Nawiasami kwadratowymi oznaczyłem nieczytelne miejsca.
1. Niech S := {z " C; z4 - 1 = 0}. Wykazać, że {S, ·}, gdzie · [oznacza mnożenie?], [w ciele liczb?] zespolonych, jest grupÄ…
abelowÄ….
2. Obliczyć:
"
( 3 - i)11
(1 + i)5
i wynik podać w postaci kanonicznej.
3. Wykazać, że wekory u = (1, 0, -1), v = (1, 1, 0), w = (0, 1, 2) tworzą [baze?] w R3. Wyznaczyć podprzestrzeń R3
generowanÄ… przez wektory u i v i w.
{(x, y, z) " R3 : ax + by + cz = 0}
przy stosownie dobranych a, b, c " R
4. Znalez
ć macierz odwzorowania liniowego f : R4 R2 danego przez f(x, y, z, t) = (x + 3y - 2z, x - y + z - t) w bazach
odpowiednio: {(2, 0, 1, 0), (-1, 1, 0, 3), (0, 1, 1, 0), (1, -1, 2, 3)} i {(1, 1), (-1, 0)}.
5. Obliczyć wyznacznik stosując rozwinięcie Laplace a.
0 1 2 3
1 2 3 0
2 3 0 0
3 0 0 1
6. W najprostrzy sposób pokazać, że:
1 a a2
1 b b2 = (b - a)(c - a)(c - b)
1 c c2
Rozwiązanie: od drugiego i trzeciego odjąć pierwszy wiersz, drugi pomnożyć razy (-1) i dodać do trzeciego. Otrzymamy
macierz schodkowÄ… (wyznacznik to iloczyn diagonalnych)
1 a a2 1 a a2 1 a a2 1 a a2
1 b b2 = 0 b - a b2 - a2 = (b - a)(c - a) 0 1 b + a = (b - a)(c - a) 0 1 b + a = (b - a)(c - a)(c - b)
1 c c2 0 c - a c2 - a2 0 1 c + a 0 0 c - b
7. Metodą eliminacji Gaussa rozwiazać układ równań:
x + y + z = 4
2x + y + 2z = 6
3x - y - z = 0
8. Znajdz
macierz odwrotnÄ… do:
îÅ‚ Å‚Å‚
2 7 3
ðÅ‚ ûÅ‚
A = 3 9 4
1 5 3
a nastepnie wykorzystaj ją dla znalezienia rozwiązania układu równań:
2x + 7y + 3z = -2
3x + 9y + 4z = -2
x + 5y + 3z = -1
1
RozwiÄ…zanie:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
x -2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
[A] · y = -2
z -1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
x -2

ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
A-1 · [A] · y = A-1 · -2

z -1
[I]
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
x -2

ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
y = A-1 · -2
z -1
9. Rozwiąż układ równań za pomocą wzorów Cramera.
3x - 5y + 2z = -1
2x + 3y - 2z = 2
x + 2y - z = 2
2