Wykład 16
Witold Obłoza
21 stycznia 2011
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA 212
Niech V, W beda p.w. nad ciałem K wtedy odwzorowanie A : V - W
nazywamy odwzorowaniem liniowym ( homomorfizmem p.w. ) wtw, gdy
"x, y " V "Ä…, ² " K A(Ä…x + ²y) = Ä…A(x) + ²A(y).
TWIERDZENIE 213
Zbiór L(V, W ) przekształceń liniowych z p.w. V w p.w. W z działaniami
"T, S " L(V, W ) "v " V "Ä… " K (T + S)(v) = T (v) + S(v)
(Ä…T )(v) = Ä…(T (v)) jest przestrzenia liniowa.
PRZESTRZENIE WEKTOROWE
DEFINICJA 212
Niech V, W beda p.w. nad ciałem K wtedy odwzorowanie A : V - W
nazywamy odwzorowaniem liniowym ( homomorfizmem p.w. ) wtw, gdy
"x, y " V "Ä…, ² " K A(Ä…x + ²y) = Ä…A(x) + ²A(y).
TWIERDZENIE 213
Zbiór L(V, W ) przekształceń liniowych z p.w. V w p.w. W z działaniami
"T, S " L(V, W ) "v " V "Ä… " K (T + S)(v) = T (v) + S(v)
(Ä…T )(v) = Ä…(T (v)) jest przestrzenia liniowa.
MACIERZE
DEFINICJA 214
MacierzÄ… o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie
A : Zn × Zm - X.
A(i, j) oznaczamy przez ai j, a sama macierz A przez
{ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m}.
Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.
Jeżeli X jest ciałem liczbowym to macierz A nazywamy macierza
liczbowa.
Niech macierze A, B beda macierzami liczbowymi o wymiarze n × m.
Definiujemy
A + B = {ai j + bi j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m},
A - B = {ai j - bi j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m}.
MACIERZE
DEFINICJA 214
MacierzÄ… o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie
A : Zn × Zm - X.
A(i, j) oznaczamy przez ai j, a sama macierz A przez
{ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m}.
Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.
Jeżeli X jest ciałem liczbowym to macierz A nazywamy macierza
liczbowa.
Niech macierze A, B beda macierzami liczbowymi o wymiarze n × m.
Definiujemy
A + B = {ai j + bi j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m},
A - B = {ai j - bi j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m}.
MACIERZE
DEFINICJA 214
MacierzÄ… o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie
A : Zn × Zm - X.
A(i, j) oznaczamy przez ai j, a sama macierz A przez
{ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m}.
Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.
Jeżeli X jest ciałem liczbowym to macierz A nazywamy macierza
liczbowa.
Niech macierze A, B beda macierzami liczbowymi o wymiarze n × m.
Definiujemy
A + B = {ai j + bi j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m},
A - B = {ai j - bi j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m}.
MACIERZE
DEFINICJA 214
MacierzÄ… o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie
A : Zn × Zm - X.
A(i, j) oznaczamy przez ai j, a sama macierz A przez
{ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m}.
Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.
Jeżeli X jest ciałem liczbowym to macierz A nazywamy macierza
liczbowa.
Niech macierze A, B beda macierzami liczbowymi o wymiarze n × m.
Definiujemy
A + B = {ai j + bi j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m},
A - B = {ai j - bi j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m}.
MACIERZE
DEFINICJA 214
MacierzÄ… o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie
A : Zn × Zm - X.
A(i, j) oznaczamy przez ai j, a sama macierz A przez
{ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m}.
Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.
Jeżeli X jest ciałem liczbowym to macierz A nazywamy macierza
liczbowa.
Niech macierze A, B beda macierzami liczbowymi o wymiarze n × m.
Definiujemy
A + B = {ai j + bi j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m},
A - B = {ai j - bi j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m}.
MACIERZE
DEFINICJA 214
MacierzÄ… o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie
A : Zn × Zm - X.
A(i, j) oznaczamy przez ai j, a sama macierz A przez
{ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m}.
Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.
Jeżeli X jest ciałem liczbowym to macierz A nazywamy macierza
liczbowa.
Niech macierze A, B beda macierzami liczbowymi o wymiarze n × m.
Definiujemy
A + B = {ai j + bi j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m},
A - B = {ai j - bi j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m}.
