Wykład 04
Witold Obłoza
22 listopada 2010
Szeregi liczbowe
DEFINICJA 28
Niech bedzie dany ciag {an}" .
n=1
"
Określamy ciag sum cześciowych {Sn}" szeregu an wzorem
n=1
n=1
n
Sn = ak.
k=1
"
Mówimy, że szereg an jest zbieżny, jeżeli jego ciag sum cześciowych
n=1
jest zbieżny do granicy właściwej.
W przeciwnym wypadku mówimy, że szereg jest rozbieżny.
SZEREGI LICZBOWE
PRZYKA
AD 29
"
1
Szereg jest zbieżny.
n(n + 1)
n=1
DOWÓD:
n n
1 1 1
Sn = = ( - ) =
k(k + 1) k k + 1
k=1 k=1
n n n n-1
1 1 1 1 1
- = 1 + - - =
k k + 1 k k + 1 n + 1
k=1 k=1 k=2 k=1
n-1 n-1
1 1 1 1
1 + - - = 1 - - 1
k + 1 k + 1 n + 1 n + 1
k=1 k=1
SZEREGI LICZBOWE
TWIERDZENIE 30
"
Warunkiem koniecznym zbieżności szeregu an jest to aby
n=l
lim an = 0.
n"
DOWÓD:
"
Jeżeli szereg an jest zbieżny to ciag {Sn}" spełnia warunek
n=1
n=l
Cauchyego czyli "µ > 0 "n0 "n > n0 |an| = |Sn - Sn-1| < µ.
Zatem "µ > 0 "n0 "n > n0 |an| < µ,
a to oznacza, że lim an = 0.
n"
SZEREGI LICZBOWE
UWAGA 31
"
lim an = 0 warunek konieczny zbieżności szeregu an nie jest
n"
n=l
warunkiem wystarczajÄ…cym.
DOWÓD:
"
1
Szereg spełnia warunek lim an = 0, ale nie jest zbieżny.
n"
n
n=l
"
1
Ciąg sum częsciowych szeregu jest ciągiem rosnącym, ma zatem
n
n=l
granicÄ™.
Wystarczy pokazać, ze jest on nieograniczony.
SZEREGI LICZBOWE
Rozważmy podciąg {S2k}" ciągu sum częściowych.
k=1
2k k-1 2l+1
1 1 1
S2k = = 1 + + e"
m 2 m
m=1 l=1
m=2l+1
k-1 2l+1 k-1
1 1 1 1
1 + + = 1 + + 2l =
2 2l+1 2 2l+1
l=1 l=1
m=2l+1
1 1 k + 2
1 + + (k - 1) · = - ".
2 2 2
"
1
Zatem lim Sn = " czyli szereg nie jest zbieżny.
n"
n
n=l
TWIERDZENIE 32
" "
Jeżeli szeregi an, bn są zbieżne i  " R to zbieżny jest
n=1 n=1
" " " "
(an + bn) oraz an. Ponadto jeżeli an = A, bn = B to
n=1 n=1 n=1 n=1
" "
(an + bn) = A + B oraz an = A.
n=1 n=1
DOWÓD:
Wynika to natychmiast z Twierdzenia o granicach sumy i iloczynu ciągów.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 33
"
Szereg geometryczny a · qn-1 jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy
n=1
|q| < 1.
DOWÓD:
Ciąg sum częściowych dla q = 1 ma postać:

1 - qn a a a
Sn = a = · (1 - qn). = - · qn.
1 - q 1 - q 1 - q 1 - q
a
Wyrażenie jest stałe,
1 - q
istnienie granicy właściwej ciągu Sn zależy wyłącznie od zbieżności ciągu
qn.
Jest on zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy |q| < 1.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 34
"
Jeżeli "n an e" 0 to warunkiem wystarczajacym zbieżności szeregu an
n=l
jest to, aby ciag {Sn}" był ograniczony z góry.
n=1
DOWÓD:
Ciąg sum częściowych jest niemalejący,
jeżeli jest również ograniczony z góry to ma granicę właściwą
czyli szereg jest zbieżny.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 35 ( Kryterium dwa do k-tej )
"
Załóżmy, że "n an > 0 oraz an e" an+1 wówczas szereg an jest
n=1
"
n
zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbieżny szereg 2na2 .
n=1
DOWÓD:
k k
n
Niech Sk = an i Sk = 2na2 .
n=1 n=1
Wystarczy pokazać, że ciagi {Sk}, {Sk} sa równocześnie ograniczone
lub jednocześnie niograniczone.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
Mamy:
k-1 2m+1 k-1 2m+1
2 · S2k = 2a1 + 2a2 + 2 an e" 2a2 + 2 a2m+1 =
m=1 n=2m+1 m=1 n=2m+1
k-1
= 2a2 + 2 2ma2m+1 = Sk.
m=1
Z kolei dla n d" 2k - 1 mamy:
k-1 2m+1-1 k-1
m
Sn d" S2k = a1 + an d" a1 + 2ma2 = a1 + Sk-1.
