Wykład 26
Witold Obłoza
3 kwietnia 2011
CAA
KA OZNACZONA
TWIERDZENIE 373
Jeżeli f : [a, b] - R monotoniczna to f całkowalna na [a, b].
DOWÓD:
Rozważmy normalny ciąg podziałów {x(n)}n określony wzorem
j j=0
b-a
x(n) = a + j .
j
n
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że funkcja f jest niemalejąca.
n
(n)
b-a
Mamy Sn - Sn = (Mj - m(n)) =
j
n
j=1
n
b-a b-a
(f(x(n)) - f(x(n) )) = (f(b) - f(a)).
j j-1
n n
j=1
Z Wniosku 369 mamy całkowalność funkcji niemalejącej. Dla funkcji
nierosnącej dowód analogiczny.
CAA
KA OZNACZONA
TWIERDZENIE 373
Jeżeli f : [a, b] - R monotoniczna to f całkowalna na [a, b].
DOWÓD:
Rozważmy normalny ciąg podziałów {x(n)}n określony wzorem
j j=0
b-a
x(n) = a + j .
j
n
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że funkcja f jest niemalejąca.
n
(n)
b-a
Mamy Sn - Sn = (Mj - m(n)) =
j
n
j=1
n
b-a b-a
(f(x(n)) - f(x(n) )) = (f(b) - f(a)).
j j-1
n n
j=1
Z Wniosku 369 mamy całkowalność funkcji niemalejącej. Dla funkcji
nierosnącej dowód analogiczny.
CAA
KA OZNACZONA
TWIERDZENIE 373
Jeżeli f : [a, b] - R monotoniczna to f całkowalna na [a, b].
DOWÓD:
Rozważmy normalny ciąg podziałów {x(n)}n określony wzorem
j j=0
b-a
x(n) = a + j .
j
n
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że funkcja f jest niemalejąca.
n
(n)
b-a
Mamy Sn - Sn = (Mj - m(n)) =
j
n
j=1
n
b-a b-a
(f(x(n)) - f(x(n) )) = (f(b) - f(a)).
j j-1
n n
j=1
Z Wniosku 369 mamy całkowalność funkcji niemalejącej. Dla funkcji
nierosnącej dowód analogiczny.
CAA
KA OZNACZONA
TWIERDZENIE 373
Jeżeli f : [a, b] - R monotoniczna to f całkowalna na [a, b].
DOWÓD:
Rozważmy normalny ciąg podziałów {x(n)}n określony wzorem
j j=0
b-a
x(n) = a + j .
j
n
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że funkcja f jest niemalejąca.
n
(n)
b-a
Mamy Sn - Sn = (Mj - m(n)) =
j
n
j=1
n
b-a b-a
(f(x(n)) - f(x(n) )) = (f(b) - f(a)).
j j-1
n n
j=1
Z Wniosku 369 mamy całkowalność funkcji niemalejącej. Dla funkcji
nierosnącej dowód analogiczny.
CAA
KA OZNACZONA
TWIERDZENIE 373
Jeżeli f : [a, b] - R monotoniczna to f całkowalna na [a, b].
DOWÓD:
Rozważmy normalny ciąg podziałów {x(n)}n określony wzorem
j j=0
b-a
x(n) = a + j .
j
n
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że funkcja f jest niemalejąca.
n
(n)
b-a
Mamy Sn - Sn = (Mj - m(n)) =
j
n
j=1
n
b-a b-a
(f(x(n)) - f(x(n) )) = (f(b) - f(a)).
j j-1
n n
j=1
Z Wniosku 369 mamy całkowalność funkcji niemalejącej. Dla funkcji
nierosnącej dowód analogiczny.
CAA
KA OZNACZONA
TWIERDZENIE 373
Jeżeli f : [a, b] - R monotoniczna to f całkowalna na [a, b].
DOWÓD:
Rozważmy normalny ciąg podziałów {x(n)}n określony wzorem
j j=0
b-a
x(n) = a + j .
j
n
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że funkcja f jest niemalejąca.
n
(n)
b-a
Mamy Sn - Sn = (Mj - m(n)) =
j
n
j=1
n
b-a b-a
(f(x(n)) - f(x(n) )) = (f(b) - f(a)).
j j-1
n n
j=1
Z Wniosku 369 mamy całkowalność funkcji niemalejącej. Dla funkcji
nierosnącej dowód analogiczny.
CAA
KA OZNACZONA
TWIERDZENIE 373
Jeżeli f : [a, b] - R monotoniczna to f całkowalna na [a, b].
