Egzamin z Równań Różniczkowych, 22 VI 2010 godz. 12.00
1. Zadanie wstępne
1.1 Wyznaczyć równanie różniczkowe rodziny krzywych xy = C , x = 0 ,C " R

1.2 Dla jakiej wartości parametru p funkcje, że y1 = t , y2 = pt2 + t stanowią układ
fundamentalny rozwiązań pewnego równania różniczkowego liniowego jednorod-
nego rzędu 2? Odpowiedz
uzasadnić.
"

Ą
1.3 Wyznaczyć sumę szeregu sinn x dla x = .
6
n=1
1.4 Wyznaczyć równanie stycznej do krzywej o równaniu:
= [et, -e-t, t] w punkcie P (1, -1, 0)
r
1.5 Jaką wartość ma suma szeregu Fouriera funkcji:

x dla x " [-Ą, -Ą ] *" [Ą , Ą]
2 2
Ą
0 dla x " (-Ą , )
2 2
Ą
w punkcie x = ?
2
2. Rozwiązać zagadnienie Cauchy ego

y = (2x + y - 3)2 - 4x - 2y + 5
y(1) = 1
3. Rozwiązać równanie:
xy + y = xy2
4. Rozwiązać równanie:
y - 2y + y = 4ex
5. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego:
"

(x - 4)n
"
(2n + 3) n + 3
n=1
6. Wyznaczyć punkty, w których krzywizna krzywej K zadanej równaniami parametrycz-
nymi
ńł
�ł x = sin t
�ł
1
K : y = sin2 t , t " R
2
�ł
ół
1
z = (t - sin t cos t)
2
- |
Ł -
�
| � r
r
-
�
osiąga wartości ekstremalne. (Krzywizna � = , lub � = || , gdy parame-
r
-
Ł
||3
r
tryzacja regularna/łukowa)
1