a, b)
(a, b) •" (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)
oraz
(0, 0) •" (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b).
Zatem (0, 0) jest elementem neutralnym dla •".
Element przeciwny. "(a, b)
(a, b) •" (-a, -b) = (a + (-a), b + (-b)) = (a - a, b - b) = (0, 0).
podobnie
(-a, -b) •" (a, b) = ((-a) + a, (-b) + b) = (0, 0).
Zatem każdy element postaci (a, b) " R2 ma element przeciwny postaci
(-a, -b) " R2.
ELEMENTY ALGEBRY
Element neutralny. Mamy "(a, b)
(a, b) •" (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)
oraz
(0, 0) •" (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b).
Zatem (0, 0) jest elementem neutralnym dla •".
Element przeciwny. "(a, b)
(a, b) •" (-a, -b) = (a + (-a), b + (-b)) = (a - a, b - b) = (0, 0).
podobnie
(-a, -b) •" (a, b) = ((-a) + a, (-b) + b) = (0, 0).
Zatem każdy element postaci (a, b) " R2 ma element przeciwny postaci
(-a, -b) " R2.
ELEMENTY ALGEBRY
Przemienność. "(a, b), (c, d) " R2
(a, b) •" (c, d) = (a + c, b + d) =" (c + a, d + b) = (c, d) •" (a, b).
"
Równość wynika z premienności dodawania w zbiorze liczb
rzeczywistych.
Wykażemy, że (R2 \ {(0, 0)}, ") jest grupa.
Wewnetrzność dziaÅ‚ania •". Wykażemy, że "(a, b), (c, d) " R2 \ {(0, 0)}
(a, b) •" (c, d) = (0, 0)

ELEMENTY ALGEBRY
Przemienność. "(a, b), (c, d) " R2
(a, b) •" (c, d) = (a + c, b + d) =" (c + a, d + b) = (c, d) •" (a, b).
"
Równość wynika z premienności dodawania w zbiorze liczb
rzeczywistych.
Wykażemy, że (R2 \ {(0, 0)}, ") jest grupa.
Wewnetrzność dziaÅ‚ania •". Wykażemy, że "(a, b), (c, d) " R2 \ {(0, 0)}
(a, b) •" (c, d) = (0, 0)

ELEMENTY ALGEBRY
Przemienność. "(a, b), (c, d) " R2
(a, b) •" (c, d) = (a + c, b + d) =" (c + a, d + b) = (c, d) •" (a, b).
"
Równość wynika z premienności dodawania w zbiorze liczb
rzeczywistych.
Wykażemy, że (R2 \ {(0, 0)}, ") jest grupa.
Wewnetrzność dziaÅ‚ania •". Wykażemy, że "(a, b), (c, d) " R2 \ {(0, 0)}
(a, b) •" (c, d) = (0, 0)

ELEMENTY ALGEBRY
Przemienność. "(a, b), (c, d) " R2
(a, b) •" (c, d) = (a + c, b + d) =" (c + a, d + b) = (c, d) •" (a, b).
"
Równość wynika z premienności dodawania w zbiorze liczb
rzeczywistych.
Wykażemy, że (R2 \ {(0, 0)}, ") jest grupa.
Wewnetrzność dziaÅ‚ania •". Wykażemy, że "(a, b), (c, d) " R2 \ {(0, 0)}
(a, b) •" (c, d) = (0, 0)

ELEMENTY ALGEBRY
Przemienność. "(a, b), (c, d) " R2
(a, b) •" (c, d) = (a + c, b + d) =" (c + a, d + b) = (c, d) •" (a, b).
"
Równość wynika z premienności dodawania w zbiorze liczb
rzeczywistych.
Wykażemy, że (R2 \ {(0, 0)}, ") jest grupa.
Wewnetrzność dziaÅ‚ania •". Wykażemy, że "(a, b), (c, d) " R2 \ {(0, 0)}
(a, b) •" (c, d) = (0, 0)

ELEMENTY ALGEBRY
Przemienność. "(a, b), (c, d) " R2
(a, b) •" (c, d) = (a + c, b + d) =" (c + a, d + b) = (c, d) •" (a, b).
"
Równość wynika z premienności dodawania w zbiorze liczb
rzeczywistych.
Wykażemy, że (R2 \ {(0, 0)}, ") jest grupa.
Wewnetrzność dziaÅ‚ania •". Wykażemy, że "(a, b), (c, d) " R2 \ {(0, 0)}
(a, b) •" (c, d) = (0, 0)