MACIERZE
DEFINICJA 214
MacierzÄ… o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie
A : Zn × Zm - X.
A(i, j) oznaczamy przez ai j, a sama macierz A przez
{ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m}.
Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.
Jeżeli X jest ciałem liczbowym to macierz A nazywamy macierza
liczbowa.
Niech macierze A, B beda macierzami liczbowymi o wymiarze n × m.
Definiujemy
A + B = {ai j + bi j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m},
A - B = {ai j - bi j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m}.
MACIERZE
Niech A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} bedzie macierza liczbowa, a 
dowolnym skalarem. Definiujemy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m}.
Macierz której wszystkie elementy sa zerami nazywamy macierza zerowa.
Dla danej macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} symbol (-A)
oznacza macierz przeciwna do macierzy A to jest macierz
{-ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m}.
UWAGA 215
Zbiór macierzy liczbowych o danym wymiarze z działaniami dodawania
i mnożenia przez skalar określonymi powyżej stanowi przestrzeń
wektorowa.
MACIERZE
Niech A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} bedzie macierza liczbowa, a 
dowolnym skalarem. Definiujemy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m}.
Macierz której wszystkie elementy sa zerami nazywamy macierza zerowa.
Dla danej macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} symbol (-A)
oznacza macierz przeciwna do macierzy A to jest macierz
{-ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m}.
UWAGA 215
Zbiór macierzy liczbowych o danym wymiarze z działaniami dodawania
i mnożenia przez skalar określonymi powyżej stanowi przestrzeń
wektorowa.
MACIERZE
Niech A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} bedzie macierza liczbowa, a 
dowolnym skalarem. Definiujemy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m}.
Macierz której wszystkie elementy sa zerami nazywamy macierza zerowa.
Dla danej macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} symbol (-A)
oznacza macierz przeciwna do macierzy A to jest macierz
{-ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m}.
UWAGA 215
Zbiór macierzy liczbowych o danym wymiarze z działaniami dodawania
i mnożenia przez skalar określonymi powyżej stanowi przestrzeń
wektorowa.
MACIERZE
Niech A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} bedzie macierza liczbowa, a 
dowolnym skalarem. Definiujemy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m}.
Macierz której wszystkie elementy sa zerami nazywamy macierza zerowa.
Dla danej macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m} symbol (-A)
oznacza macierz przeciwna do macierzy A to jest macierz
{-ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m}.
UWAGA 215
Zbiór macierzy liczbowych o danym wymiarze z działaniami dodawania
i mnożenia przez skalar określonymi powyżej stanowi przestrzeń
wektorowa.
MACIERZE
DEFINICJA 216
Dla danych macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m}
B = {bi j}i"{1,2...,m} j"{1,2...,k} iloczynem A · B nazywamy macierz
C = {ci j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,k} taka, że
m
ci j = ai 1 · b1 j + ai 2 · b2 j + ai 3 · b3 j + · · · + ai m · bm j = ai l · bl j.
l=1
TWIERDZENIE 217
Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru  zachodza
wzory
A · (B · C) = (A · B) · C,
A · (B) = (A · B) = (A) · B,
A · (B + C) = A · B + A · C,
(A + B) · C = A · C + B · C.
MACIERZE
DEFINICJA 216
Dla danych macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m}
B = {bi j}i"{1,2...,m} j"{1,2...,k} iloczynem A · B nazywamy macierz
C = {ci j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,k} taka, że
m
ci j = ai 1 · b1 j + ai 2 · b2 j + ai 3 · b3 j + · · · + ai m · bm j = ai l · bl j.
l=1
TWIERDZENIE 217
Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru  zachodza
wzory
A · (B · C) = (A · B) · C,
A · (B) = (A · B) = (A) · B,
A · (B + C) = A · B + A · C,
(A + B) · C = A · C + B · C.
MACIERZE
DEFINICJA 216
Dla danych macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m}
B = {bi j}i"{1,2...,m} j"{1,2...,k} iloczynem A · B nazywamy macierz
C = {ci j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,k} taka, że
m
