Egzamin z Równań Różniczkowych, 22 VI 2011 1. Zadanie wstępne 1.1 Sprawdzić, czy funkcje f(x) = 1+x oraz g(x) = 2-x tworzą układ fundamentalny rozwiązań pewnego równania różniczkowego rzędu drugiego(tzn. czy są liniowo niezależne) 1.2 Rozwiązać równanie: y = cos2 y 1.3 Wyznaczyć linie ortogonalne do rodziny krzywych tworzących całkę ogólną rów- nania różniczkowego y + y = 0 -
1.4 Wyznaczyć wektor binormalny do krzywj o równaniu r = [t , t2 , et] , dla t = 0 "
p 1.5 Dla jakich wartości parametru p zachodzi równość = 6 2n n=0 2. Rozwiązać zagadnienie Cauchy ego
y + y tg x = sin 2x y(Ą) = 1 3. Rozwiązać równanie: (y )2 + sin2 3x = 1 4. Rozwiązać równanie: y - 4y = x + e3x 5. Korzystając z odpowiednich twierdzeń o całkowaniu i różniczkowaniu funkcji rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję f(x) = x arc tg x. Wyznaczyć zakres zbieżności szeregu. 6. Wyznaczyć szereg Fouriera samych sinusów, którego suma na przedziale (0 , Ą) przyj- Ą muje wartości identyczne z funkcją f(x) = . Wypisać sumę trzech pierwszych wy- 4 razów szeregu. Wykorzystując otrzymany szereg, obliczyć sumę szeregu liczbowego: "