ELEMENTY ALGEBRY
Przemienność. "(a, b), (c, d) " R2
(a, b) •" (c, d) = (a + c, b + d) =" (c + a, d + b) = (c, d) •" (a, b).
"
Równość wynika z premienności dodawania w zbiorze liczb
rzeczywistych.
Wykażemy, że (R2 \ {(0, 0)}, ") jest grupa.
Wewnetrzność dziaÅ‚ania •". Wykażemy, że "(a, b), (c, d) " R2 \ {(0, 0)}
(a, b) •" (c, d) = (0, 0)

ELEMENTY ALGEBRY
Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że (a, b), (c, d) " R2 \ {(0, 0)} oraz
(a, b) •" (c, d) = (0, 0)
Mamy (a · c - b · d, a · d + b · c) = (0, 0),
a stad
ac - bd = 0
bc + ad = 0
Rozwiazujemy powyższy układ traktujac c i d jako niewiadome.
W = a2 + b2, Wc = 0, Wd = 0.
Ponieważ (a, b) = (0, 0) wiec W = 0 zatem układ ma dokładnie jedno

rozwiazanie (c, d) = (0, 0). Otrzymana sprzeczność dowodzi
wewnetrzności " w zbiorze R2 \ {(0, 0)}.
ELEMENTY ALGEBRY
Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że (a, b), (c, d) " R2 \ {(0, 0)} oraz
(a, b) •" (c, d) = (0, 0)
Mamy (a · c - b · d, a · d + b · c) = (0, 0),
a stad
ac - bd = 0
bc + ad = 0
Rozwiazujemy powyższy układ traktujac c i d jako niewiadome.
W = a2 + b2, Wc = 0, Wd = 0.
Ponieważ (a, b) = (0, 0) wiec W = 0 zatem układ ma dokładnie jedno