ci j = ai 1 · b1 j + ai 2 · b2 j + ai 3 · b3 j + · · · + ai m · bm j = ai l · bl j.
l=1
TWIERDZENIE 217
Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru  zachodza
wzory
A · (B · C) = (A · B) · C,
A · (B) = (A · B) = (A) · B,
A · (B + C) = A · B + A · C,
(A + B) · C = A · C + B · C.
MACIERZE
DEFINICJA 216
Dla danych macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m}
B = {bi j}i"{1,2...,m} j"{1,2...,k} iloczynem A · B nazywamy macierz
C = {ci j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,k} taka, że
m
ci j = ai 1 · b1 j + ai 2 · b2 j + ai 3 · b3 j + · · · + ai m · bm j = ai l · bl j.
l=1
TWIERDZENIE 217
Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru  zachodza
wzory
A · (B · C) = (A · B) · C,
A · (B) = (A · B) = (A) · B,
A · (B + C) = A · B + A · C,
(A + B) · C = A · C + B · C.
MACIERZE
DEFINICJA 216
Dla danych macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m}
B = {bi j}i"{1,2...,m} j"{1,2...,k} iloczynem A · B nazywamy macierz
C = {ci j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,k} taka, że
m
ci j = ai 1 · b1 j + ai 2 · b2 j + ai 3 · b3 j + · · · + ai m · bm j = ai l · bl j.
l=1
TWIERDZENIE 217
Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru  zachodza
wzory
A · (B · C) = (A · B) · C,
A · (B) = (A · B) = (A) · B,
A · (B + C) = A · B + A · C,
(A + B) · C = A · C + B · C.
MACIERZE
DEFINICJA 216
Dla danych macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m}
B = {bi j}i"{1,2...,m} j"{1,2...,k} iloczynem A · B nazywamy macierz
C = {ci j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,k} taka, że
m
ci j = ai 1 · b1 j + ai 2 · b2 j + ai 3 · b3 j + · · · + ai m · bm j = ai l · bl j.
l=1
TWIERDZENIE 217
Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru  zachodza
wzory
A · (B · C) = (A · B) · C,
A · (B) = (A · B) = (A) · B,
A · (B + C) = A · B + A · C,
(A + B) · C = A · C + B · C.
MACIERZE
DEFINICJA 216
Dla danych macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m}
B = {bi j}i"{1,2...,m} j"{1,2...,k} iloczynem A · B nazywamy macierz
C = {ci j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,k} taka, że
m
ci j = ai 1 · b1 j + ai 2 · b2 j + ai 3 · b3 j + · · · + ai m · bm j = ai l · bl j.
l=1
TWIERDZENIE 217
Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru  zachodza
wzory
A · (B · C) = (A · B) · C,
A · (B) = (A · B) = (A) · B,
A · (B + C) = A · B + A · C,
(A + B) · C = A · C + B · C.
MACIERZE
DEFINICJA 218
Macierza transponowana danej macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m}
nazywamy macierz AT = {bi j}i"{1,2...,m} j"{1,2...,n} taka, że bi j = aj i.
TWIERDZENIE 219
Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru  zachodza
wzory
(A + B)T = AT + BT ,
(A)T = AT ,
(A · B)T = BT · AT ,
(AT )T = A.
MACIERZE
DEFINICJA 218
Macierza transponowana danej macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m}
nazywamy macierz AT = {bi j}i"{1,2...,m} j"{1,2...,n} taka, że bi j = aj i.
TWIERDZENIE 219
Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru  zachodza
wzory
(A + B)T = AT + BT ,
(A)T = AT ,
(A · B)T = BT · AT ,
(AT )T = A.
MACIERZE
DEFINICJA 218
Macierza transponowana danej macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m}
nazywamy macierz AT = {bi j}i"{1,2...,m} j"{1,2...,n} taka, że bi j = aj i.
TWIERDZENIE 219
Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru  zachodza
wzory
(A + B)T = AT + BT ,
(A)T = AT ,
(A · B)T = BT · AT ,
(AT )T = A.
MACIERZE
DEFINICJA 218
Macierza transponowana danej macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m}
nazywamy macierz AT = {bi j}i"{1,2...,m} j"{1,2...,n} taka, że bi j = aj i.
TWIERDZENIE 219
Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru  zachodza
wzory
(A + B)T = AT + BT ,
(A)T = AT ,
(A · B)T = BT · AT ,
(AT )T = A.
MACIERZE
DEFINICJA 218
Macierza transponowana danej macierzy A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,m}
nazywamy macierz AT = {bi j}i"{1,2...,m} j"{1,2...,n} taka, że bi j = aj i.
TWIERDZENIE 219
Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru  zachodza
wzory
(A + B)T = AT + BT ,
(A)T = AT ,
(A · B)T = BT · AT ,
(AT )T = A.
MACIERZE
DEFINICJA 220
Macierz kwadratowa A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,n} stopnia n nazywamy
1) symetryczna wtw, gdy A = AT ,
2) diagonalna wtw, gdy ai j = 0 dla i = j,