DOWÓD:
Rozważmy normalny ciąg podziałów {x(n)}n określony wzorem
j j=0
b-a
x(n) = a + j .
j
n
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że funkcja f jest niemalejąca.
n
(n)
b-a
Mamy Sn - Sn = (Mj - m(n)) =
j
n
j=1
n
b-a b-a
(f(x(n)) - f(x(n) )) = (f(b) - f(a)).
j j-1
n n
j=1
Z Wniosku 369 mamy całkowalność funkcji niemalejącej. Dla funkcji
nierosnącej dowód analogiczny.
CAA
KA OZNACZONA
TWIERDZENIE 374
Jeżeli f, g : [a, b] - R dla dowolnych x1, x2 " [a, b] spełniają
nierówność |f(x1) - f(x2)| d" |g(x1) - g(x2)| i g jest całkowalna to f
również jest całkowalna.
DOWÓD:
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {"n} mamy
0 d" S(f, "n) - S(f, "n) d" S(g, "n) - S(g, "n).
Na mocy twierdzenia o trzech ciągach z całkowalności funkcji g
wnioskujemy całkowalność funkcji f.
WNIOSEK 375
Jeżeli f jest całkowalna to |f| jest całkowalna.
CAA
KA OZNACZONA
TWIERDZENIE 374
Jeżeli f, g : [a, b] - R dla dowolnych x1, x2 " [a, b] spełniają
nierówność |f(x1) - f(x2)| d" |g(x1) - g(x2)| i g jest całkowalna to f
również jest całkowalna.
DOWÓD:
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {"n} mamy
0 d" S(f, "n) - S(f, "n) d" S(g, "n) - S(g, "n).
Na mocy twierdzenia o trzech ciągach z całkowalności funkcji g
wnioskujemy całkowalność funkcji f.
WNIOSEK 375
Jeżeli f jest całkowalna to |f| jest całkowalna.
CAA
KA OZNACZONA
TWIERDZENIE 374
Jeżeli f, g : [a, b] - R dla dowolnych x1, x2 " [a, b] spełniają
nierówność |f(x1) - f(x2)| d" |g(x1) - g(x2)| i g jest całkowalna to f
również jest całkowalna.
DOWÓD:
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {"n} mamy
0 d" S(f, "n) - S(f, "n) d" S(g, "n) - S(g, "n).
Na mocy twierdzenia o trzech ciągach z całkowalności funkcji g
wnioskujemy całkowalność funkcji f.
WNIOSEK 375
Jeżeli f jest całkowalna to |f| jest całkowalna.
CAA
KA OZNACZONA
TWIERDZENIE 374
Jeżeli f, g : [a, b] - R dla dowolnych x1, x2 " [a, b] spełniają
nierówność |f(x1) - f(x2)| d" |g(x1) - g(x2)| i g jest całkowalna to f
również jest całkowalna.
DOWÓD:
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {"n} mamy
0 d" S(f, "n) - S(f, "n) d" S(g, "n) - S(g, "n).
Na mocy twierdzenia o trzech ciągach z całkowalności funkcji g
wnioskujemy całkowalność funkcji f.
WNIOSEK 375
Jeżeli f jest całkowalna to |f| jest całkowalna.
CAA
KA OZNACZONA
TWIERDZENIE 374
Jeżeli f, g : [a, b] - R dla dowolnych x1, x2 " [a, b] spełniają
nierówność |f(x1) - f(x2)| d" |g(x1) - g(x2)| i g jest całkowalna to f
również jest całkowalna.
DOWÓD:
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {"n} mamy
0 d" S(f, "n) - S(f, "n) d" S(g, "n) - S(g, "n).
Na mocy twierdzenia o trzech ciągach z całkowalności funkcji g
wnioskujemy całkowalność funkcji f.
WNIOSEK 375
Jeżeli f jest całkowalna to |f| jest całkowalna.
CAA
KA OZNACZONA
DOWÓD:
Z nierówności ||f(x1)| - |f(x2)|| d" |f(x1) - f(x2)| na mocy Twierdzenia
374 mamy całkowalność |f|.
TWIERDZENIE 376
Jeżeli f, g : [a, b] - R są całkowalne to f + g jest całkowalna i ponadto
b b b
(f + g)(x) dx = f(x) dx + g(x) dx.
a a a
DOWÓD:
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {Deltan} mamy
S(f +g, "n)-S(f +g, "n) = S(f, "n)-S(f, "n)+S(g, "n)-S(g, "n).
Skąd całkowalność f + g. Mamy też
S(f + g, "n) = S(f, "n) + S(g, "n).