rozwiazanie (c, d) = (0, 0). Otrzymana sprzeczność dowodzi
wewnetrzności " w zbiorze R2 \ {(0, 0)}.
ELEMENTY ALGEBRY
A
aczność. Pokażemy, że "(a, b), (c, d)(p, q) " R2
((a, b) " (c, d)) " (p, q) = (a, b) " ((c, d) " (p, q)).
L = ((a, b) " (c, d)) " (p, q) = (ac - bd, ad + bc) " (p, q)
= ((ac - bd)p - (ad + bc)q, (ac - bd)q + (ad + bc)p)
= (acp - bdp - adq - bcq, acq - bdq + adp + bcp)
Z drugiej strony
P = (a, b) " ((c, d) " (p, q)) = (a, b) " (cp - dq, cq + dp)
= (a(cp - dq) - b(cq + dp), a(cq + dp) + b(cp - dq))
= (acp - adq - bcq - bdp, acq + adp + bcp - bdq)) =
(acp - bdp - adq - bcq, acq - bdq + adp + bcp).
Ostatnia równość wynika z przemienności dodawania w zbiorze liczb
rzeczywistych. Zatem L = P.
ELEMENTY ALGEBRY
Element neutralny. Mamy "(a, b) " R2 \ {(0, 0)}
(a, b) " (1, 0) = (a, b)
oraz
(1, 0) " (a, b) = (a, b).
Zatem (1, 0) jest elementem neutralnym dla ".
Element przeciwny. "(a, b) " R2 \ {(0, 0)}
a -b a2 + b2
(a, b) + ( , ) = ( , 0) = (1, 0).
a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2
Podobnie
a -b a2 + b2
( , ) + (a, b) = ( , 0) = (1, 0).
a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2
Zatem każdy element postaci (a, b) " R2 \ {(0, 0)} ma element odwrotny
a -b
postaci ( , ) " R2 \ {(0, 0)}.
a2 + b2 a2 + b2
ELEMENTY ALGEBRY
Przemienność. "(a, b), (c, d) " R2 \ {(0, 0)}
(a, b) " (c, d) = (ac - bd, bc + ad) =" (ca - db, cb + da) = (c, d) " (a, b).
"
Równość wynika z premienności mnożenia w zbiorze liczb rzeczywistych.
Pozostaje wykazać rozdzielność " wzgledem •" czyli, że
"(a, b), (c, d)(p, q) " R2
(a, b) " ((c, d) •" (p, q)) = ((a, b) " (c, d)) •" ((a, b) " (p, q)).
L = (a, b) " ((c, d) •" (p, q)) = (a, b) " (c + p, d + q)
= (a(c + p) - b(d + q), a(d + q) + b(c + p)) =
(ac + ap - bd - bq, ad + aq + bc + bp)
((a, b) " (c, d)) •" ((a, b) " (p, q))
= (ac-bd, ad+bc)•"((ap-bq, aq+bp) = (ac+ap-bd-bq, ad+aq+bc+bp).
Ostatnia równość wynika z przemienności dodawania w zbiorze liczb
rzeczywistych. Zatem L = P. Dowód Twierdzenia jest wiec zakończony.
LICZBY ZESPOLONE
UWAGA 185
Liczby zespolone postaci (x, 0), (y, 0) możemy identyfikowac z liczbami
rzeczywistymi x, y.
RzeczywiÅ›cie (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) oraz (x, 0) + ·(y, 0) = (xy, 0).
Wykonywanie działań w podzbiorze {(a, 0) : a " R zbioru liczb
zespolonych polega na wykonywaniu zwykłych działań na liczbach
rzeczywistyc na pierwszych elementach pary
Dowolną liczbę zespoloną z = (a, b), gdzie a, b " R możemy przedstawić
w postaci z = (a, b) = (a, 0)(1, 0) + (b, 0)(0, 1). OznaczajÄ…c LiczbÄ™ (0, 1)
przez i i identyfikujÄ…c liczby postaci (x, 0) zliczbÄ… rzeczywistÄ… x
otrzymamy z = a + bi.
LICZBY ZESPOLONE
DEFINICJA 186
Dla danej liczby zespolonej z = a + bi, gdzie a, b " R definiujemy
cześć rzeczywista Re z = a
cześć urojona Im z = b
sprzeżenie z = - bi
"a
moduł |z| = a2 + b2
b
oraz arg z jako dowola liczbe rzeczywista Õ dla; której sin Õ = "
a2 + b2
a
cos Õ = " . Jeżeli arg z " [0, 2Ä„) to nazywamy go argumentem
a2 + b2
głównym i oznaczamy przez Arg z.
DEFINICJA 187
Dowolna liczbe zespolona z możemy przedstawić w postaci nazywanej
postacia trygonometryczna liczby zespolonej
z = |z|(cosÕ + i sin Õ), gdzie Õ = arg z.
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 188
Mnożac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej mnożymy moduły
i dodajemy argumenty.
DOWÓD:
Niech z1 = |z1|(cosÕ1 + isin Õ1) i z2 = |z2|(cosÕ2 + isin Õ2) wtedy
z1 · z2 = |z1|(cosÕ1 + i sin Õ1) · |z2|(cosÕ2 + i sin Õ2) =
|z1||z2| (cosÕ1cosÕ2 - sin Õ1sin Õ2 + i(cosÕ1sin Õ2 + sinÕ1cos Õ2)) =
|z1||z2|(cos(Õ1 + Õ2) + i sin (Õ1 + Õ2)).
TWIERDZENIE 189
Dzielac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej dzielimy moduły i
odejmujemy argumenty.
TWIERDZENIE 190
Podnoszac liczbe zespolona w postaci trygonometrycznej do potegi n
podnosimy moduł do potegi n i mnożymy argument oprzez n.
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 188
Mnożac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej mnożymy moduły
i dodajemy argumenty.
DOWÓD:
Niech z1 = |z1|(cosÕ1 + isin Õ1) i z2 = |z2|(cosÕ2 + isin Õ2) wtedy
z1 · z2 = |z1|(cosÕ1 + i sin Õ1) · |z2|(cosÕ2 + i sin Õ2) =
|z1||z2| (cosÕ1cosÕ2 - sin Õ1sin Õ2 + i(cosÕ1sin Õ2 + sinÕ1cos Õ2)) =
|z1||z2|(cos(Õ1 + Õ2) + i sin (Õ1 + Õ2)).
TWIERDZENIE 189
Dzielac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej dzielimy moduły i
odejmujemy argumenty.
TWIERDZENIE 190
Podnoszac liczbe zespolona w postaci trygonometrycznej do potegi n
podnosimy moduł do potegi n i mnożymy argument oprzez n.
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 188
Mnożac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej mnożymy moduły
i dodajemy argumenty.
DOWÓD:
Niech z1 = |z1|(cosÕ1 + isin Õ1) i z2 = |z2|(cosÕ2 + isin Õ2) wtedy
z1 · z2 = |z1|(cosÕ1 + i sin Õ1) · |z2|(cosÕ2 + i sin Õ2) =
|z1||z2| (cosÕ1cosÕ2 - sin Õ1sin Õ2 + i(cosÕ1sin Õ2 + sinÕ1cos Õ2)) =
|z1||z2|(cos(Õ1 + Õ2) + i sin (Õ1 + Õ2)).
TWIERDZENIE 189
Dzielac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej dzielimy moduły i
odejmujemy argumenty.
TWIERDZENIE 190
Podnoszac liczbe zespolona w postaci trygonometrycznej do potegi n
podnosimy moduł do potegi n i mnożymy argument oprzez n.
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 188
Mnożac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej mnożymy moduły
i dodajemy argumenty.
DOWÓD:
Niech z1 = |z1|(cosÕ1 + isin Õ1) i z2 = |z2|(cosÕ2 + isin Õ2) wtedy
z1 · z2 = |z1|(cosÕ1 + i sin Õ1) · |z2|(cosÕ2 + i sin Õ2) =
|z1||z2| (cosÕ1cosÕ2 - sin Õ1sin Õ2 + i(cosÕ1sin Õ2 + sinÕ1cos Õ2)) =
|z1||z2|(cos(Õ1 + Õ2) + i sin (Õ1 + Õ2)).
TWIERDZENIE 189
Dzielac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej dzielimy moduły i
odejmujemy argumenty.
TWIERDZENIE 190
Podnoszac liczbe zespolona w postaci trygonometrycznej do potegi n
podnosimy moduł do potegi n i mnożymy argument oprzez n.
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 191
Wszystkie pierwiastki stopnia n liczby zespolonej
Õ + 2kÄ„ Õ + 2kÄ„
n
|z|(cosÕ + i sin Õ), sa postaci Ék = |z|(cos + i sin ),
n n
gdzie k " {0, 1, 2, 3, . . . , n - 1}.
TWIERDZENIE 192
Niech z1, z2 " C wtedy
z1 Ä… z2 = z1 Ä… z2
z1 · z2 = z1 · z2
i jeśli z2 = 0 to