3) skalarna wtw, gdy ai j = 0, dla i = j, oraz "i, j ai i = aj j,

4) jednostkowa wtw, gdy jest skalarna i ai i = 1 dla i " {1, 2, . . . , n},
5) trójkatna górna ( dolna ) wtw, gdy ai j = 0 dla i > j
(ai j = 0 dla i < j).
MACIERZE
DEFINICJA 220
Macierz kwadratowa A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,n} stopnia n nazywamy
1) symetryczna wtw, gdy A = AT ,
2) diagonalna wtw, gdy ai j = 0 dla i = j,

3) skalarna wtw, gdy ai j = 0, dla i = j, oraz "i, j ai i = aj j,

4) jednostkowa wtw, gdy jest skalarna i ai i = 1 dla i " {1, 2, . . . , n},
5) trójkatna górna ( dolna ) wtw, gdy ai j = 0 dla i > j
(ai j = 0 dla i < j).
MACIERZE
DEFINICJA 220
Macierz kwadratowa A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,n} stopnia n nazywamy
1) symetryczna wtw, gdy A = AT ,
2) diagonalna wtw, gdy ai j = 0 dla i = j,

3) skalarna wtw, gdy ai j = 0, dla i = j, oraz "i, j ai i = aj j,

4) jednostkowa wtw, gdy jest skalarna i ai i = 1 dla i " {1, 2, . . . , n},
5) trójkatna górna ( dolna ) wtw, gdy ai j = 0 dla i > j
(ai j = 0 dla i < j).
MACIERZE
DEFINICJA 220
Macierz kwadratowa A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,n} stopnia n nazywamy
1) symetryczna wtw, gdy A = AT ,
2) diagonalna wtw, gdy ai j = 0 dla i = j,

3) skalarna wtw, gdy ai j = 0, dla i = j, oraz "i, j ai i = aj j,

4) jednostkowa wtw, gdy jest skalarna i ai i = 1 dla i " {1, 2, . . . , n},
5) trójkatna górna ( dolna ) wtw, gdy ai j = 0 dla i > j
(ai j = 0 dla i < j).
MACIERZE
DEFINICJA 220
Macierz kwadratowa A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,n} stopnia n nazywamy
1) symetryczna wtw, gdy A = AT ,
2) diagonalna wtw, gdy ai j = 0 dla i = j,

3) skalarna wtw, gdy ai j = 0, dla i = j, oraz "i, j ai i = aj j,

4) jednostkowa wtw, gdy jest skalarna i ai i = 1 dla i " {1, 2, . . . , n},
5) trójkatna górna ( dolna ) wtw, gdy ai j = 0 dla i > j
(ai j = 0 dla i < j).
MACIERZE
DEFINICJA 220
Macierz kwadratowa A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,n} stopnia n nazywamy
1) symetryczna wtw, gdy A = AT ,
2) diagonalna wtw, gdy ai j = 0 dla i = j,

3) skalarna wtw, gdy ai j = 0, dla i = j, oraz "i, j ai i = aj j,

4) jednostkowa wtw, gdy jest skalarna i ai i = 1 dla i " {1, 2, . . . , n},
5) trójkatna górna ( dolna ) wtw, gdy ai j = 0 dla i > j
(ai j = 0 dla i < j).
MACIERZE
DEFINICJA 220
Macierz kwadratowa A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,n} stopnia n nazywamy
1) symetryczna wtw, gdy A = AT ,
2) diagonalna wtw, gdy ai j = 0 dla i = j,