CAA
KA OZNACZONA
DOWÓD:
Z nierówności ||f(x1)| - |f(x2)|| d" |f(x1) - f(x2)| na mocy Twierdzenia
374 mamy całkowalność |f|.
TWIERDZENIE 376
Jeżeli f, g : [a, b] - R są całkowalne to f + g jest całkowalna i ponadto
b b b
(f + g)(x) dx = f(x) dx + g(x) dx.
a a a
DOWÓD:
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {Deltan} mamy
S(f +g, "n)-S(f +g, "n) = S(f, "n)-S(f, "n)+S(g, "n)-S(g, "n).
Skąd całkowalność f + g. Mamy też
S(f + g, "n) = S(f, "n) + S(g, "n).
CAA
KA OZNACZONA
DOWÓD:
Z nierówności ||f(x1)| - |f(x2)|| d" |f(x1) - f(x2)| na mocy Twierdzenia
374 mamy całkowalność |f|.
TWIERDZENIE 376
Jeżeli f, g : [a, b] - R są całkowalne to f + g jest całkowalna i ponadto
b b b
(f + g)(x) dx = f(x) dx + g(x) dx.
a a a
DOWÓD:
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {Deltan} mamy
S(f +g, "n)-S(f +g, "n) = S(f, "n)-S(f, "n)+S(g, "n)-S(g, "n).
Skąd całkowalność f + g. Mamy też
S(f + g, "n) = S(f, "n) + S(g, "n).
CAA
KA OZNACZONA
DOWÓD:
Z nierówności ||f(x1)| - |f(x2)|| d" |f(x1) - f(x2)| na mocy Twierdzenia
374 mamy całkowalność |f|.
TWIERDZENIE 376
Jeżeli f, g : [a, b] - R są całkowalne to f + g jest całkowalna i ponadto
b b b
(f + g)(x) dx = f(x) dx + g(x) dx.
a a a
DOWÓD:
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {Deltan} mamy
S(f +g, "n)-S(f +g, "n) = S(f, "n)-S(f, "n)+S(g, "n)-S(g, "n).
Skąd całkowalność f + g. Mamy też
S(f + g, "n) = S(f, "n) + S(g, "n).
CAA
KA OZNACZONA
DOWÓD:
Z nierówności ||f(x1)| - |f(x2)|| d" |f(x1) - f(x2)| na mocy Twierdzenia
374 mamy całkowalność |f|.
TWIERDZENIE 376
Jeżeli f, g : [a, b] - R są całkowalne to f + g jest całkowalna i ponadto
b b b
(f + g)(x) dx = f(x) dx + g(x) dx.
a a a
DOWÓD:
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {Deltan} mamy
S(f +g, "n)-S(f +g, "n) = S(f, "n)-S(f, "n)+S(g, "n)-S(g, "n).
Skąd całkowalność f + g. Mamy też
S(f + g, "n) = S(f, "n) + S(g, "n).
CAA
KA OZNACZONA
Skąd wzór
b b b
(f + g)(x) dx = f(x) dx + g(x) dx.
a a a
TWIERDZENIE 377
Jeżeli f, g : [a, b] - R sÄ… caÅ‚kowalne to f · g jest caÅ‚kowalna.
DOWÓD:
Niech |f| d" K |g| d" L wtedy dla dowolnych x, y mamy
|(fg)(x) - (fg)(y)| = |f(x)g(x) - f(x)g(y) + f(x)g(y) - f(y)g(y)| d"
K|g(x) - g(y)| + L|f(x) - f(y)|
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {Deltan} mamy
S(fg, "n) - S(fg, "n) d"
M(S(g, "n) - S(g, "n)) + L(S(f, "n) - S(f, "n))
Z całkowalności f i g wynika więc całkowalność iloczynu.
CAA
KA OZNACZONA
Skąd wzór
b b b
(f + g)(x) dx = f(x) dx + g(x) dx.
a a a
TWIERDZENIE 377
Jeżeli f, g : [a, b] - R sÄ… caÅ‚kowalne to f · g jest caÅ‚kowalna.
DOWÓD:
Niech |f| d" K |g| d" L wtedy dla dowolnych x, y mamy
|(fg)(x) - (fg)(y)| = |f(x)g(x) - f(x)g(y) + f(x)g(y) - f(y)g(y)| d"
K|g(x) - g(y)| + L|f(x) - f(y)|
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {Deltan} mamy
S(fg, "n) - S(fg, "n) d"
M(S(g, "n) - S(g, "n)) + L(S(f, "n) - S(f, "n))
Z całkowalności f i g wynika więc całkowalność iloczynu.