z1 z1
= .
z2 z2
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 191
Wszystkie pierwiastki stopnia n liczby zespolonej
Õ + 2kÄ„ Õ + 2kÄ„
n
|z|(cosÕ + i sin Õ), sa postaci Ék = |z|(cos + i sin ),
n n
gdzie k " {0, 1, 2, 3, . . . , n - 1}.
TWIERDZENIE 192
Niech z1, z2 " C wtedy
z1 Ä… z2 = z1 Ä… z2
z1 · z2 = z1 · z2
i jeśli z2 = 0 to

z1 z1
= .
z2 z2
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 193
Niech z1, z2 " C wtedy
|z1 · z2| = |z1| · |z2|,
|z1 + z2| d" |z1| + |z2|,
i jeśli z2 = 0 to

z1 |z1|
| | = .
z2 |z2|
PRZYKA
AD 194
Obliczyć (1 + i)10.
"
Ä„
Niech z = 1 + i wówczs |z| = 2 zaś Arg z = .
4
"
10
10Ä„ 10Ä„ Ä„ Ä„
z10 = 2 (cos + isin ) = 25(cos + isin ) = 32i
4 4 2 2
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 193
Niech z1, z2 " C wtedy
|z1 · z2| = |z1| · |z2|,
|z1 + z2| d" |z1| + |z2|,
i jeśli z2 = 0 to