3) skalarna wtw, gdy ai j = 0, dla i = j, oraz "i, j ai i = aj j,

4) jednostkowa wtw, gdy jest skalarna i ai i = 1 dla i " {1, 2, . . . , n},
5) trójkatna górna ( dolna ) wtw, gdy ai j = 0 dla i > j
(ai j = 0 dla i < j).
PERMUTACJE
TWIERDZENIE 221
Niech A bedzie dowolnym zbiorem.
Zbiór SA = {f : A - A : f jest bijekcja} ze składaniem odwzorowań
jest grupa.
DOWÓD:
A
aczność.
"x " A "f, g, h " SA
[(h ć% g) ć% f](x) = (h ć% g)(f(x)) = h(g(f(x))) = h((g ć% f)(x)) =
[h ć% (g ć% f)](x).
Element neutralny.
Odwzorowanie idA : A a - a " A jest elementem neutralnym
składania odwzorowań.
PERMUTACJE
TWIERDZENIE 221
Niech A bedzie dowolnym zbiorem.
Zbiór SA = {f : A - A : f jest bijekcja} ze składaniem odwzorowań
jest grupa.
DOWÓD:
A
aczność.
"x " A "f, g, h " SA
[(h ć% g) ć% f](x) = (h ć% g)(f(x)) = h(g(f(x))) = h((g ć% f)(x)) =
[h ć% (g ć% f)](x).
Element neutralny.
Odwzorowanie idA : A a - a " A jest elementem neutralnym
składania odwzorowań.
PERMUTACJE
TWIERDZENIE 221
Niech A bedzie dowolnym zbiorem.
Zbiór SA = {f : A - A : f jest bijekcja} ze składaniem odwzorowań
jest grupa.
DOWÓD:
A
aczność.
"x " A "f, g, h " SA
[(h ć% g) ć% f](x) = (h ć% g)(f(x)) = h(g(f(x))) = h((g ć% f)(x)) =
[h ć% (g ć% f)](x).
Element neutralny.
Odwzorowanie idA : A a - a " A jest elementem neutralnym
składania odwzorowań.
PERMUTACJE
TWIERDZENIE 221
Niech A bedzie dowolnym zbiorem.
Zbiór SA = {f : A - A : f jest bijekcja} ze składaniem odwzorowań
jest grupa.
DOWÓD:
A
aczność.
"x " A "f, g, h " SA
[(h ć% g) ć% f](x) = (h ć% g)(f(x)) = h(g(f(x))) = h((g ć% f)(x)) =
[h ć% (g ć% f)](x).
Element neutralny.
Odwzorowanie idA : A a - a " A jest elementem neutralnym
składania odwzorowań.
PERMUTACJE
Element odwrotny.
Dla f " SA "x " A określamy f-1(x) = y wtw, gdy f(y) = x. Z
definicji bijekcji określenie to jest poprawne i f ć% f-1 = f-1 ć% f = idA.
DEFINICJA 222
Jeżeli A = Zn = {1, 2, 3, . . . , n} to grupe SA oznaczamy przez Sn i
nazywamy grupa symetryczna stopnia n. Elementy Sn nazywamy
permutacjami. (a1, a2, a3, . . . , an) oznacza permutacje p : Zn - Zn
taka, że p(k) = ak.
UWAGA 223
Permutacje możemy utożsamiać z różnowartościowym ciagiem n
elementowym elementów Zn.
PERMUTACJE
Element odwrotny.
Dla f " SA "x " A określamy f-1(x) = y wtw, gdy f(y) = x. Z
definicji bijekcji określenie to jest poprawne i f ć% f-1 = f-1 ć% f = idA.
DEFINICJA 222
Jeżeli A = Zn = {1, 2, 3, . . . , n} to grupe SA oznaczamy przez Sn i
nazywamy grupa symetryczna stopnia n. Elementy Sn nazywamy
permutacjami. (a1, a2, a3, . . . , an) oznacza permutacje p : Zn - Zn
taka, że p(k) = ak.
UWAGA 223
Permutacje możemy utożsamiać z różnowartościowym ciagiem n
elementowym elementów Zn.
PERMUTACJE
Element odwrotny.
Dla f " SA "x " A określamy f-1(x) = y wtw, gdy f(y) = x. Z
definicji bijekcji określenie to jest poprawne i f ć% f-1 = f-1 ć% f = idA.
DEFINICJA 222
Jeżeli A = Zn = {1, 2, 3, . . . , n} to grupe SA oznaczamy przez Sn i
nazywamy grupa symetryczna stopnia n. Elementy Sn nazywamy
permutacjami. (a1, a2, a3, . . . , an) oznacza permutacje p : Zn - Zn
taka, że p(k) = ak.
UWAGA 223
Permutacje możemy utożsamiać z różnowartościowym ciagiem n
elementowym elementów Zn.
PERMUTACJE
DEFINICJA 224
(a1 a2 a3 . . . ak) oznacza permutacje cykliczna to jest taka, że
" l " Zk-1 p(al) = al+1, p(ak) = a1 i p(j) = j dla
j " {a1, a2, a3, . . . , an}
/
TWIERDZENIE 225
Każda permutacja jest złożeniem pewnej ilości permutacji cyklicznych.
DOWÓD:
Niech a1 oznacza najmniejsza liczbe taka, że p(a1) = a1. Niech

a2 = p(a1), a3 = p(a2), a4 = p(a3), . . . . Dla pewnego k1 p(ak ) = a1
1
możemy założyć, że k1 jest najmniejsza taka liczba.
Oznaczmy p1 = (a1 a2 a3 . . . ak ) Jeżeli w permutacji p wszyskie liczby
1
oprócz a1, a2, a3, . . . , ak przechodza w siebie to p = p1 i dowód jest
1
zakończony.
PERMUTACJE
DEFINICJA 224
(a1 a2 a3 . . . ak) oznacza permutacje cykliczna to jest taka, że
" l " Zk-1 p(al) = al+1, p(ak) = a1 i p(j) = j dla
j " {a1, a2, a3, . . . , an}
/
TWIERDZENIE 225
Każda permutacja jest złożeniem pewnej ilości permutacji cyklicznych.
DOWÓD:
Niech a1 oznacza najmniejsza liczbe taka, że p(a1) = a1. Niech