CAA
KA OZNACZONA
Skąd wzór
b b b
(f + g)(x) dx = f(x) dx + g(x) dx.
a a a
TWIERDZENIE 377
Jeżeli f, g : [a, b] - R sÄ… caÅ‚kowalne to f · g jest caÅ‚kowalna.
DOWÓD:
Niech |f| d" K |g| d" L wtedy dla dowolnych x, y mamy
|(fg)(x) - (fg)(y)| = |f(x)g(x) - f(x)g(y) + f(x)g(y) - f(y)g(y)| d"
K|g(x) - g(y)| + L|f(x) - f(y)|
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {Deltan} mamy
S(fg, "n) - S(fg, "n) d"
M(S(g, "n) - S(g, "n)) + L(S(f, "n) - S(f, "n))
Z całkowalności f i g wynika więc całkowalność iloczynu.
CAA
KA OZNACZONA
Skąd wzór
b b b
(f + g)(x) dx = f(x) dx + g(x) dx.
a a a
TWIERDZENIE 377
Jeżeli f, g : [a, b] - R sÄ… caÅ‚kowalne to f · g jest caÅ‚kowalna.
DOWÓD:
Niech |f| d" K |g| d" L wtedy dla dowolnych x, y mamy
|(fg)(x) - (fg)(y)| = |f(x)g(x) - f(x)g(y) + f(x)g(y) - f(y)g(y)| d"
K|g(x) - g(y)| + L|f(x) - f(y)|
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {Deltan} mamy
S(fg, "n) - S(fg, "n) d"
M(S(g, "n) - S(g, "n)) + L(S(f, "n) - S(f, "n))
Z całkowalności f i g wynika więc całkowalność iloczynu.
CAA
KA OZNACZONA
Skąd wzór
b b b
(f + g)(x) dx = f(x) dx + g(x) dx.
a a a
TWIERDZENIE 377
Jeżeli f, g : [a, b] - R sÄ… caÅ‚kowalne to f · g jest caÅ‚kowalna.
DOWÓD:
Niech |f| d" K |g| d" L wtedy dla dowolnych x, y mamy
|(fg)(x) - (fg)(y)| = |f(x)g(x) - f(x)g(y) + f(x)g(y) - f(y)g(y)| d"
K|g(x) - g(y)| + L|f(x) - f(y)|
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {Deltan} mamy
S(fg, "n) - S(fg, "n) d"
M(S(g, "n) - S(g, "n)) + L(S(f, "n) - S(f, "n))
Z całkowalności f i g wynika więc całkowalność iloczynu.
CAA
KA OZNACZONA
Skąd wzór
b b b
(f + g)(x) dx = f(x) dx + g(x) dx.
a a a
TWIERDZENIE 377
Jeżeli f, g : [a, b] - R sÄ… caÅ‚kowalne to f · g jest caÅ‚kowalna.
DOWÓD:
Niech |f| d" K |g| d" L wtedy dla dowolnych x, y mamy
|(fg)(x) - (fg)(y)| = |f(x)g(x) - f(x)g(y) + f(x)g(y) - f(y)g(y)| d"
K|g(x) - g(y)| + L|f(x) - f(y)|
Dla dowolnego normalnego ciągu podziałów {Deltan} mamy
S(fg, "n) - S(fg, "n) d"
M(S(g, "n) - S(g, "n)) + L(S(f, "n) - S(f, "n))
Z całkowalności f i g wynika więc całkowalność iloczynu.
CAA
KA OZNACZONA
DEFINICJA 378
a b a
Dla a < b definiujemy f(x) dx = - f(x) dx oraz f(x) dx = 0.
a a
b
TWIERDZENIE 379
Jeżeli dla x " [a, b] zachodzi nierówność f(x) d" g(x) i funkcje f, g są
b b
całkowalne na [a, b] to f(x) dx d" g(x) dx.
a a
TWIERDZENIE 380
Jeżeli f jest funkcją stałą w przedziale [a, b] taką, że f(x) = c to
b
f(x)dx = c(b - a).
a
TWIERDZENIE 381
Niech funkcja f bedzie określona i ciagła na przedziale zamknietym [a, b]
x
wtedy funkcja F (x) = f(t) dt jest pierwotna funkcji f.
a
CAA
KA OZNACZONA
DEFINICJA 378
a b a
Dla a < b definiujemy f(x) dx = - f(x) dx oraz f(x) dx = 0.