z1 |z1|
| | = .
z2 |z2|
PRZYKA
AD 194
Obliczyć (1 + i)10.
"
Ä„
Niech z = 1 + i wówczs |z| = 2 zaś Arg z = .
4
"
10
10Ä„ 10Ä„ Ä„ Ä„
z10 = 2 (cos + isin ) = 25(cos + isin ) = 32i
4 4 2 2
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 193
Niech z1, z2 " C wtedy
|z1 · z2| = |z1| · |z2|,
|z1 + z2| d" |z1| + |z2|,
i jeśli z2 = 0 to

z1 |z1|
| | = .
z2 |z2|
PRZYKA
AD 194
Obliczyć (1 + i)10.
"
Ä„
Niech z = 1 + i wówczs |z| = 2 zaś Arg z = .
4
"
10
10Ä„ 10Ä„ Ä„ Ä„
z10 = 2 (cos + isin ) = 25(cos + isin ) = 32i
4 4 2 2
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 193
Niech z1, z2 " C wtedy
|z1 · z2| = |z1| · |z2|,
|z1 + z2| d" |z1| + |z2|,
i jeśli z2 = 0 to

z1 |z1|
| | = .
z2 |z2|
PRZYKA
AD 194
Obliczyć (1 + i)10.
"
Ä„
Niech z = 1 + i wówczs |z| = 2 zaś Arg z = .
4
"
10
10Ä„ 10Ä„ Ä„ Ä„
z10 = 2 (cos + isin ) = 25(cos + isin ) = 32i
4 4 2 2
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 193
Niech z1, z2 " C wtedy
|z1 · z2| = |z1| · |z2|,
|z1 + z2| d" |z1| + |z2|,
i jeśli z2 = 0 to

