Egzamin z Równań Różniczkowych, 17 IX 2010
1. Zadanie wstępne
Zadanie Odp.
1. Napisać równanie różniczkowe, którego całka ogólna ma postać: y - 6y + 9y = 0
y = C1e-3x + C2xe-3x
Rozwiązanie:
r1 = r2 = -3 pierwiastki wielomianu charakterystycznego
(r - 3)2 = r2 - 6r + 9 wielomian charakterystyczny
y - 6y + 9y = 0 równanie różniczkowe
2. Rozwiązać zagadnienie Cauchy ego y = esin x

y = y cos x
y(0) = 1
Rozwiązanie:
dy
= cos x dx =�! ln |y| = sin x + C rozdzielamy zmienne
y
y = Cesin x
y(0) = 1 =�! 1 = C =�! C = 1
"

2n + 3n 7
3. Wyznaczyć sumę szeregu
6n 2
n=0
Rozwiązanie:
"

2n + 3n " 1 n " 1 n 1 1 7
= + = + =
1 1
6n 3 2 1 - 1 - 2
n=0 n=0 n=0
3 2
Korzystamy ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego
4. Wyznaczyć styczną do krzywej o równaniu: x = t + 1 ; y =
-
(t) = [1 - sin t , 1 - cos t , 4 sin t ] dla t = Ą
2 ; z = 4
r
2
Rozwiązanie:
-
(Ą) = [1, 2, 4]
r
- -
(t) = [- cos t , sin t , 2 cos t ] , (Ą) = [1, 0, 0]
Ł Ł
r r
2
x = t + 1 ; y = 2 ; z = 4 prosta styczna
5. Wyznaczyć równanie rózniczkowe rodziny krzywych y = Cx2+x-1 , C " R xy = 2y - x + 2
Rozwiązanie:
y = 2Cx + 1 rózniczkujemy równanie rodziny
y -1
C = eliminujemy stałą C
2x
y -1
y = � x2 + x - 1 =�! 2y = xy - x + 2x - 2 =�! xy = 2y - x + 2
2x
1
2. Rozwiązać równanie:
y + xy = xy-3
Rozwiązanie:
Jest to równanie Bernoulliego. Mnożymy obie strony przez y3:
y3y + xy4 = x Podstawiamy:
z(x) = y3(x) , wtedy z = 4y3y
1
z + xz = x
4
z + 4xz = 4x
Jest to równanie liniowe. Rozwiązujemy równanie liniowe jednorodne:
z + 4xz = 0
Rozdzielamy zmienne:
dz
= -4x dx
z

dz
= -4x dx
z
ln |z| = -2x2 + C
2
z = Ce-2x
Rozwiązujemy równanie niejednorodne:
z + 4xz = 4x
2
z = C(x)e-2x uzmienniamy stałą
Wtedy:
2 2
z = C e-2x - 4xCe-2x
2 2 2
C e-2x - 4xCe-2x + 4xCe-2x = 4x wstawiamy do równania
2
C = 4xe2x

2 2
C = 4xe2x dx = {t = 2x2 ; dt = 4x dx} = et dt = et + D = e2x + D
Stąd:
2 2 2
z = (e2x + D)e-2x = 1 + De-2x
"
"
4 2
4
y = z = 1 + De-2x
Odpowiedz
:
"
4 2
y = 1 + De-2x
2
3. Rozwiązać równanie:
y(4) - y = 2x
Rozwiązanie:
Rozwiązujemy równanie liniowe jednorodne:
y(4) - y = 0
r4 - r2 = 0 równanie charakterystyczne
r2(r2 - 1) = 0 =�! r2(r - 1)(r + 1) = 0
r1 = r2 = 0 , r3 = 1 , r4 = -1
y = C1 + C2x + C3ex + C4e-x rozwiązanie ogólne równania liniowego jednorodnego
Szukamy rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego:
y(4) - y = 2x
Ponieważ r = 0 jest pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu charakterystyczneg, więc
rozwiązanie szczególne przewidujemy w postaci:
ys = (Ax + B)x2 = Ax3 + Bx2

ys = 3Ax2 + 2Bx

ys = 6Ax + 2B

ys = 6A
(4)
ys = 0
Wstawiamy do równania:
-6Ax - 2B = 2x

-6A = 2 A = -1
3
=�!
-2B = 0 B = 0
ys = -1x3
3
Odpowiedz
:
1
y = C1 + C2x + C3ex + C4e-x - x3
3
3
4. Wyznaczyć rozwiązanie układu równań