a a
b
TWIERDZENIE 379
Jeżeli dla x " [a, b] zachodzi nierówność f(x) d" g(x) i funkcje f, g są
b b
całkowalne na [a, b] to f(x) dx d" g(x) dx.
a a
TWIERDZENIE 380
Jeżeli f jest funkcją stałą w przedziale [a, b] taką, że f(x) = c to
b
f(x)dx = c(b - a).
a
TWIERDZENIE 381
Niech funkcja f bedzie określona i ciagła na przedziale zamknietym [a, b]
x
wtedy funkcja F (x) = f(t) dt jest pierwotna funkcji f.
a
CAA
KA OZNACZONA
DEFINICJA 378
a b a
Dla a < b definiujemy f(x) dx = - f(x) dx oraz f(x) dx = 0.
a a
b
TWIERDZENIE 379
Jeżeli dla x " [a, b] zachodzi nierówność f(x) d" g(x) i funkcje f, g są
b b
całkowalne na [a, b] to f(x) dx d" g(x) dx.
a a
TWIERDZENIE 380
Jeżeli f jest funkcją stałą w przedziale [a, b] taką, że f(x) = c to
b
f(x)dx = c(b - a).
a
TWIERDZENIE 381
Niech funkcja f bedzie określona i ciagła na przedziale zamknietym [a, b]
x
wtedy funkcja F (x) = f(t) dt jest pierwotna funkcji f.
a
CAA
KA OZNACZONA
DEFINICJA 378
a b a
Dla a < b definiujemy f(x) dx = - f(x) dx oraz f(x) dx = 0.
a a
b
TWIERDZENIE 379
Jeżeli dla x " [a, b] zachodzi nierówność f(x) d" g(x) i funkcje f, g są
b b
całkowalne na [a, b] to f(x) dx d" g(x) dx.
a a
TWIERDZENIE 380
Jeżeli f jest funkcją stałą w przedziale [a, b] taką, że f(x) = c to
b
f(x)dx = c(b - a).
a
TWIERDZENIE 381
Niech funkcja f bedzie określona i ciagła na przedziale zamknietym [a, b]
x
wtedy funkcja F (x) = f(t) dt jest pierwotna funkcji f.
a
CAA
KA OZNACZONA
DEFINICJA 378
a b a
Dla a < b definiujemy f(x) dx = - f(x) dx oraz f(x) dx = 0.
a a
b
TWIERDZENIE 379
Jeżeli dla x " [a, b] zachodzi nierówność f(x) d" g(x) i funkcje f, g są
b b
całkowalne na [a, b] to f(x) dx d" g(x) dx.
a a
TWIERDZENIE 380
Jeżeli f jest funkcją stałą w przedziale [a, b] taką, że f(x) = c to
b
f(x)dx = c(b - a).
a
TWIERDZENIE 381
Niech funkcja f bedzie określona i ciagła na przedziale zamknietym [a, b]
x
wtedy funkcja F (x) = f(t) dt jest pierwotna funkcji f.
a
CAA
KA OZNACZONA
DOWÓD:
f ciÄ…gÅ‚a w punkcie x0 to dla dowolnego µ > 0 istnieje ´ > 0 takie,że
x " (x0 - ´, x0 + ´) zachodzi nierówność |f(x0) - f(x)| < µ.
Dla h > 0
x0+h
1 1
| (F (x0 + h) - F (x0)) - f(x0)| = | (f(t) - f(x0))dt| =
h h
x0
x0+h
1
= |f(t) - f(x0)|dt d" µ.
h
x0
1
Mamy stÄ…d lim (F (x0 + h) - F (x0)) = f(x0).
h
h0
WNIOSEK 381
Niech funkcja f bedzie określona i ciagła na przedziale zamknietym [a, b]
a funkcja F (x) bedzie pierwotna funkcji f wtedy
b
f(x) dx = F (b) - F (a).
a
CAA
KA OZNACZONA
DOWÓD:
f ciÄ…gÅ‚a w punkcie x0 to dla dowolnego µ > 0 istnieje ´ > 0 takie,że
x " (x0 - ´, x0 + ´) zachodzi nierówność |f(x0) - f(x)| < µ.
Dla h > 0
x0+h
1 1
| (F (x0 + h) - F (x0)) - f(x0)| = | (f(t) - f(x0))dt| =
h h
x0
x0+h
1
= |f(t) - f(x0)|dt d" µ.
h
x0
1
Mamy stÄ…d lim (F (x0 + h) - F (x0)) = f(x0).
h
h0
WNIOSEK 381
Niech funkcja f bedzie określona i ciagła na przedziale zamknietym [a, b]
a funkcja F (x) bedzie pierwotna funkcji f wtedy
b
f(x) dx = F (b) - F (a).
a
CAA
KA OZNACZONA
DOWÓD:
f ciÄ…gÅ‚a w punkcie x0 to dla dowolnego µ > 0 istnieje ´ > 0 takie,że
x " (x0 - ´, x0 + ´) zachodzi nierówność |f(x0) - f(x)| < µ.