a2 = p(a1), a3 = p(a2), a4 = p(a3), . . . . Dla pewnego k1 p(ak ) = a1
1
możemy założyć, że k1 jest najmniejsza taka liczba.
Oznaczmy p1 = (a1 a2 a3 . . . ak ) Jeżeli w permutacji p wszyskie liczby
1
oprócz a1, a2, a3, . . . , ak przechodza w siebie to p = p1 i dowód jest
1
zakończony.
PERMUTACJE
DEFINICJA 224
(a1 a2 a3 . . . ak) oznacza permutacje cykliczna to jest taka, że
" l " Zk-1 p(al) = al+1, p(ak) = a1 i p(j) = j dla
j " {a1, a2, a3, . . . , an}
/
TWIERDZENIE 225
Każda permutacja jest złożeniem pewnej ilości permutacji cyklicznych.
DOWÓD:
Niech a1 oznacza najmniejsza liczbe taka, że p(a1) = a1. Niech

a2 = p(a1), a3 = p(a2), a4 = p(a3), . . . . Dla pewnego k1 p(ak ) = a1
1
możemy założyć, że k1 jest najmniejsza taka liczba.
Oznaczmy p1 = (a1 a2 a3 . . . ak ) Jeżeli w permutacji p wszyskie liczby
1
oprócz a1, a2, a3, . . . , ak przechodza w siebie to p = p1 i dowód jest
1
zakończony.
PERMUTACJE
DEFINICJA 224
(a1 a2 a3 . . . ak) oznacza permutacje cykliczna to jest taka, że
" l " Zk-1 p(al) = al+1, p(ak) = a1 i p(j) = j dla
j " {a1, a2, a3, . . . , an}
/
TWIERDZENIE 225
Każda permutacja jest złożeniem pewnej ilości permutacji cyklicznych.
DOWÓD:
Niech a1 oznacza najmniejsza liczbe taka, że p(a1) = a1. Niech

a2 = p(a1), a3 = p(a2), a4 = p(a3), . . . . Dla pewnego k1 p(ak ) = a1
1
możemy założyć, że k1 jest najmniejsza taka liczba.
Oznaczmy p1 = (a1 a2 a3 . . . ak ) Jeżeli w permutacji p wszyskie liczby
1
oprócz a1, a2, a3, . . . , ak przechodza w siebie to p = p1 i dowód jest
1
zakończony.
PERMUTACJE
DEFINICJA 224
(a1 a2 a3 . . . ak) oznacza permutacje cykliczna to jest taka, że
" l " Zk-1 p(al) = al+1, p(ak) = a1 i p(j) = j dla
j " {a1, a2, a3, . . . , an}
/
TWIERDZENIE 225
Każda permutacja jest złożeniem pewnej ilości permutacji cyklicznych.
DOWÓD:
Niech a1 oznacza najmniejsza liczbe taka, że p(a1) = a1. Niech

