Kolokwium nr 1 z matematyki
Wydzia WILiÅš, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2010/2011
l
Zad.1. [6p+3p  rozwiazanie piszemy na stronie 1 ]
¸

a) Zbadać, czy pole wektorowe F = [3ye3x + zex + y2z2, e3x + 2xyz2, ex + 2xy2z] spe warunek wystarczaj¸
lnia acy
istnienia potencja i wyznaczyć ten potencja
lu l.
b) Sformu twierdzenie o niezależności ca krzywoliniowej od drogi oraz obliczyć
lować lki

(3ye3x + zex + y2z2)dx + (e3x + 2xyz2)dy + (ex + 2xy2z)dz.
"#
AB
jeżeli A(0, 2, 0) i B(0, 0, 1).
Zad.2. [5p  rozwiazanie piszemy na stronie 2 ]
¸
Obliczyć moment bezw wzgl¸ pocz¸ uk wspó ednych luku, b¸ acego cz¸Å›cia okr¸
ladnoÅ›ci edem atku ladu lrz¸ ed¸ e ¸ egu
x2 + y2 = 1 leż¸ w drugiej ćwiartce uk wsó ednych, jeżeli g¸ masy Á(x, y, z) = x2y2.
acego ladu lrz¸ estość
Zad.3. [4p  rozwiazanie piszemy na stronie 3 ]
¸

"
Obliczyć (2x2 + y2)dx - x2ydy, jeżeli L jest lukiem L : {y = 2 x} skierowanym od punktu A(1, 2) do punktu

L
B(4, 4).
Zad.4. [5p  rozwiazanie piszemy na stronie 4 ]
¸
Dla krzywej o równaniu:
L : = [t + 1, 2t2 - 1, t3 + t]
r(t)
wyznaczyć równanie prostej stycznej i p
laszczyzny ściśle stycznej w punkcie P (1, -1, 0).
Zad.5. [4p+3p  rozwiazanie piszemy na stronie 5 ]
¸
a) Obliczyć krzywizn¸ i promieÅ„ krzywizny krzywej L : {x2 + y2 = 1, z = y} w punkcie P (1, 0, 0).
e

b) Co znaczy, że punkt M0(OM = jest punktem wyprostowania krzywej? Czy krzywa z punktu a) ma
r(t0))
punkty wyprostowania?