Dla h > 0
x0+h
1 1
| (F (x0 + h) - F (x0)) - f(x0)| = | (f(t) - f(x0))dt| =
h h
x0
x0+h
1
= |f(t) - f(x0)|dt d" µ.
h
x0
1
Mamy stÄ…d lim (F (x0 + h) - F (x0)) = f(x0).
h
h0
WNIOSEK 381
Niech funkcja f bedzie określona i ciagła na przedziale zamknietym [a, b]
a funkcja F (x) bedzie pierwotna funkcji f wtedy
b
f(x) dx = F (b) - F (a).
a
CAA
KA OZNACZONA
DOWÓD:
f ciÄ…gÅ‚a w punkcie x0 to dla dowolnego µ > 0 istnieje ´ > 0 takie,że
x " (x0 - ´, x0 + ´) zachodzi nierówność |f(x0) - f(x)| < µ.
Dla h > 0
x0+h
1 1
| (F (x0 + h) - F (x0)) - f(x0)| = | (f(t) - f(x0))dt| =
h h
x0
x0+h
1
= |f(t) - f(x0)|dt d" µ.
h
x0
1
Mamy stÄ…d lim (F (x0 + h) - F (x0)) = f(x0).
h
h0
WNIOSEK 381
Niech funkcja f bedzie określona i ciagła na przedziale zamknietym [a, b]
a funkcja F (x) bedzie pierwotna funkcji f wtedy
b
f(x) dx = F (b) - F (a).
a
CAA
KA OZNACZONA
DOWÓD:
Dowolne dwie pierwoyne różnią się o stałą. Mamy zatem
x
F (x) = C + f(t)dt.
a
b
b a
f(x) dx = (C + f(t)dt) - (C + f(t)dt) = F (b) - F (a).
a a
a
TWIERZENIE 382
Jeżeli funkcje f, g : [a, b] - R sa klasy C1 to
b b
f (x)g(x) dx = f(x)g(x)|b - f(x)g (x) dx.
a
a a
TWIERZENIE 383
Jeżeli funkcja f : [a, b] - [c, d] jest klasy C1 i f(a) = c, f(b) = d a
b d
funkcja g : [c, d] - R jest ciagła to g(f(x))f (x) dx = g(y) dy.
a c
CAA
KA OZNACZONA
DOWÓD:
Dowolne dwie pierwoyne różnią się o stałą. Mamy zatem
x
F (x) = C + f(t)dt.
a
b
b a
f(x) dx = (C + f(t)dt) - (C + f(t)dt) = F (b) - F (a).
a a
a
TWIERZENIE 382
Jeżeli funkcje f, g : [a, b] - R sa klasy C1 to
b b
f (x)g(x) dx = f(x)g(x)|b - f(x)g (x) dx.
a
a a
TWIERZENIE 383
Jeżeli funkcja f : [a, b] - [c, d] jest klasy C1 i f(a) = c, f(b) = d a
b d
funkcja g : [c, d] - R jest ciagła to g(f(x))f (x) dx = g(y) dy.
a c
CAA
KA OZNACZONA
DOWÓD:
Dowolne dwie pierwoyne różnią się o stałą. Mamy zatem
x
F (x) = C + f(t)dt.
a
b
b a
f(x) dx = (C + f(t)dt) - (C + f(t)dt) = F (b) - F (a).
a a
a
TWIERZENIE 382
Jeżeli funkcje f, g : [a, b] - R sa klasy C1 to
b b
f (x)g(x) dx = f(x)g(x)|b - f(x)g (x) dx.
a
a a
TWIERZENIE 383
Jeżeli funkcja f : [a, b] - [c, d] jest klasy C1 i f(a) = c, f(b) = d a
b d
funkcja g : [c, d] - R jest ciagła to g(f(x))f (x) dx = g(y) dy.
a c
CAA
KA OZNACZONA
DOWÓD:
Dowolne dwie pierwoyne różnią się o stałą. Mamy zatem
x
F (x) = C + f(t)dt.
a
b
b a
f(x) dx = (C + f(t)dt) - (C + f(t)dt) = F (b) - F (a).