y1 = 3y1 + 2y2 + 1

y2 = 8y1 + 3y2
spełniające warunek początkowy y1(0) = -1 , y2(0) = 2
Rozwiązanie:
1 3 1

y2 = y1 - y1 - z pierwszego równania
2 2 2
1 3

y2 = y1 - y1
2 2
1 3 3 9 3

y1 - y1 = 8y1 + y1 - y1 - podstawiamy do drugiego równania
2 2 2 2 2

y1 - 6y1 - 7y1 = -3
Równanie liniowe jednorodne:

y1 - 6y1 - 7y1 = 0
r2 - 6r - 7 = 0
" = 64
r1 = -1 , r2 = 7
y1 = C1e-x + C2e7x
Przewidujemy rozwiązanie szczególne równania liniowego niejednorodnego:
y1s = A

y1s = 0

y1s = 0
3
-7A = -3 =�! A =
7
3
y1s =
7
Rozwiązanie ogólne równania liniowego niejednorodnego:
3
y1 = C1e-x + C2e7x +
7

y1 = -C1e-x + 7C2e7x
1 3 3 1 8
y2 = (-C1e-x + 7C2e7x) - (C1e-x + C2e7x + ) - = -2C1e-x + 2C2e7x -
2 2 7 2 7
Podstawiamy warunki początkowe:

3
-1 = C1 + C2 + C1 + C2 = -10 C1 = -3
7 7 2
=�! =�!
8 11 1
2 = -2C1 + 2C2 - -C1 + C2 = C2 =
7 7 14
Odpowiedz
:
1 3
y1 = -3e-x + e7x +
2 14 7
1 8
y2 = 3e-x + e7x -
7 7
4
2
5. Wyznaczyć szereg Maclaurina funkcji f(x) = xe-x +1 . Określić przedział zbieżności
tego szeregu. Wyznaczyć wartość f(10)(0) .
Rozwiązanie:

(-x2)2 (-x2)3 (-x2)4
2
f(x) = xe � e-x = xe 1 + (-x)2 + + + . . . =
2! 3! 4!
"


x4 x6 x8 ex5 ex7 ex9 (-1)nex2n+1
xe 1 - x2 + - + . . . = ex - ex3 + - + � � � =
2! 3! 4! 2! 3! 4! n!
n=0
Przdział zbiezności tego szeregu: x " (-" , ")
Skorzystaliśmy z rozwinięcia w szereg funkcji:
x2 x3 x4
ex = 1 + x + + + + . . . , x " R
2! 3! 4!
f(10)(0)
Ponieważ a10 = 0 oraz a10 = więc
10!
f(10)(0) = 0
5
6. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję:

0 dla x " (-Ą , 0)
f(x) =
-x dla x " [0 , Ą}
Wyznaczyć i naszkicować funkcję f , która jest sumą szeregu.
Rozwiązanie:
Dla n = 1, 2, 3 . . .
Ą Ą Ą Ą
1 1 1 1 sin nx
an = f(x) cos nx dx = 0�cos nx dx+ -x cos nx dx = -x dx =
Ą Ą Ą Ą n
-Ą 0 0 0

1 -x sin nx Ą Ą sin nx 1 - cos nx Ą - cos nĄ + 1 1 - (-1)n
+ dx = 0 + = =
Ą n n Ą n2 0 Ąn2 Ąn2
0
0
Ą
Ą Ą Ą
1 1 1 1 x2 Ą
a0 = f(x) dx = 0 � dx + -x dx = - = -
Ą Ą Ą Ą 2 2
0
-Ą 0 0
Dla n = 1, 2, 3 . . .
Ą Ą Ą Ą
1 1 1 1 - cos nx
bn = f(x) sin nx dx = 0�sin nx dx+ -x sin nx dx = -x dx =
Ą Ą Ą Ą n
-Ą 0 0 0

1 x cos nx Ą Ą cos nx 1 Ą cos nĄ sin nx Ą cos nĄ (-1)n
- dx = - = =
Ą n n Ą n n2 0 n n
0
0
Szereg Fouriera jest więc następujący:
" "

a0
S(x) = + an cos nx + bn sin nx
2
n=1 n=1
" "

1 - (-1)n (-1)n
S(x) = -Ą + cos nx + sin nx
4
Ąn2 n
n=1 n=1
Szereg ten jest zbieżny do funkcji f na zbiorze: (-Ą, Ą) .
-Ą
0 + Ą
2
S(-Ą) = S(Ą) = = -
2 4
6