-1
m=1 n=2m m=1
Zatem dwa ciągi {Sn} oraz {Sn} są jednocześnie zbieżne lub
jednocześnie rozbieżne.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 36
"
1
Szereg jest zbieżny dla ą > 1 i rozbieżny dla ą d" 1.
nÄ…
n=1
DOWÓD:
Z kryterium dwa do k-tej wystarczy zbadać zbieżność szeregu
"
2n "
= 2n(1-Ä…).
(2n)Ä… n=1
n=1
Jest to szereg geometryczny o ilorazie 21-Ä….
Zbieżny jest on gdy 21-ą < 1 czyli, gdy ą > 1 zaś dla ą d" 1 jest
rozbieżny.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
DEFINICJA 37 (Majoranty i minoranty)
Jeżeli istnieje n0 takie, że dla n większych od n0 an e" bn e" 0
" "
to mówimy, że szereg an jest majorantą szeregu bn
n=1 n=1
" "
zaÅ› szereg bn jest minorantÄ… szeregu an.
n=1 n=1
TWIERDZENIE 38 (KLASYCZNE KRYTERIUM PORÓWNAWCZE)
" "
Jeżeli szereg an jest majorantą szeregu bn to
n=1 n=1
ze zbieżności majoranty wynika zbieżnośc minoranty
zaś z rozbieżności minoranty wynika rozbieżność majoranty.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
DOWÓD:
Dla n e" n0 ciągi sum częściowych obu szeregów są rosnące.
n
Wystarczy pokazać, że z ograniczoności {Sn = ak}" wynika
n=1
k=1
n
ograniczoność {Tn = bk}"
n=1
k=1
n
zaś z nieograniczoności {Tn = bk}" wynika nieograniczoność
n=1
k=1
n
{Sn = ak}" .
n=1
k=1
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
Dla n e" n0 Sn - Sn e" Tn - Tn .
0 0
n n
(Sn - Sn = an e" bn = Tn - Tn .)
0 0
k=n0+1 k=n0+1
StÄ…d dla n e" n0 mamy
Tn d" Sn + (Tn - Sn ) oraz Sn e" Tn + (Sn - Tn ).
0 0 0 0
Z ograniczoności Sn wynika ograniczoność Tn
oraz z nieograniczoności Tn wynika nieograniczoność Sn.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 39 (GRANICZNE KRYTERIUM PORÓWNAWCZE)
" "
Niech beda dane dwa szeregi an bn takie, że "n an e" 0 oraz
n=1 n=1
an
bn > 0 i niech istnieje granica lim = g " (0, ") wtedy szeregi
n"
bn
" "
an oraz bn sa jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne.
n=1 n=1
DOWÓD:
an 3g
Dla n > n0 g d" d" .
2 bn 2
g 3g
Mamy stad bn d" an d" bn.
2 2
" "
g
Jeżeli an jest zbiezny to bn jest zbieżny na mocy klasycznego
2
n=1 n=1
kryterium porównawczego.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
" "
g
bn jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy jest zbieżny bn.
2
n=1 n=1
" "
3g
Jeżeli bn jest zbieżny to jest zbieżny bn
2
n=1 n=1
i na mocy klasycznego kryterium porównawczego zbieżny jest zbiezny
"
an.
n=1
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 40 ( KRYTERIUM Cauchy ego)
"
n
Załóżmy, że "n an e" 0 i istnieje granica lim an = g.
n"
"
Jeżeli g < 1 to szereg an jest zbieżny.
n=1
"
Jeżeli g > 1 to szereg an jest rozbieżny.
n=1
"
Jeżeli g = 1 to szereg an może być zbieżny lub rozbiezny.
n=1
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
DOWÓD:
"
1+g
n
Niech g < 1 wówczas "n0 takie, że "n > n0 an < < 1.
2
n
1+g
Stąd "n0 takie, że "n > n0 an d" .
2
"
Oznacza to, że szereg an ma majorantę zbieżną, więc jest zbieżny.
n=1
Dowód dla g > 1 jest analogiczny.
"
1 n 1
Dla szergu zbieżnego lim = 1,
n2 n" n2
n=1
"
1 n 1
ale i dla szeregu rozbieżnego lim = 1.
n n
n"
n=1
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 41(KRYTERIUM d Alemberta)
"
Niech bedzie dany szereg an taki, że "n an > 0 i niech istnieje
n=1
"
an+1
granica lim = g. Jeżeli q < 1 to szereg an jest zbieżny,
n"
an
n=1
"
a gdy q > 1 to szereg an jest rozbieżny.
n=1
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
DOWÓD:
an+1 1+g
Niech g > 1 wówczas "n0 takie, że "n > n0 > > 1.
an 2
1+g
0-1
Zatem "n > n0 an e" · an-n ,
n0+1
2
"
Szereg an ma minorantę rozbieżną
n=1
zatem jest rozbieżny.
Dowód dla g < 1 jest analogiczny.
"
an+1
1
Dla szergu zbieżnego lim == 1,
n2 n"
an
n=1
"
an+1
1
ale i dla szeregu rozbieżnego lim = 1.
n
n"
an
n=1