a a
a
TWIERZENIE 382
Jeżeli funkcje f, g : [a, b] - R sa klasy C1 to
b b
f (x)g(x) dx = f(x)g(x)|b - f(x)g (x) dx.
a
a a
TWIERZENIE 383
Jeżeli funkcja f : [a, b] - [c, d] jest klasy C1 i f(a) = c, f(b) = d a
b d
funkcja g : [c, d] - R jest ciagła to g(f(x))f (x) dx = g(y) dy.
a c
CAA
KA OZNACZONA
TWIERZENIE 384
Jeżeli funkcja f : (a, b) - R jest ciÄ…gÅ‚a a funkcja Õ : (c, d) - (a, b)
jest różniczkowalna bijekcja przy czym Õ(c) = a to
b d
f(x) dx = f(Ć(t)) Õ (t) dt.
a c
DEFINICJA 385
Niech funkcja f bedzie określona na przedziale [a, b), nieograniczona w
sÄ…siedztwie b i niech "² " [a, b) istnieje caÅ‚ka Riemana funkcji f na
przedziale [a, ²].
²
Jeżeli istnieje lim f(x) dx to nazywamy ja całka niewłaściwa I rodzaju
²b
a
funkcji funkcji f na przedziale [a, b).
CAA
KA OZNACZONA
TWIERZENIE 384
Jeżeli funkcja f : (a, b) - R jest ciÄ…gÅ‚a a funkcja Õ : (c, d) - (a, b)
jest różniczkowalna bijekcja przy czym Õ(c) = a to
b d
f(x) dx = f(Ć(t)) Õ (t) dt.
a c
DEFINICJA 385
Niech funkcja f bedzie określona na przedziale [a, b), nieograniczona w
sÄ…siedztwie b i niech "² " [a, b) istnieje caÅ‚ka Riemana funkcji f na
przedziale [a, ²].
²
Jeżeli istnieje lim f(x) dx to nazywamy ja całka niewłaściwa I rodzaju
²b
a
funkcji funkcji f na przedziale [a, b).
CAA
KA OZNACZONA
TWIERZENIE 384
Jeżeli funkcja f : (a, b) - R jest ciÄ…gÅ‚a a funkcja Õ : (c, d) - (a, b)
jest różniczkowalna bijekcja przy czym Õ(c) = a to
b d
f(x) dx = f(Ć(t)) Õ (t) dt.
a c
DEFINICJA 385
Niech funkcja f bedzie określona na przedziale [a, b), nieograniczona w
sÄ…siedztwie b i niech "² " [a, b) istnieje caÅ‚ka Riemana funkcji f na
przedziale [a, ²].
²
Jeżeli istnieje lim f(x) dx to nazywamy ja całka niewłaściwa I rodzaju
²b
a
funkcji funkcji f na przedziale [a, b).
CAA
KA OZNACZONA
Niech funkcja f bedzie określona na przedziale (a, b], nieograniczona w
sąsiedztwie a i niech "ą " (a, b] istnieje całka Riemana funkcji f na
przedziale [Ä…, b].
b
Jeżeli istnieje lim f(x) dx to nazywamy ja całka niewłaściwa I rodzaju
Ä…a
Ä…
funkcji funkcji f na przedziale (a, b].
DEFINICJA 386
Niech funkcja f bedzie okreÅ›lona na przedziale [a, ") i niech "² " [a, ")
istnieje caÅ‚ka Riemana funkcji f na przedziale [a, ²].
²
Jeżeli istnieje lim f(x) dx to nazywamy ja całka niewłaściwa II
²"
a
rodzaju funkcji f na przedziale [a, ").
CAA
KA OZNACZONA
Niech funkcja f bedzie określona na przedziale (a, b], nieograniczona w
sąsiedztwie a i niech "ą " (a, b] istnieje całka Riemana funkcji f na
przedziale [Ä…, b].
b
Jeżeli istnieje lim f(x) dx to nazywamy ja całka niewłaściwa I rodzaju
Ä…a
Ä…
funkcji funkcji f na przedziale (a, b].
DEFINICJA 386
Niech funkcja f bedzie okreÅ›lona na przedziale [a, ") i niech "² " [a, ")
istnieje caÅ‚ka Riemana funkcji f na przedziale [a, ²].
²
Jeżeli istnieje lim f(x) dx to nazywamy ja całka niewłaściwa II
²"
a
rodzaju funkcji f na przedziale [a, ").
