Egzamin z Równań Różniczkowych, 20 VI 2012 godz. 9.00
1. Zadanie wstępne
1.1 Sprawdzić, czy funkcje f(x) = 1 oraz g(x) = x tworzą układ fundamentalny
rozwiązań pewnego równania różniczkowego liniowego rzędu drugiego o stałych
współczynnikach (tzn. czy są liniowo niezależne).

x(y + 1)y = y
1.2 Rozwiązać zagadnienie Cauchy ego:
y(1) = 1
"
n
1 1
1.3 Wyznaczyć sumę szeregu -
2 3n
n=1
"

n
1.4 Zbadać zbieżność szeregu (-1)n
n + 1
n=1
-
(t)
1.5 Wyznaczyć równanie stycznej do krzywej o równaniu r = (t3, t2, t) w punkcie
P (0, 0, 0) .
2. Rozwiązać równanie:
y = (x - y)2 + 1
3. Rozwiązać zagadnienie Cauchy ego
Å„Å‚
xy x
ôÅ‚
ôÅ‚
y - =
ôÅ‚
òÅ‚
2(x2 - 1) 2y
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
y(0) = 1
4. Rozwiązać układ równań

‹ = y + t
Ź = 8x - t
5. Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję f(x) i określić przedział zbieżności tego szeregu.
x
f(x) =
(1 + x)2
6. Wyznaczyć szereg Fouriera funkcji:
Å„Å‚
ôÅ‚ 2 dla x " (-Ä„, -Ä„ )
òÅ‚
2
Ä„
f(x) = 4 dla x " (-Ä„ , )
2 2
ôÅ‚
ół
2 dla x " (Ä„ , Ä„)
2
Narysować wykres sumy szeregu dla x " [-Ą, Ą].
3
Podać wartość sumy tego szeregu dla x = Ą.
2
1