a2 = p(a1), a3 = p(a2), a4 = p(a3), . . . . Dla pewnego k1 p(ak ) = a1
1
możemy założyć, że k1 jest najmniejsza taka liczba.
Oznaczmy p1 = (a1 a2 a3 . . . ak ) Jeżeli w permutacji p wszyskie liczby
1
oprócz a1, a2, a3, . . . , ak przechodza w siebie to p = p1 i dowód jest
1
zakończony.
PERMUTACJE
Jeżeli nie to wybierzmy najmniejsza z nich i oznaczmy ja przez a1. Jak
1
poprzednio tworzymy permutacje cykliczna p2 = (a1 a1 a1 . . . a1 ), w
1 2 3
k2
której a1 = p(a1), a1 = p(a1), a1 = p(a1)
2 1 3 2 4 3
. . . , a1 = p(ak ), a1 = p(ak ).
1 2
k2 2-1
Jeżeli w permutacji p wszyskie liczby oprócz
a1, a2, a3, . . . , ak , a1, a1, a1, . . . , a1 przechodza w siebie to p = p2p1 i
1 1 2 3 k2
dowód jest zakończony.
Jeżeli nie postepowanie możemy kontynuować i po s < n krokach
otrzymamy przedstawienie permutacji p jako złożenie psps-1 . . . p2p1,
gdzie p1, p2, . . . , ps sa permutacjami cyklicznymi.
PERMUTACJE
Jeżeli nie to wybierzmy najmniejsza z nich i oznaczmy ja przez a1. Jak
1
poprzednio tworzymy permutacje cykliczna p2 = (a1 a1 a1 . . . a1 ), w
1 2 3
k2
której a1 = p(a1), a1 = p(a1), a1 = p(a1)
2 1 3 2 4 3
. . . , a1 = p(ak ), a1 = p(ak ).
1 2
k2 2-1
Jeżeli w permutacji p wszyskie liczby oprócz
a1, a2, a3, . . . , ak , a1, a1, a1, . . . , a1 przechodza w siebie to p = p2p1 i
1 1 2 3 k2
dowód jest zakończony.
Jeżeli nie postepowanie możemy kontynuować i po s < n krokach
otrzymamy przedstawienie permutacji p jako złożenie psps-1 . . . p2p1,
gdzie p1, p2, . . . , ps sa permutacjami cyklicznymi.
PERMUTACJE
Jeżeli nie to wybierzmy najmniejsza z nich i oznaczmy ja przez a1. Jak
1
poprzednio tworzymy permutacje cykliczna p2 = (a1 a1 a1 . . . a1 ), w
1 2 3
k2
której a1 = p(a1), a1 = p(a1), a1 = p(a1)
2 1 3 2 4 3
. . . , a1 = p(ak ), a1 = p(ak ).
1 2
k2 2-1
Jeżeli w permutacji p wszyskie liczby oprócz
a1, a2, a3, . . . , ak , a1, a1, a1, . . . , a1 przechodza w siebie to p = p2p1 i
1 1 2 3 k2
dowód jest zakończony.
Jeżeli nie postepowanie możemy kontynuować i po s < n krokach
otrzymamy przedstawienie permutacji p jako złożenie psps-1 . . . p2p1,
gdzie p1, p2, . . . , ps sa permutacjami cyklicznymi.
PERMUTACJE
UWAGA 226
Permutacje cykliczne otrzymane w rozkładzie permutacji p sa przemienne.
DEFINICJA 227
TranspozycjÄ… nazywamy permutacjÄ™ cyklicznÄ… postaci (k m).
TWIERDZENIE 228
Dowolna permutacja cykliczna jest złożeniem pewnej ilości transpozycji.
DOWÓD:
Niech p = (a1 a2 a3 . . . ak). Wtedy
p = (a1 ak) . . . (a1 a3)(a1 a2).
DEFINICJA 229
Liczby i, j tworzy inwersje w permutacji p jeżeli
(i - j) · (p(i) - p(j)) < 0.
DEFINICJA 230
PERMUTACJE
UWAGA 226
Permutacje cykliczne otrzymane w rozkładzie permutacji p sa przemienne.
DEFINICJA 227
TranspozycjÄ… nazywamy permutacjÄ™ cyklicznÄ… postaci (k m).
TWIERDZENIE 228
Dowolna permutacja cykliczna jest złożeniem pewnej ilości transpozycji.
DOWÓD:
Niech p = (a1 a2 a3 . . . ak). Wtedy
p = (a1 ak) . . . (a1 a3)(a1 a2).
DEFINICJA 229
Liczby i, j tworzy inwersje w permutacji p jeżeli
(i - j) · (p(i) - p(j)) < 0.
DEFINICJA 230
PERMUTACJE
UWAGA 226
Permutacje cykliczne otrzymane w rozkładzie permutacji p sa przemienne.
DEFINICJA 227
TranspozycjÄ… nazywamy permutacjÄ™ cyklicznÄ… postaci (k m).
TWIERDZENIE 228
Dowolna permutacja cykliczna jest złożeniem pewnej ilości transpozycji.
DOWÓD:
Niech p = (a1 a2 a3 . . . ak). Wtedy
p = (a1 ak) . . . (a1 a3)(a1 a2).
DEFINICJA 229
Liczby i, j tworzy inwersje w permutacji p jeżeli
(i - j) · (p(i) - p(j)) < 0.
DEFINICJA 230
PERMUTACJE
UWAGA 226