CAA
KA OZNACZONA
Niech funkcja f bedzie określona na przedziale (a, b], nieograniczona w
sąsiedztwie a i niech "ą " (a, b] istnieje całka Riemana funkcji f na
przedziale [Ä…, b].
b
Jeżeli istnieje lim f(x) dx to nazywamy ja całka niewłaściwa I rodzaju
Ä…a
Ä…
funkcji funkcji f na przedziale (a, b].
DEFINICJA 386
Niech funkcja f bedzie okreÅ›lona na przedziale [a, ") i niech "² " [a, ")
istnieje caÅ‚ka Riemana funkcji f na przedziale [a, ²].
²
Jeżeli istnieje lim f(x) dx to nazywamy ja całka niewłaściwa II
²"
a
rodzaju funkcji f na przedziale [a, ").
CAA
KA OZNACZONA
Niech funkcja f bedzie określona na przedziale (a, b], nieograniczona w
sąsiedztwie a i niech "ą " (a, b] istnieje całka Riemana funkcji f na
przedziale [Ä…, b].
b
Jeżeli istnieje lim f(x) dx to nazywamy ja całka niewłaściwa I rodzaju
Ä…a
Ä…
funkcji funkcji f na przedziale (a, b].
DEFINICJA 386
Niech funkcja f bedzie okreÅ›lona na przedziale [a, ") i niech "² " [a, ")
istnieje caÅ‚ka Riemana funkcji f na przedziale [a, ²].
²
Jeżeli istnieje lim f(x) dx to nazywamy ja całka niewłaściwa II
²"
a
rodzaju funkcji f na przedziale [a, ").
CAA
KA OZNACZONA
Niech funkcja f bedzie określona na przedziale (a, b], nieograniczona w
sąsiedztwie a i niech "ą " (a, b] istnieje całka Riemana funkcji f na
przedziale [Ä…, b].
b
Jeżeli istnieje lim f(x) dx to nazywamy ja całka niewłaściwa I rodzaju
Ä…a
Ä…
funkcji funkcji f na przedziale (a, b].
DEFINICJA 386
Niech funkcja f bedzie okreÅ›lona na przedziale [a, ") i niech "² " [a, ")
istnieje caÅ‚ka Riemana funkcji f na przedziale [a, ²].
²
Jeżeli istnieje lim f(x) dx to nazywamy ja całka niewłaściwa II
²"
a
rodzaju funkcji f na przedziale [a, ").
CAA
KA OZNACZONA
Niech funkcja f bedzie określona na przedziale (-", b] i niech
"ą " (-", b] istnieje całka Riemana funkcji f na przedziale [-", b].
b
Jeżeli istnieje lim f(x) dx to nazywamy ja całka niewłaściwa II rodzaju
Ä…a
Ä…
funkcji f na przedziale (-", b].
DEFINICJA 387
Niech funkcja f bedzie okreÅ›lona na przedziale (a, b) i niech "Ä…, ² " (a, b)
istnieje caÅ‚ka Riemana funkcji f na przedziale [Ä…, ²] Wtedy caÅ‚ke
b ² b
niewłaściwa f(x) dx określamy jako sume f(x) dx oraz f(x) dx
a a
²
CAA
KA OZNACZONA
Niech funkcja f bedzie określona na przedziale (-", b] i niech
"ą " (-", b] istnieje całka Riemana funkcji f na przedziale [-", b].
b
Jeżeli istnieje lim f(x) dx to nazywamy ja całka niewłaściwa II rodzaju
Ä…a
Ä…
funkcji f na przedziale (-", b].
DEFINICJA 387
Niech funkcja f bedzie okreÅ›lona na przedziale (a, b) i niech "Ä…, ² " (a, b)
istnieje caÅ‚ka Riemana funkcji f na przedziale [Ä…, ²] Wtedy caÅ‚ke
b ² b
niewłaściwa f(x) dx określamy jako sume f(x) dx oraz f(x) dx
a a
²
CAA
KA OZNACZONA
Niech funkcja f bedzie określona na przedziale (-", b] i niech
"ą " (-", b] istnieje całka Riemana funkcji f na przedziale [-", b].
b
Jeżeli istnieje lim f(x) dx to nazywamy ja całka niewłaściwa II rodzaju
Ä…a
Ä…
funkcji f na przedziale (-", b].
DEFINICJA 387
Niech funkcja f bedzie okreÅ›lona na przedziale (a, b) i niech "Ä…, ² " (a, b)
istnieje caÅ‚ka Riemana funkcji f na przedziale [Ä…, ²] Wtedy caÅ‚ke
b ² b
niewłaściwa f(x) dx określamy jako sume f(x) dx oraz f(x) dx
a a
²