z1 |z1|
| | = .
z2 |z2|
PRZYKA
AD 194
Obliczyć (1 + i)10.
"
Ä„
Niech z = 1 + i wówczs |z| = 2 zaś Arg z = .
4
"
10
10Ä„ 10Ä„ Ä„ Ä„
z10 = 2 (cos + isin ) = 25(cos + isin ) = 32i
4 4 2 2
LICZBY ZESPOLONE
PRZYKA
AD 195
"
3
Obliczyć -1 + i.
"
3Ä„
Niech z = -1 + i wówczs |z| = 2 zaś Arg z = .
4
" "
" "
6 6
Ä„ Ä„ 2 2
É1 = 2(cos + i · sin )) = 2( + i ),
4 4 2 2
" "
6 6
2Ä„ 2Ä„ 11Ä„ 11Ä„
É2 = 2(cos (Ä„ + ) + i · sin (Ä„ + )) = 2(cos + i · sin ),
4 3 4 3 12 12
" "
6 6
4Ä„ 4Ä„ 19Ä„ 19Ä„
É3 = 2(cos (Ä„ + ) + i · sin (Ä„ + ) = 2(cos + i · sin ).
4 3 4 3 12 12
LICZBY ZESPOLONE
PRZYKA
AD 195
"
3
Obliczyć -1 + i.
"
3Ä„
Niech z = -1 + i wówczs |z| = 2 zaś Arg z = .
4
" "
" "
6 6
Ä„ Ä„ 2 2
É1 = 2(cos + i · sin )) = 2( + i ),
4 4 2 2
" "
6 6
2Ä„ 2Ä„ 11Ä„ 11Ä„
É2 = 2(cos (Ä„ + ) + i · sin (Ä„ + )) = 2(cos + i · sin ),
4 3 4 3 12 12
" "
6 6
4Ä„ 4Ä„ 19Ä„ 19Ä„
É3 = 2(cos (Ä„ + ) + i · sin (Ä„ + ) = 2(cos + i · sin ).
4 3 4 3 12 12
LICZBY ZESPOLONE
PRZYKA
AD 195
"
3
Obliczyć -1 + i.
"
3Ä„
Niech z = -1 + i wówczs |z| = 2 zaś Arg z = .
4
" "
" "
6 6
Ä„ Ä„ 2 2
É1 = 2(cos + i · sin )) = 2( + i ),
4 4 2 2
" "
6 6
2Ä„ 2Ä„ 11Ä„ 11Ä„
É2 = 2(cos (Ä„ + ) + i · sin (Ä„ + )) = 2(cos + i · sin ),
4 3 4 3 12 12
" "
6 6
4Ä„ 4Ä„ 19Ä„ 19Ä„
É3 = 2(cos (Ä„ + ) + i · sin (Ä„ + ) = 2(cos + i · sin ).
4 3 4 3 12 12
LICZBY ZESPOLONE
PRZYKA
AD 195
"
3
Obliczyć -1 + i.
"
3Ä„
Niech z = -1 + i wówczs |z| = 2 zaś Arg z = .
4
" "
" "
6 6
Ä„ Ä„ 2 2
É1 = 2(cos + i · sin )) = 2( + i ),
4 4 2 2
" "
6 6
2Ä„ 2Ä„ 11Ä„ 11Ä„
É2 = 2(cos (Ä„ + ) + i · sin (Ä„ + )) = 2(cos + i · sin ),
4 3 4 3 12 12
" "
6 6
4Ä„ 4Ä„ 19Ä„ 19Ä„
É3 = 2(cos (Ä„ + ) + i · sin (Ä„ + ) = 2(cos + i · sin ).
4 3 4 3 12 12
LICZBY ZESPOLONE
PRZYKA
AD 195
"
3
Obliczyć -1 + i.
"
3Ä„
Niech z = -1 + i wówczs |z| = 2 zaś Arg z = .
4
" "
" "
6 6
Ä„ Ä„ 2 2
É1 = 2(cos + i · sin )) = 2( + i ),
4 4 2 2
" "
6 6
2Ä„ 2Ä„ 11Ä„ 11Ä„
É2 = 2(cos (Ä„ + ) + i · sin (Ä„ + )) = 2(cos + i · sin ),
4 3 4 3 12 12
" "
6 6
4Ä„ 4Ä„ 19Ä„ 19Ä„
É3 = 2(cos (Ä„ + ) + i · sin (Ä„ + ) = 2(cos + i · sin ).
4 3 4 3 12 12
LICZBY ZESPOLONE
PRZYKA
AD 195
"
3
Obliczyć -1 + i.
"
3Ä„
Niech z = -1 + i wówczs |z| = 2 zaś Arg z = .
4
" "
" "
6 6
Ä„ Ä„ 2 2
É1 = 2(cos + i · sin )) = 2( + i ),
4 4 2 2
" "
6 6
2Ä„ 2Ä„ 11Ä„ 11Ä„
É2 = 2(cos (Ä„ + ) + i · sin (Ä„ + )) = 2(cos + i · sin ),
4 3 4 3 12 12
" "
6 6
4Ä„ 4Ä„ 19Ä„ 19Ä„
É3 = 2(cos (Ä„ + ) + i · sin (Ä„ + ) = 2(cos + i · sin ).
4 3 4 3 12 12
LICZBY ZESPOLONE
PRZYKA
AD 195
"
3
Obliczyć -1 + i.
"
3Ä„
Niech z = -1 + i wówczs |z| = 2 zaś Arg z = .
4
" "
" "
6 6
Ä„ Ä„ 2 2
É1 = 2(cos + i · sin )) = 2( + i ),
4 4 2 2
" "
6 6
2Ä„ 2Ä„ 11Ä„ 11Ä„
É2 = 2(cos (Ä„ + ) + i · sin (Ä„ + )) = 2(cos + i · sin ),
4 3 4 3 12 12
" "
6 6
4Ä„ 4Ä„ 19Ä„ 19Ä„
É3 = 2(cos (Ä„ + ) + i · sin (Ä„ + ) = 2(cos + i · sin ).
4 3 4 3 12 12
LICZBY ZESPOLONE
PRZYKA
AD 195
"
3
Obliczyć -1 + i.
"
3Ä„
Niech z = -1 + i wówczs |z| = 2 zaś Arg z = .
4
" "
" "
6 6
Ä„ Ä„ 2 2
É1 = 2(cos + i · sin )) = 2( + i ),
4 4 2 2
" "
6 6
2Ä„ 2Ä„ 11Ä„ 11Ä„
É2 = 2(cos (Ä„ + ) + i · sin (Ä„ + )) = 2(cos + i · sin ),
4 3 4 3 12 12
" "
6 6
4Ä„ 4Ä„ 19Ä„ 19Ä„
É3 = 2(cos (Ä„ + ) + i · sin (Ä„ + ) = 2(cos + i · sin ).
4 3 4 3 12 12