Permutacje cykliczne otrzymane w rozkładzie permutacji p sa przemienne.
DEFINICJA 227
TranspozycjÄ… nazywamy permutacjÄ™ cyklicznÄ… postaci (k m).
TWIERDZENIE 228
Dowolna permutacja cykliczna jest złożeniem pewnej ilości transpozycji.
DOWÓD:
Niech p = (a1 a2 a3 . . . ak). Wtedy
p = (a1 ak) . . . (a1 a3)(a1 a2).
DEFINICJA 229
Liczby i, j tworzy inwersje w permutacji p jeżeli
(i - j) · (p(i) - p(j)) < 0.
DEFINICJA 230
PERMUTACJE
UWAGA 226
Permutacje cykliczne otrzymane w rozkładzie permutacji p sa przemienne.
DEFINICJA 227
TranspozycjÄ… nazywamy permutacjÄ™ cyklicznÄ… postaci (k m).
TWIERDZENIE 228
Dowolna permutacja cykliczna jest złożeniem pewnej ilości transpozycji.
DOWÓD:
Niech p = (a1 a2 a3 . . . ak). Wtedy
p = (a1 ak) . . . (a1 a3)(a1 a2).
DEFINICJA 229
Liczby i, j tworzy inwersje w permutacji p jeżeli
(i - j) · (p(i) - p(j)) < 0.
DEFINICJA 230
PERMUTACJE
TWIERDZENIE 231
Transpozycja postaci (l l + 1) zmienia znak permutacji na przeciwny.
TWIERDZENIE 232
Dowolna transpozycja jest złożeniem nieparzystej ilości transpozycji
postaci (l l + 1).
DOWÓD:
Niech k > 1 wtedy (l l + k) = (l l + 1) . . . (l + k - 3 l + k - 2)(l + k -
2 l + k - 1)(l + k - 1 l + k) . . . (l + 2 l + 1)(l l + 1). Czyli (l l + k) jest
złożeniem 2k - 1 transpozycji sasiednich.
PERMUTACJE
TWIERDZENIE 231
Transpozycja postaci (l l + 1) zmienia znak permutacji na przeciwny.
TWIERDZENIE 232
Dowolna transpozycja jest złożeniem nieparzystej ilości transpozycji
postaci (l l + 1).
DOWÓD:
Niech k > 1 wtedy (l l + k) = (l l + 1) . . . (l + k - 3 l + k - 2)(l + k -
2 l + k - 1)(l + k - 1 l + k) . . . (l + 2 l + 1)(l l + 1). Czyli (l l + k) jest
złożeniem 2k - 1 transpozycji sasiednich.
PERMUTACJE
TWIERDZENIE 231
Transpozycja postaci (l l + 1) zmienia znak permutacji na przeciwny.
TWIERDZENIE 232
Dowolna transpozycja jest złożeniem nieparzystej ilości transpozycji
postaci (l l + 1).
DOWÓD:
Niech k > 1 wtedy (l l + k) = (l l + 1) . . . (l + k - 3 l + k - 2)(l + k -
2 l + k - 1)(l + k - 1 l + k) . . . (l + 2 l + 1)(l l + 1). Czyli (l l + k) jest
złożeniem 2k - 1 transpozycji sasiednich.
PERMUTACJE
TWIERDZENIE 233
Dowolna permutacja jest złożeniem pewnej ilości transpozycji postaci
(l l + 1).
UWAGA 234
Przedstawienie permutacji w postaci złożenia transpozycji postaci
(l l + 1) nie jednoznaczne ale w każdym takim przedstawieniu liczba
transpozycji jest ma te sama parzystość.
DEFINICJA 235
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej
A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,n} stopnia n nazywamy liczbe
Ã(p)a1 p(1) · a2 p(2) · · · · · an p(n).
p"Sn
PERMUTACJE
TWIERDZENIE 233
Dowolna permutacja jest złożeniem pewnej ilości transpozycji postaci
(l l + 1).
UWAGA 234
Przedstawienie permutacji w postaci złożenia transpozycji postaci
(l l + 1) nie jednoznaczne ale w każdym takim przedstawieniu liczba
transpozycji jest ma te sama parzystość.
DEFINICJA 235
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej
A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,n} stopnia n nazywamy liczbe
Ã(p)a1 p(1) · a2 p(2) · · · · · an p(n).
p"Sn
PERMUTACJE
TWIERDZENIE 233
Dowolna permutacja jest złożeniem pewnej ilości transpozycji postaci
(l l + 1).
UWAGA 234
Przedstawienie permutacji w postaci złożenia transpozycji postaci
(l l + 1) nie jednoznaczne ale w każdym takim przedstawieniu liczba
transpozycji jest ma te sama parzystość.
DEFINICJA 235
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej
A = {ai j}i"{1,2...,n} j"{1,2...,n} stopnia n nazywamy liczbe
Ã(p)a1 p(1) · a2 p(2) · · · · · an p(n).
p"Sn